香蕉皮能展成平面吗？微分几何之高斯绝妙定理

[@pangeladelia7725]

谁会想到，在某一天，你为了看一个广告，要上完一整节《微分几何绪论》

[@蘑菇塔鸡肉]

序论吧

[@pangeladelia7725]

@@蘑菇塔鸡肉 本科时只见过绪论和导论，没听说过序论。

[@peteryang7106]

@@pangeladelia7725 还有概论吧

[@leonliu2981]

听这些，恍惚之间回到了四十多年前

[@ngsaikeong]

@@pangeladelia7725 绪论就是序论，高中建议再读一次

[@brcuewan744]

扔进人堆里辨认不出的李老师，把人群中那么多远到看不清的知识，拉近到了人群可观察的距离，拓宽了我们的视野，满足了我们对知识的亲近欲，感谢感谢

[@MoFrendy]

谁能想到大帝这种纯学术教育频道能接到这么猝不及防的手机广告😂

[@yongjiewang9686]

也有可能是望京soho和大兴机场的广告。。

[@neocort4513]

@@yongjiewang9686 手机植入是真的，其他的恐怕是误伤吧

[@wunxue]

去年新冠刚发生时，给生产韦德西韦的吉利得制药公司打过广告，但可能是免费的

[@MelonCat776]

看完之后只有我一个人想到了要去买薯片吗？...

[@MoFrendy]

@@MelonCat776 这是个很好的思路，谢谢😂

[@sagaholmes5071]

各种相对高深的话题，李老师也都能用通俗易懂的表达让人理解，太有教育家魅力了！

[@wendyyu1977]

小结： 曲线: 凸: k >0 直: k =0 凹: k < 0 曲面: 主曲率：k大(Km)，k小(Kn) 主平面之间关系: ∟ 与弯曲程度无关的量：内蕴量 其中之一是高斯曲率 K: K = Km * Kn 在等长变换下，K 不变。 应用：由平面(K=0)等长变换出的任何弯曲面的K也是0；反过来，如果在曲面上存在 Km=0 或 Kn = 0 的 主曲率平面，则该曲面一定可展。

[@莫小宝-g2t]

课代表好！

[@XuancongWang]

高斯曲率不变的前提条件是面材料不可延展，像金属、橡胶、软塑料等可延展材料在张力的作用下会发生延展性形变，高斯曲率就会改变；而把圆柱圆锥拉平这种形变不属于延展性形变，所以最好可以强调区分一下这两种形变本质区别

[@lovehwt]

高斯绝妙定律，前提就是等长变换

[@samleed7284]

已经强调了 是等长

[@TeoTH80]

本期視頻是由Oppo Find X3 贊助播出

[@believeingood5875]

虽然是高中老师，但可是一等一的学霸。 北京大学物理和经济双学士，清华大学电子工程系硕士。 物理，奥林匹克竞赛全省第一。 数学，华罗庚金杯数学竞赛全国一等奖。 第一届和第二届北京高校演讲比赛冠军。 这样的老师我也想有啊。

[@yufanzhang1263]

李老师？

[@yeshan6825]

@@yufanzhang1263 是的哦。李老师超级牛逼的

[@dolphinyrar5797]

沒繼續念博士作學術研究有點可惜了，但現在走另一條路 也是很成功

[@peace3449]

太牛逼了

[@sunriseoriental2951]

物理和经济 是怎么读到一起的？😂

[@周伟-f2u]

李导师在我心里是万能的人才，让我尊敬到敬仰，曾经与别人争执不休，人不可能做到什么都懂，你们错了，那你是不认识李永乐老师，推荐他们看你的视频，个个都惊呆了，瞬间变得如此安静，他们被你的讲解课程惊呆了，各个领域都如此专业，干得漂亮李导师。

[@周伟-f2u]

貌似有点道理

[@exlife9446]

哈哈纠正一下那个不叫烟囱，那个是火力发电站里的冷凝塔，用来把高温水蒸气冷却成液态水，回收利用。它下面是一个巨大的水池。水蒸气通过这个烟囱会上升，并冷却成水落到下面的大水池子里。

