행렬식과 역행렬의 기하학적 의미

글로 정리된 곳: angeloyeo.github.io/2019/08/0...
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행렬 변환 시뮬레이션 소스코드: github.com/angeloyeo/angeloye...
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github.com/angeloyeo/gongdols
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(link.coupang.com/re/CSHARESDP...)
[마이크]
- Rode NT USB 마이크
(link.coupang.com/re/CSHARESDP...)
[캡쳐 프로그램]
- oCam

[@user-sc6pk3fu2r]

할렐루야 ~~ 묵은 체증이 내려갑니다. 고리타분했던 공업수학안에서 사고의 자유로움을 느낍니다. 선생님과 같은 시대에 살면서 단 7분짜리 유투브로 해방감을 느낄 수 있게 해주셔서 정말 감사합니다. 복 받으셔요!!!!!!

[@AngeloYeo]

아멘~ 재밌게 봐주셔서 감사합니다 최혜진님 ^^

[@Justinlabry]

노트님의 강의 정말 시원 시원합니다. 강의 공유해주셔서 감사드립니다! :D

[@AngeloYeo]

좋게 봐주시니 감사합니다 ^^~ 좋은 하루 되세요 ㅎㅎ

[@alwaysmarine2091]

늘 좋은 영상 올려주셔서 감사드립니다. 어느 구독자 분이 댓글로 "영상 앞부분에 simulaiton영상 짧게 올리시면 좋을 것"이라고 하셨는데, 반영해주셨네요.. 아주 임팩트 있는 것 같습니다. 역행렬구하는 식에 행렬식이 들어가는 이유가 이렇게 명확하게 이해가 되니 정말 감사드립니다. 오늘도 덕분에 기충전해서 하루 시작합니다. 평안한 하루되세요.

[@AngeloYeo]

alwaysmarine님 안녕하세요 ㅎ 항상 댓글 달아주시니 감사합니다. 그 어느 구독자분이 아마 이상엽 선생님이신것 같은데... 그 분도 꽤 유명(?)하신 수학 유튜버셔서 그 분 영상도 재밌는게 많아요 ㅎㅎ 그 분께서 말씀해주신 아이디어가 괜찮은 것 같아 부족한 편집실력으로 끙끙대면서 한번 해보았습니다 ㅎㅎ 주의깊게 봐주시니 감사합니다 :) 아마 alwaysmarine님은 잘 아시는 내용이실텐데도 지루하지 않게 재밌게 봐주시는 것 같아 더욱 감사하네요 ^^ 금요일 잘 보내시고 주말까지도 좋은 하루 보내십시오 ㅎ 다음번 영상은 금요일에서 토요일 넘어가는 밤 12시(12am)에 업로드 됩니다 ㅎㅎ

[@user-xl2er3rn3n]

수학의 기하학적 의미 정말 재미있어요 존경하고 감사드립니다~!

[@AngeloYeo]

김동현님 응원 감사합니다 ^^~

[@user-ul4wc6pt6m]

선형대수 강의 최고에요!! 미적분이랑 다르게 뭔가 추상적인것 같고 암기로 해결하다보니까 어려웠었는데 감사합니다

[@AngeloYeo]

재밌게 봐주셔서 감사합니다 ^^~ 도움이 된다니 뿌듯합니다

[@cheolhun_24]

행렬 계산이나 이런 것 보다는 그런 정의와 계산들이 어디서 나왔나가 더 머리를 아프게 했는데... 좋은 강의 정말 감사드려요 !!

[@AngeloYeo]

안녕하세요! 저도 그런 의미를 이해해가는게 수학을 공부할 때 가장 재밌는 부분인 것 같습니다 ㅎㅎ 영상 봐주셔서 감사합니다 :)

[@yz_pil_r]

와 저는 2007 개정 교육과정 세대라 문과였음에도 행렬을 배웠었습니다. 그때는 이유도 모르고 외웠던 역행렬에 관한 것들이 벡터와 연결되면서 머릿속에 전구가 켜지는 느낌입니다. 감사합니다. 진짜 감사합니다.

