拉普拉斯是怎樣解出高斯積分

[@Im_charlie87]

謝謝老師❤️❤️

[@bprptw]

哇本尊!!!!

[@Shawn-l7f]

這裡竟然看到野生茶里！

[@gn00345629]

誒不是 大家都用文字 為什麼你可以發語音???

[@星夜-x4t]

是說 旁邊櫃子上的娃娃是不是茶里呀!

[@Veisharp]

我是法国人, 我是学生在高中.我学习中文, 我爱数学课, 所以我找到你的视频的时候, 当时我很开心 😄

[@bprptw]

謝謝 我也很開心

[@leung4033]

你应该去台湾学中文

[@balljohnson6789]

我是大陸仔，這個視頻成功勾起了我被理論力學支配的恐懼🤣當時的問題是這樣的: 一質點受一與距離成反比的引力作用在一直線上運動，質點的質量為m，比例系數為k，如此質點從距原點O為a的地方由靜止開始運動，求其到達O點所需的時間。 我的微積分屬於是老師抱著我跑過及格線的那種，自然也不會知道高斯積分，當時看到極坐標就害怕了(比起微積分我更害怕極坐標)，草草把結果背下來，結果期末考試重點考察分析力學更是讓我吐血，最後還是老師高擡貴手放我及格(哭).感謝您帶來的拉普拉斯解法，您的講解很詳細，即使是初學者也能順藤摸瓜地找到自己想要的知識點，您在學術上的謙遜令人敬佩。為您點贊👍

[@weiboliu6095]

谢谢老师的指教. 这个解法我上学的时候学过. 毕业之后试着不用网上找到的极坐标做法去做, 但是失败了. 看了这个视频才又想起来, 还有这个富比尼定理, 基本全还给老师了. 除了这个做法, 高斯积分还可以用复变函数里面的围道积分(contour integration)来做: 基本的做法就是在复数域对这个函数进行封闭图形求路径积分, 然后巧妙构造一个半圆形, 由留数定理(Residue Thm)可知, 整个半圆包括x轴在内的线积分等于这个半圆围成的留数值*2*i*pi; 并且可以证明在R->Inf的时候, 圆周上的积分值为0, 那么就是整个线积分就是实数轴上的线积分, 也就是高斯积分, 就正比于这个留数值, 故可以轻松求解

[@wallowes]

昨天在學e^(-a x^2)的傅立葉轉換，才剛學會笛卡爾座標轉極座標的積分法，因為轉過去J=r，剛好可以去積e^-r^2。

[@arisu_sakayanagi_1007]

這方法不錯欸，不然每次都是用極座標或是常態分配反推

[@thxmylife7782]

今天期中題目剛好出這題 好險有看到這部影片 雖然我最後步驟做錯了 很可惜😢 但是感謝老師的影片 教的超好～

[@worldking5059]

重積分,看這種解法,是把外面那層一個一個乘進去(積鈖即是無限小的面積累加),所以外層的變數在解內層積分時,可看做只是一個特定值,即可看成常數!!

[@Bamboo_Ian]

昨天就有看到英文版 覺得有比較好理解 比起工程數學課本寫的極座標更好懂一些 但當然算的過程可能比較偏好極座標XD 因為只要積分一次XD

[@ccyao615]

極座標的計算比較簡單 相對地過程的代換要記一下 之後的L-T也會用到這東西的印象

[@ymj5161]

当年有一科叫“高数物理”，大概是一个学期也就是十三周就把calc1到3加上量子物理学完……我当时能过我现在都觉得有点神奇

[@kammingcheng8804]

解釋很清楚，值得支持。

[@鼎大]

請問以後有沒有機會出微分方程版的極限挑戰？

[@sqrt___]

老师太良心了吧 才发现有中文频道

[@dchan6017]

為什麼會y=xt (linear relationship)? 不好意思太久沒接觸理解不了。

[@Gemini_Huan]

好久沒看到老師了，哈哈

[@d2513850]

3:15 若改變了積分的約束變量,運算結果不變

[@黃俊翰-t1b]

超級喜歡 謝謝老師的優質影片

[@bprptw]

謝謝！

[@Arthur-xe3pu]

好酷的做法~謝謝老師分享

[@gn00345629]

每次看到那種題目跟圓沒關係的題目 答案出現pi都覺得很神奇

[@ukme12845]

把此被积函数的负号去了，再一积一次看看！谢谢曹老师

[@吕廷博]

对于一般大学生而言，常规解法是通过第一积分换元法将定积分转换为伽马函数，得出结果，the integral = GAMMA(0.5) = sqrt(Π)。

[@cluedohere]

Gamma(0.5)怎麼來的？就是先換元變成Gaussian intergral，再用換成極座標或影片中的方法求出來的，你怎麼會說常規解法是把他再換回去呢？

[@binhaolan1592]

題外話，最近的影片，沒有放小叮噹的音樂了😀

[@花火-i2o]

很好的思路，感谢老师，但是有一点就是，这个富比尼定理的使用前提，也就是交换积分次序的前提，应该是被积函数连续吧，但是您视频中说的是，前提是函数大于零。

[@陈一发儿电台搬运]

这个可以两种做法，一是正态分布去凑，另一个是二重积分

[@NavyOfInverse]

相信答案 相信過程 相信它不會傷害你XD

[@lazarusisaacng]

這方法比老師過去教的方法比較容易計算。

[@hsunyanghsieh743]

不考慮把領夾式麥克風夾在衣服上嗎？😂

[@bprptw]

那就會變得像我上課的時候一樣 左手插口袋

[@andersonzhao7111]

才知道老师还有中文频道的 谢谢老师😀

[@yosiakifukuhara1255]

i am japanese. i love this lecture.