[@ballchang8286]

这么硬核的手机广告吗？（李永乐：他们给的太多了）

[@pllp5592]

老十五，老十六，老十八

[@akiramatsushita]

李永乐老师终于被充值了😋

[@ivanfunny_4176]

北京一套房到手

[@richardwang5209]

X3 给不到1000w的赞助费的

[@good-morning-c]

我看到最后才知道你说的什么意思。。。

[@cindyyu7292]

@@good-morning-c 啊哈哈哈哈

[@cal8391]

恰饭恰饭哈哈哈

[@yareyaredonut]

這個業配來的措手不及

[@HRWU]

台湾朋友们把“植入广告”或者“软广告”叫做“业配”吗？是什么的缩略语？“业务配合”？

[@yareyaredonut]

@@HRWU 就是業務配合（至少我印象中是）

[@HRWU]

@@yareyaredonut 多谢回复🙏😊

[@jalapeno1041]

开头左下角有付费宣传的提示。有金主说明人气高

[@SosirisTseng]

@@HRWU 針對植入广告還取了名字叫做 "葉佩雯"

[@熊喵-d4h]

李永乐老师讲一遍，我就听懂 其他老师讲再多遍，我都听不懂 这辈子能遇到像李永乐老师这样的老师，是真的幸运

[@江選懿]

真的，因為李老師講的時候是由淺開始講然後點到為止，真的很厲害

[@DZ-yz9uc]

oppo 牛B

[@tipinwings]

@@江選懿 因为李老师说的内容，在任何一门真正的课程里，都只是序章的内容。常识性的了解。而且不用考试，更不需要实际应用。

[@我有发嘉然视频的瘾]

听不听的懂是一方面，做不做对题就是另一方面了

[@renwang2205]

李老師的內容不屬於教科書的任何章節 基本是科普性質~~我一點都沒有貶低李老師的意思 ! 李老師深入而淺出的功力很棒 一般的科學家 你要他用十幾分鐘的影片介紹一門科學, 大多數都做不到 ;即使勉強做到了 也沒人能聽懂

[@CC-xt4ch]

好家伙，看完这集我在街上看到优美曲线的女孩都在想着曲率，，啧啧这不可展曲面真美！

[@TheAwakeForever]

@凌伍美分 racist

[@螢幕輕鬆點亮]

老司說了，不可展曲面都必須是一次成型，但有些女孩是兩次以上啊，看來 OPPO 還有進步空間，需要結合 AI 技術，進化成 OPPAI 成型科技之類的....

[@沈煜伦]

@凌伍美分 racist

[@reportwa1393]

正想跟妹子解釋胸部的高斯曲率, 被警察抓了

[@奈米-mc1]

是個數學家了

[@yl95]

能听李老师讲数学 感到很幸运 讲得太好了 很容易理解 谢谢老师

[@vect1775]

嗯 孺子可教也 呦西

[@ducktsmt]

恭喜李老师接到业配

[@charont6904]

我看老师的视频，每每都是一知半解，但是，这次是我唯一的一次恍然大悟。。老师恰饭真是润物无声啊。。。

[@BBLab]

为什么我看到标题第一反应是: "二向箔"-让宇宙变成平面😄 一根香蕉🍌, 小意思🤔 (看完发现这个广告的切入点很特别👍能接到广告是好事, 有钱才能持续带来好内容💪)

[@BBLab]

看完发现这个广告的切入点很特别👍 能接到广告是好事, 有钱才能持续带来好内容💪

[@百合仙子]

二向箔改变了高斯曲率，所以太阳系被压坏啦～

[@pinkiiduckii]

OPPO广告无缝接入啊，这代言有水平

[@走出謊言]

完整聽了一遍，享受。感慨當年大學高數課怎麼不是李老師教的啊

[@kmx6190]

更厉害的地方在于李老师是高中老师，比大学老师还会讲高数

[@走出謊言]

@@kmx6190 永樂老師是妥妥的學霸出身

[@wunxue]

