Il Significato Geometrico dello Jacobiano: la Bellezza dietro a una formula Brutta

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Che cos'è lo Jacobiano? Cosa rappresenta? Qual è il significato geometrico del determinante di quella matrice fatta di derivate parziali?
Nel video precedente abbiamo già visto che lo Jacobiano serve ad aggiustare gli integrali multipli (semplici, doppi, tripli ecc.) ogni qualvolta che effettuo un cambio di coordinate (polari, sferiche ecc.), ma perché passare da un set di variabili all'altro dovrebbe farmi moltiplicare la funzione in due variabili per quel determinante? Perché ha una formula così "brutta"?
Rispondiamo a tutte le domande in questo video, spiegando in modo visivo e chiaro uno degli argomenti più utili, ma allo stesso tempo meno capiti, di tutta Analisi 2. Vediamo inoltre come la Matematica sia semplicemente un unione di tanti concetti semplici che si aggregano a formare concetti più complessi, e colleghiamo concetti apparentemente distanti fra loro come gli Integrali doppi e gli Integrali di Superficie.
Buono studio!
- Marco, ClearMath
00:00-01:24 Cos'è una Trasformazione non-Lineare?
01:24-04:31 Perché lo Jacobiano ha quella formula?
04:31-05:28 Estensione dello Jacobiano agli integrali di Superficie
05:28-06:18 Estensione dello Jacobiano agli integrali Tripli

[@ClearMath1]

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[@alessandrodebenedetto6078]

Ciao, sono uno studente di liceo appassionato di matematica e fan di lunga data di 3b1b, e sono felicissimo di poter dire che ho trovato nel tuo lavoro video della qualità di Grant Sanderson in italiano! Mi dispiace che ancora questo canale non abbia la visibilità che si merita, spero che col tempo arriverà. In KZbin Italia c’è bisogno di questo tipo di contenuto. Buona fortuna!

[@ClearMath1]

Grazie di questo commento, lo apprezzo tantissimo ❤ Continuerò a portare contenuti di questa qualità per permettere la migliore esperienza di apprendimento possibile. Complimenti per coltivare questa passione a una così giovane età!

[@julienblanchon6082]

I did understand most of the video without speaking italian, just french spanish and english. And of course the universal language of math

[@valeriodestefano3784]

alla fine è sempre il solito concetto dei cambi di variabile negli integrali in 1d, ed è giusto così, altrimenti si perderebbe coerenza. E' talmente facile che mi ci sono voluti solo 7 anni e un video di marco per notarlo

[@stefanosintini2879]

Ho visto recentemente alcuni video di clearmath per capire il significato di operatori o metodi matematici e faccio i complimenti a chi li ha realizzati: il metodo analitico spiegato graficamente, fa comprendere veramente la disciplina.

[@giovannibaldizzi]

essendo uno studente del liceo, era da molto tempo che cercavo un'interpretazione profonda del jacobiano, e sebbene ci fossi quasi arrivato, questo video è stato la chiave per capirlo definitivamente. stima assoluta

[@ClearMath1]

Grazie mille davvero! E come ho detto anche a un altro mio iscritto, la stima va a te che coltivi una passione così bella ad un'età così giovane! Questa cosa ti porterà lontano, complimenti davvero!

[@klevisimeri607]

I know it is not in English but the animations are so good I understand!

[@framas7162]

Sono ingegnere meccanico lavoro da 20 anni ricordo che all'università 20 anni fa non potevamo vedere queste cose nei video e mi sembrava tutto così "astratto" Ormai da 20 anni mi occupo di progettazione 3d e calcolo infinitesimale e mi è tutto più chiaro. Queste cose oggi le fanno i computer ma bisogna sapere il computer cosa sta facendo e che risultati ci fornisce. Beate le nuove generazioni che studiano ingegneria con questi video....

[@ClearMath1]

sono contento che il video ti sia piaciuto! Spero anche io che lo Jacobiano possa essere molto meno oscuro e più apprezzato con questo video.

[@edoardogribaldo2870]

video di una qualità assurda, complimenti davvero!

[@ClearMath1]

Grazie mille!

