Tak, było to w planach. Mam nawet napoczęte materiały, ale nie starczyło czasu, a teraz to tylko mogę pomarzyć o powrocie do robienia filmów.

Ajć, miało być: |X| większe od 1. Dziękuję za komentarz. Mówię dobrze, ale napisane jest źle.

Prawda, że standardowy wzór nie definiuje metryki. Przestrzeń l^p dla 0<p<1 definiuje się wzorem d((x,y),(u,v))= |x-u|^p+|y-v|^p. Nie jest to przestrzeń unormowana, ale metryczna jest.

@@Mateusz-Maciejewski Faktycznie.

Adres jest podany w 0:30.

Mniej więcej o to chodzi, ale aby uczynić tę myśl precyzyjną, napisałbym w ten sposób. Jeśli A i A' są różne, to A-A' lub A'-A jest niepusty. Bez straty ogólności załóżmy, że istnieje element a w zbiorze A-A', a więc w zbiorach A oraz L-A', a więc w zbiorze U_A ∩ V_A', który zatem jest niepusty. Ponieważ jest również otwarty -- z gęstości Q^2 -- istnieje w nim element q ∈ U_A ∩ V_A' ∩ Q^2. Ponieważ U_A' ∩ V_A' = ∅, więc q∉U_A'. Zatem q∈P(A)\P(A').

Niech A ⊆ L. Wystarczy pokazać, że każdy punkt (x,y) spoza A ma otoczenie otwarte rozłączne z A. Jeśli (x,y) jest powyżej L (tzn. x+y>0) , to otoczenie [x,x+1)x[y,y+1) jest rozłączne z L, a więc tym bardziej z A. Jeśli (x,y) leży na L, to takie otoczenie ma jedynie punkt (x,y) leżący na L, ale jest to punkt spoza A, więc znowu to otoczenie jest rozłączne z A. Jeśli punkt (x,y) leży poniżej L, tzn. x+y<0, to wystarczy pokazać, że istnieje taka mała liczba dodatnia r, że [x,x+r)x[y,y+r) jest rozłączna z L. Łatwo znaleźć takie r, gdyż wystarczy zadbać, by prawy górny ,,róg" tego otoczenia był poniżej lub na prostej L, czyli aby x+r+y+r ≤ 0, a takie r istnieje.

Och, nie mogę sobie przypomnieć. Gdyby mnie Pani zapytała 10 lat temu, to bym pamiętał. :) Znalazłem ją na freemusicarchive.

Można użyć każdej z charakteryzacji z definicji z filmu: * Metryka dyskretna wyznacza topologię dyskretną 2^X, która zawiera każdą inną topologię. * Ciąg zbiega względem metryki dyskretnej tylko wtedy, gdy jest stały od pewnego miejsca, a to implikuje, że jest zbieżny względem każdej innej metryki. * Kula B(x,1/2) względem metryki dyskretnej jest równa {x}, więc zawiera się w kuli o środku x i dowolnym promieniu względem każdej metryki.

Niestety nie znam.

@@Mateusz-Maciejewski może jakiś wstęp do analizy matematycznej?

Myślę, że jest to dobra metoda do tego zadania, gdyż jest ono trudniejsze, jednak do prostszych zadań z kresów odradza się korzystania z teorii granic ciągów, gdyż pojęcie zbieżności omawia się później, a ponadto twierdzenia dotyczące granic opierają się na pojęciu kresów. Co więcej, rozważania dotyczące kresów są bazą do rozważań dotyczących ciągów. Można to rozwiązać metodami podobnymi do zaprezentowanych w filmie, będą one jednak niemal identyczne do rozważań przy użyciu ciągów, gdyż poszukiwany element bliski kresowi górnemu będziemy szukać, kładąc m = floor(sqrt(2)*n) dla odpowiednio dużego n.

@@Mateusz-Maciejewski Dziękuję za wyczerpującą odpowiedź. Pozdrawiam.

Tak też jest dobrze. 👍

Oto odsyłacz. Nie wiem, na ile to jeszcze działa. www.geogebra.org/m/ggFkFSHB#chapter/85577

@@Mateusz-Maciejewski Dziękuję, działa!

Nie wiem, o jaką zmianę chodzi.

@@Mateusz-Maciejewski chodzi o pytanie z 17:45

@@michazyx5223 Jeśli chodzi o kres dolny, to się nic nie zmieni, jednak kres górny się zmieni i dowód będzie bardziej skomplikowany.

@@Mateusz-Maciejewski Ok. Bardzo dziękuje za odpowiedz. Świetna robota z filmikami na temat kresów, wyjaśniają na prawdę dużo i przedstawione zostały w o wiele przystępniejsze formie

@@michazyx5223 Dziękuję za miłe słowa.

