🚀🚀🚀 GEOMETRIE im echten LEBEN | Mathe Rätsel mit Leiter am Baum

[@magdaliebtmathe]

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[@erichtarski8222]

Das Gleichsetzen finde ich elegant. Ich hätte ohne viel nachzudenken einfach die Länge der Leiter ausgerechnet und dann in die 2. Gleichung eingesetzt.

[@Nikioko]

Machen die meisten. Ist aber nicht gefragt und erzeugt ggf. einen Rundungsfehler. Deshalb ist es immer sinnvoll, erst die Gleichungen umzuformen und am Ende die Zahlen einzusetzen.

[@peterp25]

Opa Karl ist sehr leichtsinnig. Zur Sicherheit sollte eine zweite Person die Leiter sichern. Für die Berechnung alle Daumen hoch.

[@kajdronm.8887]

Gilt natürlich nur, wenn der Baum schön senkrecht nach oben gewachsen ist. 😁

[@eisikater1584]

Magda, diese Aufgabe ist realitätsfremd. Meiner Erfahrung nach rutschen Leitern nie nach unten weg, sondern immer nur nach links oder rechts.

[@miner1497]

Ja oben am Anschlag aber unten in Abhängigkeit vom Untergrund auf einer Wiese sicherlich nicht

[@opytmx]

1) Die Leiter ist 3,25 m lang (mit Pyth.: 3,15^2 + 0,8^2 = L^2) 2) Der Abstand vergrößert sich von 0,8 auf 1,65 m (mit Pyth.: 2,8^2 + x^2 = 3,25^2) So scheint es am einfachsten zu gehen - denke ich zumindest 🙂 PS: Nachtrag: Die Idee mit dem Gleichsetzen ist auch nicht schlecht!

[@sauumweg663]

Hi Magda, für mich stellt sich eher die Frage: wie hat Opa Karl gemessen, das die Leiter oben am Stamm 35 cm nach unten gerutscht ist…….😉🤣🤣 Wieder super erklärt….. leider gabs in meiner Jugend (JG71) dich noch nicht….

[@laurentw.261]

Hmm, wir haben damals gelernt dass das Ergebnis einer Wurzel per Definition immer positiv ist. Beim Auflösen einer quadratischen Gleichung hingegen gibt es zwei Ergebnisse, von denen eins negativ sein kann.

[@pinkeHelga]

Ja, wurde mathematisch nicht ganz sauber ausgedrückt. x² = 4 Für x können 2 oder -2 eingesetzt werden, um auf 4 zu kommen. Also schreibt man vollständig: |x| = Wurzel(4) |x| = 2 "Der Betrag von x ist gleich 2" x = +-2

[@markusnoller275]

Hi Magda, Dir nochmal lieben Dank für das Rätselbuch. Ich hoffe, dass ich bei Zeiten mitbekomme, wenn dein Logik-Rätselbuch "raus" ist. Auch ein "must-have" auf meinem Wunschzettel. Dir nochmal lieben Dank in die "sausakrische" Arbeit, die Du in dieses Rätselbuch gesteckt hast. Allen Anderen hier... holt euch das Ding in Magda's Shop. Es lohnt sich. ...und NEIN, ich habe nichts von der Werbung, sondern ich tue das aus Überzeugung und Begeisterung, weil ich hoffe, die Motiviation und auch die monitäre Grundlage für weite Rätselhefte zu schaffen. Liebe Magda, ich hoffe Du hast noch genug im Köcher um uns weiter zu erfreuen. Danke allen, die Magda unterstützen! Nach dieser emotionalen und persönlichen Vorrede, jetzt aber zur eigentlichen Aufgabe: Man hat 2 Situation: Zustand vor "Abrutschen" der Leiter:= Situation 1 Zustand nach "Abrutschen" der Leiter:= Situation 2 Ich rechne zunächst ohne Einheiten: a1 sei der Abstand der Leiter am Boden zum Baum in Situation 1 a2 sei der Abstand der Leiter am Boden zum Baum in Situation 2 b1 sei die Höhe vom Boden bis zum der "Anlehnpunkt" der Leiter an den Baum in Situation 1 b1 sei die Höhe vom Boden bis zum der "Anlehnpunkt" der Leiter an den Baum in Situation 2 l sei schließlich die Länge der Leiter, die (natürlich) in Situation 1 und 2 gleich bleibt. Es soll gelten: "der Baum wächst idealisiert rechtwinklig zum Boden", so, das allgemein gilt: Die Strecken "Abstand der Leiter zum Baum am Boden, Abstand Boden zum Anlehnpunkt der Leiter an den Baum und Leiter bilden ein rechtwinkliges Dreieck, so dass allgemein gilt: a^2 + b^2 = l^2 Aus Magda's Schilderung und Skizze ergibt sich: 1) a1 = 0,8, b1 = 3,15 für Situation 1 2) a2 gesucht, b2 = 3,15 - 0,35 = 2,8 für Situation 2 eingesetzt in die "Vorbedingung (a^2 + b^2 = l^2)" ergibt dies 1) 0,8^2 + 3,15^2 =l^2 2) a2^2 + 2,8^2 = l^2 2) = 1) 3) 0,8^2 + 3,15^2 = a2^2 + 2,8^2 |TR 3.1) 10,5625 = a2^2 + 7,84 |-7,84 3.2) 2,7225 =a2^2 |Quadratwurzel ziehen 3.3) a2 = +/- 1,65 weil a2 eine Strecke repräsentiert ist n der positive Wert relevant, somit a2 = 1,65 Die Leiter ist nach dem 'Abrutschen' 1,65m vom Baum entfernt. Hoffen wir mal, das Opa Karl(e) zum Zeitpunkt des Abrutschens der Leiter nicht auf ihr Stand und alle Äpfel vom gepflückt waren. Dann kann sich die Familie auf eine leckere "Apfel-Dinnete" mit Zimt freuen... Für alle "Nicht-Schwaben: Apfel-Dinnete ist ein dünner Teigboden mit Apfel-Stücken belegt... (alle Schwaben werden mich jetzt steinigen...) stellt euch ein eine Pizza statt mit Pizza-Belag mit Apfel-Belag vor.) Allen eine schöne Adventszeit. Lasst es euch gut gehen und vielleicht von "'Omas" Rezepten inspirieren. LG aus dem Schwabenland.