[@vankam3315]

È l'11 Agosto 2023, sono le 16:13, ho appena scoperto questo canale per puro caso e sono senza parole. Ti faccio i miei complimenti per la chiarezza espositiva e soprattutto per la cura molto attenta dei dettagli delle animazioni. Secondo me sono perfette per far comprendere fino i fondi i concetti chiave dell'analisi reale in più variabili. Colgo l'occasione per chiederti: 1) pensi di fare in futuro una rubrica/playlist di topologia generale, algebrica o differenziale? Penso ad esempio ad un video sul gruppo fondamentale supportato dalle tue animazioni: verrebbe una bomba! 2) Quale programma usi per creare le animazioni? So che un mago non dovrebbe mai rivelare i suoi segreti ma penso che in tal caso la magia sia la grande passione che trasuda da ogni video. Ancora complimenti per ciò che fai 🔝

[@ClearMath1]

Grazie davvero per i complimenti! Commenti come il tuo sono la benzina per questo canale! Per risponde alle tue domande, 1) sì, ho intenzione di fare video di topologia, anche se prima mi dedicherò ad argomenti di Analisi 2 e poi di Algebra Lineare, quindi ci vorrà un po' 2) per le animazioni uso Manim, una libreria di python creata da 3b1b in persona. All'inizio ci vuole tanto tempo e pazienza ma ne vale la pena! Ad esempio, per il corso di Analisi 2 ho scritto 8000 righe di codice per le animazioni, ma sono soddisfattissimo del risultato!

[@lp02lp]

STRAORDINARIA ESPOSIZIONE , DI NATURA GEOMETRICA E VISIVA , DEI FONDAMENTI DI ANALISI.

[@ClearMath1]

grazie mille!

[@finalmentesonoriuscitoacam3966]

Molto belle le animazioni e spiegato molto bene. Sei il 3b1b italiano ahahahaha. Dato che sono molto puntiglioso e devo trovare il pelo nell'uovo quando scrivi dr×dr dall'altra parte dell'equazione hai già messo la norma del determinante mentre dovrebbe essere una quantità ancora vettoriale, oppure bisognerebbe mettere in norma anche dr×dr. Vabbè comunque sicuramente è stato una cosa di editing.

[@ClearMath1]

non me ne ero proprio accorto, grazie della segnalazione!

[@MrGoddio]

Gran bel video

[@francescopaolodicorato9900]

è interessante come video, secondo me dovresti portare argomenti di analisi 3 perché magari ci sono studenti universitari che ne avrebbero bisogno e tu potresti fare la differenza.

[@ClearMath1]

Quello è un altro grande progetto lavorativo al quale ambisco, ci lavorerò senz'altro dopo aver coperto i principali argomenti di Analisi 2, Algebra Lineare e Fisica. Grazie per lo spunto!

[@valeriodestefano3784]

c'è sempre un po' di confusione su quali esami corrispondano a quali argomenti, io manco sapevo esistesse analisi 3. Che argomenti sono?

[@ClearMath1]

@@valeriodestefano3784 analisi complessa e analisi funzionale (cenni). Ma dipende molto dalla facoltà, alcuni studenti hanno le serie di Fourier già in Analisi 2 (come in ingegneria delle Telecomunicazioni)

[@francescopaolodicorato9900]

@@ClearMath1 io che studio alla facoltà di fisica si trattano quelli argomenti

[@ClearMath1]

@@francescopaolodicorato9900 Vengo anche io da quella facoltà, e l'esame all'epoca si chiamava Metodi e Modelli Matematici per la Fisica. Credo si chiami ancora così, l'anno scorso ho fatto un tutoring con una studentessa di fisica proprio su quell'esame e aveva ancora quel nome. Se può servirti, visto che ci vorrà tempo prima di lavorare a contenuti di Analisi 3, su Skuola.net ho messo un formulario di 8 pagine che riassume molto bene tutti i concetti di Analisi Complessa e Funzionale, con trucchi e schemi step-by-step annessi per risolvere più velocemente gli esercizi. In questo modo sopperiamo alla momentanea mancanza di materiale sul canale ▶ www.skuola.net/universita/appunti/formulario-di-analisi-funzionale-per-lesame-di-metodi-e-modelli-matematici-per-la-fisica

[@mg224]

Best video >>>

[@fra2025]

Io ad analisi 2 non lo capii molto bene (fedi ingegwnria meccanica), le cose cambiarono al corso di meccanica dei robot dove venne utilizzato lo jacobiano per lo studio delle singolarità del braccio. Concetti meravigliosi come tutta la matematica.