他讲的对象是设定为高中水平，把数学概念与物理现象结合，变成可以看见的。当然他有个非常好的优点就是学习能力强，能把一些数学物理化学生物学上的研究成果理解，然后用他的语言浅显易懂地讲出概念来。但你要是去追究为什么，这些就不够了。不知道李老师做不做科研，在一些数学物理理论前沿上写写文章。

[@wunxue]

@@走出謊言 这个是肯定的。他的学习能力很强

[@muzankibutsuji61]

@@kmx6190 人大附中的老师随便择一个出来都比我大学的老师强，太羡慕了

[@許萬億]

明明知道的業配 但還是要給大大的讚 李老師就是偉大 我愛您 !!

[@matthewzhuo3759]

看李永乐老师的恰饭广告竟然不耽误我学习微分几何，请收下我的膝盖😂

[@林天逸]

厉害了，业配不忘育人

[@ZhangPeng]

李老师终于开吃播了，香蕉，比萨饼，薯片，桔子。

[@rexsun8457]

粉笔粉尘啊

[@charonyu]

7:00 定义一个曲面点是平的 的充要条件是 两个主曲率都是零，一个曲面是平的 等价于处处是平的，下次可以加上这一点

[@floatingcloud531]

可以用一个简单的办法来判断一个曲面是否能在一个平面内展开：一条直线在不弯曲的情况下任意运动所形成的曲面，就是可展曲面。

[@不动不静]

一样的啊 。 没有更简单啊

[@abada00zhanghongbing]

13:36 开始处视频说的是错的，视频中说：“就是因为它过任何一点都存在一条直线，所以它的高斯曲率是0，所以它就可以展开”。显然，过双曲面上任何一点，也存在一条双曲面上的直线，但是双曲面的高斯曲率并不是0，双曲面也不可展开，因为直线不是双曲面的主曲率线。所以，视频中说的“因为”是不足以成为充分理由的。

[@假老二]

所以香蕉可以展開成平面嗎?...平放香蕉 可以發現在高度(Z軸)上是相同的, 所以可以畫出一條曲線...但在z軸上看是一條直線

[@lgjx7406]

向李永乐老师致敬！愿意永远做你的学生。

[@pwave9233]

恭喜李老師 終於接到软广（業配）了😄

[@DaYiLe]

李永樂老師連晚餐都拿來當教學工具真是萬世師表，後世必有永樂吐哺天下歸心的美名。

[@明李-o9c]

马保国 哪里走

[@谢生-b2g]

很高兴看到李老师从高斯讲到黎曼再到爱因斯坦这一段，让我对古典微分几何和现代微分几何有一些概念了

[@ruanjiayang]

李老师i您的教具能不能换一批，看得我饿了。。。

[@xiovan4274]

不能，因为下课后老师要吃

[@五元歸一]

謝謝李永樂老師，我原本看不懂曲率終於看懂了

[@ahxian9976]

上完这课，我终于不再纠结如何剥桔子了~

[@TensorF]

老子第一次广告这么认真

[@yixinzhou-st3uq]

清晰简洁的让我想哭，所谓可展的意思应该是展开过程中曲面上的线长和面积不能伸缩，不知道有没有理解错。 这件事情再反过来思考就是三维空间中的有些曲面居然不是我们直觉想象中依靠平面随意弯曲就能得到的，好震撼好诡异

[@peifenchen1762]

谢谢指教

[@3716-e9o]

如果说是随意不定长的话，那的确随意弯曲能达到任意连续曲面啊。当然那又进入拓扑学内容，有新的限制，不能撕裂。

[@robertchen4673]

李老师说来惭愧，我微分一直挂科，希望你能多出一些高等数学的视频帮学渣补课🙏

[@林育緯-q3w]

真的是很厲害的老師! 講東西清楚。簡潔易懂!

[@pingsie3832]

這業配手法太高招了🤣🤣🤣前面的數學觀念講得很清楚易懂 超讚👍

[@foxlinn]

曲率为零不一定是直线，黑板上那个曲线中间曲率为零的点叫拐点，没有一小段直线

[@talesamaral3744]

Math is awesome. Despite not speaking a word in mandarin/chinese, I got the math ahha

[@ravenousturtle8498]

Math is universal

[@edwardmao9792]

@@ravenousturtle8498 but not mathmaticians :(

[@rhlng]

I doubt it very much.

