京大の文系数学の入試問題を解くMathキン【京大数学】

Mathキンさん今回は冴えて、ゥ
コミュニティで言ったとおり、今回は下ネタを無くしてみました。これは家族で観れるなぁ、そうに決まってる。
コメントでご意見などお待ちしてます。
入試問題
数学

[@user-de5yv8ko4e]

「あー！1つ気づいちゃったこれ」と数学の相性が良すぎる

[@user-capGuardian810]

（数学素材になっちゃった…）

[@user-yr7vx2we9s]

戦争を分かりやすく表現してるヒカマニもあるから勉強系ヒカマニで行くのもあるかもしれﾅｲ！

[@user-kr3gh6qe3n]

京大？素数?mod3だなぁ、そうに決まってる

[@universe_beautiful]

問題解くこと毎回「ぶっ潰す」って表現するのすこ

[@user-is2xq2ph7b]

すこじゃなくてシコって🏠

[@reenn6766]

ムズ目の数学の問題は潰すくらいの勢いでやらないと解けないからね仕方ないね

[@user-lp1hq6uv6e]

p^4+14 →p^4-1+15 →(p^2-1)(p^2+1)+15 →(p-1)(p+1)(p^2+1)+15 p≠3の時pが素数ならば (p-1)(p+1)は3の倍数

[@keykey8907]

天才いて草

[@user-th5ec9wm6l]

てんさいわろた

[@user-gi5mo1ih6p]

pが素数ならばって何で言えるの？3の倍数以外ならば、なら分かるけど。論理飛躍しすぎてない？

[@user-mj7vn4qe5j]

⁠​⁠@@user-gi5mo1ih6p pが3以外の素数なら、３の倍数ではないからでは？

[@tadano-hito39]

3以外の素数は3k±1（kは自然数）で表されますねぇ

[@shoko_than_law]

これ、本番で完答できた！と思って解答速報見たら全然違って絶望した記憶ある

[@user-li6de1go2i]

p=2とp=5の時だけp^4+14は素数じゃないといっておいて 残りの素数は一の位が1、3、7、9→4乗したら全部一の位が1 →14足したら一の位が5になる→五の倍数 ってやったらmod使わずに解けるな mod3使ったほうがスタイリッシュでかっこいい気がするけど…

[@harusameboy]

素数の下1桁は2と5以外は全て1か3か7か9だから、4乗すれば全て下1桁が1になり、14との和は下1桁が5になるので証明了 でどうかな ワンチャン中学受験で出てもおかしくないかも

[@user-ok5zd1cd8v]

なにげにこれが一番賢い気がする

[@husessei]

高難易度文系数学あるある「相加相乗平均」「mod」「log」

[@user-ur2qg1uh7q]

確率やろ

[@GlobalVehicle]

@大野廉太郎 辛辣なのやめい

[@nomonomonokou]

log？

[@user-cp5sp3ik9z]

相加・相乗平均は普通に頻出で草

[@l_l__________________l....]

ワイは予選決勝法に1票

[@jinkuu]

実験してmodで解く問題は慣れたらマジで秒殺

[@SyoShinozaki]

誰かが言ってたけど、京都大学の整数問題は本当にmod 3の出現率が非常に高いな

[@user-md5pm8nb8i]

マジでそれ

[@user-uy4br8kv4b]

mod 3 の出現率が非常に高いなぁ、そうに決まってる

[@bbbb-cc1fx]

中学受験レベルでも、「すべての整数は、3の倍数か、3で割って1余る数か、3で割って2余る数で表せる」っていう考えを取っ掛かりにする問題は割とある。 超当たり前のことなんだけど、そこを基本的な思考として解けちゃうのが不思議よね。

[@Lin-desnoon]

整数問題において倍数と余りは重要って一番言われてるから

[@user-yv4mb8wu7w]

某理III系KZbinrも言ってるしね

[@Stalin_mania]

ありがたい

[@1ritamago505]

適当に数学入れてったら大体mod3 これありますねぇ

[@marin_does_not_waste_time]

因数分解 範囲 余り 以外の解法を使う整数問題見たことない

[@汁男優-amuru]

ゲッ…淫夢民かよ…

[@user-yd4ot7iz1y]

