古代数学家刘徽和祖冲之是如何算球的体积的？李永乐老师讲祖暅原理

上一回咱们讲了《阿基米德的羊皮书》
并且介绍了阿基米德是如何计算出球的体积的
那么有小朋友就问我说
中国古代的数学家有没有计算出球的体积
今天咱们就来介绍一下这个问题
内容详见视频
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[@user-rq3iu7sb4c]

這類視頻真好，又能學數理，又能了解中國歷史。

[@Qoow8e1deDgikQ9m3ZG]

看完簡直覺得，這才是數學！他運用想像力變換，已經達到極致境界～就如愛恩斯坦的等效原理的驚人想像力～！

[@akira00150]

看到圓柱挖圓錐那邊瞬間嚇到，太神了這聯想力..

[@jimwuhan5336]

这些知识网上都有,但是李老师讲解的水平确实一流.简单明了,绝不啰嗦.佩服.

[@1012622sunny]

放下數學已經有10年了，是你讓我找回數學的樂趣，謝謝

[@孙浩跃]

当初高中的时候为了算牟合方盖的体积，独自发现了二重积分，古代人让我佩服的地方就在于他们不用积分也能算出来，就真的厉害了

[@feifeishuishui]

你比祖冲之厉害多了，比牛顿也厉害，牛顿高中这年纪也没能发明微积分

[@chihfeng1975]

好久沒來了，來看劉徽跟祖沖之，呵呵。 我對中國古代數學頗有興趣。 光是密率355/113這很好記的東西在當時是很進步的。 別忘了，在圓周率的部份分母要比這個密率再精確的要16604才行。

[@chihfeng1975]

@@lightbringer_ 具休？具体？不要把西方的東西當成圭臬了。 英語其實沒有比較方便，反而要記得詞更多，其實漢字是很優秀的文字，只是筆劃多。

[@chihfeng1975]

@@lightbringer_ 我並不反對簡體字的，只反對併用字而已。 像是臟跟髒、齣跟出之類的，並沒有提升閱讀效率。 英語的確只有26字母，但拼起來落落長，其實沒有比較省紙。

[@未命名-n3s]

Samuel Quincy 那就請你去用語素文字吧！反正具體的總比抽象的好

[@StephenFangsky]

Samuel Quincy 自己想一想汉字的效率以及学习这门语言的记忆量，还有语法的变通性，我是讲英文的，英文绝对不会比汉语好用，大概是你自己脑子不大好只能死记硬背，崇洋媚外没什么意思，只会被人当智障

[@zhiyou5350]

你们的「呵呵」是褒义还是贬意🤣

[@luoyerong]

“幂势既同，积不容异“这句话不僅僅是祖更原理，而且有微積分和集合論的意味。

[@Tianex]

可以认为有结论或者推理了，没证明，、、、如果有人证明了，他们会得诺贝尔奖，、、、

[@ashinn006]

看完了這個視頻，再看了製作木頭念珠的視頻(拿圓穴鑽同時轉動的木頭)，理解了球體的生成，原來是牟合方蓋的概念，劉徽能想像出來真是厲害！

[@leonardtao7772]

李老师很强！那个快速徒手画出来分拆的三个三棱锥很见功力！

[@張佐滔]

原來不是只有我覺得厲害😂 (立體感超差，什麼立體物都畫得很醜)

[@jimmyjiang2862]

已经买到了李老师的亲笔签名书。

[@李仁康-s9c]

这八字总结真是天神下凡！服了！

[@peterwang4073]

老师我来啦！看了这期，深深觉得自己的祖先们是如此伟大，骄傲自豪！

[@chihfeng1975]

本來就很偉大。

[@vicentcarro]

易志豐 但是差西方數學不是一滴兩滴

[@chihfeng1975]

@@vicentcarro 那是後來古代中國故步自封的緣故，其實古代中國的數學沒有這麼糟。

[@vicentcarro]

易志豐 你看過印度人也是超會算的好嗎！可是他們和我們一樣就是差在沒有把科學發展符號化，作為紀錄和傳遞、協作平台，所以差別就是。唉唉

[@chihfeng1975]

@@vicentcarro 有需要這麼妄自菲薄嗎？

[@zymetree]

