[해석학] 실수의 구성적 정의

[@lsy_math]

인트로를 삭제하였습니다.(2021.06.19) 그로 인해 기존 영상과 약 9초의 시간 차이가 발생하였으니 참고해주세요. 강의록 다운로드 ☞ drive.google.com/open?id=14UZU7O9TdSpqV9UFehRpC8HAQoyo4G2e ━─ ↓↓ 책갈피 ↓↓ ─━ 1. 유리수체계 06:43 (1) 자연수의 구성 15:55 (2) 정수의 구성 18:17 (3) 유리수의 구성 2. 실수체계 27:38 (1) 실수의 구성 38:36 (2) 실수의 덧셈 45:56 (3) 실수의 곱셈 3. 실수체계의 성질 56:54

[@bamboospear7393]

데데킨트 선생님 덕분에 해석학1 강의 하루종일 멍때렸던 기억이 새록새록..

[@들판-z6k]

오늘은 피곤해서 내일 아침 맑은 정신을 가지고 보겠습니다. 저번 영상부터 자연수로부터 시작하는 수체계의 확장에 대해 다뤄주시는데 정말 흥미롭습니다. 근데 영상길이와 내용의 압박으로 집중력이 떨어질때 보기는 힘드네요. ㅎㅎ 한숨 자고 맑은 정신으로 보겠습니다. 한동안 해석학 영상이 안올라와서 아쉬웠는데 올려주셔서 감사합니다.

[@jhl2458]

추가적으로 부연설명을 하기전에 일단 상엽쌤의 강의를 써머리 해봅니다 자연수를 구성합니다 -> 자연수로부터 정수를 구성합니다 -> 정수로부터 유리수를 구성합니다 -> 유리수로부터 실수를 구성합니다 바로 이 강의의 주제는 실수를 구성해보는 것이죠. 구성한다는 말이 생소하신분들은 그냥 기존에 우리가 익히 알고있는 것으로 부터 새로운 것을 만들어내는것이라고 생각하면 편합니다. 핵심인 강의 후반부에는 이렇게 구성된 실수체계가 체의 성질과 각 원소를 비교할수 있는 순서의 성질, 완비성이 있다는 것을 증명하며 마무리합니다. 실수를 구성한 후 그 실수체계가 여러가지의 성질를 만족한다는 내용에 대해서 이것을 역으로 한번 생각해 볼수 있습니다. 힌트는 바로 최초 자연수에 대해 생각할때 페아노공리를 빼놓을 수 없는 것처럼 실수에서도 어떠한 공리가 있을 법도 합니다. 하지만 상엽쌤의 강의에서는 공리에 대한 이야기가 나오지 않았죠. 즉, 순서를 바꿔서 실수를 구성하기 전에 역으로 먼저 체/ 순서/ 완비 이것을 실수체계에 대한 공리라고 정해봅시다. 그 후 이 공리들을 만족하는 특정한 모형을 정합적으로 만들어보는것이죠. 실수의 공리들을 만족하는 모형을 만드는 것은 실수를 구성하는 것이고 그 구성의 아이디어는 상엽쌤 강의 후반부에 나오는 저 증명이 될테니 자동적으로 공리와 구성된 모형이 아주 정합적으로 맞아떨어지게 됩니다. 페아노공리로부터 폰노이만이 자연수모형을 구성했듯이 실수공리로부터 데데킨트와 칸토어가 실수모형을 구성했습니다. 상엽쌤의 실수의 구성 강의는 데데킨트의 방법입니다. 실제로는 이렇듯 우리의 선험적 직관을 충족하는 공리로부터 그 공리들을 만족하는 모형을 정합적으로 구성한다고 생각할 수 있습니다.

[@crazysubmarine1186]

학부시절에도 하지않았던 내용을 최근에 공부했는데 소름이 돋더군요. 극한, 함수의 연속, 위상 백날 공부해 봐야 집합론, 수의 구성을 모르면 아무런 소용이 없음을 깨달았네요.