自分の答えを見て欲しいです。 pの一の位に着目すると ①一の位が2の時(p=2)、偶数+14より素数ではない。 ②一の位が1,3,7,9の時、p^4の一の位は1なのでp^4+14=5の倍数　よって素数ではない。 ③一の位が5(p=5)の時、5^4+14=639=3^2×71 ①②③よりpが素数の時p^4+14は素数ではない。

[@user-Mathkin]

これでもいいですね

[@user-mu6dd9qd2h]

素数の問題出た時はとりあえず3の余りで場合分けしてみるって言う考え方染み付いてるから瞬殺できた

[@algeot5132]

(n, 5) = 1ならばフェルマーの小定理より n^4 + 14 = 0 mod 5 よって n^4 + 14 = 5 とn = 5の値のみを確認すれば良い

[@user-vv2mh6xi5x]

おお

[@user-ys9df2wn1l]

p=5ならpと5が互いに素じゃないから例外なのはわかるけど、与式=5の確認をしなきゃいけないのはなんでですか？

[@flog_in_a_well_but_knows_lakes]

き〜もちぃ〜

[@TV-hr6cz]

@@user-ys9df2wn1l素数になるから

[@yuyu-mm8pk]

(n, 3)=1ならばフェルマーの小定理より n^4+14≡(n^2)^2+2=0 mod3 よって n^4 + 14 = 3 とn = 3の値のみを確認すれば良い

[@user-mt2tp3se5n]

modの使い方よく分からんかったけど、だんだんわかるようになってきた。後は演習、そうに決まってる

[@user-px8gq7xw7h]

過去と未来の狭間年の春から高校生になるので入試じゃなくて普通の高校数学の解説もして欲しいなぁ、そうに決まってる。 mathキンさんの力、お借りしたいんです！

[@user-un9mp8ee5m]

3以上の素数は必ず下一桁が1.3.5.7.9である つまり4乗数の下一桁を考えると 1→1→1→1 なので14足して15 3→9→7→1なので14足して15 7→9→3→1なので14足して15 9→1→9→1なので14足して15 桁が多くなってもここは変わらないゾ つまりp＝5のとき（15.25なんかは素数じゃないゾ）に素数じゃなければ終わり！

[@user-vw2ol1kh3f]

ちょっと証明不足やな

[@makito0342]

整数が単元になかった世帯でmod苦手だからその方法でやったわ p^4+14の一の位が5になって、かつ5より大きいから5の倍数になる

[@C8H10N4O2_Caffe]

これ体験入学で出したなあ 良問 そうに決まってる

[@user-yt3ep7qu7v]

P⁴ +14=p⁴ -1+15 =(p² +1)(p+1)(p-1)+15 15=3×5だから3か5の倍数と予想 p=3k+1、3k+2の時ともに (p²+1)(p+1)(p-1)が3の倍数 (p²+1)(p+1)(p-1)+15も3の倍数 p⁴+14は素数でない

[@user-sh3nz4jj5w]

ゴリ押しだけど好きな方法。 まずp=2は計算するまでもなく不適 5以外の素数の一の位は1、3、7、9のどれかである。これを4乗した数の一の位は1だから、p^4+14の一の位は5であり、これは明らかに素数ではない(p^4+14≠5)。 最後に、p=5のとき、5^4+14=639=3²･71でこれも素数ではない。

[@user-yf9di8mx9s]

5以上の素数はすべて6n±1で表せるの覚えとくと便利かも

[@marin_does_not_waste_time]

これ使ったことない 覚えてると便利な問題とかある？

[@user-bz2vb3mm6g]

​@@marin_does_not_waste_time3n±1だと偶数の場合も出るから、奇数だけを考えたい時とかかな 偶数は別で考えれば良いから特別なメリットではない

[@user-kg1nl8fk7h]

(mod5を使った別解) p=2とp=5のときp^4+14は素数でない。 よってpは奇数かつ5の倍数でないので、mod5で2か4と合同。 しかし、いずれの場合もp^4+14は0と合同であり、かつ5より大きいので10以上の5の倍数となるため素数にはならない。

[@user-em2km9hp3n]