[@文杰克]

让他恰。这种形式真的是寓教于乐，李老师加油。

[@MayshowGunMore520]

突然就拿出一塊披薩 笑死我了

[@科學儒者]

老師想問一個問題： 就是我在參加我國小3天2夜的畢業旅行時，第一天晚上我大約11點多才睡覺，而且晚上睡覺時一直睡不著，半夜醒來很多次，也很難睡，最後6：05就起床了，而且精神非常好；但是第二天晚上，大約9點40幾分就不小心在床上睡著了，半夜2點多醒來整理個東西上個廁所，就回床睡覺了，結果一睡就睡過頭，鬧鐘都叫不醒，睡到大約7：30導遊都上來叫了，才醒來，而且精神非常不好，特別想睡覺。我平常星期一到五都6：00～6：30就被叫醒，只是六、日比較晚起來，可是這次畢業旅行中不知道為什麼會發生這種狀況，老師這是為什麼會有這種晚睡精神好、早睡反而精神不好和早睡醒不來這種狀況呢？

[@akennn634]

滑板的板面是一个可展曲面(贴砂纸完美贴合，砂纸无弹性)，理论上应该是这样

[@XS83]

李老师的每堂课都能起到养生的功效！希望李老师把高等数学都讲完吧。最好也能把中国古代数学全部讲一遍🙏

[@xihajun]

可惜古代中国没有什么数学，现代就靠大家了

[@李可-h6q]

@@xihajun 这只能说明你太无知了，古代中国只不过没有把数学系统化而已，更偏向于实用

[@wizard2681]

@@李可-h6q 确实...但这讲着也没意义了.数学就是系统化的东西.讲中国古代数学还不如讲西方的.古代数学还是进入历史课比较好.

[@huyzhu577]

@@wizard2681 你懂多少数学？估计负数的历史都不懂吧。你知道多少数学大家写中国数学？以及从中国数学获取灵感？

[@wizard2681]

@@huyzhu577 呵呵..历史内容数学有关系?我数学系的..抱歉,除了中学,大学里内容没有一个定理关于中国的.别抱着历史吹,21世纪了.要吹也得吹其它的.你用力吹捧,你倒是说说看???

[@yuanli7626]

哈哈 我是没想到有一天在李老师的频道里也能看到广告 哈哈 挺好的 不反感

[@emilylee4920]

老师终于恰饭了 哈哈哈 希望有更多像李老师这样的人恰饭 比那些戏子和跳梁小丑恰饭对社会的帮助大多了

[@Diabolo932]

李老師之後會製作統計的影片嗎 例如p值 變異數 標準差 以及各種常見檢定法

[@TylerWeiTL]

我去，为了突出这个业配的特点，讲了个这么难的题目🤣

[@nicechordwiwi]

李老師您好阿！請問 Odysee 上面的 @李永乐老师 頻道是不是您本人呢？

[@taotaotan5671]

活捉wiwi

[@requiemll]

Hi, Wiwi! 我也好奇。

[@rofery]

wow，在这里见到wiwi大朋友

[@maxwell1594]

我的妈，梦幻联动！！

[@TaichungGG-SHINN]

台灣Odysee大使也來啦XD

[@锦堂生活空间]

微分几何时我一直想选来修的课，无奈必修课实在太慢了，抽不出时间。。

[@Watchen98]

捕捉我的锦堂学弟！！

[@sakimi1780]

啊这 师兄您好

[@trumpxu5906]

锦堂我的偶像

[@adamsharp70]

您好

[@dagg6226]

捉

[@WLin-pl2ty]

我想到一个例子。传统样式的双筒望远镜的中央镜箱里面容纳了全反射棱镜和来回折返的光路，看起来性状不规则，但它的侧面也是可展的。因为要贴皮革做装饰和防滑。

[@newchaoz]