以前都死背，現在由衷覺得佩服，佩服李老師，理論經過李老師說明的很簡單易懂

[@中泰竹木制品]

祖冲之计算柱体的方法，已经蕴含微积分的基础思想了。但是很遗憾，中国古代的社会制度，文化与技术，已经处于很稳定的状态了，数学没有太多发光的机会

[@摆脱]

就算想到和发明 怎么表达出来

[@我的訴求就是121個訂閱]

@@摆脱 用壹貳参類死你（寫到手酸）

[@tomhu7917]

东方人不爱好数学、物理、化学，东方人爱好医学、玄学、武学

[@EnriqueLopez-lf8qm]

@@tomhu7917 总会有人爱好，总会有天才，估计是隋唐后的科举制度把人才从自然科学往人文上引

[@binyang4199]

@@EnriqueLopez-lf8qm 不是人文，中国的古代读书的目的就是做官，没其他目的，和现在读书是不一样的

[@icewingt-ez6fq]

在這麼少球體情況下還可以研究這麼抽象的事，佩服。

[@xwcao1991]

葡萄

[@yuxiangswjtu]

“幂势既同，积不容异“这句话带有点积分的意味。

[@未命名-n3s]

Samuel Quincy 那就請你用純英文好嗎？一邊用著漢字在這bb漢字怎麼怎麼不好，沒人求你用，微積分用漢字照樣能學

[@frankun8755]

@@lightbringer_ 為什麽不能呢？這種方其實已經摸到微積分的門檻了! ”幂勢既同，積不容異”，以這個原理，可以進一步想像出把物體分割成极細小高度的集合體，然後把整體中個體體積底面積興高之積相加，就可以得出整體體積，要摸索出微積分的入門原理是有可能，不過，要繼續進一步深入發展，以象形文字為基礎的確比以字母為主的西方語言難太多了。 不能說這句話完全沒有積分的意味，事實上這已經跟牛頓剛開始的梯形法則差不了多少，只不過是以象形文字的基礎難以深入發展下去

[@張全蛋-i4m]

哥袁术就有微积分的意思了

[@cmk105]

查看一下中文原文，發現個個中文字都明白，合在一起完全看不明白（閱讀理解問題,大腦幻想3D圖形，又要理解中文，太花GPU資源，用阿拉拍數字加數學公式，不用幻想理解，直接計算，方便知識傳遞），果然阿拉伯數字加上希臘數學公式符號是偉大發明！ （臣淳風等謹按：祖暅之謂劉徽、張衡二人皆以圓囷為方率，丸為圓率，乃設新法。）祖暅之開立圓術曰：以乘積開立方除之，即立圓徑。其意何也？取立方棋一枚，令立樞於左後之下隅，從規去其右上之廉。又合而橫規之，去其前上之廉。於是立方之棋分而為四，規內棋一，謂之內棋；規外棋三，謂之外棋。 更合四棋，復橫斷之。以勾股言之，令余高為勾，內棋斷上方為股，本方之數，其弦也。勾股之法，以勾冪減弦冪，則余為股冪。若領余高自乘，減本方之冪，余即內棋橫斷上方之冪也。本方之冪，即外四棋之斷上冪。然則余高自乘，即外三棋之斷上冪矣。不問高卑，勢皆然也。然固有所歸同而途殊者爾。而乃控遠以演類，借況以析微。 按陽馬方高數參等者，倒而立之，橫截去上，則高自乘與斷上冪數，亦等蔫。夫疊棋成立積，緣冪勢既同，則積不容異。由此觀之，規之外三棋旁蹙為一，即一陽馬也。 三分立方，則陽馬居一，內棋居二可知矣。合八小方成一大方，合八內棋成一合蓋。內棋居小方三分之二，則合蓋居立方矣三分之二，較然驗矣。

[@StephenFangsky]

cmk105 笑死，那个时候阿拉伯数字还没发明，用古英文那奇特的构词法和句式我看是根本写不清楚

[@DaShaZi666]

我的天呢，为什么现在才发现李老师的频道，真想一口气看完所有他的视频。

[@patricklps007]

勁！精彩！🙏

[@suncanoe]

今天终于知道了球的体积是怎么来的，Thank you very much

[@大妈-c8e]