[@Birol731]

Herzlichen Dank für diese Aufgabe 🙏 Lösung ▶ Die Länge l der Leiter ist konstant: höhe der Leiter: h Entfernung vom Stamm: x Nach dem Satz von Phytagoras: h²+x²= l² h₁= 3,15 m h₁= 315 cm x₁= 80 cm ⇒ l²= 315² + 80² l²= 105.625 cm² l= 325 cm h₂= 315 cm - 35 cm h₂= 280 cm x₂= ? ⇒ Nach dem Satz von Phytagoras: l²= h₂² +x₂² l= 325 cm h₂= 280 cm ⇒ 325²= 280²+x₂² x₂²= 325²-280² x₂²= (325-280)*(325+280) x₂²= 45*605 x₂= √45*605 ⇒ 45= 3²*5 605= 121*5= 11²*5 ⇒ x₂= √45*605 x₂= √3²*5 * 11²*5 x₂= √3²*11²*5² x₂= 3*11*5 x₂= 165 cm x₂= 1, 65 m ist es vom Stamm entfernt 🤗

[@schnuffelchen1976]

Nachdem eine Leiter oben nicht mit einer Sprosse abschließt, mag das Beispiel zwar plakativ sein, geometrisch betrachtet aber dennoch nicht korrekt.

[@gelbkehlchen]

Lösung: Länge der Leiter = l = √(80²+315²), d = Entfernung der Leiter vom Stamm zum Schluss. d²+(315-35)² = l² ⟹ d²+280² = 80²+315² |-280² ⟹ d² = 80²+315²-280² |√() ⟹ d = +√(80²+315²-280²) = 165[cm] Das untere Ende der Leiter ist 165 cm vom Stamm entfernt.

[@Nikioko]

Also... Man könnte jetzt erst mit Pythagoras die Länge der Leiter berechnen. Aber dieses Zwischenergebnis ist gar nicht nötig: (0,8 m)² + (3,15 m)² = x² + (3,15 m − 0,35 m)² x = √[(0,8 m)² + (3,15 m)² − (2,8 m)²] = 1,65 m Opa Karl sollte sich dringend eine standsichere Leiter besorgen, bevor noch was Schlimmes passiert.

[@porkonfork2023]

Standardfehler: Versuch, Leiter oben festzubinden.

[@m.h.6470]