[@AngeloYeo]

수 1에 행렬이 있었지요. 저랑 비슷한 세대이신 것 같네요. 재밌게 봐주셔서 감사합니다 :D

[@Summerwoods254]

사칙연산밖에 못하는 수포자였고, 일상생활에 수학은 전혀 사용할일조차 없었는데 수학공부 이제 시작하고 있습니다 행렬식 무조건 외어야 하는건가.. 이해가 안되서 힘들었는데 공식은 외워야겠지만 왜 이런 공식이 나왔는지를 블로그 통해서 보고 오니 뭔가 더 와 닿는 것 같아요 특히 사각형의 넓이와 삼각형의 넓이 들을 통해서 평행사변형의 넓이를 찾는 과정을 당연히 알고 있을거라고 요약하지 않고 하나하나 풀어주셔서 너무 감사합니다!

[@AngeloYeo]

harim kim님 ^^~ 수학의 많은 분야에서 의미를 알고 공부하면 도움이 되지요 ㅎㅎ 도움 되었다니 기쁩니다 ㅎㅎ 댓글 감사드려요 ♡

[@daviidlim]

선형대수는 배울수록 새로운것 같아요 강의 감사드립니다

[@AngeloYeo]

안녕하세요~ 네 저도 그렇게 생각합니다. 정말 파도 파도 새로운 것이 계속 나오는 것 같고... 저도 5년 전 쯤 첫 영상 올릴 당시만 해도 어느정도 안다고 생각했던 오만함이 있었는데 (...) 지금은 그때보다 더 새로운 관점으로 보게된 것들도 많고... 공부를 더 해보니 정말 내가 아는것은 전체의 일부 중의 일부라는 생각이 많이 들어서... 저도 말씀하신 부분에 매우 공감합니다 ^^ 영상 봐주셔서 감사합니다 :)

[@user-qe1xr2nq8d]

단순히 외워서 중간고사를 쳤는데, 행렬식에 이런 의미가 있을줄은 몰랐네요.. 기말 전에 새로운 관점을 잘 얻고 갑니다

[@AngeloYeo]

의미를 알면 알수록 재밌는게 선형대수학이지요 ~~^^ 도움 되었다면 다행입니다 ㅎㅎ

[@asdqwe6650]

감사합니다. 진짜 고맙습니다ㅠㅠ

[@AngeloYeo]

도움 되었다면 다행입니다 ^^%

[@user-ss3lg1xz5k]

최고입니다.

[@AngeloYeo]

재밌게 봐주셔서 감사합니다 ^^

[@ricky6295]

행렬식과 내적의 의미때문에 진짜 1년넘게 고민했었는데 덕분에 한방에 해결했습니다. 많이 아니지만 커피 두잔 드시라고 후원합니다. 정말 감사합니다.

[@AngeloYeo]

ricky님... 1년 고민하셨다면 진짜 오랫동안 고민하셨네요 ㅎㅎ 그러다가 해결점을 찾으면 진짜 짜릿하지요... ㅎㅎ 축하드립니다 ^^~ 그리고 후원꺼지 해주시니 감사합니다 ㅎㅎ 덕분에 오늘 와이프랑 커피한잔씩 하겠네요 ^^♡

[@ricky6295]

@@AngeloYeo // 축하 감사합니다. 선형대수관련해서 온라인강의도 하나듣고 책하나 잡고 오프라인 스터디 해봐도 이해가 안갔는데 선생님 강의들으니 맥이 딱 뚫리네요.. 커피 맛있게 드세요~ ^^

[@user-yw5rv6bw7h]

안녕하세요 자료 잘 보고 있습니다! 언제나 좋은 자료 감사합니다 영상을 보다 궁금한게 하나 있는데, I에 선형변환 A를 적용한 공간의 부피가 0이 되는것과 A의 역행렬이 존재하지 않는것은 어떤 연관성이 있을까요? 궁금합니다

[@eunji6820]

길이 곱하기 길이는 어떻게 하는건가요? 중3인데 학교 학습지에 있어서 찾아보는 중인데 모르겠네요ㅠ

[@user-fl7sq5hm2k]

GOOD!!!

