Где разрезать сферу, чтобы получить наибольшую площадь кольца?

[@deniskabro7020]

В начале думал, что где нибудь по середине между 0 и R будет располагаться кольцо, в конце приятно удивился красивому ответу

[@A_Ivler]

На 45°)

[@МаринаЛазеева-у2х]

Я вот тоже так думала. Что надо будет найти еще максимум функции, которая описывает площадь этого кольца

[@ronma1485]

@@МаринаЛазеева-у2х а виявляється,що похідна всюди нуль

[@kocunys180]

какое необычное чувство, когда посмотрел видео с этого канала и всё понял. Почувствовал себя умным :D

[@VSU_vitebsk]

Как всегда видео изящное и не затянутое! Браво!

[@archilk.khoperia81]

ყველაფერი ძალიან ლამაზი იყო! დიდი მადლობა!🤝

[@romanbykov5922]

Думал, что либо неважно (как и оказалось в итоге), либо каким-то макаром е будет приплетено. Красиво. Надеюсь, всё же есть и более простое решение.

[@dyvniy_vershitel]

Тоже дуаю, что оно есть. Хотя бы по формуле площади сферического сегмента 2 * Pi * r * h. Это следует из её линейности.

[@РостиславКузнецов-ю3у]

я на каком-то канале видел доказательство через проекцию нашего кольца на цилиндр радиуса R и высотой Н. Затем наше кольцо разбивалось на маленькие прямоугольные кусочки и показывалось, что площадь кусочка равна площади его проекции.

[@BukhalovAV]

Осталось только вывести формулу объёма внутри кольца. Частенько об этом задумывался, нарезая лук.)

[@sashavs]

Объем то уж точно максимальный в центре)

[@Zonafff]

Докажешь?​@@sashavs

[@Aversman]

@@Zonafff если толщина кольца постоянная, то объем прямо пропорционален радиусу

[@radikru96]

Теперь стало интуитивно понятно, почему площадь поверхности сферы равна четырём площадям круга того же радиуса. 👍

[@ime1bbfl829]

ну да, просто в эту формулу вместо H подставляем 2R, тогда кольцо - это вся сфера. Её площадь - 2πR*2R=4πR^2

[@Aleksandr-fj6pi]

какая красивая задача и не менее красивый ответ!

[@КираСаймохина]

Очень изящно

[@canis_mjr]

Когда в самом начале был вопрос о том, в каком месте делать разрез, то я так и знал, что есть подвох)) Было предположение, что там где-то вылезет или sqrt(2)/2 или sqrt(3)/2, которые найдутся из производной после взятия интеграла, всё оказалось куда прозаичнее))

[@anime_erotika585]

Ну интуитивно я так и думала если честно, но ответ все равно удивил)

[@bbooss7572]

Через интегралы по универсальному способу в видео, который используется в технических вузах для чего угодно, любой хорошист найдет. Вы попробуйте доказать это без них. Тем более, что речь идет о примитивной сфере с постоянной кривизной. Но автору огромный респект за красоту ролика!

[@Teclis1917]

А как вы вообще определите площадь без интеграла?

[@Swellzd]

Очень люблю такие задачки, очень приятно смотреть ваши видео

[@mike-stpr]

Ну это можно проще доказать и без интегралов: просто посчитать три площади: у края, у середины и между ними: и сравнить: профит! :) Шикарный ролик! Жаль, в конце нет списка донатеров -- подписался бы! :) Автору счастья, здоровья и всего самого лучшего от всей души! :) СПАСИБО!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 🙂

[@Hmath]

задумался над этим. Я не думал, что кому-то важна такая заставка в конце :) Но список будет коротким: на бусти 22 человека регулярно сейчас поддерживают и между выходами видео еще может в среднем 1-2 человека могут что-то напрямую задонатить.

[@canis_mjr]

@@Hmath у вас есть бусти? Хм, я бы подписался, а так пару раз денюжку вам закидывал, в основном после роликов с красивыми интегралами))

[@Hmath]

спасибо! Интегралов у меня еще много будет :) А ссылка на бусти в описании под каждым видео есть :) boosty.to/hmath

[@Ded-Misha-1234]

@@Hmath Жаль на Ютубе видео не доступно, а на других ресурсах Вас нет.