[@유주상-r9j]

좋은 강의 감사합니다

[@박제철-h2t]

루트 2가 n/m의 형태가 되지 않는다는 사실, 그리고 실수의 집합을 유리수의 집합에 근거해 정당화할 수 있다는 사실, 이 두 사실이 일관적이라는 점을 간략히 설명해 주실 수 있을까요?

[@남요셉-u2w]

항상 감사합니다^^

[@사기꾼진우야내가-t3t]

유리수 집합 Q를 절단하여 만든 부분집합들 중에서 상한이 있는 것과 없는 것이 있고 상한이 있는 집합은 그것의 상한인 유리수에 대응시키고 상한이 없는 집합은 무리수에 대응시켜 실수체계를 구성하는 것인가요?

[@6기주한별]

정확히 이해하셨네요. 그리고 그 부분집합의 상한이 유리수인지 아닌지 여부에 상관없이 그 부분집합을 실수라 한 거죠! 그렇게 정의함으로써 실수 집합을 유리수를 이용하여 정의할 수 있고 완비성도 가지도록 할 수 있게 된 겁니다.

[@심심-y4x]

27:45 부터 내일 봐야지

[@안녕경남아]

33:01 머리 흩날리기

[@doyoung9483]

46:06 여기서 C•D를 C•D={q in Q | there exist c in C, d in D s.t. q

[@jhl2458]

35:30 에서처럼 실수모형을 정의할때 실수q는 q보다 작은 유리수들의 집합C로 정의한다는 얘깁니다. 근데 님이 말한것처럼 곱셈연산을 정의하면 정합적이지 않습니다. 예를들어 집합 C를 -2 (-2보다 작은 유리수들의 집합)라하고 집합 D를 5(5보다 작은 유리수들의 집합)라고 했을때 케이스를 나누지 않으면 CD는 -10보다 작은 유리수들의 집합이 되어야 하는데 집합 C의 원소중 -3과 집합 D의 원소중 1을 골라왔을때 cd는 -3이 되어 집합 CD의 원소가 되지 않습니다. 따라서 집합의 원소중에 음수가 있는 경우는 별도의 케이스로 나누어 절대값을 생각한 다음 정합적으로 짜맞춰줘야 합니다.

[@voidwalkingcat]

와우 선 추천을 안드릴 수가 없네요

[@bk4995]

영상 듣기 전입니다만, 유리수는 나눗셈만으로 구성적 정의가 가능한데, 실수 중 유리수가 아닌 무리수를 정의한다는게 도저히 와닿지가 않네요. 그중엔 초월수도 있을텐데.. 함 들어보고 정리해볼게요♥

[@박현욱-p5k]

오!진짜오랜만의영상

[@들판-z6k]

유익한 영상 올려주셔서 감사합니다. 수체계의 확장을 직관이 아닌 논리적 정의로써 확장하는 방법이 머리아프지만 재미있네요. 근데 하나의 질문이 있는데, 자연수로 부터 시작되는 그 다음 수 라는 것은 정의하지 않지만, 2/3/4/5... 등의 수에 대해서도 딱히 정의하지 않는다는 점 입니다. 수학에서 어떤 기호를 사용할 때 어떤 의미인지 다 정의를 하고 사용하는데, 자연수들은 기본적으로 아는 것이라는 전제가 있는건가요? 영상에서 이해하기 힘든 것은 유리수의 절단으로 어떻게 무리수를 정의하지? 라는 의문이네요. 루트2 같은 것을 어떻게 유리수로 나타내지? 라는 의문이 잘 풀리지 않네요. 여러번 시청하면서 어떻게하면 무리수를 표현할 수 있을까를 고민해보겠습니다. 좋은 강의 감사합니다.

[@hyeonsseungsseungi]

루트 2 자체는 유리수가 아니지만... 루트2보다 작은 모든 유리수의 집합은 정의가 됩니다. 따라서 "루트2보다 작은 모든 유리수의 집합"이 하나의 절단이고, 그 집합을 루트2와 같은 것이라고 동일시하는 것입니다. 물론, 어떤 유리수가 루트2보다 큰지 작은지 헷갈리면... 그 유리수를 제곱해서 2보다 큰지 작은지를 판단하면 되므로 그 집합은 명확하게 정의가 됩니다.

