Körper (Algebra)

[@niemandniemann2725]

a) Kann' sein, dass Sie da einen Schreibfehler in der 2. Zeile auf der rechten Seite der Gleichung haben? Müsste es nicht (a+c)Wur2 + (b+d)Wur 2 heißen?

[@Rafau85]

Nein, es ist richtig.

[@niemandniemann2725]

a) (2) (3) Wie können Sie den ganzen Bruch einfach mit a-bwur2 erweitern? Provokativ gefragt: Wer oder was gibt Ihnen das Recht?!?

[@Rafau85]

Das ist eine Rechnung in den reellen Zahlen. Dort kann man ja Brüche erweitern, ohne den Körper zu verlassen. Hier erweitern wir gerade mit a-bWurzel(2), weil dadurch im neuen Nenner keine Wurzel mehr steht.

[@niemandniemann2725]

b) ich verstehe, dass in dem Körper nur die ganzen Zahlen 0, 1 und 2 enthalten sind. Nach Schulmathe wäre ja aber 2 x 2 = 4 oder 1 + 2 = 3. Diese Zahlen liegen außerhalb des Körpers. Wieso aber wird dann nicht die leere Menge oder 0 angegeben? Und wie kommt man auf hier auf 1, bzw. 0?

[@Rafau85]

Aber wir sind hier nicht in der Schulmathematik. Für einen Körper benötigst du eine nichtleere Menge. Das ist hier eben {0,1,2}. Dazu benötigst du eine sogenannte Addition + und eine Multiplikation •. Diese Operationen können wir definierten wie wir wollen. Hier sagen wir eben, dass zum Beispiel 2•2 = 1 sein soll! Genauer gesagt definieren wir die Addition und Multiplikation durch die Tafeln. Hierdurch erhalten wir insgesamt eine Menge zusammen mit einer Addition und einer Multiplikation, was zusammen zu einem Körper wird, da alle Körperaxiome erfüllt sind. Kleine Bemerkung noch: Man kann in den Rechnungen auch eine Modulo-Rechnung sehen, um sich die Verknüpfungen klarzumachen. Man kann so tun, als würde man mit ganzen Zahlen rechnen, aber für unseren Körper müssen wir jedes Resultat modulo 3 rechnen. So ist zum Beispiel 2•2 = 4 in den ganzen Zahlen, aber der Rest von 4 nach Division durch 3 ist 1. Somit ist in unserem Körper 2•2 = 1. Allgemein kann man zeigen, dass man immer einen Körper erhält, wenn man modulo p für eine Primzahl p rechnet. Dies ist eine Möglichkeit aufzuzeigen, wie man auf den in der Aufgabe präsentierten Körper kommen kann. Für einen Körper, wie gesagt, benötigst du eine nichtleere Menge sowie zwei Verknüpfungen, so dass alle Axiome erfüllt sind, wie auch immer diese definiert sind!