[@mike-stpr]

@@Ded-Misha-1234 ютуб вполне летает с плагином юбуст. С остальным согласен.

[@fedorgumarov5180]

Хм, мне это напомнило задачу о кольце для салфеток. И в ней я знал решение, так что мне удалось догадаться в данном случае.

[@megazebra228]

Спасибо за видео! Всегда рад новым выпускам!

[@promrdanich]

Я об интегралах знаю максимум только школьную программу этой темы, но на видео всë равно всë подробно и понятно рассказано.

[@TkachukAn]

почему-то тема интегралов мне зашла когда нужно было посчитать бак который должен быть максимального объема при минимальном количестве материала потраченого на его стенки. причем в одном случае нужно было считать для цилиндрического, а во втором для "параллелепипедического" :)

[@МаксимАндреев-щ7б]

Ещё отсюда при H = 2R следует формула площади сферы

[@MaximusU76]

Капитан Очевидность 😊

[@German_1984]

У 3Blue1Brown был ролик про это, как часть вывода площади сферы

[@zunlise2341]

хорошее видео, люблю интегрирование

[@delafrog]

Телесный угол вырезаемый конусом с углом раствора \theta при вершине пропорцианален cos(\theta) (в формуле для телесного угла спрятан результат интегрирования) Значит искомая площадь пропорциональна cos(\theta1) - cos(theta2) , а значит пропоуиональна и указанному расстоянию H. То есть площадь кольца не зависит от того где она вырезана.

[@isegos]

Решил задачу подсмотрев в конце ответ.

[@атквтк-ъ1г]

Забавно получилось, думал, что около края сферы площадь больше, оказалось ошибся)

[@A_Ivler]

Это очень похоже на задачу о кольце для салфеток (эх, вот бы ее разобрали), так что я сразу знал, что площадь от места на сфере не зависит.

[@Георгий.Цыфаркин]

я мысленно порезал всю сферу на бесконечное количество очень тонких полосочек, заметил, что площадь каждой из них равна ширине полосочки умноженную на длину полосочки, которая прямо пропорциональна радиусу потом заметили, что ширина полосочки обратно пропорциональна косинусу угла наклона полосочки, а длина прямо пропорциональна косинусу угла наклона полосочки получается косинусы углов наклона сокращаются, остаётся только изначальная площадь полосочки

[@yvyneath]

Наконец-то человеческое решение.

[@kegg77]

Корректнее было бы сказать, что плоскости перпендикулярны Х. ;)

[@alexanderlogunov5147]

Получилось угадать)

[@ИванЛебедев-л3н]

По аналогии с задачей о кольце для салфеток предположу, что площадь зависит только от H

[@mndtr0]

Блин, дошёл до формулы, думал будет задача на оптимизацию, и... Тупанул, потому что начальная точка уничтожилась. «А что оптимизировать-то, если тут одни константы...», хотя по-идее должен был подумать «Так тут тодни константы и все кольца одинаковы»

[@TkachukAn]

ого... оказывается... вот и верь после этого своим глазам...

[@aarghm]

Подумал изначально так потому что сфера это поверхность с постоянной кривизной, что может являться намёком на то что не важно как отсекать кольцо, изменение кривизны будет скомпенсировано

[@РусланАстамиров-е8ц]

Где-то слышал такой факт, что где не отсекай везде одинаково, зависит только от расстояния между плоскостями. Сейчас проверим

[@РусланАстамиров-е8ц]

Получается, правда

[@sergeybrener251]

формулы для площади сферического сегмента изучают в школе вроде ) А, зная ее, задача решается за 2 секунды.

[@Arsenniy]

Легенда!

[@user-xyser-111]

Угадал🥳

[@СвободныйМатематик]

Изначально предположил, что окажется не важным У этой задачи есть 2д аналог, конечно, решить его намного проще

[@sergeygaevoy6422]

Есть на этот счет теоремка, если мне память не изменяет. Площадь поверхности сферы равна площади боковой поверхности цилиндра того же радиуса и высоты, равной диаметру. Одно из доказательств предполагает простой факт. Там на картинке на синей сфере на видео изображены прямоугольники. Если взять из достаточно малыми и повернуть на 90 градусов, то мы получим цилиндр. Увеличение длины к полюсам компенсирует уменьшение ширины.