[@hyeonsseungsseungi]

그리고 페아노 공리계에서는 1의 다음수의 이름을 2라고 하는 것이므로, 2가 무엇인지는 정의가 됩니다. 일일히 말하지 않아도 1의 다음수를 2라고 한다는 것는 우리 모두가 알고 있다고 보는 것입니다. 3은 물론 2의 다음 수입니다.

[@들판-z6k]

​@@hyeonsseungsseungi 무리수는 그 어떤 무리수보다 작은 수의 집합이 아니라, 그 무리수와 가까운 유리수의 집합의 절단으로 설명하는 것이군요. 그럼 절단할 때 원소설정을 무리수와 가까운 유리수의 원소의 집합에서 가져온 후 절단한다. 라는 것이라는 것으로 이해했습니다. 영상에서 언급은 하지 않지만 일상에서 통용되는 의미로 정의한다는 것이 맞는지 모르겠네요. 수학자들도 일일이 숫자를 정의하는 것이 번거롭다 생각할 수 있겠습니다. 좋은 답변 감사합니다.

[@닉넴은귀찮아]

@@들판-z6k 사실 2라는 기호자체가 중요한건 아니기도 할거라서 굳이 언급안하는거일수도...1과 그 다음 수만 정의해두면 말이죠 사실 1도 굳이 1로 표기할 이유도 없을겁니다 페아노 공리계를 만족하는 모든 집합은 동형사상인가 그렇기도 하고요

[@SuezireKaka]

사실 엄밀히는 10진법(을 포함한 임의의 자연수 진법)의 덧셈 체계가 페아노 공리계와 동형임을 보여야 하긴 합니다. 다만 그렇게 어렵지는 않으니 한 번 도전해보시는 것도 괜찮아요.

[@MarxsTheoryisTrue]

정말 요즘 스2를 공부하면서 무한이 저를 미치게 합니다.. 어떨때는 상상도 못할 큰 수같기도 하고 어떨때는 이세상의 모든 수의 집합같기도 합니다.. 근데 책에서는 하나의 상태라 하니 미칠지경입니다.

[@도현석-u9m]

고등학생 때 홀로 씨름했던 문제들을 유튜브라는 매체를 통해 접할 수 있어 기분이 좋습니다. 저와 같이 수학에 본질에 대해 관심이 있는 어린 학생들에게 이 컨텐츠가 '희망'을 줄 수 있을 것이라 믿어 의심치 않습니다. 이러한 내용들을 책으로 접하고 싶어하는 학생들을 위해 '수학의 기초와 기본개념'(하워드 이브스 저) 라는 책을 소개하고, 저는 그만 물러나겠습니다.

[@geochoi165]

맨날 야자 시간에 문제는 안 풀고 사소한 증명이나 수학이 어떻게 세상을 기술하는 하나의 방법으로 통할 수 있을까. 수학이 유용하게 쓰일 수 있는 근본적 원리는 뭘까에 대해 고민했었는데 항상 주위 친구들은 전혀 그런거에 관심이 없어서 저도 됭장히 외롭게 홀로 씨름했던 그런 학생들 중 하나입니다. 그런 사람이 이렇게나 많군요. 조금 더 일찍 만났으면 좋았을 거 같은 아쉬움이 드네요. 추천해주신 책 잘 읽어보겠습니다. 감사합니다.

[@다이룸교회]

좋은 부록 ^^이에요

[@성이름-e1z3p]

35:57 4번에 x는 Q-C아닌가요?