[@yiuwaichiu9546]

溫馨提示：如果想用中文講 "dummy variable"，可稱為「啞變量」。另外，看完這個積分後，我想問問統計學中的standard normal distribution表格是用定積分法製作的，還是用數值方法(numerical method)無限逼近的？

[@stevesun11001]

近似！

[@wuhaochina]

normal table里的值是使用MCMC(Monte Carlo)方法逼近的。

[@kevinant2]

用泰勒吧 都是用泰勒的

[@williamhu5425]

突然用中文，吓我一跳，上一看还是看你讲limit的题，好几年前了

[@yalecha993]

牛逼，先码住在看。我之前只会用极坐标

[@micah1213]

好巧，我刚在khan academy上学完了multivariable calculus，现在用brilliant学linear algebra，请问老师有教那个范围吗？

[@bprptw]

沒欸 我不擅長linear algebra.

[@easondu9236]

推荐3b1b 的essence of linear algebra

[@joe40173]

其實， 高斯積分我當初在學的時候覺得最神(經病)， 最無俚頭的做法是複變函數論； 鬼才想得到這個傢伙是複空間的積分答案的某個分部， 腦洞是有多大?

[@wuhaochina]

突然听你说中文，好不习惯啊。

[@JackJack-zo9xu]

dummy variable 中文可以叫"魁儡變數"

[@UserWuLove168]

請問可以多解釋一下為何可以令 y = xt嗎? 因為兩個I 相乘，雖然一個是以x做積分，一個用y, 但實際上x就等於y吧?! 若y=xt 不就表示 x=xt ???

[@方玉兰]

您还是没有理解定积分的真正意义。积分里的变量是可以用任意字母指代的，参与运算的是个函数并不是定数，与选取的字母无关。这里是把被积函数的变元用y替换x，而不是方程里的y＝x。

[@yen-chunchen8942]

維基百科說 Fubini's theorem 好像是20世紀提出的定理。滿好奇拉普拉斯是在不知道這定理的情況下去試出來的嗎? XD

[@link-89]

估计Laplace做的时候没有严格讨论交换的前提，直接形式上就那么做了😂

[@今晚打胖虎-z9c]

背后是茶里的玩偶！！！！！！！！

[@chenmoon9375]

好久不見

[@da1ampa]

t=y/x 那當x=0的時候怎麼辦

[@SuperYoonHo]

Laplace=what?

[@BobChen85]

想問老師衣服都是哪裡買的🥺

[@huiwijaya]

akhirnya ada yg pake bahasa mandarin...

[@jaychen949]

我比較想知道後面那個自然指數的掛畫哪裡買的

[@bprptw]

我自己設計的周邊 😄

[@jaychen949]

@@bprptw 可以買得到嗎

[@ppbonbon87]

我大學到底怎麼會這些東西的阿.... 現在全忘光了XD

[@dvzheng1917]

看是看得懂，但是里面很多操作思路不是先知道正确答案，真的想不到想到也不确定是不是对的...

[@songkenny1541]

請問fubinis thm是高等微積分才會學到的嗎

[@bprptw]

Calc 3

[@sagiriouoizumi2455]

如果是證明的部分 我記得應該是

[@qibingsia9212]

freaking amazing

[@bprptw]

英文版: The most beautiful integral kzbin.info/www/bejne/qnSzgoall9Z5npY

[@呂永志-x7o]

我數學系卻沒看過這做法

[@蕭逸才]

二重积分，或者凑成标准正态分布

[@hiroshi-lai]

我怎麼在這裡

[@jing-chingchen2333]

看你視頻突然有中文版很奇怪!XD

[@bprptw]

沒關係 我們慢慢會習慣的

[@jiadong7873]

omg, you can speak Chinese, I thought you were Vietnamese...

[@joe40173]

不過用拉普拉斯的方法似乎沒辦法解決高斯係數問題， 有一好沒兩好~

[@bprptw]

什麼是高斯係數？

[@joe40173]

@@bprptw 對不起， 我確診胡言亂語。 當初我學仿空間的時候遇到高斯係數覺得很順， 可是學數學的都知道， 冠上高斯名字的東西哪有可能這麼理所當然， 所以就偷偷去查了一下， 仿射空間這傢伙， 是因為高斯認為所有定義域是開區間的積分函數， 一定都可以映射到整個實數線的某個積分才發展出來的， 其中就有高斯積分與高斯係數的部分關係， 不是解決啦>.

[@howarang]

你好老师，我想问一个基础问题。为什么在笛卡尔坐标系下的微元是矩形，而在极坐标系里面微元是扇形而不是等腰三角形。笛卡尔坐标系下可以把曲线在微元里近似成直线变成举行。为什么在极坐标里却要近似成弧线，变成扇形，而不是近似成直线变成等腰三角形。

[@lqzlqzlqzlqzlqz]

在极坐标里也可以理解为长方形。想象极坐标中的这么一个面积单元，它的长度(径向）当然是 dr （极径之微小，实际上是无穷小的一个变化), 它的宽度(切向) ，理解为一个圆弧的一小段，这段圆弧对应的半径当然是r, 圆心角是 d\theta. 那么这段圆弧的长度显然是 r d\theta, 所以这个面积单元的面积自然是 r dr d\theta. 极坐标的径向和切向也是正交的，所以可以有这个直观的解释。对于复杂的情形还是用雅可比行列式算简单。

[@回大唐梦]

准确的说应该是横向而不是切向

[@mixshare]

laplace 👍

[@leeshaocheng239]

❤

[@monuum]

茶里😂

[@bprptw]

😆

[@jeffkevin3]

對耶什麼時候跑出來的？ 🤣

[@laieekwang1168]

我才發現老師會說中文

[@蓋瑞-j5w]

翔門弟子留

[@ongtrung1766]

沒實力的老師.