Длина эллипса и разложение в ряд для эллиптического интеграла

  Рет қаралды 26,976

Hmath

Hmath

Күн бұрын

В этом видео будем выяснять как найти длину эллипса. Рассмотрим пару приближенных формул, а так же получит точную формулу в виде разложения в ряд для полного эллиптического интеграла 2 рода.
В этом видео подробнее про вывод формулы для нахождения длины дуги кривой: • Длина параболы и спира...
В этом видео доказывается почему можно менять cos на sin в интегралах: • Два определенных интег...
Здесь получено разложение в ряд для (1+x)^a: • Дифференциальное уравн...
Здесь получена общая формула для интегралов с sin(x)^n: • Интеграл (cos x)^n. Об...
А здесь можно посмотреть, как получить формулу для площади эллипса: • Площадь пересечения эл...
Если у вас есть возможность, поддержите канал:
сбербанк: 4276160020048840
тинькофф: 5536914075973911
регулярная поддержка: boosty.to/hmath

Пікірлер: 103
@bartsimpson81
@bartsimpson81 3 жыл бұрын
Рамануджан - гений и виртуоз в создании формул. Точность второй формулы просто поражает.
@alexandermorozov2248
@alexandermorozov2248 Жыл бұрын
Проверьте вторую формулу для окружности (когда a=b) 😅
@mhevak
@mhevak Жыл бұрын
@@alexandermorozov2248 2*pi*a. Шонитак?
@MerlinShow
@MerlinShow 11 ай бұрын
​@@alexandermorozov2248в чём проблема? 2па получается, как и должно быть
@ISLAM6412
@ISLAM6412 2 жыл бұрын
Теперь я знаю, почему такие интегралы решили назвать эллиптическими. Спасибо
@VSU_vitebsk
@VSU_vitebsk 3 жыл бұрын
Качество материала и подачи информации растет с каждым новым видео! Автору большой респект! Обязательно покажу студентам на занятии по рядам Тейлора
@AlexeyEvpalov
@AlexeyEvpalov 11 ай бұрын
Спасибо за интересное видео с подробным объяснением.
@arts5852
@arts5852 Жыл бұрын
Потрясающее разъяснение. Более понятно быть просто не может
@servenserov
@servenserov Жыл бұрын
Спасибо! Очень сложно, но предельно ясно! Добавлю, что был несказанно удивлён отсутствием простой формулы длины эллипса тем более при наличии такой красивой формулы площади.
@Hobbitangle
@Hobbitangle 2 жыл бұрын
Замечательный материал. Опять же радуют чисто вычислительные примеры - т.е. как этот материал можно использовать на практике. Чтобы можно было бы дополнить - опять же с точки зрения численного анализа: полученный ряд хорошо сходится при малых эксцентриситетах. Но если эксцентриситет велик - близок к единице - сходимость сильно ухудшается. В этом случае подынтенгральную формулу стоит преобразовать -заменив в ней k^2 на скажем 1-q^2 и после ряда преобразований получив интеграл связанный с эллиптическим интегралом с меньшим значением k
@sbytuylethyk8081
@sbytuylethyk8081 3 жыл бұрын
Спасибо,Вам.Ваш канал, один из немногих, новое видео на котором, ждёшь.
@ДмитрийКожевин-к3ф
@ДмитрийКожевин-к3ф 10 ай бұрын
Добрый день. Спасибо за видео. Запишите пожалуйста видео с определением среднего радиуса эллипса.
@a.osethkin55
@a.osethkin55 2 жыл бұрын
Ролик огонь! Спасибо
@alik4564
@alik4564 3 жыл бұрын
Благодарю за полученное удовольствие!
@SHIZ584
@SHIZ584 3 жыл бұрын
Спасибо!
@nataliakondratyeva9686
@nataliakondratyeva9686 2 жыл бұрын
Большое спасибо за интересное видео. Дам на него ссылку студентам. Мне нравится обозначение эпсилон для эксцентриситета. Именно его всегда использую.
@AnyMonkey-l8d
@AnyMonkey-l8d 2 жыл бұрын
Красиво, у Рамануджана :-)
@dashersbeatz
@dashersbeatz 3 жыл бұрын
Сейчас изучаю символьное интегрирование (Алгоритм Риша в частности, интересно как комп считает стало). Ну и вот такие товарищи там часто вылазят при попытке взять интеграл от случайной комбинации алгебраических и трансцендентных функций (алгоритм только для трансцендентных функций).