我今年56岁，想当年我上初中的时候如果遇到李永乐这样的老师------我早就是科学家了，也许我还会一不留神 得了诺贝尔奖呢。可惜我上学的那个年代怎么就没遇到过这么好的老师啊！

[@hengchunsong301]

你上初中时李永乐老师还没出生吧？

[@ydtao7628]

大妈 数学不搬诺奖2333

[@chengpeng5098]

真正的天才阿，科学家阿，大部分时间都是自学。善于自己思考的能力。

[@东皇太一-k7y]

@@chengpeng5098 首先得有资源啊。。。。自学的前提是你家的背景有很多书籍可以接触到大家。。。

[@kwinwang7067]

天赋重要、兴趣重要、启蒙老师也重要，感觉缺一不可，毕竟你只是接触到皮毛，让你更加深入你确定不会厌烦？而且坚持十几年，等你的高度超过了老师，你又必须变回自学，不然你没法走得更远

[@cliffjenhao]

最後的圓體積解法真是妙啊妙!!!

[@leealex3320]

学习了，这个思路非常清晰，我也觉得比阿基米德的好理解一些。

[@philipha9104]

阿基米德的先要证明杠杆原理公式才行。

[@倪博育]

中國的數學發展應該是受到"表達方式"的限制，以前我的工程數學老師跟我們說過，數學就是一種表達方式，將複雜的規律用最簡單的方式表達，其實西方的數學也所剩不多，現今的數學是以阿拉伯數字為基礎發展而來的，這要歸功於印度人用最簡單的方式表達自然數。

[@yuhanli5263]

我认为是没有形成体系，就是公理体系，我也不太懂瞎说的。

[@小嶋茜-k7b]

幂势既同就是积分，可惜祖冲之父子没有给出证明，我猜牛顿老师应该看到过祖暅原理。 很想知道祖冲之是怎么算出圆周率到7位数的，这用手算割圆法感觉是不可能的，要算到240000+边形，根号里套根号要套到13层，每一层的根号都要开到小数点后10几位，不是人能算的。当时中国的数学还没有引进阿拉伯数字（也没有根号√这种数学表达式），全是用汉字表达的。算一层根号就要上万的汉字来表达，会晕死人的。

[@runningcat3504]

古代中国有算筹，不需要阿拉伯数字的记数系统也能从事复杂的算术。这是优点也是缺点，优点就是中国的算术力量长期领先世界，缺点就是这个路径依赖导致没有形成真正的数学学科，自然科学也无从谈起。

[@tangjihe0]

“幂势既同，则积不容异”讲的更多的是底面积与高能确定柱体体积的几何学概念，而不是微积分从无穷小入手用直代曲以方凑圆的思想。牛顿是研究物理的，牛顿发表的《流数法》和当初的公开演讲里提到的微积分概念基本都是与客观现象入手的，纯数学方面莱布尼茨可能更多一些，不过我认为他们两个人都不知道祖暅原理。祖冲之父子算圆周率的方法没有具体文献传世。我觉得有操作性的方法有两种，一来就是用割圆法做正多边形逼近，然后硬着头皮算。或者他们找到了用绳子之类围圆确定半径的方法，这样直接周长直径做比，这个方法比较切合“密率，圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率，圆径七，周二十二。”的描述。当然，这只是个人的猜测，可能古人有更精妙的办法，期待考古学的进展吧。

[@itsmeluck3049]

学习了

[@mikeliao2]

确实很神奇。无法想象。

[@一个说话大声的中国人]