Dlaczego dopiero w trzecim odcinku jest mowa o domknięciu, skoro we wcześniejszych odcinkach prezentuje pan sytuacje "bogate w to zjawisko"

6:30 - definicja zbioru otwartego. 7:55 - definicja zbioru domkniętego. Dopełnienie zbioru A w zbiorze X to zbiór X\A, czyli zbiór punktów z przestrzeni X, które nie należą do A. Wizualne wyjaśnienie: zbiór domknięty to taki, którego brzeg rysujemy linią ciągłą (punkty z brzegu należą do zbioru), zbiór otwarty to taki, którego brzeg rysujemy linią przerywaną (punkty z brzegu nie należą do zbioru).

@@Osklisch Wcześniej nie było mowy o domknięciu. Było o zbiorach domkniętych, ale nie o domknięciu.

@@Mateusz-Maciejewski Zbiór otwarty-punkty brzegu nie należą do zbioru. Zbiór zamknięty-punkty z brzegu należą do zbioru. Dobrze, dziękuje.

Tak też można zrobić i to jest dobry pomysł. Należałoby jednak zadbać, by a<-1+ε, więc lepiej dać a = min(-1+ε/2; 2).

Wiem, musiałem źle dołożyć dźwięk do wizji. Już nie jestem w stanie tego naprawić, tak musi niestety pozostać. Dziękuję za informację.

Jestem kompletnym amatorem. Umiem jedynie coś opowiedzieć o Torusie i powierzchownie rozumiem homeomorfizm. Właśnie jestem na drugiej minucie i zapisałem sobie te trzy najbardziej podstawowe wzory.

@@JJSvilleguardian Życzę powodzenia. Najlepiej cieszyć się z każdego sukcesu, nie zrażać się niepowodzeniami. Cała seria filmów tworzy pewną (prawie) całość, ale warto znaleźć sobie jakiś podręcznik, nawet w internecie.

Wnętrze Q w przestrzeni Q to cała przestrzeń Q.

Mówimy o surjektywności funkcji S: N -> O zadane wzorem S(N) = suma_(n∈N) B_n. Surjektywność wynika wprost z definicji bazy. Rozważmy dowolny zbiór otwarty U z topologii. Jest on zatem sumą zbiorów bazowych. Jeśli przez N oznaczymy indeksy tych zbiorów bazowych, które należy sumować, by otrzymać U, to otrzymamy, że U = suma_(n∈N) B_n = S(N). Okazało się, że każdy zbiór otwarty jest wartością funkcji S.

@@Mateusz-Maciejewski Ok, rozumiem. Trochę mnie zmylił ten zapis funkcji. Niby wszystko jest wyjaśnione i mogłem się domyślić. Ale ja bym dał w zapisie funkcji duże N pisane jako rodzinę podzbiorów zbioru liczb naturalnych i obok tego ewentualnie wzór funkcji.

Tak! Ładnie. Warto zwrócić uwagę na to, że l>0, co powinno być jasne z faktu, że X\U jest domknięty.

(1) W poprzednim filmie (Odwzorowania ciągłe) podałem szereg warunków równoważnych ciągłości funkcji między dwoma przestrzeniami topologicznymi. W tym filmie skupiam się na przestrzeniach metrycznych (de facto szczególny przypadek przestrzeni topologicznych), aby podać dodatkowe warunki swoiste dla przestrzeni metrycznych. Wszystkie warunki z przypadku ogólnego można zastosować do przypadku szczególnego. (2) Funkcja f:X -> Y jest ciągła w punkcie x_0, o ile dla dowolnego otwartego otoczenia U⊆Y punktu f(x_0) istnieje otoczenie V⊆X punktu x_0 spełniające f(U)⊆V. (3) Zgodność można na kilka sposobów: można pokazać, że warunek ciągłości Cauchy'ego jest równoważny otwartości przeciwobrazów zbiorów otwartych, można pokazać, że warunek Heinego jest równoważny warunkowi f(cl(A)) ⊆ cl(f(A)) albo z powyższego warunku (2) (być może najłatwiej, ale trzeba by dowieść warunku (2)).

Pana obliczenia są poprawne. Można powiedzieć, że Pan powtórzył rozumowanie z dowodu ciągłości metryki. Moje rozumowanie jest również poprawne, tak naprawdę nie za bardzo widzę różnicę między moim a Pańskim rozumowaniem. Z ciągłości metryki wiemy, że d(xn,xn') -> d(x,x'). Dalej korzystamy z następującego faktu dla dowolnego ciągu liczbowego: Jeśli an->a < b, to an<b dla prawie wszystkich n, co wynika wprost z definicji granicy ciągu. Przy okazji zauważyłem, że w filmie jest literówka. W tym ostatnim szacowaniu powinienem użyć metryki ro, a nie d, gdyż na Y mamy metrykę ro. Dziękuję.

