Kettenlinie Teil #2: Nur Tafel und Stift - keine Integraltafel, alles per pedes

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Күн бұрын

Пікірлер: 15

@renesperb 3 ай бұрын

Es ist schön zu sehen , wie man diese Rechnungen ohne Computeralgebraprogramm durchführen kann . Das kann man immer seltener erleben heutzutage . Aber es ist eine Fertigkeit die nicht verloren gehen sollte.

@arsmagna4410 3 ай бұрын

Solange die grauen Zellen funktionieren wird hier auf diesem Kanal die Stellung gehalten😉

@renesperb 3 ай бұрын

@@arsmagna4410 Kann ich nur sagen : keep up the good work !

@renesperb 3 ай бұрын

Was man noch erwähnen könnte : wenn man die Kettenlinie rotiert , bekommt eine minimale Oberfläche (bei gegebener Kurvenlänge L). Begründung : die Kettenlinie bekommt man auch , wenn man die Kurve sucht , deren Schwerpunkt möglichst tief liegt (gegebene Aufhängpunkte und L). Nach der Formel von Steiner ist die bei Rotation entstehende Oberfläche O = 2 π L s (s = Abstand des Schwerpunktes von der Drehachse )

@arsmagna4410 3 ай бұрын

Sehr interessante Ergänzung, die mir nicht bewusst war. Danke! Ich habe mich mit der Figur von rotierenden Seilen befasst, wobei die Zentrifugal- und Gewichtskraft zusammen wirken. Das Problem führt auf die Jacobi´schen elliptischen Funktionen sn(x,k).

@Zentrixu 3 ай бұрын

Wenn ich immer ein Integral sehe wo im Nenner ein Wurzelausdruck steht substituiere ich sofort mit einem sinus oder cosinus und in diesem Fall dann eher mit einem sinh x. Diese Methode war mir neu, was aber anfangs etwas aufwendiger wirkt ist dann denke ich später dann hilfreicher weil man dann nicht mit Sachen wie arcsinh x hantieren muss.

@arsmagna4410 3 ай бұрын

zudem muss man erst den cosh / sinh kennen! ... um den cosh zu berechnen. Das ist zirkulär. Die algebraische Methode zeigt erst den Weg zu diesen Funktionen.

@anthroporraistes_ 3 ай бұрын

@@arsmagna4410 Daran habe ich auch gedacht. Man kann aber auch über sec(x)²-tan²(x)=1 zum Ziel gelangen. Bzw. ist 1/sqrt(x²-1) mit Erweiterung durch (sqrt(x²-1)+x)/(sqrt(x²-1)+x) erkennbar als u'(x)/u(x), wobei u(x)=x+sqrt(x²-1) und man könnte den gleichen Streich anwenden wie beim Umformen der Differentialgleichung. Logarithmische Differentiation/Integration. 1/sqrt(x²-1)=1/sqrt(x²-1)*(sqrt(x²-1)+x)/(sqrt(x²-1)+x)=(1+x/sqrt(x²-1))/(x+sqrt(x²-1))=u'(x)/u(x). Es war hier, zugegeben, auch "backwards engineering" dabei. Es ist aber rein formal kein Zirkel. Nur fällt die Lösung vom Himmel, da die Erweiterung nicht natürlich ist. Der Ansatz mit dem ξ funktioniert allgemeiner.

@Zentrixu 3 ай бұрын

@@arsmagna4410 Ja das stimmt, allerdings muss man aber auch erst auf die Substitution (z^2-1)=z-zeta kommen, gemäß den Fall man hätte noch nie ein Integral dieser Art gesehen und kenne nur das Prinzip der Substitution. Übrigens ich persönlich versuche soviele Integrale wie möglich mit der Hand zu lösen. Ich habe den Tick nutze niemals eine Formel die du nicht einmal selbst hergelitten oder nach vollzogen hast. Damit versteht man alles in den Integral Tafeln viel besser, sind mir bei einigen dieser auch schon einige Fehler untergekommen. Meistens die Fatalen Vorzeichenfehler. Der schlimmste aller Fehler.

@arsmagna4410 3 ай бұрын

@@Zentrixu es ist eine Tschirnhaus Transformation

@Zentrixu 3 ай бұрын

@@arsmagna4410 Ich sehe gerade sie haben eine ganze Reihe Videos darüber gemacht die ich noch nicht kenne. Werde ich mir dann anschauen