​@@runningcat3504 拼音语言用字母相对容易或自然的用某种阿拉伯数字，象形的汉字就不容易直接用，也就需要独立于汉字的符号用于数学计算 至于证明和理论，中国古代的科学家都是工程师，往往是建筑工程师，还有算历法的，加上中国是耕种农业，历法相对畜牧农业更重要，所以中国的古代科学家的职业是工程技术人员，对他们来说结果比过程更重要，再就是中国人早就不用宗教管理社会了，而西方的神职人员一直是社会的管理者或者叫政治家，他们的科学家也是这类人物，比如哥白尼等等都是主教，对他们来说证明和理论特别重要，因为传教需要别人信服，即便是今天，美国政治家也天天说dog bless ameica 比如，建筑工程是历代技术的集大成，中国人不用宗教管理社会，建筑的价值就主要是实用价值了，而西方用宗教管理社会，建筑就还有神的价值，所以，中国有“大兴土木劳民伤财”的概念，坏处是限制建筑以及相关技术的发展，西方就没有，给神盖房子可以连续盖几百年也不是大兴土木更没人敢说劳民伤财，好处就是刺激建筑以及相关技术的发展 再比如，武器技术，因为西方是宗教社会，西方人的战争胜利就比中国人多一层宗教意义和价值，中国人的战争就只有物质价值，所以中国人有“一将功成万骨枯”的概念，坏处是限制武器以及相关技术的发展，西方就没有，战争不仅有物质价值还有荣耀神的价值，宗教战争为神而战也没有“一将功成万骨枯”的冷嘲热讽，好处就是刺激武器以及相关技术的发展，还可以打到全球各地 总之，科技对儒家没用，孔子也不需要辉煌的教堂更不需要战争胜利的荣耀，所以儒家不喜欢科技，最明显的例子就是儒家叫“读书人”，他们还看不起印书的技术，祖冲之算历法可能还看天象，儒家瞧不起也就算了，祖冲之父子的书失传也不是儒家经典失传，可是，毕竟毕升的活字印刷术帮助“读书人”印书啊，“读书人”也不稀罕，结果毕升的印刷厂和成千上万的活字灰飞烟灭荡然无存，以至于南韩人都有机会发明活字印刷 唉，儒家文革了祖冲之和毕升等等的文化，儒家文化也该被文革，中国的科技才有希望

[@gimiyang109]

一點點小小的失誤 最後那個半球＝ (拍R) 的平方，應該是拍R的平方 教得真好，佩服配服。

[@eastonelee9620]

是的，我也发现了。但瑕不掩瑜，总体还是讲的非常明白。

[@lyang212]

个人认为，古代最容易想到推出圆体积公式的应该是用排水法直接测量吧。因为这是逻辑上最容易想到的 ，当然这不是数学上严谨的推到出来的。就算当时只能算到pi的值是3.14.那么用1个单位半径的圆排水法应该可以很简单的测量出4.18，这个比率正好是pi比值的1.33倍。那么就很有可能猜出球形的体积公式是4/3pir^3 。

[@muiyinghiu8686]

李永樂老師加油!

[@heli3574]

刘徽和祖暅真神人也

[@caocao2157]

火前留名！支持永乐大帝！

[@与我无关-z4k]

精彩！学习了，谢谢李老师！

[@gdjslsk]

李哥你好 最后右下角写圆柱体积的时候有个小错误，πr^2写成（πr）^2了

[@dalan1999]

我也发现了。。。差点怀疑我数学是体育老师教的

[@zheli5162]

喜欢这种由浅入深的科普

[@truezyf]

好聪明的算法，我是在学了微积分后才自己推导球的体积。看样子这种算法更朴素更符合直觉。 另外，个人观点，中国古代数学没有得到大规模普及发展，会不会是因为我们没有发明合适的符号系统？用文言文来描述数学问题，把复杂度又提高了。

[@TY-wf4bv]

直觉经常会骗人的。所以符合直觉不是一个好的评判标准。

[@truezyf]

@@TY-wf4bv 当直觉被证明正确的时候，更有利于学习和记忆。

[@runningcat3504]

古代中国有符号体系，这东西不是什么太难的事情，研究需要大量记数时必然发明，中国的符号体系是源自算筹的，所以不是西式的阿拉伯数字那种。中国的问题是一直把精力放在算术上，算术也长时间领先西方。造成这个情况有很多原因，往远了说又是地理和气候的锅。它导致的结果就是数学思想建立不起来，自然科学也受限制。典型的科技树点歪拉不回来，直到近现代和西方交流多了才发现。

[@KIT8882]

能另外拍一集講怎樣算牟合方蓋體積嗎？

[@perchengh7710]

哈哈積分

[@masonma3270]

微分和积分的思想吧

[@KIT8882]

我講得不夠清楚 用積分的話當然很簡單 我是想說怎樣不用積分來算

[@釣蛙戶]

