[EM#39] Sous-groupes additifs de R: l'alternative (Démonstration)

Dans cette émission, je démontre que les sous-groupes de (R,+) sont sujets à une alternative: soit ce sont des ensembles de multiples entiers d'un certain réel, soit ils sont denses dans R. Au-delà du côté attrayant du résultat en lui-même, la démonstration est très instructive, dans la mesure où elle fait intervenir, trois fois de suite, une seule et même idée !
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🕒 Repères temporels:
0:00 - Énoncé du théorème
0:45 - Une question fondamentale
1:11 - Démonstration - Cas où G = {0}
1:31 - Concrétisation de l'idée d'Ambre
2:30 - Démonstration - Cas où a est strictement positif
7:15 - Explicitation de l'idée-clé
7:45 - Démonstration - Cas où a = 0
9:42 - Énoncé d'un bel exercice d'application
10:37 - Outro
🎥 Émissions connexes:
[EM#14] Q est dense dans R - • [EM#14] Densité de Q e...
[UT#76] Introduction à la théorie des groupes - • [UT#76] Une introducti...
✒️ Notions abordées: sous-groupe additif de R, densité d'un ensemble, partie non vide et minorée, borne inférieure, raisonnement par l'absurde, partie entière, raisonnement par disjonction de cas, Lux in Tenebris, méthodologie de travail du cours.
🌞 Bonne écoute !
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#BacPlus2 #Analyse #Démonstration

[@user-hd9gx5hj6z]

Ça bombarde les videos en ce moment 😂❤

[@oljenmaths]

Ce sont mes vacances scolaires préférées de l'année (en exceptant celles d'été), j'en profite 🤣!

[@mehdielabdaoui1955]

Super la vidéo, première fois que je comprends vraiment le principe avec les schémas, aucun cours ne donne ces schémas et ces détails.

[@ThibaudOU]

Je me rappelle, en 1/2, m'être servi de l'idée de votre preuve de la densité de Q dans R pour montrer ce résultat sur les sous-groupes additifs de R. Je ne peux donc qu'éprouver un immense sentiment de satisfaction, mais aussi de nostalgie, lorsque je vois cette vidéo surgir lors de mon année de 5/2 ! En quelque sorte la boucle est bouclée, merci pour vos vidéos !

[@oljenmaths]

Au plaisir ! Tous mes vœux de succès pour les concours 💪🏻! La bénédiction de Marcel 🥳!

[@fabienleguen]

Intéressants les exemples d’autres sous-groupes de R denses dans R et différents de Q ! La preuve devient tout de suite plus alléchante (elle l’était déjà au vu du résultat instructif et finalement assez simple sur la structure interne de R)

[@xXchakirosXxKiller]

Magnifique vidéo, explication très claires et pédagogues.

[@emilie375]

Bon développement pour l'agreg interne !

[@mehdielabdaoui1955]

C'est trop facile pour l'agreg interne ça.

[@achrafsaadali7459]

pouvez vous faire la demonstration de la densite du cos et sin sur [-1,1]

[@ThibaudOU]

C'est une application du fait que aZ+bZ est dense dans R ssi a/b est irrationnel, en utilisant la périodicité du cos puis sa continuité

[@oljenmaths]

Je ne le ferai pas en vidéo mais je peux donner une référence aisément trouvée sur internet 👨🏻‍🏫: lefevre.perso.math.cnrs.fr/PagesPerso/enseignement/Archives/SSgrpesAdd.pdf

[@mehdielabdaoui1955]

@@oljenmaths ils utilisent que l'image d'une partie dense pas une application continue est dense sans le démontrer.

[@ThibaudOU]

@@mehdielabdaoui1955 contre-exemple avec l'application nulle. On peut contourner ce raccourci en passant par le fait que le cosinus induit une surjection de R dans [-1, 1]

[@oscarlamelo]

Je me souviens avoir eu cette exercice en TD de L3 ou M1, ça me fait rire à quel point c'était moins bien expliqué... Merci pour cette superbe vidéo

[@oljenmaths]

Au plaisir, c'est pour cela que je me suis lancé sur KZbin 😉!

[@mehdielabdaoui1955]

Le niveau a tant baissé ? C'est niveau L1.