[@maxm33]

В астрономии возникает много задач в сферической геометрии. Правда, интегрировать там редко приходится, иногда дифференцировать. Как-то показалось интересным решить такую задачку. Вот, например, в Москве день (долгота дня) прибавляется или убывает быстрее всего около равноденствий (по 5 минут примерно за сутки), и скорость изменения плавно убывает к солнцестояниям - все, кто внимательно изучал отрывные календари, знают об этом. В Питере тоже. А есть ли широта, на которой зависимость становится не такой простой? В идеальном случае (без учета атмосферной рефракции) решается несложно. В реальном - не помню, не уверен.

[@ФиллипФиллипов-л2ш]

Интуитивно понятно было что без разницы где резать, но доказать не смогбы

[@Ihor_Semenenko]

Площадь кольца будет постоянна. и не зависит от расстояния от "экватора", зависит только от расстояния между плоскостями.

[@imishka]

Если учесть что площадь сегмента сферы равна 2piRx где х это высота сегмента, то данная задача сводиться к разности 2х сегментов 2piRx1-2piRx2 = 2piRH (где H толщина кольца)

[@ПетрНиколаев-ж4ы]

Интересно, что при разрезании цилиндра с радиусом R площадь кольца вычисляется так же. Там всё гораздо проще: длину окружности 2𝝿R умножаем на ширину кольца H.

[@snowrain347]

Не поверите, но я видел советсткий школьный учебник, где этот факт доказывался. Доказывалась теорема, что площадь вращения отрезка равна произведению высоты на длину серединного перпендикуляра (до пересечения с осью вращения), то есть S=2π⋅H⋅l. А потом на основании этой теоремы выводилась формула площади сферы и шарового сегмента. Объем же шара там выводился из принципа Кавальери.

[@Hmath]

а в несоветских учебниках такого нет? :) А дальше выводится площадь сферы "без интеграла": берём "очень маленькие" отрезочки, все их вращаем и получаем "очень тоненькие" колечки, а дальше их суммируем и получаем площадь сегмента или всей сферы :) и "никакого" интеграла :) Конечно, получаем не совсем сферу и не совсем её площадь, но на уровне советской или иной школы и так норм :) Потому что на уровне школы еще понятно что такое площадь прямоугольника и какого-нибудь треугольника, а вот всё остальное, тем более площадь неплоской поверхности - это остается загадкой. Без интеграла даже определение площади не получается :)

[@snowrain347]

@@Hmath В несоветских учебниках площадь сферы выводится как предел описанного около нее многогранника и разбиение многогранника на пирамиды, площадь связывалась с объемом, а объем определялся через интеграл высота-площадь-сечения. А вот в отдельных советских учебниках все было интереснее: площадь сразу определялась (то есть давалось определение) как предел площади вращения вписанной в полуокружность ломаной, когда длина каждого звена стремится к нулю. После этого предъявлялась ломаная, в которой все звенья одинаковой длины и на основании специальной леммы (что площадь связана с высотой и серединным перпендикуляром) выражение сначала суммировалось и упрощалось и только после этого шел предельный переход. Этого выгодно отличается от ситуации произвольного разделения на колечки, где сначала делается предельный переход и только после этого вычисляется сумма(интеграл). Кстати для вычисления объемов никаких предельных переходов не нужно было вводить, так как использовался принцип Кавальери, хотя если разобраться, то даже ля вычисления объема наклонной призмы или пирамиды уже нужно делать предельные переходы.

[@leepeeka]

Подозреваю, что эта формула для площади полоски на шаре не из советских учебников, а была известна примерно с 17-го века. Но кто первый опубликовал? Приближенно, видимо, знали в древности

[@snowrain347]

​ @leepeeka да полоски уже Архимед умел вычислять. Но для корректного доказательства нужно использовать понятие предела, а это уже только вторая проловина 19 века.

