Kurs topologii 22. Homeomorfizmy

[@tjk581]

Czy na podstawie przykładu z ok. 7:00 można stwierdzić, że jeśli dziedzina funkcji jest skończoną sumą zbiorów rozłącznych, to jej odwrotność nigdy nie będzie ciągła?

[@Mateusz-Maciejewski]

Nie, to zależy jeszcze od przeciwdziedziny i topologii na nich. Np. funkcja id: X -> X gdzie X=[0,1] suma [2,3], jest ciągła. Tutaj jest kwestia spójności / liczby składowych spójności. W filmach dot. spójności są przykłady.

[@tjk581]

16:22 Czy 2 warunku nie spełnia przypadkiem tylko funkcja f(x)=+-x (w przestrzeni euklidesowej)?

[@Mateusz-Maciejewski]

Nie. Np. na płaszczyźnie takimi funkcjami są przesunięcia o wektor, obroty, odbicia symetryczne. Na prostej to funkcje f(x)=±x+a.

[@tjk581]

Skoro warunki bijekcji (funkcji wzajemnie jednoznacznej) są równoważnie, to znaczy, że gdy zachodzi 1, zachodzi cała reszta. Jak wiemy, homeomorfizm to funkcja ciągła i otwarto-domknięta (ciągłość funkcji odwrotnej) , a otwartość nie zależy od domkniętości, więc dlaczego jest taka a nie inna równoważność?

[@Mateusz-Maciejewski]

O jaki moment chodzi? W pojęciu bijekcji nie ma mowy o topologii.

[@tjk581]

@@Mateusz-Maciejewski ok. 12:11 . O ile bijekcja jest tym samym co funkcja wzajemnie jednoznaczna.

[@Mateusz-Maciejewski]

@@tjk581 Tak, bijekcja = f. odwracalna = f. wzaj. jedn. Tam nie ma jednak warunków równoważnych bijekcji, ale homeomorficzności. Równoważność wynika z faktu, że f. jest bijekcją, a dla bijekcji przeciwobraz poprzez f^{-1} jest tym samym, co obraz poprzez f. Wiemy, że funkcja f^{-1} jest ciągła, gdy przeciwobrazy zb. otwartych są otwarte i jest to równoważne temu, że przeciwobrazy domkniętych są domknięte. To oznacza otwartość i jednocześnie domkniętość funkcji f. Homeomorfizm to funkcja, która przenosi całą strukturę z jednej przestrzeni w drugą (zb. otwarte, domknięte, operację wnętrza, domknięcia, itd.).