La diagonale dévastatrice de Cantor | Infini 16

En 1902, Russell détruisit toute l'oeuvre de Frege en un argument de deux lignes ! Le paradoxe de Russell s'appuie sur la diagonale de Cantor, qui, plus tôt, avait déjà permis de montrer l'existence d'une infinité d'infini... mais aussi l'inexistence de l'ensemble de tous les ensembles !
Logicomix (excellente BD sur l'Histoire des fondations mathématiques autour de 1900)
www.logicomix.com/fr/
L'infini | Science Étonnante
• L'infini
Deux (deux ?) minutes pour l'hôtel de Hilbert | El Jj
• Deux (deux ?) minutes ...
La statistique expliquée à mon chat
/ @lastatistiqueexplique...
L'axiome du choix | Infini 15
• L'axiome du choix | In...
N is a Number: A Portrait of Paul Erdös
topdocumentaryfilms.com/portra...

[@IncroyablesExperiences]

Chaque vidéo est un régal, merci !

[@Clems3D]

Super vidéo, comme d'habitude ! Est-ce qu'un jour tu pourrais faire une vidéo sur les quaternions ? Je trouve que c'est vraiment intéressant, et peu de personnes ne connaissent, ça pourrait être sympa :D

[@zazodrums]

Wow la puissance de la diagonale! Je découvre ta chaîne à l'instant, j'avais peur de me casser les dents sur des problèmes de maths complexes mais cette vidéo est tout à fait compréhensible pour mon petit niveau, cool :)

[@edouard.a]

Excellente vidéo. Le paradoxe de Russell m'a dévasté quand j'en ai entendu parler pour la première fois!

[@Unydric]

Ouah mais tu mérites tellement plus d'abonnés c'est incroyable bravo

[@magiejoker502]

Merci et bravo pour ces explications ! J'ai tout compris en un rien de temps, ce qui est rare

[@carmelovaccaro312]

Merci INFINIMENT pour toutes tes vidéos :-)

[@augustinfrancotte3163]

Super vidéo, j'ai entendu parlé de ça dans un cours de fondements des maths, mais j'ai mieux compris grâce à toi, merci ! Parleras tu de la théorie des catégories une fois ? Ca ne concerne pas l'infini directement (quoique peut-être), mais c'est un sujet des maths très intéressant !

[@morroes]

Je découvre ta chaine, tu es passionnant, bonne continuation :)

[@job1383]

Salut, j'adore tes vidéos, je ne sais plus si c'est dans celle ci ou dans une autre vidéo, mais tu as parlé une fois du fait que ta conception des mathématiques n'était pas "réaliste" mais "constructiviste", peux tu nous éclairer un peu sur ces positions épistémologiques méta-mathématiques? Grand respect pour le travail de vulgarisation!

[@theseehudson9081]

Une vidéo géniale comme toutes les autres !!! Mais je pense qu'il me faudra du temps pour digérer le paradoxe de Russel :D

[@Elara_____]

Une vidéo géniale, je suis définitivement attiré par ta chaîne Lê !

[@mohammedkhalili1154]

excellent comme d'habitude .. J'ai bcp rigolé à ton slam kung fu, est ce que tu peux nous envoyer un lien pour étudier la théorie de Frege ? Et celle de Cantor ? Et sinon c'est quoi la définition des nombres réels que tu as évoquée ?

[@mehanakalem70]

Très bonne vidéo !

[@aurelienhamy7124]

J'adore cette chaîne ! Continue comme ça (enfin j'ai encore honte du "et bim ! et bim !...") :D

[@amineenprepa3012]

Avec des potes on pris le même sujet pour le grand oral de bac, franchement merci pour cette video

[@AZERTY7152]

J'en ai appris plus dans ma vie en regardant tes videos qu'en 2 ans de prepas mp Dx

[@azizajamel8894]

l'ensemble des sous ensembles de l'ensemble des ensembles ..... aie ma tête

[@Science4Allfrancais]

je me suis marré tout seul en écrivant ça dans mon script^^

[@Science4Allfrancais]

ERRATUM : l'application de la diagonale de Cantor au nombre en base 2 ne fonctionne pas, à cause de la multiplicité des écritures décimales des nombres réels (voir épisode 2 : kzbin.info/www/bejne/b5qbe5V_iKabY7c) La preuve aurait été juste dans toute autre base, par exemple dans la base 10 comme l'ont fait Science Étonnante (kzbin.info/www/bejne/Z4rVk4h4iNRnhdU) et El Jj (kzbin.info/www/bejne/hJDGdXRsqatgapI) Pour plus d'infos, je vous renvoie vers le commentaire de Frédéric Dupré plus bas.