動画は理解出来てないけど、大納言小豆がおもろすぎて死ぬ

[@Minakami-37143]

mod3 P=2,3,6q±1（q:整数）の時、何らかの倍数になることを示す これプラス素数問題の時はmod4で絞るのと、偶奇で分けるのが有効なことを抑えとけば怖いもんない。

[@ArtmanProject-oy4re]

Quadratic equations never have more than two solutions　　.二次方程式は二つをこえた数の解をもたない。kzbin.info/www/bejne/npytd5ZsapJ7isksi=PyPgNAul1xE4_vQa

[@singi9498]

2と3は別でやってmod6で±1でやろうと思ったら15になったから法は3でいいなってなった

[@smesmeleafleaf]

全く同じや笑

[@user-iz5db3cw4w]

素材が優秀すぎるなぁ、そうに決まってる

[@user-hs5ej4oi7q]

段々ヒントなしで解けるのが増えてきて京大受かる気がしてきた笑

[@user-hu7xt8nt4f]

すごいなぁ、そうに決まっている

[@user-cz7zh5kx1e]

すごすぎて笑、ゥ

[@aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa4467]

京大で難しいのは英語だゾー

[@user-wi1mf8to9u]

笑、ゥって言え←語録強要

[@user-ht1ez9ss4y]

ヒカマニで力付いてくるのすごくて草

[@user-suzukidesu]

よく分かんないんだけど、これってどう転んでも解けるタイプの問題ですよね？勿論この方法が楽だと思うけど 京大文系の他の問題に比べてこれだけ凄い簡単に感じる

[@user-rw8le3eh1g]

この問題ニューアクションレジェンドっていう青チャートと同レベルの網羅系参考書に難易度3(最大4)の例題として載ってた

[@ari3apo]

当たり前かもしれないが、p^4+14が3より明らかに大きいってこと明記しないと京大なら大量減点くらいかねない

[@user-wf3jy6bu8s]

mod使わんでも P=2のとき偶数なので素数でない P=5のとき639なので素数でない 素数の一の位は2と5以外すべて1379なので1の4乗＋4=5 3の4乗＋4=5 7の4乗＋4=5 9の4乗＋4=5 すべて一の位が5になり5で割り切れるため 証明完了

[@user-gz4oq3hz7y]

0:25 これ！全部３の倍数だったら気づくけど、１個５の倍数だった時点で共通の性質はないんだなって思っちゃうわ

[@shiratakijellyfish]

1,3,7,9の4乗はいずれも1の位の値が1になるので、p^4+14 (p≠2,5)は5の倍数になる。例外の素数2,5はp^4+14を計算すると合成数。 ↑こんな感じで解きました

[@user-ym8yy6dk2o]

p=2の時もp^4+14は5の倍数では？

[@user-xc7tj3cl1s]

mod5で小定理使えば一瞬なの抜ける👍

[@user-dj7gc7dv2t]

3は3の倍数かつ素数であるため、 p^4+14が3ではないことを示す必要があります。減点。

[@roger2925]

みんな賢くていいな

[@fxgodzeuss]

厳密にはpが3でない時、pが5以上なので、p^4+14は6以上を言っておきたいですね。

[@Lila-jb1vy]

2、5以外の素数➡︎一の位が2と5以外の奇数 Mod 10 で考えれば、2、5 以外の素数は与式に代入すれば全て５の倍数になることを示せる

[@higasikuninomiyanaruhikoo]

素数に限定せず全ての実数で証明してみたら 一の位が0,2,4,6,8→14以上の偶数 一の位が1,3,7,9→15以上の5の倍数 30n+5,30n+25→二項定理で3の倍数 30n+15の時だけ少し考えても思いつかない 全ての実数で成り立つのも証明出来るかな？

[@mo6250]

165^4+14=741,200,639は素数になります。 自分も因数分解できないかとかいろいろ試行錯誤して、1時間ほど考えても素数でないことを証明できそうになかったので、n=0から順に電卓で計算して、素数判定機で素数判定してもらいました………。

[@yuta_aimer]

こういう問題だいたい法を3か5か(たまに7)ってやってけば攻略できる

[@moonta610]

ラテールのBGMを聞いてとても懐かしい気持ちになりました。

[@user-th9qb8xt9r]