Lösung (ausführlich, ohne Taschenrechner): Die Leiter bildet jeweils die Hypotenuse zweier rechtwinkliger Dreiecke und wir haben beide Katheten des ersten Dreieck und eine Kathete des zweiten Dreiecks, daher können wir Pythagoras aufstellen: (Nebenrechnung: 80cm = 0,8m und 35cm = 0,35m) (I) (0,8m)² + (3,15m)² = L² (II) x² + (3,15m - 0,35m)² = L² (I) = (II) (III) (0,8m)² + (3,15m)² = x² + (3,15m - 0,35m)² |-(2,8m)² (III) x² = (0,8m)² + (3,15m)² - (2,8m)² |√ (3. Binomische Formel) (III) x = √(0,64m² + (3,15m + 2,8m)(3,15m - 2,8m)) | da es um Distanzen geht, können wir den negativen Wert direkt ignorieren (III) x = √(0,64m² + 5,95m * 0,35m) (III) x = √(0,64m² + 6m * 0,35m - 0,05m * 0,35m) |Nebenrechnung: 0,05 * 0,35 = 1/20 * 7/20 = 7/400 = 7 * 1/400 = 7 * 0,0025 = 0,0175 (III) x = √(0,64m² + 2,1m² - 0,0175m²) (III) x = √(2,7225m²) (III) x = √(27225m² / 10000) |Nebenrechnung: 27225 = 25000 + 2000 + 225; 27225 / 25 = 1000 + 80 + 9 = 1089 (III) x = √(1089m² * 25 / 100²) |Nebenrechnung: 1089 = 1210 - 121; 1089 / 121 = 10 - 1 = 9 (III) x = √(9m² * 121 * 5² / 100²) (III) x = √(3²m² * 11² * 5² / 100²) (III) x = √(3²m²) * √11² * √5² / √100² (III) x = 3m² * 11 * 5 / 100 (III) x = 33/20 m² (III) x = 1,65m

[@walter_kunz]

Bei den letzten 3 Gleichungen hast vergessen die Wurzel bei den Einheiten zu ziehen. Oder wie kommst du sonst von der vorletzten Gleichung m² zur letzten Gleichung auf m?

[@user-cg7zn8ey5k]

@@walter_kunz Die Zahlenwerte der drei Zeilen sind korrekt. Die Wurzel wird von der viertletzen zur drittletzten Zeile gezogen. Daher hätte es bei den letzten drei Zeilen m statt m² heißen sollen.

[@bernhardmorck7358]

Mit dem Satz des Pythagoras rechnet man das Quadrat der Länge der Leiter aus. Von diesem Quadrat zieht man das Quadrat der neuen Höhe ab und hat damit das Quadrat des neuen Abstandes der Leiter vom Baum. Quadratwurzel ziehen und man hat den Abstand vom Baum. Ich kam bei meiner Rechnung auf einen neuen Abstand von 165 cm.

[@erwinlattemann]

Warum denn einfach, wenn es auch kompliziert geht. Würde meine Oma jetzt sagen. Mit Hilfe des alten Griechen war es ja sehr einfach. Ich wandle alles in "cm" um, dann gibt es auch keine Kommafehler. Aber jeder wie er mag.

[@fron3107]

"Das" PDF?

[@uwelinzbauer3973]

Hi Magda! Hat Opa Karl auf der Leiter gestanden, als sie nach unten abrutschte? Mit Leitern muss man höllisch aufpassen, selbst wenn sie den Vorgaben der Berufsgenossenschaft entsprechen. Bei der Benutzung von Leitern lauern tausend Gefahren. Wenn ich richtig gerechnet habe, bildet die Leiter nach dem Abrutschen mit dem Boden nur noch einen Winkel von ca. 59,5°. Im Internet habe ich gefunden, dass der Winkel mindestens 65°, besser 75° betragen sollte. ❤️ liche Grüße

[@erwinlattemann]

Theorie und Praxis liegen manchmal weit auseinander. Besonders auf Baustellen. Es ist nicht immer möglich BG Vorgaben einzuhalten. Aber das ist hier nicht das Thema.

[@uwelinzbauer3973]

@@erwinlattemann Das stimmt. Wenn man alle Vorschriften akkurat befolgen wollte, müsste man Gerüste, hydraulische Arbeitsbühnen, Sicherungsleinen, Schutzausrüstung, Absperrungen von Gefahrenbereichen, Aufstellen von Warnschildern, Blinklichter für Dunkelheit und öffentliche Verkehrswege etc. benutzen. Planung, Organisation, und Ausrüstung erhöht den Zeit-, Personal- und Kostenaufwand extrem. Das alles nur wegen ein paar 🍎 Äpfeln. Für so etwas benutze ich eine Teleskop-Stange mit Pflückkörbchen. Da kann man gefahrlos vom Boden aus pflücken. Herzliche Grüße und schönes Wochenende an Magda, Familie und alle Kanalnutzer!

[@superkalifragilistisch3499]

Wieso sollte man annehmen, dass Baumstamm und Boden einen rechten Winkel bilden, das wäre in der Natur eher sehr ungewöhnlich. Und in der Textaufgabe steht nichts davon.