[@mattbart4840]

Science4All (français) juste c est quoi la musique de fond utilisee stp?

[@Science4Allfrancais]

Les musiques sont listées dans le générique de fin

[@pascalrevillard1043]

Crois-le ou non mais j'étais venu là pour faire cette remarque aussi !

[@shael4866]

"et bim ! " S4A

[@julientaurus4174]

Vous ne voyez pas qu'il y a un énorme problème de logique dans le raisonnement de Cantor ..? Et peu importe la base utilisée. Tout d'abord, Cantor attribue un nombre à chaque nombre réel. Donc Cantor DÉNOMBRE l'ensemble des réels !!!! L'ensemble des réels est dénombrable !!! Ensuite, le nombre créé par Cantor, soi-disant, ne peut pas apparaître dans la liste. Mais .. si la liste est infinie, alors tous les nombres y apparaissent, y compris celui de Cantor .. Putain mais ouvrez les yeux : vous voyez bien que le raisonnement de Cantor ne tient pas la route !! TOUS LES ENSEMBLES DE NOMBRES SONT DÉNOMBRABLES: je peux tout placer sur un axe horizontal par exemple. Je peux mettre tous les nombres de l'ensemble des réels sur un axe .. et donc faire une bijection . Le seul problème qui existe en mathématiques, c'est la notion " d'infini".

[@VictorWetzel]

Trop cool la vidéo! Par contre ce serait cool si tu pouvais positionner ton micro-cravate correctement, et pas trop pousser le gain, le son serait meilleur! Continue de tourner des vidéos trop cool!

[@guillaumeciglia]

très bonne vidéo.

[@caoson5717]

ahahahaha la référence de la chaîne statistiques pour mon chat 😂👍👍

[@thedarkkitty9642]

J'ai explosé j'adore

[@MultiAnonymous8]

Salut, superbe vidéo comme d'habitude! Dis-moi, quel est ce "E" arrondi qui apparaît notamment à 0:29 dans l'égalité R e R R?

[@Science4Allfrancais]

Ça se lit "appartient à".

[@aurelienperdriaud108]

Merci pour cette vidéo, elle m'apprend et me fait réfléchir comme toujours ! Cependant j'ai une question : Dans ton exemple sur la diagonale de Cantor à 5:55 , tu organises la position de chaque élément comme dans une liste, du coup si X est l'ensemble des nombres réels, on ne peut pas utiliser cette explication car on ne peut pas les lister. Alors je ne voie que deux possibilités : - Soit je n'ai pas bien compris l'explication et mon raisonnement est faux. - Soit Cantor et Russel utilises une autre démonstration qui est là bien rigoureuse. Peux-tu m'expliquer s'il te plait ?

[@MrAmericanDreams]

Supposons qu'il y ait une surjection f de X vers P(X). Alors l'ensemble A des éléments x de X tels que x n'appartient pas à f(x) est une partie de X, c'est-à-dire que A appartient à P(X). Comme f est surjective, il existe un élément a de X tel que f(a) = A. Question : a appartient-il à f(a) ? On arrive ainsi à une contradiction puisqu'un tel a ne peut ni appartenir à A ni ne pas appartenir à A.

[@Pradowpradow]

Bonsoir, super vidéo, bravo. DIs-moi, ta démonstration vers 5/6 minute, est-il légitime de la faire avec un X qui correspond a une distribution discrète d'éléments? Ou alors tu as fait ca pour que ce soit parlant, mais formellement cela ne devrait rien changer?

[@MrAmericanDreams]

Il s'agissait d'une liste transfinie.

[@Science4Allfrancais]

Disons que j'ai fait ça pour que ce soit parlant ;) Mais techniquement, avec l'axiome du choix, tu peux ordonner tout ensemble avec ordinaux transfinis (et pas juste des entiers naturels)... Donc avec l'axiome du choix, c'est relativement rigoureux :P

[@Pradowpradow]

d'accord merci beaucoup :)

[@GlaxAScrimus]

Au moment ou je regarde la vidéo, tu as 19 999 abo' GG

[@axlr8467]

@@josephmilcent1944 et il mérite !

