經典排列組合：6個不同的球有幾種方法可以放到3個相同的袋子？

這次我拿了一題台灣高中的經典段考題來問⼀位在美國社區大學的數學老師
題⽬是六個形狀大小顏色不同的球,放入三個形狀大小顏色相同的箱子,請問有幾種方法?
這題曹老師解的非常好
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#數學題 #高中數學 #排列組合 #李翰數學

[@lihanmath]

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[@張騰達]

3⁴+3³+3²+3¹+3⁰+1=122 把6顆球編1~6號， 3⁴代表1號球和2號球不同箱子 3³代表1號2號同箱子，3號在另一個箱子 3²代表1~3號同箱子，4號在另一個箱子 以此類推，最後+1是因為有6個球在同個箱子的情況沒算到

[@guest_of_randomness]

來朝聖~

[@richliao7995]

介紹一個使用程式動態規劃解決的方法，一樣3顆箱子6顆球 定義函數 f(a, b) -> 使用了a個相同箱子裝b個不同球的方法數(這a個箱子皆至少有一顆球) f(1, n) = 1 -> 只有一個箱子，不論有多少球，方法數為1 f(2, n) = f(1, n-1) + 2*f(2, n-1) -> n-1顆球時，若只裝1個箱子，第n顆球只能放空箱子 + 若裝了2個箱子，第n顆球有2種選擇 f(3, n) = f(2, n-1) + 3*f(3, n-1) -> n-1顆球時，若只裝2個箱子，第n顆球只能放空箱子 + 若裝了3個箱子，第n顆球有3種選擇 1顆球時: {f(1, 1), f(2, 1), f(3, 1)} = {1, 0, 0} 2顆球時: {f(1, 2), f(2, 2), f(3, 2)} = {1, 1, 0} 3顆球時: {f(1, 3), f(2, 3), f(3, 3)} = {1, 3, 1} 4顆球時: {f(1, 4), f(2, 4), f(3, 4)} = {1, 7, 6} 5顆球時: {f(1, 5), f(2, 5), f(3, 5)} = {1, 15, 25} 6顆球時: {f(1, 6), f(2, 6), f(3, 6)} = {1, 31, 90} 最後將1+31+90=122即為答案 這個方法看似複雜，但其實計算簡單，且可以拓展到任意數量的箱子和球

[@生活空間]

很好的做法 其實窮舉那部分會發現很多數值已經算過了

[@Steven-ov4no]

不錯欸 沒想過dp 可以幫上忙

[@談你小几几]

第二史達林數的遞迴公式

[@lieric2033]

這方法很聰明，不過如果箱子一多，比如說4個相同箱子，這樣需要扣掉的特例也就多了。 只是剛好三個箱子只需要考慮6 0 0 這個特例。 四個箱子還有 4 2 0 0，5 1 0 0，這類

[@徐瑞斌-i8o]

我也是用速解法， 但，沒發現通例裏面，居然有個6,0,0的特例， 不能除以3！真是受教了。

[@r881011]

套句廣告台詞：[人生動不動，都在競爭]，希望李翰老師的出現，可以帶動補教業的師生們大家一起成長。

[@jackshih2262]

斯特林數，我學離散時有印象，但不會算了

[@Yu-Lin-s4n]

不一樣就是不一樣… 李翰老師該舞台幫你搭好了

[@jjohnnystwsss]

這部影片證明大學數學不需要會排組😂

[@cheongsn3810]

看你念什麼系，我大學四年每年都有在算排組

[@derekhcj3]

最好 離散裡面就一堆排列組合...

[@cano770708]

主要看學得是哪種數學

[@johntse5770]

我的思路是這樣的： 這題其實等於這道方程 "a + b + c = 6, 且 a, b, c >= 0" 有多少個解法 將6個球定為 A B C D E F, 用2塊一模一樣的隔板 ("|") 隔住，就可以把這6個球分成三份，然後每份裝進1個箱子 例如這樣：A B C D | E | F 將這6個球和2個隔板排列，就可以得出 "把6個球放進3個箱子" 的所有方法，共 (6+2)! = 8! 種 由於隔板一模一樣，所以我舉出的例子，無論是 "E 前面的隔板是第一塊, E 後面的隔板是第二塊" 的排列, 還是 "E 前面的隔板是第二塊, E 後面的隔板是第一塊" 的排列, 都要算同一種排列，所以這個 8! 要除以 2! -> 答案 = 8!/(2!) = 20160 我看到正確答案比我的答案差這麼多的時候，就知道我重算了許多的組合，比如把全部球只裝進同一個箱子的組合: A B C D E F | | | A B C D E F | | | A B C D E F 這三個組合都要算同一個組合 請問有沒有辦法不用影片中的方法，在我方法的基礎上接續 "8!/(2!)" 的算式，令算式計出 "122 種方法" 的正確答案? 謝謝！😁😁🙏🙏