[@padla6304]

я знал что площадь будет одинакова везде где-то был ролик про площадь сферы и её тоже ломтями резали и этот факт там всплывает

[@BlackDanAurum]

В видео 3blue1brown(4d geometry make me sad) был ответ на этот вопрос, поэтому для меня уже был известен ответ,но решение тоже прикольное

[@girrra1233]

Почему интеграл для куска поверхности такой? Немного не уловил этот момент

[@БальтазарТ]

В сферической системе координат это выводится просто и в одной строчке. Пока смотрел это видео, я уже в уме решил. Напишу на латехе так как не могу вставить картинку с формулой. $ dS=R^2 \sin\theta d\phi d\theta, \phi \in [0...2\pi], \theta \in [\theta_1 ... \theta_2], S=R^2 \int_0^{2\pi} d\phi \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sin\theta d\theta=2\pi R^2 (\cos\theta_1-\cos\theta_2)=2\pi R (z_1-z_2)=2\pi R H $

[@МаринаЛазеева-у2х]

Выводится поверхностный интеграл или уже двойной/повторный?

[@БальтазарТ]

@@МаринаЛазеева-у2х Не понял вашего вопроса

[@evgenychernyaev]

Площадь сферического сегмента S=2πRH, где R - радиус сферы, а H - высота сегмента от поверхности. Площадь полосы (усечённой сферы?) - S=S2-S1, где S2- площадь большего сегмента, а S1 - меньшего. Их высоты - H2 и H1 соответственно, H - высота кольца. Получаем S=2πRH2-2πRH1=2πR(H2-H1)=2πRH. Площадь зависит только от радиуса и высоты

[@Hmath]

Любую задачу можно "решить" легко, если взять сразу конечный ответ и сказать, что он очевидно явился сам откуда-то, как "площадь сегмента" :)

[@geometrytiger9047]

Решил по формуле Пика за минуту.

[@ksh_tech]

а разрез феры от северного до южного полюса считается большим кольцом?

[@Abigail-uc8iz]

Лично была мысль сначала о том, что у края будет наибольшая площадь, потом вот о чём подумал: У нас в целом 3 измерения. Высота, длина и ширина В одном случае (ближе к центру) у нас наибольшая длинна ленты. В другом - Ширина (с краю) И резонен вот какой вопрос: А имеется ли разница? Ведь скорость увеличения площади зависит именно от ширины и длины ленты,грубо говоря. Притом что в одном случае, что в другом изменяются обратнопропорционально две меры - длина и ширина. То есть по идее площадь не должна меняться. Учитывая что обе из них связаны с синусом, или косинусом, в зависимости от удобства, появляется предположение о том, что они зависимы как 1 = sin²x + cos²x. Но опять же это было предположение. Да, было верным предположением, однако только вот по хорошему её следовало доказать более формально. В том числе с использованием тригонометрии (используя синус и косинус, бещ учёта арккос и арксин) Но решение с интегралами тоде красиво, и в какой то мере сзодно с расскждениями выше, хоть и в иной форме

[@user-dq6jf9ru9e]

Делал в сферических координатах, выкладки, по-моему, проще.

[@Mercury13kiev]

В 3Blue1Brown это было чуть более на пальцах.

[@MaximusU76]

Предлагаю решение "без интегралов". У нас сечения перпендикулярны оси Х, ок. Возьмем произвольную точку на сфере, пусть она не лежит на "полюсе" (оси Х) и не лежит на экваторе. . Теперь проведем к ней из центра О радиус-вектор R. Обозначим угол между нашим радиус-вектором и осью Х как а(льфа). Проведем через нашу точку секущую плоскость, перепендикулярную Х. Ее пересечением с шаром будет круг радиусом r=R*sin(a). Теперь на "очень маленьком" расстоянии dh от нашей базовой секущей плоскости проведем еще одну, параллельную ей (она тоже перпендикулярна Х). Между этими 2 плоскостями на сфере образовалось "кольцо". Его "толщина" по оси Х равна dh, радиус r=R*sin(a). А вот поверхность его не параллельна оси Х, а наклонена к этой оси под углом (90-альфа). И поэтому высота стенки этого кольца dl равна dh/cos(90-a)=dh/sin(a). Теперь находим площадь нашего "очень тонкого" кольца ds=2pi*r*dl=2pi*R*dh . sin(а) сократился - значит, его площадь не зависит от угла альфа, то есть от выбора базовой точки х0. "Интегрирование"(суммирование очень маленьких величин) дает нам площадь большого кольца с проекцией H на ось Х S=2pi*R*H, а для всей сферы (H=2R) получаем формулу S=2pi*R*2R=4pi*R^2. Фсе.