@alexeybelozerov4297
@alexeybelozerov4297 9 ай бұрын
Бесподобно!
@maksimvialkov6303
@maksimvialkov6303 Ай бұрын
Из "ленивых аппроксимаций" пользуюсь вот этими: Формула Паркера: L ≈ π * ((6/5)*a + (3/4)*b) Аппроксимация через среднее квадратичное: L ≈ 2π * sqrt (((a^2) + (b^2))/2) Формула Тасделена-Мертенса (АКА YNOT формула): L ≈ 4 ((a^y)+(b^y)) ^ (1/y) , где y = log (2) / log (π /2) Формула Кеплера с чудовищной погрешностью через среднее геометрическое L ≈ 2π * sqrt (a*b) , скорее всего, связана с тем, что Кеплер предпочитал чистую конструктивную геометрию вычислениям, и среднее геометрическое можно "приблизительно прикинуть" именно через построения циркулем и линейкой.
@KalininEvgen
@KalininEvgen 3 жыл бұрын
Замечательное видео! Большое спасибо! Кстати говоря, есть ли ссыль на выведение формул Рамануджана для длины эллипса? Было бы интересно поглядеть)
@Hmath
@Hmath 3 жыл бұрын
у меня нет ссылок :) не знаю, как они получаются. Но думаю, что там получение этих приближенных формул сильно сложнее - потребуется значительно больше всего знать, если судить по другим выводам, что я видел у Рамануджана.
@airatvaliullin8420
@airatvaliullin8420 3 жыл бұрын
Рамануджан не выводил формулы, он их придумывал))
@KalininEvgen
@KalininEvgen 3 жыл бұрын
​@@airatvaliullin8420 Он их не придумал. Ему по ночам бог мудрости снился, который нашёптывал правильные формулы)
@bigcrush
@bigcrush 11 ай бұрын
@@KalininEvgen богиня же 🙂
@Archik4
@Archik4 Жыл бұрын
ради нескольких знаков после запятой нужно считать двойные факториалы от чисел больше 100 много раз. Хотя можно использовать дельта формулы, когда вычисляем следующий коэффициент из прошлого. Не нужно пересчитывать каждый факториал по новой.
@viktor-kolyadenko
@viktor-kolyadenko Жыл бұрын
С начала видео предполагаю, что можно сделать замену x = a*cos(t), y = b*sin(t). Как считать длину такой кривой мы знаем, Вы используете в 4:24. Формулу в 14:15 мы учили как интеграл Валлиса.
@designed6102
@designed6102 4 ай бұрын
Если так посудить то за формулой длины окружности тоже скрывается бесконечный ряд, только в данном случае этот ряд заменен буквой пи
@igor-sukharev
@igor-sukharev 11 ай бұрын
А как растёт количество верных знаков после запятой в зависимости от количества членов суммы?
@dmitryramonov8902
@dmitryramonov8902 3 жыл бұрын
А вот интересно, приближенные формулы Рамануджана можно "сломать"? Если взять какой нить нестандартный эксентриситет для очень вытянутого эллипса, то число верных знаков может резко сократиться (а может, не останется ни одного).
@Hmath
@Hmath 3 жыл бұрын
попробуйте! я не проверял. думаю, что вряд ли "не останется ни одного" :)
@dmitryramonov8902
@dmitryramonov8902 3 жыл бұрын
@@Hmath первая формула Рамануджана в пределе имеет неустранимый деффект [4-π(3-√3)]/4 ≈ 0.4%, что довольно точно даже на бесконечности. Однако, для a/b=50 имеем периметры примерно 200 и 199, то есть ни одного верного знака.
@Hmath
@Hmath 3 жыл бұрын
200.7 = 2.007 * 10^2 ≈ 2.01 * 10^2 199.6 = 1.996 * 10^2 ≈ 2.00 * 10^2. так что 2 верных знака по крайней мере при а=50, b=1 ;)
@dmitryramonov8902
@dmitryramonov8902 3 жыл бұрын
@@Hmath с точки зрения теории ошибок, вы, конечно, правы, но на бытовом уровне - там и первый сомнителен.
@elja6750
@elja6750 Жыл бұрын
​@@Hmathон же просто записал разложение в ряд, взяв несколько членов последовательности в другом виде + возможно что-то округлил для красоты. Можно повторить и сделать ещё одну свою формулу точнее, чем его. Только и вид будет страшнее.