[@夏-n5p]

不行 因為|ABCDEF| 和|BACDEF|也是相同的一種，但在你的算法裡是不同的 箱子裡的球數不同的時候，被你的方法所重複算的相同組合的總數量會不同 因此無法簡單的除掉 本題從「球」的排列出發就直接走入誤區了

[@三寶就是我]

很想問數學家不是挺排斥白板的嗎😂

[@samchang8263]

那10顆不同的球放入五個相同的箱子，每個箱子至少要有一顆有幾種方法呢？

[@某天成為王子不滅神蹟]

最直觀的方法就是照著影片中的作法，最後再把1個箱子沒球和2個箱子沒球的情況全扣掉。

[@曾大一]

這是古早高中數學的標準題...

[@三寶就是我]

很想問數學家不是挺排斥白板的嗎😂

[@alex113327]

考試根本沒有這麼長的時間分析

[@竹一-x3i]

我個人超不喜歡這種速解法ㄟ 這種速解法箱子一多就完全不適用了吧

[@雪羽夜-u5b]

我對這個方法的理解是6個不同物先分堆之後，三堆就可以視為不同物，再把三堆配到不同箱子的結果，會跟直接發到三個不同箱子的結果一樣，除了只有一堆有東西的情況(因為6 0 0分給三個不同箱子只有三種分法)，如果照這個想法，四個箱子的情況就不能這麼簡單算出來吧？

[@PurpleLavender-ms2xk]

的確，如果四個箱子好像不能直接除以4階，因為會有4 2 0 0等的狀況

[@DoongXiouHua]

怎麼不行？只是要考慮的狀況比較多而已，一樣可以速解啊

[@cheongsn3810]

@@DoongXiouHua 好那你告訴我現在有a個不同的球放進b個相同的箱子有幾種方法

[@DoongXiouHua]

@@cheongsn3810 他只說箱子多的狀況，沒說要推廣到任意的a,b耶，請問用影片一開始那種把情況列出來算的方式有辦法推廣到任意a,b嗎？不行的話沒道理叫我推廣吧？

[@binghancai6925]

上市场买五种不同的水果，数量也不一致，放入三个袋子，只要有办法提回家即可，等你解完我已经回家了。数学要运用在实际生活中，实在难具说服力。

[@wupoi9]

虛數i在被發明時，人們也覺得這個數根本不存在，把虛數i的運算方式定義的這麼清楚要做什麼，現實中完全不會用到了。 但是，進入20世紀後，我們發現薛丁格的波動方程式中，就有虛數i，這個現實生活中完全沒用的數，就成了量子力學中非常重要的東西了。 所以，把數學定位在「運用在實際生活中」，實在是太小看這門學問的用處了。

[@binghancai6925]

我是不会数学的人，对于数学专家表示尊重没有冒犯，我之所以觉得实用性低只是个人才疏学浅的看法，别无恶意。

[@chengruizhang7248]

無惡意這個詞看久了顯得格外諷刺

[@allenchen8559]

數學有一個部分在處理「有沒有解」的問題，比如國高中在討論多項式方程式有沒有實數解，這部分你仔細想就會知道，「當你想不到用處時，不代表證明了沒有用處，最多只能說明你還沒找到。如果要證明沒有，必須要有相應的推導過程。」數學還是有很多啟發的，或者說任何事物都是很有啟發的，只要想法不侷限，世界其實還有很多地方可以去發現。

[@胖囉源]

老師的速算法中...為何“除3！”？可以講解一下原因嗎？

[@Birdplaymath]

重複排列是把箱子視為不同，可是題目的箱子是相同的，因此要把ABC三箱子排列變成AAA三個箱子排列，以重複排列思考，除以3!

[@TWALBEVA]

桌面上有花式撞球1 - 6號，技術超強的選手可以只出最多3杆就清完檯面 (甚至一杆清盤)，請問有幾種方法清空檯面😅