[@TheQuickly45]

Salut ! P’tit question on est d’accord que lorsqu’on on a >0 et qu’on suppose par l’absurde que a n’est pas dans G ça nous permet d’avoir des inégalités strictes dans les définitions de x et de y ?

[@oljenmaths]

Tout à fait ! Les inégalités strictes nous arrangent considérablement dans le sens où cela permet d'appliquer ensuite deux fois la caractérisation « epsilonesque » de la borne inférieure, une première fois avec ε = a, puis une deuxième fois avec ε = x-a (à chaque fois strictement positif 👍🏻.

[@mehdielabdaoui1955]

Tu as tout compris.

[@lesmathsaGaugau]

C'est exactement le premier ds à llg en mpsi 3 c'est fou c'est exactement la même démarche !

[@mehdielabdaoui1955]

Il sont fous les profs de LLG. Cet exercice demande de la maturité, ce qu'on a pas en début de sup.

[@lesmathsaGaugau]

@@mehdielabdaoui1955 après c'est vraiment les meilleurs des meilleurs qui sont là bas mais c'est vrai que ce qui l'ont déjà vu ont un avantage de malade !!

[@mehdielabdaoui1955]

@@lesmathsaGaugau déjà pour maitriser la borne inférieure avec les epsilon et avoir l'intuition de l'utiliser a bon escient je trouve qu'il faut au moins 6 mois. Oui je n'aime pas trop la façon de travailler dans les grandes prépas, ils ne laissent pas le temps aux étudiants de digérer les notions.

[@ThibaudOU]

@@mehdielabdaoui1955 ou alors la plus grande majorité des étudiants de ces prépas assimile suffisamment vite pour pouvoir se permettre une telle avance

[@danhabib3441]

Super la video merci beaucoup j'ai juste une question surement bete: à 5:01 on dit que x-y < a est absurde car contradiction a la borne inf or 6:38 on dit que g-ka < a on en deduit pas une contradiction mais au contraire que g-ka = 0 dou g = ka c ca que j'ai pas compris pourquoi dans un y a une contradiction alors que l'autre non ?

[@Longpan898]

Tu oublies l’inégalité de gauche dans l’encadrement qui dans le premier cas est stricte alors que dans le second cas elle laisse la possibilité d’être égale à zéro.

[@oljenmaths]

L'explication de @Longpan898 est correcte 👍🏻! Il faut être très soigneux quant aux inégalités strictes et larges dans ce genre de manipulations 🔎.

[@danhabib3441]

Ok merci ! @@oljenmaths

[@michelbernard9092]

J'ai vu plusieurs démos de ce théorème passionnant, mais aucune ne m'a jamais vraiment convaincue, et celle-ci ne fait (malheureusement et malgré mes espoirs) pas exception.. C'est dans ce style de cas qu'il faudrait avoir le prof en face de soi ! Pour info, la démo qui a presque réussi à me convaincre est celle de Math* ; il a fait une vidéo sur ce théorème. Par exemple à minute 3'30 vous dites "il existe un élément de G, juste à droite de a et aussi proche que je veux de a" ; bon qu'il existe un élément de G à droite de a ne me pose aucun problème, mais le prendre "aussi proche de a que je veux tout en restant dans G si, là ça me pose un problème. Il faudrait justifier le "aussi proche que je veux" tout en restant dans le groupe. Ça doit sembler sûrement évident pour certains, mais pas pour moi. A mon sens vous pouvez juste dire qu'il existe un élément de x∈G / x>a puisque a est la borne inférieure, mais vous le pouvez pas dire que vous pouvez choisir un x+ε ∈ G avec ε arbitrairement petit >0

[@oljenmaths]

À 3:30, je dis « il existe un élément de G juste à droite de a, et aussi proche de a que je veux, par définition de la borne inférieure ». Le point qu'il vous manque, c'est le « par définition de la borne inférieure », notion que vous semblez confondre avec celle de minorant (qui elle, ne garantirait en aucun cas l'existence d'un x aussi proche que je veux dans le groupe). Je vous recommande [EM#37] kzbin.info/www/bejne/i4GpZWCtgZWXrKM pour comprendre cela (il s'agit de borne supérieure, mais cela fonctionne exactement de la même manière).