[@Hmath]

прямо "без интегралов" получилось :) Всё тоже самое, что и в видео, только очень нестрого :) Античное интегрирование: подходит для тех, для кого интегрирование 17 века "слишком сложное" :)

[@MaximusU76]

​@@HmathВо многом с Вами соглашусь, и что интегрирование присутствует, и все не так строго расписано... Но все-таки не сказал бы, что это прям античное интегрирование. При желании можно строго показать, что в данном конкретном случае все "допущенные нестрогости" имеют порядок о(dh). А это то же самое, что дает нам формальное интегрирование - предельный переход "уничтожает расхождения" порядка o(dx).

[@Hmath]

ну как пишут, площадь сферы получил еще мифический Архимед за 3 века до н.э. Вот он как-то так же рассуждал :) Поэтому и "античное интегрирование" :) Да я понимаю, что "сходится". Если бы не сходилось, я бы сразу написал, что "всё неправильно" :) А так почему нет? Пусть будет. Фактически то же интегрирование, но без слова "интеграл" :)

[@MaximusU76]

Ну, насколько я помню, Архимед несколько другими путями шел. И про формализм дифференцирования, в отличие от нас с Вами он не знал. Вот Вы, молодой человек, когда подынтегральное выражение записывали, зрителям своим его никак не прокомментировали. Не сказали, что это по сути линейная (в нашем случае 2D плоская) апроксимация криволинейной поверхности кусочком плоскости. То есть по факту Вы воспользовались тем же свойством линейного приближения дифференциала функции df(x)=f(x+dx)-f(x)=dx*f'(x)+o(dx), что и я. Только Вы это "спрятали" за формализмом интегрирования площади, который не обьясняете, а я это линейное приближение указываю напрямую в своих рассуждениях. Да, тоже не даю четкого обьяснения и пояснения, признаю. Но над моим "приблжением" Вы почему-то "смеетесь". Зря. Оно не просто так случайно совпадает с Вашим. Подумайте над этим. Возможно, это поможет более глубоко понять суть дифференциала и позволит "проще" решать некоторые практические задачи, например из физики. Очень часто бывает, что дифференциал искомой величины, значение которой хотим получить интегрированием по х, зависит от dх не линейно, а содержит например (dx)^2 или sin(dx). И понимание "что с этим делать", что можно, а чего нельзя, очень помогает... Что касается ингрирования в моем подходе, то формально оно ,конечно же, присутствует. Но согласитесь, интеграл вида Int(1*dx) сложно даже называть интегралом. С уважением.

[@MaximusU76]

Если хотите математической "строгости", то я попробую ее Вам дать. Из предыдущих рассуждений: имеем 2 круга как 2 сечения шара с нормалью вдоль оси Х. У первого, базового, радиус r1=R*sin(a), точка его пересечения с осью Х х1=R*cos(a). У второго круга точка пересечения с осью х2=х1+dh=R*cos(a)+dh. А квадрат его радиуса r2^2=R^2-x2^2. Проекция нашего тонкого кольца на плоскость YZ равна pi*(r1^2-r2^2). Тут сложно расписывать формулы, поэтому сразу напишу, что это равно 2pi*R*cos(a)*dh+pi*(dh)^2 или 2pi*R*cos(a)*dh+o(dh). Теперь разобьем наше кольцо и его проекцию на малые секторы, плоскостями, которые включают ось Х и перпендикулярны плоскости YZ. Надеюсь, Вы поняли, что я имею в виду. Пусть "ширина" сектора имеет порядок О(dh), то есть ->0 при dh->0. Тогда площадь каждого такого кусочка кольца ->0 при dh->0. Каждый кусочек кольца содержит точку (любая на базовой окружности радиуса r1), в которой нормаль с осью Х составляет угол а(льфа). Пусть ds - площадь сектора кольца, а dp - площадь его проекции на YZ. Так вот, я утверждаю, что ds = dp/cos(a) + o(dh), а после "интегрирования по секторам" площадь всего кольца dS=dP/cos(a)+o(dh), где dP - площадь проекции всего кольца. Итого dS=2pi*R*dh + o(dh). То есть при dh->0 имеем dS->2pi*R*dh. А при интегрировании "в глубину", то есть по оси Х, получаем S=2pi*R*H. И вот скажите мне пожалуйста, чем мое разбиение и линейная апроксимация хуже, чем Ваша универсальная "классика" на евклидовы квадратики? Только тем, что есть отработанный универсальный алгоритм, который написан во всех учебниках? P.S. Чтобы найти площадь или обьем фигуры, можно ведь построить множество разных бесконечных разбиений, которые, как ни странно, будут давать один и тот же результат. Главное, чтобы они были "правильными".