李老师应该提一下，三维曲面切的时候必须通过法向量

[@柬埔寨老刀友]

Hello, 李永乐老师，本人小朋友可以请你解说解说关于::双峰分布（bimodal distribution）吗?，上司给的难题任务。。。例如: 有从-10到+10(包括0)，21个数字。从0开始，数字会一格一格叠加，前进或后退。如果有100个样本，(正567)与(负567)会形成两个双峰(各组大概25%+25%概率)。那请问: 如果现在数字处于正3或4，最终的结果会落在各个数字的概率是多少??? ps: 不知描述清不清楚?=。=

[@zhigangxu2007]

不知道李老师的英语怎样，如果很好的话，可以考虑同时做一个英语讲课版本，一定会在全球火起来的！

[@大王叫我不要来巡山]

其实其基础就是在曲面上弯曲坐标轴，用不同维度的偏微分展开计算，然后有各种特征曲线、曲率、张量在里面被代数定量公式化表述，进而导出非欧几何的代数描述，也并非很难理解的领域。

[@c2co2co32-]

說是這樣說，難度可不只上升一個等級，求線求曲面的方程會跑出偏微分方程，不是寫完就完事的，歐氏可以簡單直觀知道有沒有，非歐你沒求出個解之前，你可能就只是用一堆符號寫了個不存在的數學物件而已

[@liangchenliu4414]

数学好神奇 可惜社会对数学没有应有的尊重和重视 这期干货很多准备工作也做了很多 辛苦李老师了

[@Henry-yr2hn]

高考150分，理科所有升学都考数学。数学不好会被人鄙视为智商低。你还想怎么重视😌

[@liangchenliu4414]

@@Henry-yr2hn 所以你眼中对数学的重视就仅仅该是放在考试和显摆智商上，这是应该的吗？数学本身作为一个完整和系统的学科，要通过大学阶段的深入学习才能得到更全面的认识和了解，反而大部分在高中经过大量数学培训的理科生最后在大学里学习数学的少之又少。再往后到了研究人员的阶段，拉经费的繁琐，经费又少的可怜，几乎想让人为爱发电，人才能留得住吗？全都跑业界去了

[@Henry-yr2hn]

@@liangchenliu4414 我觉得这是市场决定的吧。全世界需要的做数学研究的人也就这么多，以及国家就能养活这么多人。高校教职一直都是满的。然后中国和外国比的话，以前是不需要自主研发不重视超前的研究，以后必须自主研发，数学就提上去了。

[@liangchenliu4414]

@@Henry-yr2hn 是的，而市场背后就是需求与社会意识形态的问题，因为之前对自主研发不重视所以社会忽视了数学的重要性，反而是之前华为在明示对数学重视后似乎人们才有改观，这就是我评论里想表达的

[@wxw0924]

你说的这个尊重不是大多数人理解的律师工作受人尊重环卫工作不受人尊重的那个尊重

[@psychedelic-rock]

有没有和我一样的小伙伴就是喜欢横平竖直大方盒子的。买车从不考虑圆滚滚的外形，都是大方盒子。从早期的V33、Y61、LC76到后来的奔驰G-class。

[@Tieruious]

有意思！可展曲面这个点解开了多年的疑惑

[@邱宝云]

李永乐老师你好，我发现一定量的电子在传送过程中，跟距离有重大的关系。我有一年在云南做生意。不知道什么原因，身上老是带静电。还跟别人开玩笑，经常去电别人，后来我发现，我拿了一根70 到80厘米长的铜线去碰别人，结果发生了可怕现象，把对方电了很疼，发现铜线上有蓝色的光打到对方再反回而且听道电的声音啪，啪。我这才发现电子在单一纯静线路上运行也存在惯性，而且线路越长产生的威力越大。你有没有知道什么东西设备有这种应用？

[@去摘遥不可及的星]

果真绝妙！这种广告创意也就只能是李老师了，这种广告我愿意多看看😂😂

[@yishengzhou3112]