実験からのmod、やっぱ京大なんだよなぁー

[@NA-dd4qv]

〜の倍数とか、素数でないはこまったら3k,3k±1を使っとけばまず間違いない

[@da2191]

文系数学の難易度じゃﾅｲ

[@user-hr5mb6so5d]

京都大学受験する文系ならこのくらい出来なきゃ落ちる、ゥ

[@Kouseitoho]

mod使えば太刀打ちできるから京大の文系数学ではこれ取れなきゃ落ちるぞ

[@user-tg1yd6oe4i]

典型的なmod3問題定期

[@arisa3854]

京大数学では典型的なパターンだなあ、そうに決まってる

[@seven-and7]

mod3使うのか...知らんかったな...脳筋で6k±1を使ってしまったな...ちゃんと脳みそ使わないと効率的に解けないな、そうに決まってる

[@ST-gs6ul]

mod5でも行けるなあ、そうに決まってる。 フェルマーの小定理からp^4+14≡15≡0(mod5)

[@user-yv7ty7bn4w]

mod、エクセルでしましま作る時によく使う 「1つおきに」とか「3つにつき1回」とかやりたいときはmodでOK

[@guypigeones]

まずは2からいろいろ代入してみて規則性をみつけるのが大事ですね

[@wd.eclairgreen]

平方数だから3の平方剰余に注目してmod3 素数だからpが5以上のときmod6で±1 4乗だからフェルマーの小定理でmod5 どれでもいけるように+14にしとるんやろうね

[@user-ge8oq7me6h]

とりあえず整数mod3しとけばいいし、京大の中で有数のちょろさある

[@yoheinakajima631]

最初「舐められてて笑、ゥ」とか言ってたくせに最後「僕にもできましたぁ」って言ってい、ゥ。←何を四天王？

[@ArtmanProject-oy4re]

Quadratic equations never have more than two solutions　　.二次方程式は二つをこえた数の解をもたない。kzbin.info/www/bejne/npytd5ZsapJ7isksi=PyPgNAul1xE4_vQa

[@user-zx2qe1co5h]

n=2のとき合成数 n≧3の素数のときn≡1,-1(mod3) n⁴≡1　よってn⁴+14≡0 n⁴+14は3の倍数になるため合成数 はいじゃおわりどうでもいい

[@user-hk2dn5gw1m]

京都大←これでほぼ解法わかるの草

[@Setsunaaaa]

「大納言あずき(迫真)」大好き

[@2718e]

自明だが、p⁴+14が3になりえないことを言うべきでは

[@Aki_jyu_szb-hatuharu]

これ授業でやった問題だなぁ、そうに決まってる

[@Sadakazu-Yurinkai]

整数問題はまずは実験だなあ、そうに決まってる

[@user-cl2qs9ko4z]

「京大整数問題」という情報により難易度が一気に下る

[@user-eu9ue7ob5v]

2,5以外の素数は全部四乗した時の下一桁が一になるから14足した時の下一桁は5で5の倍数になるってやり方はだめですか？

[@user-Mathkin]

それでもいいですね

[@tibigas]

pが5以上のとき p≡±1(mod 6)なので p^4+14≡1+14=15≡3 よって素数になり得ない

[@pocopocop]

試してみることの重要性

[@user-de5wn4nk5d]

pが3の倍数の時は絶対に5の倍数になるから〜とかバカなこと考えてた 3以外の3の倍数は素数じゃないやんけ！

[@Kentaro_Covayashi]

modってなんだったっけ？って、「割った時のあまり」の話なのね。覚えてない。

[@jyditsn]

今回のmathキンさんはセイキンの力を借りずにできましたね

[@TTWillpower]

サイコロを６回ふったとき、*何回目か*に出た目の数の和が６になる確率を求めなさい。算数オリンピックの問題だ。簡単に決まってる。

[@V-NoNNo2018]

今回のMathキン賢いですね

[@user-kp9pn2be9t]

modの理解が難しい... 解説出して欲しいなぁ、そうに決まってる

[@century3776]

mod3「3を法とする」 例えば6≡0（mod3） 7≡1（mod3） modの右についてる数 （今回は3） である数で割った余りを≡で表す。 6÷3＝2…0←余がゼロだから、 6≡0（mod3） 7÷3＝2…1余が1だから 7≡1（mod3）