[@AngeloYeo]

어서오세요 Lazer님! 감사합니다 ^^~

[@khk-xy6pl]

혹시 텐서에 대해서도 설명하는 영상 부탁드려도 될까요? 공학부 3학년인데 아직도 텐서를 모르겠어요 ㅠㅠ

[@MZ-pj4eq]

감사합니다~!!

[@AngeloYeo]

看起来你看得很有意思哦😁

[@MZ-pj4eq]

@@AngeloYeo 对这些比较有兴趣，类似于统计学（통계학），机器学习(machine learning)这种， 很感谢您的分享^^

[@AngeloYeo]

哦是吗。对机器学习这种应用方面也线性代数非常重要吧 :) 努力努力吧 加油😁😁

[@MZ-pj4eq]

@@AngeloYeo 慢慢学，你的视频帮助很大🙆‍♀️

[@AngeloYeo]

当然吧 不怕慢只怕站 :) 慢慢走吧

[@mickoonho8023]

질문있어서 최신글에 남겨요! 자코비안 영상보다가 이영상까지 왔는데 자코비안에서 선형공간인 r,세타 축을 비선형변형을 통해 극좌표계로 바꾸면 원안에 맵핑되는 건 알겠는데 그때의 세로축 가로축은 x,y축인가요? 그러면 원통좌표계, 구면 좌표계는 x,y,z축 상에서 나타낸건가요?

[@AngeloYeo]

제가 그린 내용들에서는 모두 xy 축으로 그렸습니다. 원통좌표계 구면 좌표계도 모두 좌표를 표현하기 위한 표현방법일 뿐입니다. 다 xyz축 위에서 그릴 수 있지요

[@mickoonho8023]

@@AngeloYeo 아하 이해되었습니다. 하나만 더 묻겠습니다ㅠㅠ 자코비안도 선형변환인 행렬이니 기저가 자코비안으로 바뀌는 건가요?? 새로운 좌표계를 형성한다했을때요!

[@AngeloYeo]

그렇죠 자코비안 행렬에 있는 각 열이 새로운 기저 역할을 하게 되는 것입니다

[@whekqls123]

모르겠지만, 일단 본다. 수학은 그런것이다.

[@user-ic5es1yx8k]

댓글 보실지는 모르겠지만 궁금한부분 여쭤봅니다! 행렬식이 단위 면적이 얼마만큼 늘어나는가를 의미하는데 혹시 값이 음수인경우는 어떻게 생각할 수 있을까요... 줄어든다면 1보다 작은 실수일 것 같은데요

[@AngeloYeo]

행렬식의 값이 음수인 경우는 선형 변환 시에 두 벡터의 위치가 뒤집히는 경우를 의미합니다

[@user-ic5es1yx8k]

@@AngeloYeo 감사합니다! 그리고 영상 진짜 대박입니다 ㅠㅠ

[@user-hu4bb8yo1j]