[@mehdielabdaoui1955]

Maths* n'explique rien et n'a aucune pédagogie, il fait la course dans ses vidéos à aller le plus vite possible.

[@mehdielabdaoui1955]

@@oljenmaths oui peut être que si vous aviez rajouté un petit rappel sur la caractérisation de la borne inférieure, il aurait compriq.

[@Longpan898]

Je comprends ton interrogation sur ce point précis, car intuitivement on se dit que a doit forcément être un minimum de G, c’est à dire qu’il doit appartenir à G, ou pour le dire autrement on ne voit pas comment a pourrait être une borne inférieure qui « s’atteigne » uniquement à la limite mais sans appartenir à G. Voici comment on pourrait présenter les choses pour être plus explicite : dans le cas où il existe a>0 borne inférieure de G (dont on sait l’existence puisque G admet forcément un élément strictement positif et donc une borne inférieure). Distinguons le cas où (i) a est un MINIMUM de G du cas où (ii) a n’est PAS UN MINIMUM de G. Dans le premier cas,le plus intuitif, comme a est dans G, aZ l’est aussi (puis voir la démo de Oljen pour l’autre sens de l’inclusion). Dans le second cas qui semble difficile à imaginer - et pour cause - cela voudrait toutefois dire qu’il existe une suite d’éléments de G qui convergent vers a sans que a fasse partie de G - c’est bien évidemment absurde mais c’est la seule alternative à ce que a soit une borne inf sans être un minimum. Suivre alors la démo par l’absurde de Oljen. Est-ce plus clair?

[@michelbernard9092]

@@Longpan898 Merci pour votre effort, je vais examiner attentivement votre réponse demain et je vous donne de mes nouvelles.

[@blokyt_7910]

Peut-t-on admettre 2pi nombre univers pour montrer la densité de Z+2piZ dans R ?

[@oljenmaths]

Nombre irrationnel 😄. Et la réponse est oui 😉!

[@blokyt_7910]

@@oljenmaths Par l'absurde c'est assez simple, je trouvais plus sympatique de prouver que l'inf était bien 0 en construisant une suite de Z+2piZ qui tend vers 0 qui m'était possible seulement si je pouvais considerer n'importe quelle suite de nombre dans les décimal de 2pi :)

[@leporcquirit]

L'existence de y < x est un peu hative : x pourrait être le min des éléments > a. Il vaut mieux parler de l'existence de 2 nombres distincts, puis les classer

[@oljenmaths]

Non. On peut toujours choisir x puis y dans cet ordre, cela en appliquant deux fois la caractérisation « epsilonesque » de la borne inférieure, une première fois avec ε = a, puis une deuxième fois avec ε = x-a (à chaque fois strictement positif.

[@wyzoo_science]

J’ai une question,pourquoi k=[g/a] ?

[@wyzoo_science]

Finalement j’ai compris

[@aminaa3973]

4:27 mais si on avait pris a dans G on peut faire la même chose et on a encore une contradiction non ? Je ne comprends pas

[@oljenmaths]

Toutes ces circonvolutions (avec x, et y) sont dues au fait qu'on ne sait pas si a est un élément de G. C'est seulement une borne inférieure, à ce stade. Et justement, on finit par montrer que a est dans G, et on enchaîne avec ce que vous aviez sûrement en tête à ce moment de la vidéo 😇.

[@aminaa3973]

Merci de votre réponse mais je ne comprends pas trop. Ici on suppose par l'absurde que a n'est pas dans G et on établit une contradiction avec les inégalités sur x et y. Mais on peut effectuer exctament les même inégalités si on avait supposé a dans G et donc encore obtenir une contradiction non ? En fait je ne saisi pas c'est ou exactement qu'on utilise l'hypothèse que a n'est pas dans G@@oljenmaths

[@aminaa3973]

Ah si c'est bin j'ai compris c'est au moment de l'inégalité stricte on peut l'écrire que parce que a n'est pas dans G !

[@francisfournier3177]

Bonne année à tous les matheux !! Et aux autres aussi !! Si (a^b)×(a^b+b)×(10a+b)=2024, quelles valeurs pour a et b ??

[@oljenmaths]

Bonne année de même 🥳!

[@oslo3320]

vous sortez

[@oslo3320]

je plaisante je plaisante