[@noemiesvi]

30 000 ici en 2023

[@MrAmericanDreams]

Bonjour, Très belle introduction. Il me semble qu'il y a un problème dans l'argument pour les suites binaires. Par exemple, prenons : 0.1000000... 0.0010000... 0.0001000... 0.0000100... etc. Tu obtiens alors 0.01111... qui désigne le même nombre que 0.10000... Ensuite, je trouve ça dommage que pour montrer que X est strictement plus petit que P(X), tu aies supposé (implicitement) X dénombrable (à moins que ce fut une liste transfinie), alors que ta question de départ était que tout ensemble (quel qu'il soit) avait cette propriété. La preuve générale étant très élégante en plus... cela rejoignait l'argument de Russell. Puisque à 9:32, il me semble que si R appartient à R, alors R satisfait les conditions d'admission (et non la négation). Très chouette sinon.

[@AZERTY7152]

Je pense que ton contre-exemple est faux, car si l'on part de ta suite 0.1000000... 0.0010000... 0.0001000... 0.0000100... etc. Et que l'on prend seulement les chiffres sur la diagonale, alors l'on obtient 0.1111.... or ce nombre n'est pas compris dans la liste de depart, ce qui montre qu'il n'y a pas de probleme avec son argument

[@VantasiaGD]

Mais il y a TOUT les suite infini de sous-chiffre, et donc il y a 0.111111111111111111111111111... dans la liste. #Désolerdebrisertesreve.

[@AZERTY7152]

patrick derosby Non justement vu que sa suite infinie ne prend pas en compte ce cas là vu qu'à la n-ième étape, le 1 se situe n chiffres a droites de la virgule

[@ouassimkarrakchou9405]

Bonjour, Excellente vidéo comme d'habitude! Petite question sur le paradoxe de Russel: l'utilisation de l'argument de la diagonale de Cantor me parait un peu trop "oversizé" pour démontrer ce paradoxe. Ce paradoxe ne découle-t'il pas directement de la définition même de l'ensemble R de Russel? Aussi ce paradoxe se rapproche de façon plus générale du paradoxe du menteur (il semble être une sorte d'illustration dans la théorie des ensembles de ce paradoxe logique), qu'en pensez-vous? Merci d'avance pour vos réponses

[@MrAmericanDreams]

Il n'y a pas vraiment de diagonale de Cantor dans la preuve qu'il n'existe aucune surjection de X vers P(X) si X est un ensemble. Mais de ce constat, on peut remarquer que si l'ensemble de tous les ensembles existait, disons E, alors il existerait une surjection de E vers P(E), puisque P(E) est inclus à E. Ce qui est une contradiction. En début de vidéo, on a dit que si l'ensemble de tous les ensembles existait, disons E, alors on aurait en particulier que E appartient à E, et on pourrait définir un ensemble R comme étant l'ensemble de tous les éléments X de E tel que X n'appartient pas à X. Ce R, a priori, n'amène à une contradiction. Cependant, si maintenant je me pose la question : est-ce que R appartient à R ? Alors tout est foutu.

[@ouassimkarrakchou9405]

Effectivement, dans la vidéo on prends comme point de départ cet ensemble des ensembles pour ensuite introduire R à l'aide de la diagonale de Cantor et enfin finir la démonstration du paradoxe en déduisant cette contradiction que "R appartient à R" est équivalent à "R n'appartient pas à R". Pour clarifier ma question, il me semble que ce n'est pas nécéssaire de commencer cette démonstration par l'ensemble des ensembles Omega, et d'utiliser la diagonale de Cantor pour introduire R (c'est cette partie qui me parait "oversizée"). Je pense qu'on peut directement définir R comme étant "l'ensembles des ensemble qui n'appariennent pas à eux-même". R peut donc être directement écrit avec le langage de la théorie des ensembles et de cet ensemble on peut directement déduire la contradiction qui constitue ce paradoxe de Russel. Et donc ma question est : est-ce vraiment nécessaire d'utiliser la diagonale de cantor pour définir cet ensemble?

[@MrAmericanDreams]

Ah mais non pas du tout, et il me semble que c'est expliqué comme tel dans la vidéo (et en l'expliquant d'une autre manière, celle que tu cites).