@НоннаВитвицкая
@НоннаВитвицкая 11 ай бұрын
Еще бы графики L(k) (при а=1): точного значения; с первой поправкой -k^2/4; и двух формул Рамануджана. 😄 Чтобы увидеть их различие.
@Serghey_83
@Serghey_83 2 жыл бұрын
Рамануджи, ты гений! Как тебе это удалось?)
@canis_mjr
@canis_mjr 2 жыл бұрын
На канале поступашки есть ролик, где вычисляют площадь эллипса, зажимая этот самый самый эллипс двумя сферами в цилиндре. Площадь эллипса находится через проецирование. Разве длину эллипса так найти нельзя?
@Hmath
@Hmath 2 жыл бұрын
так я не понимаю о чем там речь - спросите на том канале :)
@canis_mjr
@canis_mjr 2 жыл бұрын
@@Hmath там это было как домашнее задание)) Увидел ваш ролик и сразу вспомнил. Я понимаю, что если замкнутый контур, находящийся в одной плоскости спроецировать на другую плоскость, то площади будут подобны с коэффициентом cosa, где a - угол между плоскостями. Будет ли это справедливо для длины кривой не уверен, а литературы сейчас под рукой нет((
@QMG47
@QMG47 Жыл бұрын
А почему нельщя посмореть ввиде края многообразия и потом нацти по формуле Стокса?
@QMG47
@QMG47 Жыл бұрын
Тот же вопрос
@ignatww8342
@ignatww8342 Жыл бұрын
Посмотрите как вычисляется длина эллипса через арифметико-геометрическое среднее, АГС. Вам понравится.
@Hmath
@Hmath Жыл бұрын
вы хотели сказать, как вычисляется эллиптический интеграл с помощью AGM :) Да, я знаю. Там только вывод довольно муторный и громоздкий, поэтому до сих пор не сделал такого видео
@oner_137
@oner_137 6 ай бұрын
Извините за глупый вопрос, но почему нельзя просто в формуле длины окружности L = 2πr заменить r на √(ab)?
@Hmath
@Hmath 6 ай бұрын
и что получится?
@allaksusallaksus2402
@allaksusallaksus2402 2 жыл бұрын
При k=1 сумма ряд в скобках равна пи
@dima_math
@dima_math 3 жыл бұрын
Это бесподобно! А если не секрет, сколько времени ушло на создание этого ролика?
@Hmath
@Hmath 3 жыл бұрын
да, я думаю, вы догадываетесь, что времени много на это уходит :( в среднем расчет: час работы на 1-2 минуты итогового видео, быстрее у меня не получается. Так что видосики в среднем должны набирать по 50-100тыс просмотров, чтобы за мой труд ютьюб с рекламы заплатил примерно как дворнику в москве.
@dima_math
@dima_math 3 жыл бұрын
@@Hmath Догадываюсь, потому и спрашиваю) Wild Mathing говорит, что у него на 1 минуту уходит от 1 до 4 часов. И, кстати, он тоже жалуется, что его мало смотрят. Видимо, чем больше есть, тем больше хочется) Но вообще, мне кажется, что такие вещи обычно делают не для славы и денег, а из любви к искусству и служения прекрасному.
@Hmath
@Hmath 3 жыл бұрын
ну я догадывался, что он больше времени тратит - у него же видно :) если бы еще в магазине мне еду давали просто из любви к прекрасному, но им почему-то денег подавай :)
@Uni-Coder
@Uni-Coder 2 жыл бұрын
У меня как у очень ленивого человека уходит день на минуту, а то и хуже.