@@KIT8882 因為牟合方蓋的每個橫切面，正方形與內切圓的比值是一致的，比值 r=(pi*R^2)/(2R)^2=4/pi，再根據祖暅原理，當已知半徑R的球體體積是4/3*pi*R^3，則牟合方蓋之體積: r*(4/3*pi*R^3)=16/3*R^3，我反而不太會用積分方法，因為不清楚疊加起來的那條曲線是怎樣的函數? 敬請用積分法佐證我的結果

[@softpure]

@@釣蛙戶 你是已知球的体积公式，反过来求牟合方蓋

[@rock078901]

身為華人 果然還是祖先的邏輯思維比較好懂XD (對我來說比阿基米德的方法好理解多了ˊˇˋ) 而且中文一大特色就是言簡意賅 表達數理概念再精要不過了 👍

[@小皮-n3c]

古人寫的數學課本超難的完全看不懂，中文太爛還要先補國文= =

[@rock078901]

@@小皮-n3c 一開始當然是這樣 但讀懂之後就不得不讚嘆中文博大精深 你看這一系列體積求法 用八個字就涵蓋了精髓

[@eastlonliu]

古代因为中文数字写起来比较麻烦，如果当时学会先进的阿拉伯数字就厉害了

[@hagongda123]

这点你说错了，对于解释自然科学，中文其实比不过英文的

[@Smith_Ytb]

其实这反而是中国古代轻视逻辑的表现--偏重传承结论，这样就无从证伪，数学或自然科学的核心逻辑都是双向推导，只有结论无法验证其推演的过程，也就难以前后连贯、形成链条、持续推进。 小李老师的视频，是在现代数学结论验明其正确的基础上，举出其他正例辅助说明，并不是你说的“八个字涵盖精髓”，而要真正的证明其结论，需要知道原始推导的过程，可惜这已不可能了。 如果那些著作阐述的更明白详尽，必然会被后世更广泛的流传和引用，而不至于失传，对任何学术来说，言简意赅弊大于利。

[@kurokawa327]

老师 又有小朋友想问你问题了，如果我想推导球的表面积怎么办？不用横着切圆环的方法 我的想法是：像切橙子一样竖着将球面等分展平成若干个类似菱形的图形，然后将这些菱形的面积加起来，就是球的表面积。 那么横着的对角线总长度是赤道长度2πR，竖对角线长度是经线长度πR，这样求出的球体表面积是2π²R²不是4πR²，错在哪里呢

[@j550]

那个年代有这个想象力，然后还要用拗口的文言文总结下来，真是大师！就那个牟合方盖简直是神作。

[@jy536551]

李老师太博学了，这是我渴望的数学

[@nancywang6849]

谢谢李老师给了我们那么多的启发，您得空可不可以讲一下基尼系数，感谢。

[@ws-jw1tv]

魏晋时代就算出π后四位精度，了不起

[@儿时不知]

通俗易懂！赞！

[@songsong4808]

总感觉李老师的课在暗示着什么。自从皇帝的新衣那期，李老师写出''呐喊''两个字。我就更确定了。电磁炉危害那期，讲到安检仪，扔下粉笔就走了。不知道别人有没有同样的想法

[@vivian1779]

老师图画的真好👍

[@TR81857]

虽然学过球体积公式，还从来没想过为什么，学习了

[@foreversimon101]

很棒，以后我就跟我学生这样讲了

[@lj3791]

下次能介紹中國第一個華人諾貝爾獎得主，楊振寧的弱力的宇稱不守恆嗎？

[@alextse6810]

视频禁止搬运 有字幕

[@nonenone-jb5xq]

又想骗李老师的♥️

[@miaoxinhuang5613]

@@nonenone-jb5xq 哈哈哈哈

[@fackejack7038]

@@nonenone-jb5xq嘎嘎嘎嘎

[@yimingren5086]

none none 2333333

[@fish520_]

真棒(／≧ω＼)

[@fangxu5051]

等到了 哈哈哈哈

[@tonguska1]

劉徽的圓體積計算已有微積分的概念了，其實中國古代在計算田的面積時就有用到微積分了

[@天苯]

1:25 我记得刘徽割到的是正3072边形啊，192边形太少了。而且算一下应该能得出来用192边形算出来的π从第五位有效数字开始就不准了，3.1416拿这么少边是算不出来的