[@davidelarussa1885]

Ciao, ho risolto un integrale di un tuo video in un modo molto avanzato, come posso contattarti per condividere la risoluzione??

[@ClearMath1]

Ciao! Contattami alla mail [e-mail], sono molto curioso

[@kevinmarocchi4103]

Scusa non ho capito questo paesaggio, 4:03 . Come si fa a portare fuori dvdu dal modulo del determinante di una matrice

[@ClearMath1]

ciao! più che raccoglierlo dalla matrice, l'ho raccolto dal suo determinante: se in una matrice compare una costante k in una riga o colonna, il determinante della matrice sarà quello della matrice, calcolata come se non avesse k, moltiplicato però per k. esempio: det(2k 1 // k 3)= k*det(2 1 // 1 3). per qualsiasi domanda sono a disposizione!

[@kevinmarocchi4103]

@@ClearMath1 grazie mille ho capito

[@ddbi5045]

Che programma usi per tutte le rappresentazioni nei video?

[@ClearMath1]

Ciao! utilizzo Manim, il software creato da Grant Sanderson in persona. È molto difficile da usare ma ne vale la pena! Per farti capire, tutte le animazioni che ci sono nel mio ultimo corso di Analisi 2 le ho create scrivendo 8000 righe di codice nell'arco di un anno: è poco immediato da usare ma basta vedere le animazioni che ci sono in quel corso per capire la qualità che di può raggiungere. Puoi cominciare dai tutorial gratuiti che trovi su reddit nella community r/Manim o nei video di TheoremofBeethoven

[@ddbi5045]

@@ClearMath1 grazie mille, vedrò di mettermi sotto per cercare di capirci qualcosa. complimenti per l'impegno

[@niccolosoravito6630]

🐐

[@ClearMath1]

👁️👄👁️

[@federicomolineri1975]

Dai ma che l'area del parallelogramma definito da due vettori non paralleli sia data dal loro "prodotto vettoriale" (e poi dalla norma), si fa nella prima ora della prima lezione dell'esame Meccanica Razionale (o Fisica Matematica) che in genere è al secondo anno delle lauree del gruppo STEM (Inghilterra, Fisica, Matematica, Chimica, Biologia, Geologia, Scienze Naturali, Architettura, CTF, tolgo Medicina perché sanno un piffero matematica i medici 😅). 🥳 Ed inoltre, il prodotto vettoriale é giá stato definito nell'esame di Fisica generale 1 del prim'anno, quindi giá al prim'anno di Ingegneria, Fisica e Matematica si sa ! 😅😃 In sostanza, si sa alla prima ora della prima lezione del primo giorno dei corsi di laurea del gruppo STEM che in genere si fa il "precorso" di matematica e fisica introduttivo ai corsi di analisi matematica 1 e fisica generale 1. 😆😆😆 Dimostrazione: Dati due vettori U e V non paralleli, un angolo "tetha" tra loro ed il loro prodotto vettoriale W = U x V. La definizione di seno di tetha dice: sen "tetha" = BH/OB = BH/V, da cui: BH = V sen "tetha". Area del parallelogramma: OA • BH = OA • V sen "tetha" (essendo OA = V). Quod erat demonatrandum ! 😉😃 Essendo: BH = l'altezza del triangolo che definisce il vetture proiezione del vettore V sulla retta di azione del vettore U; OA = il vettore U; OB = al vettore V. W = il vettore "prodotto vettoriale tra i vettori dati U e V" che si ottiene con la "regola della mano destra", quando si porta il vettore U verso il vettore V lungo l'ampiezza dell'angolo "tetha" che li separa ! 😉🥳

[@ClearMath1]

ma alla prima ora della prima lezione del primo giorno del primo anno ti insegnano anche come flexare un po' di meno?

[@federicomolineri1975]

@@ClearMath1 😆😆😆