@СергейФомин-я7л
@СергейФомин-я7л 9 ай бұрын
@@Hmath У вас прекрасная подача материала, и отличное чувство юмора! 👍😊 Я как созерцатель, обозреваю и любуюсь красотою математических выкладок, законов. И возникает у меня предположение такое, что вы, может быть, исследуя математику и геометрию, открыли нечто интересное, доселе неизвестное широкой публике (закон, формулу, теорему, ряд и т.п. ). Если это так, дайте знать, пожалуйста! 🌠☀️♥️
@secretsecret1713
@secretsecret1713 Жыл бұрын
Вообще-то вопрос с длиной эллипса давно решен, для таких случаев существует специальный трюк такой универсальный и применяющийся давно, взять и создать и назвать новый объект. Например, как с корнем из -1 поступили? Да не парились и сказали "Да пох давайте назовем это i и закроем уже тему. И будем изучать свойства i". И о чудо , сейчас i воспринимается как неотъемлимая часть математики, как часть мира чисел. Тоже самое с функциями, например те функций которые выражаются через всякие интегралы, взяли да придумали новые обозначения и поставили в ряд с другими функциями и все. Я это все к тому что раньше для людей концепция чисел и операций было в новинку, вот например люди раньше, когда понадобились числа, взяли и сказали "Пускай будет 1,2,3...." и когда люди впервые начали "играться" с числами то поняли что с можно из одного получить другое путем сложений и вычитаний и взяли да не парясь сказали "назову эту операцию +, а ту -" и все. Потом со временем операций приелись и люди всех их поместили в группу "элементарных" операций. То бишь наши предки точно также выкрутились из положения как и их потомки с мнимыми единицами и новыми функцияии
@ВладиславБабеков-ж2е
@ВладиславБабеков-ж2е 11 ай бұрын
хм, а как формально доказывают, что интеграл не выражается в элементарных функциях?
@Hmath
@Hmath 11 ай бұрын
как-то так: ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8#%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%8D%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B9
@ВладимирАфанасьев-ч8ъ
@ВладимирАфанасьев-ч8ъ Ай бұрын
А разве длина не измеряется с помощью криволинейного интегралла
@Hmath
@Hmath Ай бұрын
да, у меня в видео он и есть.
@jockey9911
@jockey9911 Жыл бұрын
В мире нет идеальных окружностей. Живём в мире эллипсов.
@Micro-Moo
@Micro-Moo Жыл бұрын
В мире нет идеальных эллипсов. Мы живём в мире овалов. Или грушевидных кривых. Хотите продолжить?
@СергейФомин-я7л
@СергейФомин-я7л 9 ай бұрын
@@Micro-Moo И что, орбиты планет вокруг звёзд - овалы, а не эллипсы? А может быть , не овалы, а курямнасмеххреньпоймичто?
@Micro-Moo
@Micro-Moo 9 ай бұрын
@@СергейФомин-я7л В первом приближении - эллипсы. В следующем приближении - не эллипсы, но и не овалы, скорее, эллипсы, которые сами немного двигаются, так что результирующая траектория довольно сложная плетёнка. Всё это хорошо известно, гадать незачем. А овал это довольно редко рассматриваемый в математике объект, обобщение эллипса. Они не настолько интересны, чтобы их как-то специально изучать. Прочитать о них можно где угодно.
@mikpetrov865
@mikpetrov865 Жыл бұрын
А что длинна окружности можно точно вычислить? Пи это ведь бесконечное иррациональное число и тоже вычисляется с помощью бесконечного сходящегося ряда
@Hmath
@Hmath Жыл бұрын
легко: пусть R=1/п - радиус окружности. Тогда её длина: L=2п*R=2п/п=2 - точно 2, без всякого ряда.
@Micro-Moo
@Micro-Moo Жыл бұрын
@@Hmath После этого вам, возможно, начнут доказывать, что π это «неточное число», что бы это ни значило. Этой публике хоть кол на голове теши. Если что-то бесконечное, то сразу «неточное». А бесконечное в математике абсолютно всё. А значит, математики «ничего не понимают». И они же «всех обманывают». Везде всё одно и то же.
@Hmath
@Hmath Жыл бұрын
@@Micro-Moo есть у меня видео про приближенное вычисление пи, так там что-то подобное уже писали :) Еще сказали, что "нужна новая формула длины окружности", но это некое тайное знание :)
@Micro-Moo
@Micro-Moo Жыл бұрын
@@Hmath 🙂
@smyk5127
@smyk5127 6 ай бұрын
Сумасшедшая наука,π√~°§ зачем мне это нужно?!!!
@iofpkfs31
@iofpkfs31 11 ай бұрын
а можно ли утверждать, что таковой формулы для длины эллипса и нет вовсе? вроде по единственному методу по формуле длины дуги кривой интеграл никак не берется-а значит и приходится только через ряд вычислять
@Hmath
@Hmath 11 ай бұрын
скажешь, что не берется - потребуют доказательства, что это сделать нельзя :) а так интрига, может кто-то попытается "найти" интеграл как-то...