[@yurayura9043]

S = 2πRH верно только тогда, когда H

[@Hmath]

нет. верно при любом H. Например, когда H=2R - получается полная площадь сферы: 4πR^2

[@capitaineserge_9747]

@@Hmath А когда H>2R (например, H=4R) какая получается площадь?

[@Hmath]

4πR^2

[@MaximusU76]

В области, где модуль(Н)>R, нет сферы, нет поверхности, и соответственно доп.площадь там=0. А полный интеграл для H>R даст тот же результат, что и для интервала [-R;R], то есть 4pi* R^2.

[@ФёдорМихалев-ы1ц]

Доказательство может быть короче, площадь такого кольца проецируется на цилиндр, причем площадь кольца равна площади проекции. И логично, что площадь кольца на цилиндре зависит только от ширины кольца, а не от местоположения.

[@Hmath]

"причем площадь кольца равна площади проекции" - если этот факт сам по себе из ниоткуда возникает, тогда, конечно, короче. Иначе непонятно, как может короче получится. Как это вообще доказывается? :) Через поверхностный интеграл? просто при этом такое слово не произносят? :)

[@yurayura9043]

немного не понял, куда двойка делать перед -х и перед -у По идее же, когда минус х квадрат интегрируешь получаестся минус два х, а не просто х

[@Hmath]

вопрос видимо про нахождение производной. Производная от корня: 1/(2*корень) двойка сокращается с тем, что получается в числителе

[@Sinister_Gloom]

Без интегралов догадался.

[@NixAxer]

Если разрезать сферу по максимальному радиусу плоскостями с нулевым расстоянием между ними, то получим мы окружность. А длину окружности мы помним со школы: 2П*R. А вот площадь у неё нулевая, потому что нулевая ширина: 2П*R*0. Если разрезать сферу плоскостями с расстоянием между ними 2R, то мы получим площадь всей сферы: 4П*R². Или более удобно для нас: 2П*R*2R. Т.е. площадь произвольного сегмента сферы зависит от значения расстояния между плоскостями, в диапазоне от 0 до 2R, умноженное на длину окружности с радиусом этой сферы. Разве так не проще?

[@frostyshdurak1703]

Insanity!

[@PetrPetrov-g4t]

На 6 минуте а=((R^2)-(x^2)), а не а=√((R^2)-(x^2)), корня там нет, замена неправильная

[@PetrPetrov-g4t]

А не, вру, там же а^2

[@MrSmith-vf2ho]

Как получилась формула для площади кольца? Это где-то есть?

[@Hmath]

про это всё видео, под которым вы пишите комментарий

[@MrSmith-vf2ho]

​@@Hmath как получилась формула для области D? Этого нет нигде. Почему корень из суммы квадратов производных z?

[@Hmath]

ru.wikipedia.org/wiki/Площадь_поверхности

[@MaximusU76]

На самом деле функция, которая стоит под интегралом, равна 1/cos угла между нормалью к плоскости интегрирования XY (то есть осью Z) и нормалью к интегрируемой поверхности z=f(x,y). Потому как площадь прямоугольной проекции dx*dy с уменьшением размеров элементов разбиения стремится к площади породившего ее кусочка поверхности, умноженной на косинус угла между плоскостью XY и плоскостью-касательной к поверхности (взятой в любой точке этого кусочка).

[@СлавикМиролуч]

Это мне было с самого начала интуитивно понятно 😅 kzbin.info/www/bejne/eIWpaIGIZr6Gn8ksi=8dp7VNakjg9airvt

[@alekseikurykanski3638]

Ответ действительно красивый. Но разве не проще решить через площадь усеченной сферы?