@@Mateusz-Maciejewski Ja po prostu w swoim rozumowaniu chciałem uniknąć powoływania się na ciągłość metryki. Bo z ciągłości metryki wynika od razu jedynie, że d(xn,xn')->d(x,x'), tymczasem w filmie jest odwrotny kierunek tej implikacji.

​@@pawewieczorek516 Jakiej implikacji? Jeśli przeczyta Pan dokładnie moje poprzednie wyjaśnienie, powinien Pan zrozumieć. Niech an, a, b będą jak w poprzednim komentarzu. Niech an->a. Wtedy dla każdej wartości epsilon zachodzi |an-a|<epsilon dla prawie wszystkich n. W szczególności an<a+epsilon dla p.w. n. Jeśli za epsilon weźmiemy b-a>0, dostaniemy że an<b dla p.w. n.

@@Mateusz-Maciejewski Tej, która występuje w definicji ciągłości w sensie Heinego. Jeśli xn->x, xn'->x', to d(xn',xn)->d(x',x). Tymczasem Pan stosuje implikację odwrotną, czyli d(x',x)->(xn',xn) twierdząc, że to wynika z ciągłości metryki. A wydaje mi się, że to wynika z ciągłości funkcji odwrotnej do metryki, prawda? A to, co Pan napisał w poprzednim komentarzu to rozumiem. Pan skorzystał po prostu z definicji granicy ciągu liczbowego podobnie jak ja wyżej.

@@pawewieczorek516 Nie zgadzam się z Panem. Nie wiem, co to funkcja odwrotna do metryki (metryka prawie nigdy nie jest odwracalna).

Blisko. Zbiór wartości to obraz całej dziedziny, czyli zbiór wszystkich możliwych wartości. Jeśli f:X->Y, to zbiór wartości to f(X). Obraz zbioru poprzez funkcję to pojęcie bardziej precyzujące, bo pytamy jedynie o wartości osiągane na pewnym podzbiorze z dziedziny. Gdy tym podzbiorem dziedziny jest cała dziedzina, mamy do czynienia ze zbiorem wartości.

⁠@@Mateusz-MaciejewskiPrzedostatnie zdanie powinno się zaczynać: OBRAZ to pojęcie bardziej precyzujące… - NIE: Zbiór wartości to pojęcie…

@@mlodyG_750 Dziękuję. Poprawiłem.

To jest rozumowanie przez sprzeczność (pl.wikipedia.org/wiki/Dow%C3%B3d_nie_wprost). Zakładamy, że przestrzeń jest T4 i definiujemy funkcję, która z jednej strony jest różnowartościowa, ale działa ze zbioru ,,dużego" do ,,małego", co jest niemożliwe. Sprzeczność dowodzi tezy.

@@Mateusz-Maciejewski Bardzo dziękuję.

Nie. AxB={(x,y); a<x≤b, c≤y<d}. Punkt (a,c) nie spełnia tych warunków.

Chodzi o to, że po lewej stronie tej równości jest FUNKCJA, a po prawej jest LICZBA. Formalnie nie można zapisać, że funkcja jest równa liczbie, więc stosuje się taki zapis i czyta: funkcja h obcięta do zbioru D jest TOŻSAMOŚCIOWO RÓWNA 1, czyli że utożsamiamy liczbę 1 z funkcją stale równą 1. Podsumowując, chodzi po prostu o to, że funkcja h|D w dowolnym punkcie dziedziny ma wartość 1.

To może jest podzbiór, ale nie podprzestrzeń, gdyż na tym odcinku [-pi/2,pi/2] rozważamy metrykę euklidesową, a nie tą metrykę z arctg. Uzupełnienie przestrzeni formalnie nie jest zdefiniowane jako nadzbiór. Owszem, najlepiej nam tak o nim myśleć, to bardzo dobra intuicja. Zatem uzupełnieniem przestrzeni R z taką metryką jest R wraz z dwoma punktami: plus i minus nieskończonością, przy czym gdy rozważamy coraz większe liczby, zbliżamy się według metryki do tego dołączonego punktu w nieskończoności i podobnie w minus nieskończoności. Taki zbiór jest jednak izometryczny z odcinkiem [-pi/2,pi/2] z metryką euklidesową. Dlatego taki odcinek jest również uzupełnieniem przestrzeni. Aby to jeszcze lepiej zrozumieć zauważmy, że rozważana przestrzeń jest izometryczna z odcinkiem (-pi/2,pi/2), a uzupełnieniem tej przestrzeni jest oczywiście jego domknięcie względem metryki euklidesowej.

Mniej więcej tak. Nie każde włożenie jest zanurzeniem izometrycznym, ale jeśli zachowuje metrykę, jest. Natomiast izometrie dodatkowo muszą być ,,na" (surjekcjami). To jest różnica.