@iofpkfs31
@iofpkfs31 11 ай бұрын
@@Hmath точно, ваши же видео как раз таки находят такие сложные неберущиеся интегралы. спасибо за контент!!!
@trolltrollskiy
@trolltrollskiy 3 жыл бұрын
Думаю, когда-нибудь всё-таки найдется точная формула длины эллипса
@Hmath
@Hmath 3 жыл бұрын
думаю, что на самом деле скорее всего нет, если бы была простая формула, то за столько веков она бы уже давно была найдена, особенно сейчас в эру компьютерных вычислений. Да и с практической точки зрения в ней не будет нужды - для нахождения эллиптических интегралов есть крутые алгоритмы. Может и до них дойду :)
@trolltrollskiy
@trolltrollskiy 3 жыл бұрын
@@Hmath может, найдется какой-нибудь гений, который взглянет на проблему под другим углом. Жду алгоритмы
@whitefish8330
@whitefish8330 3 жыл бұрын
Она и так уже имеется - бесконечный числовой ряд. Если не считать эту формулу точной, то чем же лучше формула площади? Просто в площади выходит знакомая нам константа, которая образуется при каждом из вычислений, а в формуле длины такую "константу" приходится все время выводить с нуля. Кто из людей знает точное значение числа pi?
@airatvaliullin8420
@airatvaliullin8420 3 жыл бұрын
@@Hmath по сути у нас почти ни для чего нет точной формулы. Тот же синус - это ряд; пи, корень из двух - числа иррациональные, а бесконечное количество цифр в переменную не уместить. Выходит, почти все, чем мы пользуемся в математике, приближения))
@asdfg3671
@asdfg3671 3 жыл бұрын
Уже доказано, что этот интеграл не является элементарной функцией, а значит не может быть равен какой либо композиции элементарных функций, таким образом не существует точной формулы эллипса в виде знакомых нам функций (степенной, тригонометрической, показательной) и это не вопрос смогут найти такую или нет, а уже доказанная теорема.
@АндрійСемененко-у4у
@АндрійСемененко-у4у 9 ай бұрын
Ты ты показывал не понятно что, ха ха какая смехота,😢😢😢,я уже хочу кушать.
@arkanoid1965
@arkanoid1965 Жыл бұрын
Эк мне повезло, нарвался на длину эллипса. Хорошо, хоть не на эллиптические кривые и криптографию)
@Micro-Moo
@Micro-Moo Жыл бұрын
А что не так с криптографией на основе эллиптических кривых?
@arkanoid1965
@arkanoid1965 Жыл бұрын
@@Micro-Moo сложно чересчур для практического применения. Я эти лекции перед сном смотрел.
@Micro-Moo
@Micro-Moo Жыл бұрын
@@arkanoid1965 «сложно чересчур для практического применения. Я эти лекции перед сном смотрел.» Вы вообще понимаете, о чём говорите? Я вот не понимаю. Какие к чертям практические сложности? Один раз в жизни пишешь и отлаживаешь код, а потом аж миллиарды людей пользуются, даже не подозревая, что именно там происходит. Да это уже и сделано, если речь идёт о криптографии на основе эллиптических кривых, и даже сравнительно давно.
@Mallor998
@Mallor998 Жыл бұрын
Маск и в сортир то отправить никого не может, какой там на хер Марс?
@Micro-Moo
@Micro-Moo Жыл бұрын
Он хотел послать вас подальше, но решил продемонстрировать политкорректность, так как в толпе затесались демократы. 🙂 Насчёт Марса пока не знаю. Вскрытие покажет.
I'VE MADE A CUTE FLYING LOLLIPOP FOR MY KID #SHORTS
0:48
A Plus School
Рет қаралды 20 МЛН
Every team from the Bracket Buster! Who ya got? 😏
0:53
FailArmy Shorts
Рет қаралды 13 МЛН
Stanford University Admission Test Tricks! | ✍️🖋️📘💙
21:08
Явление Гиббса
12:39
Математические этюды
Рет қаралды 2,8 М.
Интеграл Дирихле: sin x/x
12:48
Hmath
Рет қаралды 28 М.
ЭКЗАМЕН ПО МАТАНУ ИЗ МФТИ - ГРОБ ИЛИ ХАЛЯВА???
1:41:52
Профиматика.Вышмат
Рет қаралды 29 М.