合否を分ける積分⑧【積分漸化式の本質を学べ】

１分で忘れない三角関数の覚え方【3倍角・積和の公式】
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昨年に引き続き合否を分ける積分シリーズです。積分は緊張感ある状態で解くことを推奨します！
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[@まかろん-b8y]

実験から偶数、奇数項に分けて考えるパターンは模試で出て出来なかったので耐性が付いてたのでいつもよりいけました

[@rty765]

実験せずにいきなりking property使ったら、nが偶数の時I_n=0になったので、偶奇で場合分けすればいいのかってなって、I_n+1で計算したら詰まったので、I_n+2でやったら上手くいきました。やっぱり実験は大事ですね。

[@mathkaleidoscope]

z=cosx+isinx とおくと、sinnx/sinx=2isinnx/2isinx=(zⁿ-z⁻ⁿ)/(z-z⁻¹)=zⁿ⁻¹+zⁿ⁻³+…+z⁻ⁿ⁺¹=2cos(n-1)x+2cos(n-3)x+…。n が偶数であるとき、この式は定数項を持たないから与式の値は０。奇数である場合は、定数項１を持つから、与式の値は π。

[@tenchan_P]

明日やし悔いの残らないように全力を出します！

[@4416guild-PMDSky]

類題：cos21x / sinx を π/4 から π/2 で積分した時の値

[@スプーンに移る前の粗品]

三角関数は2乗に強いので、2個離して、加法定理を使うことによって漸化式を作成して解きました。動画のほうが自然ですね。

[@とと-h8h]

I_n=∫[0→π]sin(nπ-nx)/sin(π-x) =∫[0→π] -cosnπ･sinnx/sinx nが偶数の時、cosnπ=1より I_n+I_n=0 ∴I_n=0 今回だとキングプロパティは奇数の時が何の成果も上げられませんでしたけど、実験としてはあり…

[@Salueblt]

すげえおもしろい

[@Kona-Maclaurin]

数学的帰納法などで証明しなくてもいいのですか？

[@むかで-l1z]

いい問題

[@かりかりうめ-j1g]

積分区間が[0→π]ですが、x=0,πの時分母が0になってしまうのはいいんですか？

[@もこもっこ-c3d]

分子のsinnxは(cosxの多項式)×sinxと表せるから分母のsinxと約分できる

[@かりかりうめ-j1g]

約分(sinxで割る)にはsinx≠0でなくてはならないので、閉区間[0→π]だと、x=0,πのときsinx=0なのでsinxで割れなくないですか？

[@気楽に化学解説ch]

​@@かりかりうめ-j1g 約分したあとの式に積分(代入する)ので、ゼロで割ったことにはならないんですよ！ 僕もちょっと前にめっちゃ疑問でした

[@ごりごりの浪人生]

それを言い出すと不定形を無くす操作が軒並み使用禁止になるような？

[@気楽に化学解説ch]

代入する前は、ゼロでは無い「ただの記号」として四則演算ができますが、 代入後に分母がゼロになってしまう場合には注意です

[@mm5534uk]

2:09 この語呂合わせ、自分は「3歳でダメ、4歳で見事」と教わりましたね

[@花形満-m3f]

kingproperty　の背景 （sinｎｘ）×（1／sinｘ）として ｙ＝1／sinｘ　のグラフ　はy=sinｘ[₀，π]のグラフから容易に描け ｙ＝sinｎｘ　のグラフも容易に描けるので　 この2つの積のグラフもｘ＝π/2　を境にして対称性がイメージできる n が偶数であるとき　0　　 n が奇数であるとき？？？？？グラフからはだめか

[@ぐへへチャンネル]

実験って解答用紙に書いた方がいいんですか？ ずっと気になってます

[@aio-s5b2o]

不要です。

[@八百屋の菠薐草]

計算用紙があればそのへんにメモするだけでいいです。

[@poniponipe]

2個飛ばしの漸化式はウォリス積分とかでよく見るから、三角関数の特徴なのかなぁ。可愛いね

[@user-jx3yb9hq8s]

3倍角は阪神(sin)334で覚えてたなー

[@IamReaa]

2018年の学芸大数学科に類題がありますね

[@mathseeker2718]

良問です。

[@chibi2007-m3v]

5:45 なんでどっからsin2xは出てくるの？？

[@ゆゆゆ-i2t]

とりあえずn≧2を仮定してsin(nx)をsin((n-1)x)で下げてみるとcos(x)sin(n-1)x/sinxの積分が出てきました。King Property(t=π-x)でこの積分はnが偶数のとき0となることがわかります。n≧3を仮定してsin((n-1)x)をsin((n-2)x)に下げるとI_n=I_{n-2}となるので、nが奇数のときI_1になることもわかります。 差分をせずに進めるならこんな感じですかね

[@lcl0908]

昔、東工大に類題が出てましたね

[@User-f9hi]

三角関数を含む積分の漸化式って大抵1項飛ばしで規則性が見えがち

[@birden-o6v]

(sin x)/n =six を思い出した

[@pvnrt1975]

なんで差分が有効なの？？

[@人間とハダカデバネズミのキメラ]

二項間の関係を文字や定数で表せたら漸化式を解く問題に帰着できて一般項を求められるから

[@スコッチィ]

サンシャイン 引いて夜風に身が染みる 〇athematics 〇onsterさんでよく聞きましたな😊

[@tmge6l6l6l]

このような積分を 得意に変えていければ、 フリエ展開 フリエ変換 ソノサキにある ラプラス変換とかにも きっと強くなれます。 受験生諸君 貴方達の努力はけして 無駄にならない。 頑張って!

[@azuma3520]

大門4の話だよね

[@ティカ-o6c]

今年の中央理工数学の被害者🖐️

[@MultiYUUHI]

手も足でなかった。マーチのくせに！マーチのくせにぃいいいい！

[@user-sh4rm1mp2e]

マーチも難しいやつは難しいからなぁ

[@user-fd3qo7kr2e]

学歴厨の香りがする

[@bigbaby1135]

明治とか中央の理系数学は普通にむずいと思う