FUVEST 2017 - Resolução - Geometria Analítica (Circunferência)

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Resolução da prova da Fuvest 2017 (1ª Fase), questão de Geometria Analítica envolvendo duas Circunferências tangentes aos eixos coordenados.
Enunciado da questão:
Duas circunferências com raios 1 e 2 têm centros no primeiro quadrante do plano cartesiano e ambas tangenciam os dois eixos coordenados. Essas circunferências se interceptam em dois pontos distintos de coordenadas (x1, y1) e (x2, y2).
O valor de (x1 + y1)^2 + (x2 + y2)^2 é igual a
a) 5/2
b) 7/2
c) 9/2
d) 11/2
e) 13/2
Gabarito: C
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[@andreamendes250]

Incrível como você consegue explicar um exercício difícil de modo que ele passe a ser fácil!! Fascinante 💙

[@waldematica]

Valeu Andrea, Fuvest é minha especialidade.... kkk Conheça também: waldematica.com.br

[@marianavieira4346]

Excelente! Valeu!

[@waldematica]

Obrigado Mariana... seja bem-vinda ao canal e conheça também a plataforma Waldemática com cursos preparatórios para as Paulistas! ;) Obrigado pela sua inscrição!

[@pabline390]

Continue postando vídeos, você é ótimo!

[@waldematica]

Olá Pabline.... obrigado pelo elogio e pela sua inscrição... pode deixar eu vou postando sim, devagar e sempre... kkk Boa sorte para você e bom estudo, aproveite os vídeos... abraço e bom dia!

[@anabeatrizsilvamendonca4977]

Muito Obrigada, professor!

[@waldematica]

De nada Ana!

[@cesaoenf]

o melhor prof

[@waldematica]

Obrigado! ;)

[@tiago4007]

muito bommm! continue resolvendo questões da fuvest de anos anteriores, por favor!

[@waldematica]

Olá Tiago, bom dia. Pode deixar, quarta que vem posto mais, você quer escolher o ano, ou a questão? Fala aí, aceito sugestões. ABraço.

[@tiago4007]

vc poderia resolver as questões de matemática da fuvest de 2008, por favor?

[@waldematica]

Olá Tiago, eu não consigo resolver toda a prova que tenho afazeres... hehe... se você quiser escolher alguma questão que vc viu desse ano e que quer que eu resolva, ficaria mais fácil, pode falar o assunto que daí eu procuro... vc quer segunda fase né?

[@LeoSala683]

Parabéns professor! Se possível poste o vídeo das outras questões da fuvest 2017

[@waldematica]

Olá Leonardo... obrigado pelo elogio.... estou trocando umas coisas no computador, em breve eu posto as outras questões sim... um abraço.

[@fernandoserafim6250]

Por que X2 e y2 tem resultado igual de X1 e y1? Como conseguiu chegar nisso?

[@waldematica]

Olá Fernando... não é que x1 seja igual a x2 e y1 seja igual a y2, e SIM, AS SOMAS são iguais, isso porque tanto o x + y que cheguei e x1 + y1, ou x2 + y2 são as somas de duas coordenadas de uma MESMA RETA.... por exemplo: Se uma reta tiver uma equação assim: x + y = 3 Quaisquer pontos que a gente pegar dessa reta as coordenadas x e y desses pontos DA RETA vão ter também uma soma igual a 3, porque são pontos da mesma reta... que poderíamos até escrever a equação dessa reta assim y = -x + 3.... todos os pontos de uma reta têm que seguir a lei (a fórmula) que ela tem como equação. Nessa questão a gente chegou que x + y = 9/4, então sempre que pegarmos dois pontos com coordenadas (x1, y1) e (x2, y2) e somarmos essas coordenadas vai dar também 9/4. Entendeu?

[@fernandoserafim6250]

@@waldematica puts, perfeita explicação professor. Entendi, com certeza. Muitíssimo obrigado. Tu é 10, meu querido!!!

[@waldematica]

@@fernandoserafim6250 ok amigo que bom que entendeu... conheça a plataforma do canal com cursos preparatórios para a fuvest.. grande abraço

[@eduardohenrique877]

@@waldematica obrigado, fiquei com a mesma dúvida.

[@mestresasori9241]

Aí Wal eu não poderia igualar o X a zero nas duas equações pq ele fala q intercepta os eixos coordenados aí depois faria a mesma coisa com o Y1 e o Y2 e cairia em equações do segundo grau. Eu tive essa idéia mas não consegui chegar até a resposta pq as raízes ficam dando 2 e 1. Mas daria ou não daria certo? Valeu , Wal ,abraço.