Nie. Dowodzimy, że jeśli int A_n ma wnętrze puste, to int A ma też wnętrze puste. Dowodzimy nie wprost, czyli zakładamy, że teza jest fałszywa, czyli że int A ma niepuste wnętrze. int A, a nie int A_n.

Tak, ale też: ile jest tych zbiorów otwartych, czy są jakieś punkty izolowane, i ile czy jest ona zwarta, spójna, czy spełnia jakiś aksjomat przeliczalności lub oddzielania, liczba spójnych składowych, itd.

O jaki moment chodzi? W pojęciu bijekcji nie ma mowy o topologii.

@@Mateusz-Maciejewski ok. 12:11 . O ile bijekcja jest tym samym co funkcja wzajemnie jednoznaczna.

@@tjk581 Tak, bijekcja = f. odwracalna = f. wzaj. jedn. Tam nie ma jednak warunków równoważnych bijekcji, ale homeomorficzności. Równoważność wynika z faktu, że f. jest bijekcją, a dla bijekcji przeciwobraz poprzez f^{-1} jest tym samym, co obraz poprzez f. Wiemy, że funkcja f^{-1} jest ciągła, gdy przeciwobrazy zb. otwartych są otwarte i jest to równoważne temu, że przeciwobrazy domkniętych są domknięte. To oznacza otwartość i jednocześnie domkniętość funkcji f. Homeomorfizm to funkcja, która przenosi całą strukturę z jednej przestrzeni w drugą (zb. otwarte, domknięte, operację wnętrza, domknięcia, itd.).

Nie, to zależy jeszcze od przeciwdziedziny i topologii na nich. Np. funkcja id: X -> X gdzie X=[0,1] suma [2,3], jest ciągła. Tutaj jest kwestia spójności / liczby składowych spójności. W filmach dot. spójności są przykłady.

Nie. Np. na płaszczyźnie takimi funkcjami są przesunięcia o wektor, obroty, odbicia symetryczne. Na prostej to funkcje f(x)=±x+a.

5:35 Pokazuję, że jeśli po prostu odrzuci się jednostajną ciągłość, to może być problem. Nie oznacza to jednak, że nie ma innych twierdzeń. Dla przykładu, twierdzenie Tietzego mówi o możliwości przedłużania funkcji z domkniętych podzbiorów przestrzeni normalnej do R lub do np. [0,1]. Twierdzenie Dugundji mówi o przedłużaniu odwzorowań do wypukłych podzbiorów przestrzeni umormowanych. Te twierdzenia mają inny charakter. Mówią o przedłużaniu ze zbioru domkniętego. Pojawia się np. problem, że funkcji f:{-1,1}->{-1,1}, f(x)=x nie można przedłużyć na F:R->{-1,1}. Temat ociera się o topologię algebraiczną. Twierdzenie z tego wykładu mówi o przedłużaniu na domknięcie dziedziny. Wtedy ciężko odstąpić od jednostajnej ciągłości. Można osłabić to założenie jedynie na ,,niemal jednostajną ciągłość", jak to ma miejsce przy definiowaniu funkcji wykładniczej. Krótkie wyjaśnienie: Funkcję wykładniczą definiuje się w krokach. (1) a^n=a*a*...*a dla liczb naturalnych (2) a^n = 1/a^(-n) dla liczb całkowitych ujemnych (3) a^(p/q) = pierwiastek q-tego stopnia z a^p. Po tych krokach mamy zdefiniowaną funkcję wykładniczą dla wymiernych argumentów. Jest to funkcja niemal jednostajnie ciągła (jednostajnie ciągła na K∩Q, gdzie K jest przedziałem zwartym). Funkcja wykładnicza to jednostajne przedłużenie tej funkcji na R.

Gr(f) to wykres funkcji f: X->Y, czyli podzbiór przestrzeni XxY. W 2:24 mówię, że F jest przedłużeniem f, jeśli Gr(f) jest podzbiorem Gr(F).

Nie rozumiem pytania. Nierówność trójkąta to podstawowa nierówność w przestrzeniach metrycznych. Jej uogólnieniem jest nierówność, którą w pierwszym filmie dot. przestrzeni metrycznych nazwałem nierównością wielokąta. Tutaj mamy do czynienia z nierównością czworokąta (cztery punkty). Jeśli chodzi o to, dlaczego akurat tak oszacowujemy, to dlatego, że z trzeciego podpunktu f(x_n) jest blisko F(x) i f(x_n') jest blisko F(x').

@@Mateusz-Maciejewski Troszkę się pomieszało z metrykami na końcu dowodu, dla F(x), f(x) (- Y a więc ich metryką jest rho , ale wszystko jest w ogólności zrozumiałe.

@@tjk581 Tak, powinno być rho.