행렬과 역행렬과 행렬식에 도형적 기하학적 의미가 있다고 꿈에도 생각 못했습니다 벡터에 a b c d 2×2 행렬을 곱해 주면 원래 벡터가 속한 세계를 구성하는 (1,0) → (a,c) (0,1) → (b,d) 기본 두 벡터가 이렇게 변해버려 (a,c) , (b,d)가 평행사변형 두 변이 되어 (원래 세계의 모든 정사각형 공간) → (새로운 세계의 모든 평행사변형 공간) 이것도 저의 머리에 개념 자체가 없던 세계였지만 (a,c) , (b,d) 를 합성한 새로운 세계의 기본벡터에 역행렬을 곱해 주면 다시 (1,0) , (0,1) 을 합성한 원래세계의 기본벡터로 돌아온다는 것 기본면적으로 보면 정사각형 기본단위면적 → 평행사변형 기본단위면적 → 다시 정사각형 기본단위면적 행렬을 곱해주거나 역행렬을 곱해 줌에 따라 벡터가 속한 세계의 본성이 변하고 다시 원상태로 돌아 오고 이것도 아예 머릿속에 개념이 없던 세계였습니다 그리고 행렬식 (ad - bc) 이것이 평행사변형 면적이 됨을 예전에 공돌이님 동영상에서 잠깐 보고 책이나 다른 사이트에서도 봤는데 그 당시 동영상의 글씨나 그림체가 지금보다 깔끔하지 못했던 것도 있었지만 "평행사변형 면적이 된다는 것이 무슨 특별한 의미가 있나 ?" 싶어서 그냥 자세히 보지도 않고 넘어갔습니다 이번에 이 동영상과 과거의 동영상을 함께 보니 (ad - bc) 가 평행사변형 면적이라 역행렬의 앞에 곱해진 숫자 1 / (ad - bc) 이것은 평행사변형 면적을 원래 세계 정사각형 면적으로 환원시키는 역할을 하고 역행렬의 본체행렬 d -b -c a 이것이 의미하는 바는 무엇일까 ? 갑자기 그 궁금증에 미칠 것 갔았는데 이 동영상의 애니메이션 설명과 과거의 동영상 설명을 보니 d -b -c a 역행렬의 본체행렬은 새로운 세계평행사변형의 모양을 원래의 세계 정사각형 모양으로 모양을 환원시키는 역할을 한다 라는 설명을 보고 단숨에 이해되었습니다 대부분의 사람들이 행렬 , 행렬식, 역행렬 기하학적 의미를 모르고 무미건조한 기계같은 수식과 숫자 행렬세계에 따분함을 느끼고 공부하고 또 그렇게 가르치고 !! ㅜ ㅜ 같은 대상이건만 무엇을 하건 2차원적으로 하는 사람 3차원적으로 하는 사람 4차원적으로 하는 사람 차이가 있다는 것을 발견하고 느끼는 재미 그 재미는 진짜 경이적인 감동 이상입니다 !!!!!! ^^ ㅡ ^^ 수학이 아니라 환상입니다 !!!!!!!!!!!!! (ad - bc)가 평행사변형의 면적 됨 아름다운 그림과 수식 정말 도움이 되었습니다 ~~~~~

[@AngeloYeo]

노성용님 ^^ 이번 영상은 짧은 내용임에도 깊게 봐주신 것 같아 더 감사드립니다 ㅎ 말씀하신대로 예전에 올린 동일한 주제의 내용이 있었음에도 음질이나 판서등의 퀄리티를 조금 높여서 다시 올리고자 재업로드 하였습니다. 그때 당시가 아마 5년 전쯤이겠지요...? 그 때보다 제 스스로도 어느정도는 약간 더 성장한 것도 있지 않을까하기도 싶구요 ㅎ 재밌게 봐주신 것 같아 다행입니다 ^^ 도움되셨으면 좋겠습니다. - 그런데, 하나 궁금한 것이 있는데 노성용님은 어떤 목적으로 수학을 공부하시나요? 순수하게 호기심에서 재미를 느끼시는 건지, 대학원생이신건지... 등등 어떤 목적으로 공부하시는지 궁금해지네요 ㅎ 여러 분야에 관심이 많으신 것 같아서 ㅎㅎ

[@user-hu4bb8yo1j]

@@AngeloYeo 중고등학생 수학을 가르치고 있는데 수학과를 전공하지 않았지만 수학이 생활이 되다 보니 고급수학에 목마른 상태라 계속 공돌이님 동영상같은 고급수학을 갈망합니다 ^^ 사실 중고등학생 가르치는데 스토크스정리 라플라스방정식 선형대수학 이런 분야지식까지는 없어도 되거든요 ;;; ^^ 이곳에서 진짜 많이 배웁니다 수학이 깊이와 폭은 부족해도 알기 쉽게 설명하는 힘은 약간 있어 보이지 않나요 ~~ ^^

[@AngeloYeo]

어쩐지... 수학에 관심이 많으신 분 같아 보였는데 ㅎㅎ 선생님이셨군요 ~~ ㅎ 고급적인 부분까지 알게되면 더 큰그림이 보이는 법이죠 ㅎㅎ 또 더 큰 그림을 보고싶게 되기도 하구여 ㅎㅎ

[@jkhong25]

ㅎㅎ 저도 영상 보고 노성용님 댓글 보면서 다시 한 번 정리하는 것 같아요 ㅋㅋ 되게 깊이 있게 이해하신 걸 잘 정리해주시는 것 같아요 ㅋㅋㅋ 공돌이님이랑 노성용님 두 분 다 좋은 영상과 해석 남겨주셔서 감사할따름입니다.