[@waldematica]

Olá Jounin.... se vc igualar o x a zero vai obter a intersecção com o eixo Y apenas... e fazendo isso vc não chegaria na relação que pediram que são os quadrados das somas das coordenadas da Intersecção entre as circunferências.... daí o lance é fazer um sistema com as equações das duas circunferências.... isso porque quando duas curvas se interceptam... tem pontos em comum e para obter as coordenadas desses pontos vc iguala as duas equações.... isto é um padrão para obter intersecções entre curvas.... entende?

[@lovemoviesmoviefun3608]

Poh, devo ser muito burro só pode, mesmo assistindo todas as aulas desde a primeira não consegui responder nenhuma!!! Valeu W4l, tkns

[@waldematica]

Calma Ewerton... pegue questões mais fáceis para treinar... depois pega fuvest... veja uma videoaula e tente nos exercícios resolvidos junto com a teoria da aula.... depois vá para Unesp (1ª Fase) e depois FUVEST .... assim por diante. Falou!

[@lovemoviesmoviefun3608]

Heheheh eu já vi todas, estou vendo em ordem!!! As questões me parecem muito diferentes uma das outras, mas eu entendi a matéria, só não consigo resolver os exercícios!!! Flw e obrigado mestre!

[@FernandaValente]

num é ñ, é pq nem todo mundo admite que não entendeu

[@FernandaValente]

O enunciado num diz que são duas circunferencias? Pq só tem uma?

[@waldematica]

Olá Fernanda... se vc assistir ao vídeo a partir de 0:49 vai me ouvir falando que eu desenhei somente para sabermos o que acontece quando UMA circunferência é tangente aos eixos.... a partir dessa ideia é que resolvo a questão.... eu não desenhei a situação do enunciado. Reveja o vídeo com atenção e sem pular. Qualquer coisa pergunta aí.

[@rebecaoliviadossantos7673]

No 6:00 o que garante que a soma dos dois pontos ao quadrado sempre será 9/4?

[@waldematica]

Olá Rebeca, bom dia... veja a o vídeo de novo a partir de 5:53 você vai ouvir eu falando "... eleva ao quadrado OS DOIS LADOS DA IGUALDADE..." Quando elevamos ao quadrado os dois lados, a equação fica equilibrada mantendo assim, a igualdade.... entendeu? Como se fosse x = 5, então x² = 5², ou seja, x² = 25. Certo?

[@rebecaoliviadossantos7673]

Não é essa minha pergunta, vou especificar: a questão queria (x1 + y1)^2 + (x2 + y2)^2, por que eu posso considerar que 9/4 será a soma ao quadrado de cada um desses? 9/4 + 9/4 = 9/2? Por que não se deveria encontrar outro par, e não somente a soma ser 3/2?

[@waldematica]

kkk ah tá.... agora entendi... desculpa.... eu tinha pensando que a sua dúvida era de Matemática Básica. Rebeca... você pode fazer assim, porque TODO x e y pertencentes aos PONTOS DE TANGÊNCIA das duas circunferências, são as coordenadas desses dois pontos que obtemos a partir do sistema formado pelas duas equações (das circunferências), assim, toda soma "x + y" procedente do sistema é TAMBÉM soma das coordenadas dos pontos de TANGÊNCIA (x1 + y1) e (x2 + y2), logo, o quadrado da soma sempre será 9/4, então podemos fazer 9/4 + 9/4, chegando na resposta. MUITO BOA A SUA PERGUNTA! Se ainda não tiver entendido, pergunta de novo.

[@rebecaoliviadossantos7673]

Eu consegui resolver a questão até essa parte, depois fiquei com dúvida nisso! Entendi, então a reta que cruza os pontos de tangência é uma reta que x + y é uma constante?

[@waldematica]

Veja bem.... não é uma reta.... quando você observa uma equação de circunferência ela é feita pelos pontos (x, y) genéricos que a compõe, portanto o x e y obtidos pelo sistema formado pelas duas equações são coordenadas dos dois pontos de intersecção das circuferências, assim usando a soma (genérica) "x + y" (oriundos do sistema) é TAMBÉM a soma das coordenadas dos pontos de tangência... são apenas coordenadas dos pontos, não há uma reta na questão. Entendeu? Vai perguntando até você entender... não está me incomodando.

[@o3024]

Prof, o raio sempre vai fazer 90° com os eixos não?

[@waldematica]

Olá Ivan... vai fazer 90º quando a circunferência for TANGENTE aos eixos... que é o caso. Espero que tenha entendido... Abraço

[@pavoreprosa]

Por que eu devo igualar as equações?

[@waldematica]

Olá Guilherme, é porque foi pedido pontos de intersecção entre as curvas, sempre é necessário formar um sistema de equações (das curvas ou retas) e resolver esse sistema, assim o X e o Y encontrados serão as coordenadas do(s) ponto(s) de intersecção. Veja o vídeo novamente a partir de 2:32 e preste atenção no que falo.... se não entender pergunta de novo. Abraço.