Integrali Per Sostituzione - Spiegazione ed Esercizi Svolti

In questa lezione impariamo come risolvere gli integrali per sostituzione. Vedremo prima la teoria essenziale, con la spiegazione dei passi fondamentali del metodo e poi risolveremo diversi esercizi per capire come si ragiona nella pratica. Capiremo come il metodo di integrazione per sostituzione è molto efficace e permettere di risolvere esercizi anche piuttosto complessi.
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SOMMARIO
0:00 - Il metodo di sostituzione
1:20 - Integrale con radice e esponenziale
3:41 - Integrale di funzione esponenziale fratta
5:41 - Integrale di funzione fratta con radice
7:41 - Integrale di funzione goniometrica e irrazionale
10:24 - Integrale di funzioni goniometriche
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[@lucagaudenzi701]

nel primo esercizio compare un 2 in più nel risultato finale...

[@LuigiManca]

Grazie, non mi ero accorto di aver lasciato nella presentazione un due in più. La forma corretta del risultato del primo esercizio è: 2(3√x + e^(√x)) + c

[@AndreITA777]

Io il primo l'ho risolto sia dividendolo sia usando il metodo di sostituzione con Sf(gx)×g'(x)dx=Sf(t)dt con t=g(x)

[@gabbogrillo8804]

TI AMO VIDRO BELLISSIMO CHE MI HA FATTO CAPIRE QUEL CAVOLO DI PASSAGGIO DI SOSTITUZIONE UNA VOLTA PER TUTTE, Grazie!!!

[@LuigiManca]

Bellissimo commento 😃

[@ossamaettahery3286]

Grazie mille, ora è tutto molto più chiaro! Grazie infinite.

[@LuigiManca]

😃

[@lucabocchetti2456]

Veramente un ottima spiegazione, meriti piu inscritti

[@LuigiManca]

Grazie mille 😃

[@mrcx1708]

Grazie!!! Non riuscivo assolutamente a trovare una risposta a quelle integrazioni per le quali, isolando la x si ottenevano differenziali con arcoseno e arcocoseno..molto utile!!

[@LuigiManca]

Mi fa piacere essere stato utile 😃

[@beatriceoriani9335]

complimenti spieghi veramente molto bene, questo argomento lo avevano spiegato oggi in classe e sembrava una cosa difficile da applicare ed utilizzare XD

[@LuigiManca]

Grazie Beatrice 😀

[@lorenzofiaschi7550]

Questa è davvero una spiegazione chiara ma completa

[@LuigiManca]

Grazie Lorenzo 😃

[@vasiliydelitsoy7745]

Grazie mille

[@schematism]

Ottima spiegazione, Luigi! Hai reso chiaro lo scopo della sostituzione. Veramente ottimo! Grazie mille!

[@LuigiManca]

Grazie Stefano 😀 L'integrazione per sostituzione è simile a un gioco enigmistico nel quale devi trovare la "chiave" per decifrare il messaggio nascosto.

[@schematism]

@@LuigiManca, oggi ho visto una sostituzione della intera funzione integranda! La parte di calcolo era solo nella parte della deduzione del differenziale, mentre l'integrale si era ridotto a sostituzioni. Quindi, è necessario considerare l'integrazione veramente come un'arte? Mamma mia! 😅

[@LuigiManca]

@@schematism potrebbe quasi essere messa sullo stesso piano dell'arte, data la complessità, le possibilità infinite e la mano diversa da persona a persona per ottenere lo stesso risultato

[@veronicamicarelli2070]

sei davvero molto bravo a spiegare

[@LuigiManca]

Grazie mille Veronica 😃

[@Thelastbardproject]

incredibilmente chiaro ;)

[@LuigiManca]

Grazie 😃

[@ialentia.7589]

Grazie gigi sei un eroe 🎖

[@LuigiManca]

Prego 😉

[@nicogehren6566]

very good questions

[@LuigiManca]

Thanks Nico 😀

[@martinaamoruso8316]

Una domanda.. nel procedimento per ricavare il dt, per trovare la x bisogna ricavare la funzione inversa? Cioè e elevato ad x che diventa logt (es.)

[@LuigiManca]

Sì, bisogna esprimere la x in funzione di t, che è quello che si farebbe se si volesse trovare la funzione inversa. Non sempre, però, è necessario farlo; nell'esercizio 4 (7:41) si procede derivando direttamente entrambi i membri e portandosi dietro un termine con la x che si semplifica una volta fatta la sostituzione. In generale, un integrale per sostituzione è un esercizio in cui l'esperienza aiuta tantissimo perché ci si può ricordare di come si è risolto un esercizio che può aiutare per risolverne altri.

[@lorenzodelluomo4709]

ma nell'ultimo esercizio non bastava semplicemente dividere cos^3(x) in cos^2(x) * cos(x). a quel punto sappiamo che 2sen^2(x)cos^2(x)=1, lasciando spazio sono la cos(x) il cui integrale e sen(x)? non sono convinto sia giusto

[@LuigiManca]

Ciao Lorenzo, no, non è corretto perché 2sin²(x)cos²(x) non è uguale a 1. L'identità fondamentale della goniometria ci dice che sin²(x) + cos²(x) = 1.

[@andreaandreoli5446]

Nel secondo esercizio non ho capito come fa a diventare e(alla X)=ln t. Puoi spiegare i passaggi intermedi?

[@LuigiManca]

Ciao Andrea. Allora, per definizione di logaritmo se a elevato b è uguale a c, allora b è uguale al logaritmo in base a di c (e vale anche il viceversa). Il logaritmo naturale ha come base e, il numero di Nepero. Allora, da e^x = t, la sostituzione posta nell'esercizio, x = logaritmo in base e di t, ma il logaritmo in base e di t è proprio il logaritmo naturale di t, ln(t). a^b = c -> b = log_a(c) e^x = t -> x = log_e(t) -> x = ln(t)

[@andreaandreoli5446]

@@LuigiManca Guarda grazie mille, probabile, date le mie carenze e il professore che lascia desiderare, che ti commenterò di nuovo. Ho capito bene il concetto :) e scusami per il disturbo

[@LuigiManca]

Andrea figurati 😃 Quando hai bisogno chiedi pure 😉

[@abdulhamidpramanik2171]

Ciao prof

[@LuigiManca]

Ciao 🖐

[@gian-_-9304]

nell esercizio 4 se sostitutivi t=1+2cosx veniva molto più semplice

[@LuigiManca]

Ciao, sì, quella era una sostituzione ottima per quell'esercizio

[@gian-_-9304]

@@LuigiManca ottimo grazie per la risposta