李老师，李老师，帮我个忙，谢谢 今天在课堂上无意间发现9的9次方的9次方（好像是这么说的）底数是9指数是9，后来又有个9在指数的右上角。之后我试着用9的81次方，两个答案是一样的，我感觉到不可思议，我老师也懵了，我在心里想“9的9次方的9次方”（不知道这样子称呼对不对）等于9的81次方，请老师看到的时候是不是对的，如果是对的，应该怎样证明呢？老师我来自浙江不过本人在国外上学，我的答案是用计算机算出来的。谢谢老师，求老师解一下，谢谢

[@lipeishao6157]

小朋友来了。小朋友提问：可以多说说一些经济学的概念和故事么？太喜欢听了。

[@ziyouzhuyi]

这是我听过最好的内置广告（内容和推广最切合的AD）

[@3716-e9o]

烟囱...那个不是烟囱，不会有烟囱设计成双曲线外形的，发电厂里面冒蒸汽的其实叫冷凝塔...难得在李老师这里挑个错啊。

[@junhu944]

如果OPPO不是很抠门，给老师十万块做这个广告的话，我是会特别支持的，毕竟老师也要吃饭

[@haobinliu7441]

这个植入真的厉害，比所有广告都更有创意！而且还愿意再看一次……

[@federigodelazion6738]

17分钟的广告，人生第一次看广告看到入神，最后从数学到Oppo的大反转也算是击中要害 老师终于能挣钱了，好事！ 希望下回来奔驰的广告

[@大王叫我不要来巡山]

墨卡托投影画的地图相当于将原本主曲率不为零的三维性质用映射的方式对应成主曲率为零的二维平面，地理位置上的不同点之间继续一一映射对应的同时空间形象失真是理所当然的。

[@yujrpm]

我大概也可以算是讀微分幾何出身的吧。首先要學differentiable manifold, Riemann metric, tangent space, Levi-Civita connection, covariant derivative, Lie bracket ，然後可以定義黎曼曲率張量，跟着講高斯曲率了。

[@yujrpm]

@@ngsaikeong 你是什麼東西？

[@yujrpm]

@@ngsaikeong 原來是個本科和博士不分的學猹。美國每年只有幾百個純數學博士畢業。國內前幾十年，將純數學打成脫離群眾壞思想，無理打壓，純數學無法發展，同國外差距巨大。我在港中大本科，不是內地。我的HKALE3A成績，要入任何金融精算計算機科學課程完全不是問題，我不選而已。

[@deltahardwaretrading8410]

四年级时 ， 我就知道 我不是那塊料 ， 那些再继续下去的 他们的脑袋真的是 不一样的 👍👍👍

[@WanAuria]

晚饭前看到的更新，不过我没敢在吃饭前点开，怕看了不消化。 临睡前挑战一下吧，唉！我竟然听懂了。话说这次李老师讲得不深，应用里是插了软广吗？香蕉皮是不能展成平面的，每天早饭我都是切一个香蕉进麦片，曲面影响我的刀工。

[@harborl5145]

这一集可是能世界上至今最有科学内涵的广告了，也开创了网课植入广告的创意先河

[@yyc9592]

期待李老师出个系统的 高数教程

[@panliu9289]

那是另外一个李永乐的工作

[@changszuchin856]

電子 系差遠了

[@xyz86457]

既然曲率有正负，那么在说平坦/弯曲的时候是不是加绝对值更严谨一点

[@MrSeaHare]

所以以後男友/女友變心的時候要往好處想，至少他/她心臟的高斯曲率是不變的

[@爱摸腹肌的护士美少女]

如果出现肺心病造成心室代偿肥大，高斯曲率就变了

[@zyu2820]

看到这硬核广告我就放心了，有人注资就能做更好的节目

[@vurtnesaerdna]

李老师，我想系统的学习一下微分几何，应该从哪里学起或者有什么入门的书可以推荐的，感谢!

