[L1] Q est dense dans R.

[@easytoday6392]

Bonjour, l'idée d'introduire la division euclidienne, c'est pour assurer l'unicité de k et r? du coup pourquoi on veut l'unicité? Une autre question : peut-on faire une démonstration en trouvant deux suites adjacentes qui convergent vers x (un peu comme dans le Théorème de BW)

[@lesmathsparseb8463]

L'existence est essentielle. L'unicité également puisque l'on veut définir notre suite. S'il y avait plusieurs valeurs de k possibles, on ne pourrait pas associer canoniquement une valeur unique à la valeur de u_n. L'image d'une fonction est unique. En particulier, l'image d'une suite doit être unique. D'où l'importance de l'unicité. C'est possible en utilisant deux suites adjacentes en utilisant par exemple le développement décimal. Tout réel x est compris entre x_n = 10^{-n} int(10^n x) et y_n = 10^{-n} (int(10^n x) + 1). Les suites (x_n) et (y_n) sont adjacentes. Toutefois, la "puissance" des suites adjacentes, c'est de pouvoir démontrer l'existence d'une limite sans connaître la forme de cette limite. Dans notre cas ici, on a une forme très précise de la limite souhaitée, c'est x. Par conséquent, inutile de compliquer le problème avec des suites adjacentes. Toutefois, montrer que lesdites suites (x_n) et (y_n) sont adjacentes constitue un bon exercice. On démontre BW avec des suites adjacentes car on ne connaît pas la forme de la limite recherchée. BW permet de débloquer un outil très puissant : les suites de Cauchy. Si on veut montrer qu'une suite converge mais qu'intuiter la limite est difficile, alors on montre que cette suite est de Cauchy.

[@lesmathsparseb8463]

Il faut le voir ainsi : Soit f une fonction et x un élément. Alors x a une image par f si et seulement si il existe UN UNIQUE y tel que f(x) = y. De même, n a une image par une suite u si et seulement si il existe UN UNIQUE y tel que u_n = y. Toujours garder en tête qu'une suite u est une fonction u avant tout et que l'on écrit u_n à la place de u(n) par commodité.