[@kylinfan]

李老师瘦了。别太辛苦了。

[@jinzhongzhan3053]

李永乐老师能做一期猪饲料的视屏吗，为啥猪吃了饲料长得快，农村人喂饲料都泛滥了

[@BaoZiChen]

城市猪不喂饲料？

[@limingh5769]

青青 😂😂

[@dksarj]

我看懂了 这一路的课程 是Q 李老师 牛逼！！！！！！！！！！！！

[@abbychen7307]

老師太棒了

[@timkong8239]

仅“割圆术”三个字，就足以称刘徽为人类历史上最伟大的数学家之一！

[@louisc398louis4]

然後 人類歷史上最偉大的數學家 有幾十個 是嗎 XD

[@我是讲真话]

要看看年代，汉朝？

[@tongyizheng4289]

太夸张了

[@TY-wf4bv]

"割圆术“是不错，但它始终是在逼近，没有获得精确结果。微积分则不同，其结果是精确的。

[@louisc398louis4]

@匿名 匿名 好吧好吧，幾百個有點太多了， 因為是開玩笑(吐槽樓主)，當初數字沒想準， 我改一下，但還是作為玩笑來看待就可。

[@WillowEyebrow]

謝謝分享😊

[@xipishi]

刘徽用面积推测体积的想法，已经是二维世界到三维世界的推测，无形中隐藏着微积分、量子力学。他是先知。

[@kaihuang540]

我同意有微元法的思想，但是和发明微积分差得远。别忘了发明微积分的两位给出了不定积分的求解方式。。和量子里学，八竿子打不着。。。。

[@xipishi]

@@kaihuang540 我指的是思路，我不喜欢这个老师，早不看了。

[@民族英雄岳武穆]

缀数就是积分，无穷思维到了极限能诞生什么?

[@BrightChu]

13:42, (pi R)^2 应该是 pi R^2, 一个小typo。 嘻嘻。想看牟合方盖的体积算法。球体积*4/pi? 😜

[@aaronyang9607]

可以讲讲链珠喷泉的原理吗，为什么会有一个向上的弧度？

[@harrisonsituationroom]

老師，中國古代沒有羅馬字，π這個概念是怎麼表示的啊？😂😂

[@starfucks5327]

三个字：圆周率

[@yuefenggao7483]

“南徐州从事史祖冲之更开密法，以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽。正数在盈朒二限之间。”

[@shifongyinaya]

老师出一期视频讲讲达尔文进化论的事吧

[@TonyD369]

我自豪我有这样的老祖宗！

[@shenshenh8176]

你的祖宗是马恩列斯，毛邓江胡习，一脈相承

[@wweishi]

@@shenshenh8176 你的是家quan 俗称人类最忠实的朋友🤭

[@stevelai1105]

想想要用毛筆證明還要做圖就覺得神，而且這也證明天才永遠可以領先世代做出一些很不可思議的事

[@gfsj-fans]

老師都要變成圓柱鑲著一顆球了

[@alphago1638]

古代π怎么称呼的？圆周率？圆曲率？

[@hakkachina]

再看一遍

[@yiranliang7891]

老师讲讲直销与传销吧，最近正在热点上

[@pppfff6458]

最后的推导中，圆柱套圆锥里边的圆锥应该是尖朝上，这样才符合结论。

[@feifeishuishui]

你再想想。错的是你。

[@kaysenwang6307]

求牟合方盖讲解，原来初中做数学竞赛遇到过这题。

[@中泰竹木制品]

Kaysen Wang 初中已经教了球体体积公式了，用比率逆推一下✘D

[@chocobocn]

最后的公式（πR)^2 *R 这些写错了，应该是πR^2 * R

[@luoyerong]

太極圖計算球的表面積要早得多。太極圖也默示了計算球的體積的方法。

[@TyzNzc]

数学这概念比较宽，单论其中的算术，中国还可以的，起码和其他主要文明没拉开很大差距。

[@cupi0621]

最近新聞上提到95至尊，中國什麼時候開始使用10進位，當時世界各國都是統一使用10進位嗎? 雖然網路上查的到資料，但是比較想聽老師的講解，謝謝

[@杨神]

商代就是十进制了。韩国瑜说的吧。

[@wceiwce7190]