[@29ewang]

精彩的一期节目！太棒了！👍

[@easymao1334]

奇怪 第一次 對廣告沒有反感 反而有感謝之意 感謝支持老師

[@hengzhou4566]

李永乐老师看完Manfredo do Carmo的Differential Geometry of Curves & Surfaces，按照大概80%的理解程度吧，需要几周啊？

[@ddtl4537]

讲的很清晰啊。我小时候看这方面书籍的时候总被绕的云里雾里。

[@lalau4852]

数学上证明所有平滑曲线的点都只有一个曲率圆，那请问我可不可以说所有与平滑曲线有交点的圆都只与曲线有一个交点？从视频的图看起来不是这样，所以是某些点都只有一个对应的圆但都是同一个圆同一个曲率？此外，我不是很明白为什么要有主平面这个词。因为我从视频理解的主平面是对应曲线（最大或最小曲率圆所在的曲线）直线延伸的平面，那为什么不直接说曲线之间成90度（虽然他是曲可是是平面所以从上面看还是两条垂直直线，每条曲线都可以展开成直线）我个人对曲线很有兴趣，因为以前第一次学习曲线时只限于曲线函数图像，考完试了就完了。我总在想曲线是什么，我随手画的线也算吗？可是我画的很丑教科书上的却总是很美很顺，看了这个视频我才懂原来有分平滑曲线，那请问有谁可以指教我一下要有怎样的条件才算是平滑曲线和非平滑曲线吗，或者它们有没有一个定义？另外我还想问是不是所有的平滑曲线都有对应的函数图像呢？如果是或不是，又有得证明吗？

[@tomlin338]

感謝李的。希望不要你不受其他人的影響你的熱心公益教學。

[@钛钴锂钢铁]

李老师，我觉得薯片的形状是可展曲面，因为薯片切下来的时候是平面，是肯德基爷爷把它掰成了马鞍形

[@gabyslowcarbrecipes219]

李老师能科普一下海藻糖吗？到底是健康还是不健康😄

[@liuhao3416]

为啥我觉得螺旋面的外侧是被拉伸了？ 如果拉伸了就不符合前面的等长变换的前提了

[@ludovic2003]

应该举一个黎曼曲面上的曲面展开例子。笛卡尔系里面太straight forward了。

[@Mann_6688]

李永乐老师你好！有个问题关于大气压强的想请教一下。一个小球打了气之后内外都有大气压所以不会瘪。但我不知道为什么小球里面那么少的气体产生的压力可以抗衡外界那么大的大气压强？？如果可以的话请做一期关于这个问题的视频。万分感谢🙏

[@roykeng6976]

这就别麻烦李老师了。打了气以后，球里的面的压强变大了，所以可以把瘪的球撑起来。如果想让小球有点弹性，我们再往小球里打点气。小球内的气压会随着打气逐渐增加。这时小球不是要抵抗球外的大气压，是小球要抵抗内部的气压。至于能抵抗多少，要看小球的材质了。

[@saharasahara814]

看廣告的時候就習慣性地點了讚，是不是對李老師的勞動太不負責？

[@李心澄李心澄]

想問一下，影片中那些電腦的幾何圖形與動畫是用什麼工具跑的？

[@房教售-大白话学地-x6g]

老师辛苦 满满干货👍

[@aaa2182qian]

李老師的廣告我都一定看完！

[@yunhaosun7754]

行云流水，听着太享受了

[@大谷-n2r]

又恰饭，又涨知识，真才是真高级！

[@wendyyu1977]

@李永乐老师：两主平面的曲率 k最大 和 k最小，那么 6:18~6:19 的陈述就应该有误。 应该是"竖着切曲率往那边是最小的"。对吗？

[@TchLiyongle]

这取决于定义哪个方向为正

[@wendyyu1977]

@@TchLiyongle ：好吧，谢谢。6:13 所指的''这边" (+/-)，和 6:18 所指的"那边"(-/+)，方向是相反的，绝对值在该方向上都最大，但 k 值本身一个是最大，一个是最小。

[@焱焱-h3i]

您好李老师，能否开一课分析下私人保险是否值得买？谢谢您

[@LokWanOtaku1993]

李老師第一個業配!!

[@吕廷博]

墨卡托投影应该是不改变面积的, 南北极只是距离误差较大, 面积不变.