[@thetics862]

선생님 너무 잘생기셨어요

[@leeh4124]

진짜 잘생기셨어요

[@webtopid]

지능을키웁시다

[@yubeomgon3225]

좋은 강의 감사합니다. 실수를 유리수의 부분집합으로 표현하는 것 관련 이해가 안가는 부분이 있습니다. 유리수의 크기를 n0라 했을 때 실수는 n1으로 표현할수 있고, 이는 유리수 집합의 멱집합의 개수로 표현됩니다. 유리수의 집합으로 실수를 표현한다고 했는데 한쪽끝은 -무한대로 정해져 있고 반대쪽만 변할수 있습니다. 그러면 나올수 있는 부분집합의 크기는 n0 인것 같은데 어떻게 n1인 실수와 매칭이 될 수 있나요?

[@멍때린다]

유리수 집합의 부분집합으로써 실수를 정의하면 실수의 개수(농도)는 유리수집합의 부분집합의 개수(농도) A에 대해 2^A이니 실수의 개수(농도)와 일치하지 않을까요

[@amamtoto4122]

개빡고수..

[@김용찬-l4c]

분명 1시간 30분 짜리 영상인데 난 왜 3시간을 보고 있는가.... 궁금증이 생기는게.. 1. 왜 실수는 유리수의 순서쌍으로 정의 하지 않는가?? 무리수 때문인가?? 2. 무리수는 어떻게 정의 하지?? 3. 그럼 무리수도 완비성과 조밀성이 성립하지 않는건가??

[@별하늘-x3q]

수체계를 공부하시면 될 것 같습니다.(앞선 강의를 복습하시면 스스로 체계화된 해답을 찾으실 것 같습니다.) 다만, 혹시 시간이 안된다면 아래 답변을 참고'만' 해주시길 바랍니다.(아래 답변은 개략적인(rough)한 설명이라 엄밀함이 다소 떨어집니다) 1. 실수는 유리수와 무리수의 합집합으로 생각하시면 편합니다. 2. 무리수는 유리수가아닌 수라고 정의합니다. 이게 무슨 선문답이냐 하실 수 있지만, 실제로 수학이나 논리학에서는 B를 not A로 정의하는 경우가 많습니다. 무리수의 정의가 귀류법(어떠한 가정으로 인한 결과의 모순을 밝히는 것으로 가정을 부정한 것을 참으로 받아들이는 수학/논리학의 증명방법)을 통해 유리수가 아니다 라는 결론으로부터 파생됐다는 것을 보면 당연해보이는 일이기도 합니다. 3.유리수를 동전의 앞면이라고 생각하면 무리수는 동전의 뒷면이므로 동일하게 성립하지 않는 다는 생각을 해볼 수 있습니다. 바로 와닿지 않아도 해석학의 모든 강의를 수강하시다 보면 큰 줄기내에서 해석할 때 실수체계 부분에 대해서 빠진 흐름이 이것이니 당연히 무리수에 대해서 이러한 성질이 성립하겠구나라는 생각을 하실 수 있으실 겁니다.

[@그르릉고양이-b5v]

4색정리를 보고 왔습니다. 그럼 3차원에서는 8색깔로 정리할 수 있응 것 같습니다. 평면의 연속성을 3차원을 면으로 나누어서 증명할 수 있을 것입니다. 1차원에서는 2가지의 색깔로 모든 구역을 정리할 수 있습니다. 만약 이 이론이 맞다면 1차원 2의1제곱 2차원 2의2제곱 3차원 2의3제곱 n차원 차원수는 2의n제곱임을 가설로 잡고 증명하고 싶은데 어떻게 해야 할지 잘 모르겠습니다

[@김먹만]

1,2,3...n 차원이니까. 수학적 귀납법을 사용해보심은 어떠세요?

[@이재경-l3e]

안되네욥

[@hyeonsseungsseungi]

최근에 책을 보면서 실수를 코시 수열의 quotient로 구성하는 것을 보았는데... 아무튼 기대됩니다.

[@성이름-e1z3p]

저렇게 만든 실수집합이 우리가 아는 실수집합보다 크면 어떡해요?

[@crazysubmarine1186]

모든 완비순서체는 서로 같음이 알려져 있습니당.

[@승희-j5s]

으엥 어렵다