[@AngeloYeo]

네 저도 노성용님께서 댓글을 항상 잘 써주셔서... 특히 정리를 잘 해주시니 항상 감동입니다 ^^~

[@user-ht6ou8dc4o]

det(A) = 0 이란 말이 면적이 없다는 말이구나, 와.... 수학실력 퀀텀점프다!!

[@AngeloYeo]

ㅎㅎ 선형대수학에서는 시각적으로 이해하면 도움되는 개념들이 많이 있는 것 같습니다 ㅎㅎ 이해에 도움되었다면 다행입니다 ^^

[@chotnt]

한국 수학 교육의 미래 ㄷㄷㄷㄷㄷ

[@jm-px3mr]

평행사변형....!!! 십년 만의 역행렬의 정체 밝혀냈...

[@user-se3xs4qg4b]

1:53 에서 열 말고 행으로 적용하면 어떻게 되나요?? 행렬식을 열로 정의 내린건가요?

[@AngeloYeo]

열말고 행으로 적용해도 행렬식을 이해하는데는 아무런 문제가 없습니다. 다만, 보통 벡터라고 하면 열벡터를 의미하기 때문에 열벡터를 기준으로 모든 내용이 전개되었습니다. 일반적으로, 수학에서 행벡터는 열벡터와 역할이 다릅니다. 열벡터가 선형 변환을 받는 대상자라고 하면 행벡터는 연산을 수행해주는 함수로 작용하는 것으로 수학자들끼리 약속했기 때문입니다. 행벡터의 역할에 대한 더 자세한 논의는 아래의 영상을 보시고 오시는 것도 좋을 것 같습니다. kzbin.info/www/bejne/kHmaap53nKhmf5Y&ab_channel=%EA%B3%B5%EB%8F%8C%EC%9D%B4%EC%9D%98%EC%88%98%ED%95%99%EC%A0%95%EB%A6%AC%EB%85%B8%ED%8A%B8

[@user-se3xs4qg4b]

@@AngeloYeo 정말 감사합니다!!. 행렬 과제하면서 오늘 처음 영상봤는데 정말 쉽고 자세하게 설명해주셔서 이해가 잘 되네요. 앞으로도 모르는것이 있으면 가장 먼저 찾아오겠습니다.

[@user-fz2ir8kc6z]

연구원님을 대통령으로~~~

[@AngeloYeo]

캄사합니다 🤞💖

[@user-zx6bl4ch8g]

감사합니다. 혹시 det가 0이라는것은 역행렬이 존재하지 않는데 무엇을 의미하는지 알려주실수있나요

[@AngeloYeo]

질문의 의도를 모르겠습니다...다른 말로 풀어서 설명해주실 수 있으실까요?

[@user-zx6bl4ch8g]

넵감사합니다. Det가 0일때는 역행렬이 존재하지 않는다고 알고있는데 이것에 대하여 조금 직관적으로 이해하고 싶은데 방법이 없을까요?:)

[@junhyeongjunhyeong]

@@user-zx6bl4ch8g 별로 직관적인 설명은 아닌데 행렬을 함수에 관점에서 생각한다면 Ax=y를 f(x)=y로 생각하면 det가 0이면 치역의 하나의 원소(y)를 만족하는 x가 무한히 많게 되어 함수f,행렬 A는 전단사 함수가 되지 못해 역함수가 존재하지 못합니다. 이때 역행렬은 역함수입니다.(A^-1Ax=x =A^-1y=x,f^-1(y)=x) 아니면 3blue 1brown채널 역행렬 설명이 원하시는 설명일거 같네요

[@dominicsimon1227]

3차원공간상의 3개의벡터의 행렬식은 그럼 정육면체부피인가요?

[@AngeloYeo]

정답입니다 ~ 조금 더 정확한 용어는 평행육면체라고 하네요 ! ㅎ

[@dominicsimon1227]

@@AngeloYeo 앗그렇겠네요 삼중적에서 외적부분이 평행사변형넓이가되니까!!! 감사드립니다!