Groupe Z/2Z x Z/4Z : trouver tous ses sous-groupes

[@raymondreisacher6939]

Excellent ! Je vais appliquer votre travail pour rechercher les sous groupes de Z/3Z x Z/9Z et plus généralement les sous groupes de Z/pZ x Z/p²Z. Merci pour cette vidéo.

[@ghilentagnit2326]

Merci beaucoup Monsieur

[@dramekhadija5236]

Merci beaucoup ☺️

[@latifaessaddyky5622]

Waw merci beaucoup tu me sauves

[@rahotep8094]

Merci pour la vidéo et les explications. Dans le cas où H est d'ordre 4 non cyclique, sachant qu'un sous-groupe de Z/4Z est Z/2Z, peut-on directement conclure en disant que H est isomorphe à Z/2Z x Z/2Z ?

[@pascalortiz]

Bonjour, Oui, puisque d'une manière générale, si on a un groupe produit G=SxT et si U est un sous-groupe de S alors UxT est un sous-groupe de G.

[@alainrogez8485]

En effet, un groupe d'ordre 4 est isomorphe soit à Z/4Z, soit à Z/2Z×Z/2Z (celui-ci est appelé aussi groupe de Klein et noté K4). Cela montre que tout groupe d'ordre 4 est abélien.

[@loulou671]

Comment nous pouvons calculer le nombre des éléments d'ordre p et p² dans le groupe additif Z/p²Z × Z/pZ ? Merci d'avance 🌸

[@pascalortiz]

Tout élément est d'ordre un diviseur de p². Je suppose que p est premier. Donc, tout élément est d'ordre 1, p ou p². Il suffit donc de trouver les éléments d'ordre p ce qui doit être assez simple en écrivant p(x,y)=(0,0) se qui se récrit px=0 mod p² ce qui est facile.

[@loulou671]

Merci beaucoup 🌸

[@loulou671]

J'ai une autre question s'il vous plaît 🌸 Dans le cas générale Z/p²Z×Z/pZ , p premier, comment je peux déduire le nombre des sous groupes d'ordre p et d'ordre p² psq dans ce cas on a pas les éléments

[@loulou671]

Est ce que le groupe G est abelian est un condition nécessaire ?

[@loulou671]

@Pascal Ortiz

[@fatimazahraarcane3613]

Monsieur svp pourquoi Z*Z n'est pas cyclique ??

[@pascalortiz]

Je suppose que voulez dire «monogène» et non «cyclique» puisque groupe cyclique suppose fini. Z² n'est pas monogène par exactement le même raisonnement que celui que j'utilise dans cette vidéo kzbin.info/www/bejne/bWfKn3yhgL2al6M pour montrer que le groupe {2^a*3^b; a, b entiers} n'est pas monogène.

[@mazhaa3989]

L3 ? Je fais ça en L1

[@raymondreisacher6939]

p premier.