[@magdaliebtmathe]

Naja, ein paar perfektionistische Umstände muss man sich verschaffen, um die Natur mathematisch betrachten zu können.... 😁👍

[@user-cg7zn8ey5k]

Alternativer Lösungsweg: Mit Hilfe des Satzes von Pythagoras gilt f(x,y) = - l^2 + x^2 + y^2 = 0. Da sich die Länge der Leiter nicht ändert (dl = 0) liefert die Entwicklung der linken Seite von f(x,y) in eine Maclaurin-Reihe bezüglich der Variablen x und y den Ausdruck 2 x dx + 2 y dy + 1/2 * 2 dx^2 + 1/2 * 2 dy^2 + 0 dx dy = 0. Die Reihe bricht hier ab; also kann das exakte Ergebnis ermittelt werden. Für x = 0,8 m, y = 3,15 m und dy = - 0,35 m liefert obenstehender Ausdruck dx^2 + 8/5 dx - 833/400 = 0. Diese quadratische Gleichung in dx hat die positive Lösung dx = 17/20. Damit ist der neue Abstand des unteren Leiterendes zum Baum x_1 = x + dx = 0,8 m + 17/20 m = 1,65 m.

[@peterschaad8809]

Ich würde mal sagen, wenn die Leiter um 35 cm absackt, dann ganz schnell runter, ganz egal, wie weit sie nun unter vom Baum entfernt steht 😀

[@porkonfork2023]

Nur gut, dass beim Opa noch alles senkrecht ist - zumindest das Obstbäumchen. Zum Glück wohnt Opa auch im Topf. Was würde passieren, wohnte Opa am Hang? Frage an den Linguisten: wie entstand das Wort "Gefälle"?

[@CallindorCray-dp7no]

Kann mir mal jemand meine Gedankenfehler nennen? Warum arbeiten hier alle mit Pytagoras? Mit dem Vergleich der Fläche des Dreiecks ginge es doch auch oder nicht? Aber mit 0,8x3,15/2,8 komme ich halt auf 0,9. Das Dreieck wird ja nicht größer oder kleiner, es verschiebt sich nur die Proportion.

[@schnuffelchen1976]

Doch, der Flächeninhalt verändert sich. Rechenbeispiel: Eine 2,60 m lange Leiter kann an einen 2,08 m hohen Baum angelehnt und unten 1,56 m von diesem entfernt sein (2,08² + 1,56² = 2,60²). Dieselbe 2,60 m lange Leiter kann aber auch an einen 2,40 m hohen Baum angelehnt und unten 1,00 m von diesem entfernt sein (2,40² + 1,00² = 2,60²). Im ersten Fall besitzt das Dreieck einen Flächeninhalt von 2,08 × 1,56 ÷ 2 = 1,6224 m², im zweiten Fall einen von 2,40 × 1,00 ÷ 2 = 1,2000 m².

[@rainerinedinburgh5807]

@@schnuffelchen1976 Man kann noch viel einfacher sehen, dass die Fläche nicht gleich bleibt. Rutscht die Leiter nämlich ganz nach unten, wird die Fläche null!

[@Nikioko]

Der Gedankenfehler ist, dass bei Pythagoras die Katheten ins Quadrat gehen, während sie bei der Dreiecksfläche nur linear einfließen. Oder anders ausgedrückt: Ein Rechteck mit den Seiten a und b hat dieselbe Fläche wie ein Dreieck mit den Seiten a+x und b-x, aber die Diagonale ist unterschiedlich.

[@rainerinedinburgh5807]

@@Nikioko Wiebitte? Ein Dreieck mit den Seiten a und b hat im allgemeinen NICHT dieselbe Fläche wie eins mit den Seiten a+x und b-x. Das ist trivial zu sehen, wenn x=b ist. Wann haben sie dieselbe Fläche? Nur, wenn entweder x=0 ist oder wenn x=b-a ist (welches lediglich einer Vertauschung von a und b entspricht). Das sehen wir, wenn wir die Gleichung ab = (a+x)(b-x) lösen: ab = ab - ax + bx - x² 0 = x(b-a-x)

[@Nikioko]

@@rainerinedinburgh5807 Äh, ja. Sollte ax und b/x sein. Aber was ich eigentlich sagen wollte, ist, dass a und b in die Dreiecksfläche linear einfließen und in die Hypotenuse quadratisch.

[@AlexK-sg3cs]

Ich bin der Opa 🙆‍♂️🥲😉 😇🥰💋👍👏🤝🌹🌹🌹🌹🌹🌹🌹

[@marcsiegel3358]

Ärgerlich.. Ich lieg mit 165 exakt um Faktor 100 daneben… In Zentimeter 🤪

[@michaelg6009]

Die vorgestellte Lösung ist leider unvollständig: Sie ist nur gültig, wenn der Winkel zwischen Baumstamm und Boden 90° beträgt. In der Aufgabenstellung ist jedoch nirgends angegeben, dass der Baum senkrecht zum Boden gewachsen ist.

[@panagiotishaliassos5362]

91cm vom Stamm weg.

[@azuri.7041]

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