[@kuroneko-nekoneko]

一回分かると簡単だけど、最初の理解が難しいよね…

[@V-NoNNo2018]

そもそも高校でやらなかったからマジでわからん チャートには乗ってるけどね 進学校の人はやるのかな

[@Frankreich39]

@@century3776 この解説のおかげで動画理解出来たわさんくす

[@jisyoushin]

京大はmod3‼️じゃなくて、実験で法則を見つけるのが大事だなあ

[@user-fz3uv9tz4e]

サムネ見てすぐに分かったの嬉しい！！！

[@chibicatman]

サムネ良すぎるなぁ

[@chidorigoshi]

これって、3の倍数であと3じゃないって言わなくてもええの？

[@pietun4399]

普通にp=2とp=3とp≡±1(mod6)でp^4+14≡15≡3(mod6)で素数じゃないってやった

[@rakia6214]

合同式ってマジで威力すごいな

[@ArtmanProject-oy4re]

Quadratic equations never have more than two solutions　　.二次方程式は二つをこえた数の解をもたない。kzbin.info/www/bejne/npytd5ZsapJ7isksi=PyPgNAul1xE4_vQa

[@user-wd1fp6em1n]

modは大学レベルになる程エグさが増すから逆に高校でmod使いすぎるの好まない先生いる

[@user-uu9cr1nn3p]

大納言あずき笑、ゥ

[@user-cp8hm7ov3i]

最初に試行してみるの大事だな

[@user-yv4mb8wu7w]

これ4乗数を5で割った余りが0もしくは1なのに気付いた

[@DrFey]

京大数学は良問なので抜ける👍 これを解ける文系は なぜ理系の道を選ばなかったのか真面目に聞いてみたい。

[@flog_in_a_well_but_knows_lakes]

これ解ける人は得意科目で文理選択するような下品な人じゃﾅｲ!

[@user-ur2qg1uh7q]

流石に無理や

[@aisudes]

趣味の問題でしょ

[@user-cc5ek3xt9q]

pが3の倍数じゃなければp^4+14が3の倍数になるやん！とは気づいたけど、p=3の場合をすっ飛ばしたワイ無事死亡

[@Chijan389]

他の人も書いてるけどコレp=5を例外とする5の倍数に注目する方法もアリよね。7^4を計算しなくても(50-1)^2だから5の倍数+1になるので14を足すと5の倍数だから規則を発見しやすいのがメリットか

[@keykey8907]

やっぱ実験って大事だなって。 あとmodの使い方。

[@hoshinocoffeee]

0:45ぐらいからのヒカキンがコケるやつってなんの動画からとってます？

[@abc5286]

京大受験生でコレを即答できなかった人は、反省した方が良いよね。過去問の使い方間違ってる。

[@minaidene]

で、でたー！お得意のmod3！

[@fuyuki11]

今年受験生なんですけどまじで難しすぎて何もわからんです。modとかまだ習ってないけど自分でガンガン進めないと間に合わないですかね😭 不安でいっぱい

[@Ilikekaf]

modとか最高でも2時間勉強すればマスター出来るから安心して

[@fuyuki11]

@@Ilikekaf この時期でまだ関数の極限の連続不連続あたりをやってます😭

[@Ilikekaf]

@@fuyuki11 学校の話？受験生なら学校の進度なんて考えずどんどん進めるべきだよ。 学校関係ない進捗の話なら、そこらへんは感覚的な理解で十分。

[@user-fg8xf3vd7g]

1ヶ月前のコメントで申し訳ないけど、進学校とかじゃなければmodは習わないんじゃないかな。偏差値67の高校の自分は習わなかったから、チャートと河野玄◯くんで学んだよ

[@fuyuki11]

@@user-fg8xf3vd7g え、modってやらないんですか？てっきり数3Cに入ってるかと思ってました。お恥ずかしい

[@rikun-31415]

素数は6の倍数の隣に来るので6n+1,6n+5と置いてそれぞれ示したあと、2の場合も成り立たないことを示すのはどうですかね？

[@rikun-31415]

3も

[@user-ur2qg1uh7q]