[@Hmath]

а формулу для "площади усеченной сферы" в википедии посмотреть? :) Так там сразу ответ есть: "площадь поверхности сегмента равна A=2πrh" И сразу конец видео :)

[@evgenychernyaev]

​@@HmathШкольники физ-мат классов формулу могут знать, а двойные интегралы вряд ли сходу возьмут

[@TAng82]

было бы намного красивее, если доказать без использования интегралов)

[@popan.stepovich]

Везде одинаково. Это же классический школьный факт. Через него в школе выводят площадь поверхности сферы

[@ФеликсРождественский-ч5д]

Слишком сложное решение такое простой задачи. Обратитесь к понятию телесного угла. Есть формула выражающая телесный угол, полученный вращением плоского угла(она несложно выводится). Далее просто найдя несложно телесный угол под которым видна "красная часть" из центра можно выразить площадь поверхности.

[@Hmath]

расскажите откуда выводится "формула телесного угла", так чтобы "несложно" и меньше 3х действий, как у меня в решении получилось. Тогда посмотрим слишком ли сложно. Если что, всегда есть более простой способ: посмотреть в википедии формулу для площади сегмента сферы. И все сразу ответ получается внезапно, без всякого решения вообще :) 0 действий!

[@ФеликсРождественский-ч5д]

drive.google.com/file/d/1gUSlAWDZ3FGulcjWdtBfs8N3PKFQKhxp/view?usp=drivesdk решение

[@ФеликсРождественский-ч5д]

Эта формула действительно тривиальна

[@Hmath]

непонятно зачем вам вообще этот "телесный угол" нужен, если вы сразу площадь получили. Я не вижу только, чтобы здесь что-то было "проще", но если вам проще - пусть так будет. Я бы назвал это "слишком необоснованное решение". Вот эти геометрические манипуляции... Я тоже так делаю, но надо ж понимать, что это всё слишком нестрогий вывод. Вот спрошу я вас: "а почему радиус везде в вашем dS одинаковый?" Вы мне скажите, что площадь "маленькая" и радиус можно считать, что не меняется и т.п :) А если бы вы стали всё это нормально обосновывать, у вас бы вывод получился в десятки раз длиннее, чем то, как показано в видео: взята общая формула для площади поверхности (она конечно тоже в видео не выводится) и из нее найдена площадь для сферы. Я вижу это как более правильный подход: от общего к частному. Чем пытаться нестрогими геометрическими манипуляции подогнать под ответ (конечно я сам тоже так периодически делаю, но никогда бы не стал настаивать на том, что этот подход чем-то лучше).

[@ФеликсРождественский-ч5д]

Тут я с вами согласен, мне до строгости обоснований очень далеко, так как я сам одиннадцати классик и физик:), а факты о телесном угле я знаю из электродинамики. Тут я увидел главную цель как найти решение максимально быстро. Так как в голове есть определенный набор фактов, то первое что пришло на ум - такое решение. Вот я и поделился)

[@barackobama2910]

НУ это девятиклассники знают (или продвинутые семиклассники) и куда проще доказывается.

[@at_one]

Как проще? Без интеграла кусок площади сферы? Не умею, напишите, пожалуйста!

[@barackobama2910]

@@at_one Спроецируйте сферу на цилиндр радиуса R. Узкие полоски проекции на цилиндр будут равны по площади сферическим кольцам.

[@canis_mjr]

@@barackobama2910 так надо будет показывать равенство площади образа и проекции, там предельный переход надо будет делать, если не ошибаюсь, через интеграл как-то проще что ли 🤷🏻‍♂️

[@at_one]

​@@barackobama2910, так почему площадь проекции равна исходному шаровому слою? Я умею это доказывать как раз в другую сторону, раз площадь шарового слоя 2πRH, то проекция на цилиндр имеет ту же площадь.

[@boderaner]

@@at_one , это называется "площадь сегмента сферы" и изучается в школьном курсе стереометрии (10‒11 классы).

[@yosukesharp]

Мда, не могу тебя смотреть из-за шуршания в наушниках. Причем это происходит именно на твоих видео. Проверь аудиодорожку пож.

[@ОлегИсаев-п2ж]

Математика - это страшное колдунство! Но красиво-то как!

[@onix460]

Ответьі к задачам не угадьівают, а находят