河图就是10进制呀

[@余冇二]

請問李老師。求一個直徑2公分圓球体積，可否用取巧方法計算，例先直接以正方型2公分×2×2=8立方；再用8除以4乘3= 6（球的体積）。意思是分母為拍分子為4。也就是老師說的球放入同直徑2公分的正方型，扣除4個邊角空隙。

[@billzhang591]

一个直径为有理数的球体，体积肯定是个无理数啊

[@liujunyan8244]

李老师，你好，以前听你提到过潮汐能发电，而潮汐能来源是月球和太阳的引力。我就好奇了 如果人们用了潮汐能最终转化成了热能或者电能 那消耗的到底是什么能呢？重力势能么，这是取之不尽的么？我始终想不明白，能不能请您分析一下呢？谢谢！

[@PercyJinShelley]

地月系统不是永动机，始终在失去能量。地月距离一直在变远。

[@niemea]

有没有一集讲勾三股四弦五是如何推导出来的 想看

[@jianwenguo9793]

李老师，公式后面的写错了，应该是 (πr^2)r - 1/3(πr^3)

[@fackejack7038]

赞赞赞赞赞赞

[@leolee-d1h]

球體體積和圓面積差了4r/3, 是一個比較容易直覺看見的數字, 為什麼古代沒人用排水法把球體公式推算出來

[@steven11329]

懇請李老師，解說 e(指數函數) 的誕生

[@jllf-4009]

lim （1+ 1/n)^n = e n->∞

[@blueblue6870]

最後括號錯了 圓周率不用括起來，那個圓的面積只是R 2次就可以

[@bambooindark1]

我也在想同樣問題 有實際走過流程的人應該比較會發現

[@XINLILIU]

请问充电宝是什么原理呢？怎么把电充到手机呢？手机又是怎么实现互相充电的呢？

[@孙笑川-z6z]

XINLI LIU 电容放电

[@摆脱]

化学知识 原电池原理

[@CF-kd1gu]

李老師，最後的括號是筆誤嗎?

[@米腰-x6w]

方法是一个问题，计算是另一个问题，刘徽有能力计算出3.1416吗？

[@linting0018]

1000年前人家就懂的东西，我现在才看明白。。。

[@hakkachina]

你跟当代的天才之间也隔着一千年的智商差距啊。比如说你和李老师的智商差距

[@Lucifer-f7z]

Huanwen Zeng 呵呵

[@jiqiangchai9580]

中国的算法更科学。上期讲的国外的算法是用物理原理实验加推断出来的。

[@verbty2987]

胡扯

[@utavinzo9481]

幂势既同 积不容异。 还好这句话没被日本人抄去，要不然又变成什么八字奥义密印，然后又出现在动漫里吓你一跳

[@motosharev]

@Yang Fu 哈哈真实~

[@oceanliew4086]

临兵斗者

[@vancezhi2711]

李老师发福了啊，注意身体（偷笑）

[@distinctloafer]

不好笑

[@ccc40476]

太強了

[@aaronxu2597]

之前和B站的一个UP主论战，为什么中国古代点不开数学的技能树，我认为根本原因在于文字，尤其是繁体字不方便传播、释意，想想如果不是有那么多作为数字语言的符号发明，李老师光那8个字就要解释一天吧？所以个人感觉，语言最终目的还是要达成一定的传播便利性

[@jason_j858]

温故而知新

[@shichengfu8598]

李老师 可以解释一下链珠喷泉不？

[@zhyfn9773]

边长等于h' 做高属于是特殊情况

[@johnnyyogo]

我有點久沒來看老師了，胖了 XD

[@huinibaba8822]

您的书刚买到，还没好好看，向您学习，以后教我们家的宝宝

[@ObitoUchiha-ng6rv]

老师，最后那个是不是写错了？是"πR^2"，不是"(πR)^2"吧 (1/2)V球=πR^2*R-(1/3)πR^2*R V球=4/3πR^3

[@eastonelee9620]

你说的没错，老师不小心写错了

[@Kukumia]

超猛⋯⋯

[@joy2000cyber]

幂势既同积不容异，古人有严格的证明吗？还是拍脑袋决策？

[@yji494]

想聽老師講解scutoid這個想發現的幾何形狀