素数、累乗これもうmod3の伏線

[@裸エプロン先輩]

p=6n±1とかで置いたら楽かな？

[@rikun-31415]

同じこと思いました！ 自分はそれでやったので合ってるか不安だったんですけど同じ人いて安心しました！ それと2の場合も示さないとダメですね

[@rta1-uv4pk]

0:44これ分からなくて(泣く) 誰かの力をお借りしたいんです！

[@Kyoui_Kannouchou]

合同式というものは、簡単に言えば余りに注目した式の事です。例えば、4を3で割ると1余り1，7を3で割っても2余り1となるので、これを合同式で表すと 7≡4(mod3) となります。 以上が前置きで、以降本題ですがまず前の画面で「pが3の倍数でない時に、p^4＋14が3の倍数となる事を示したい。」と言っているので、0:44ではpは3の倍数ではない素数という扱いになります。よって、kを整数とすると、 p＝3k＋1，3k＋2 のいずれかで表せると思います。ここで、p^4＝(p^2)^2ですからp^2についてひとまず考えると p^2＝(3k＋1)^2←p＝3k＋1の時 p^2＝9k^2＋6k＋1 p^2＝3(3k^2＋2k)＋1 p^2＝(3k＋2)^2←p＝3k＋2の時 p^2＝9k^2＋12k＋4 p^2＝3(3k^2＋4k＋1)＋1 つまり、pがどちらであってもp^2を3で割った余りは1である事が分かると思います。故に、 p^2≡1(mod3) が成り立つわけです。

[@rta1-uv4pk]

@@Kyoui_Kannouchou pの値での場合分けだったんですね！解説ありがとうございます

[@user-ll1rv2kq3n]

良問

[@user-bk2hq1xy6q]

とりあえず下一桁の4乗が何になるか確かめたワイ、答えは合っても不合格貰いそう

[@user-ku2xi6uh7q]

やっぱ実験って大事やで

[@user-st3pm9co9e]

p^4+14 =p^4-1+15 =(p-1)(p+1)(p^2+1)+15

[@user-fe9hr4ok6q]

整数問題で素数ならmod3だよなぁ、そうに決まってる

[@user-ej8jh9sx3h]

あー気づいちゃったこれ　て本番でなるかこれ

[@peacepeaceta9184]

0:12 音がとても痛そう

[@user-rg8rc7vm6b]

今更気づいたけどmod5でもよくねこれ

[@user-xx3or7ox6l]

mod5も🙆‍♀️ p^4+24ならmod3潰しが出来ます😊

[@user-so5in4rt7d]

3n+1と3n+2の2乗は3k+1だなぁそうに決まってる

[@StrongestTinko]

もうすぐ高二なんやがアホな俺になんでp≠3のときp^4＋14が素数にならんのか説明してくれ

[@user-zg3tl1uu9d]

おそらくまず合同式の所から学習した方が良いですよ！そしたら動画の解答の意味が気持ちよく理解できます！ 整数問題を解くのための道具として合同式は必須アイテムなので是非習得してください！

[@DK-dq7ek]

​@@user-zg3tl1uu9dコメ主はもうすぐで高2になると言ってるのでmodは多分教育過程に含まれないと思います

[@user-zg3tl1uu9d]

@@DK-dq7ek なるほど、そうなんですね！ もし彼が上位の大学を目指すなら合同式は独学でもやってた方がいいですよね。 かなり大袈裟かもですが、合同式無しで整数問題を解こうとする事は、コンパス無しで綺麗な円を描こうとしてる事に等しいくらいとても困難なので頑張って習得して欲しいです！

[@DK-dq7ek]

@@user-zg3tl1uu9d 確かに京都大学とかなら整数問題も出題すると言っていたはずですし、整数問題の楽しさを知るという意味でも合同式を学んでも良いかもしれませんね

[@Michael-is5gl]

笑、ゥ

[@mgalecxlsmcohd]

0:43 から詳しく解説をお願いします🦪

[@user-fm2xg3qp6f]

法を3にする理由って何がありますか？ （京都大学以外で）

[@Unchidelivery]

平方数の剰余はmod3,4を使うと楽に処理できるっていう定石があるので、京大対策してなくても(p^2)^2とみなせば自然にmod3を使う発想に至りますね