[@ouassimkarrakchou9405]

Ok ça marche merci, ça confirme effectivement ce que je pensais. Après il est vrai que relier ce paradoxe à la diagonale de Cantor permet de le voir différemment et de rajouter du coup tout le contenu du milieu de la vidéo sur le fait qu'il n'existe pas de plus grand infini... donc c'est pas plus mal :-)

[@DIMENSI0N]

Pas mal le petit clin d’œil à Albert :)

[@DIMENSI0N]

Phrase qu'on entend tout le temps sans raison valable quand on est KZbinur -_-

[@DIMENSI0N]

Non, c'est juste que moi tu me connais et pas les autres du coups tu t'en rends pas compte

[@DIMENSI0N]

Et après on se prend des milliers de "t es partout toi" --'

[@DIMENSI0N]

lol

[@archeacnos]

6:00 oh c'est trop bien imagé Je m'étais emmêlé les pinceaux, mais là tu m'as permis de tout clarifier

[@alexandrebarret5843]

Super vidéo comme d'habitude. Dans les ensembles (comme l'exemple avec le chat et la souris) on peut dire d'ailleurs qu'il y a 2^n sous-ensembles où n représente le nombre d'éléments. Donc dans un ensemble infini dénombrable, il y a 2^infini sous-ensembles. Mais comment expliquer alors que ce nombre est un infini "plus grand" alors que 2^infini=infini (dénombrable)? Excusez-moi si j'ai fait une erreur ...

[@poipoi495]

pourquoi 2^infini = infini denombrable?

[@hydroxychloride9077]

Petite question : cette diagonale dévastatrice, elle n'est permise que par l'axiome du choix non ? je veux dire, dans mon souvenir de la vidéo de ElJj ou de SE, il me semblait qu'il était exprimé comme le fait de pouvoir choisir une infinité de choses en "même temps" parmi des ensembles (finis ou pas je ne sais plus ?) en l'occurence, pour A, B, C, ... on doit définir pour chacun des ensembles s'il contient les autres ou pas, bon là à la limite je veux bien que l'axiome n'intervienne aps, mais après li faut pour chaque ensemble qu'on le "numérote", disons i, puis qu'on prenne son i^ème élément et qu'on l'inverse. ça fait un choix infini à faire ... j'sais pas si j'suis clair ? Aussi, je ne comprends pas un truc, comment X peut-il ne pas se contenir ? je pense que je n'ai pas saisi le concept de l'ensemble, c'est à quelle vidéo que je dois remonter OU aurait-on un exemple ? Genre écrire que X = {a,b,c,X} ça me paraît très très bizarre Bien vu pour la réponse des lapins ! sans avoir essayé de continuer le raisonnement, j'suis content, je vois bien vers où le schmilblick avance !

[@TheMaxtimax]

HydroxyChloride Non la diagonale se fait sans axiome du choix. Ce dernier permet de faire des choix quand il n'y a pas de manière "canonique d'en faire", alors qu'ici, si !

[@MrAmericanDreams]

En binaire, tu n'en as pas besoin, puisque si le digit considéré vaut 0, alors tu prends l'autre, c'est-à-dire 1. Si c'est 1, tu prends 0. C'est tout. Si ce n'est pas du binaire, rien ne change puisque, si ton digit vaut 0, tu prends 1; sinon tu prends 0. Tu as un mode de décision ici. Donc pas d'axiome du choix, puisque la fonction de choix est clairement construite ici.

[@hydroxychloride9077]

Ah d'accord, merci aux 2 réponses :)

[@ninochim7856]

J’ai pas compris ou alors il y a une erreur dans la figure que tu présentes car je distingue en bas de la figure un triangle rouge donc monochromatique... ?

[@noemiesvi]

non il ne se trompe jamais car il a un bac S 11:50 une ligne du triangle est rouge cramoisi tandis que les deux lignes adjacentes sont rouge vermillon, du coup on a bien deux couleurs différentes

[@leotimm6805]

Je note "infini" un infini dénombrable tel que N (les entiers naturels). On dit souvent que 2^"infini">"infini" donc est ce que log2("infini")

[@alexandredeville2083]

Petite question: Intuitivement je dirais qu'il y a plus de nombres reels positif que de nombres premiers positif. Les deux sont infinis, y a t'il donc des infinis plus petits que d'autres?

[@JeSuisUnKikoolol]

Oui, infinis dénombrable (l'ensemble N par exemple) et infini indénombrable (l'ensemble R) En l’occurrence l'ensemble des nombres réels positifs est en bijection (même nombre d'éléments) avec R et l'ensemble des nombres premiers est en bijection avec N. Comme la taille de R > la taille de N on a plus de nombres réels positifs que de nombres premiers positifs

[@Samueljxd]

N'existe-t'il pas d'axiome qui interdise qu'un ensemble infini (par définition qui n'a pas de fin) puisse être dénombré et listé ? Cela pourrait résoudre ce paradoxe même si on prend l'ensemble des réels de 0 à 1, ensemble infini de taille/dimension finie. Sinon, n'y aurait-il pas une erreur dans les fondements même (ou leur compréhension) de la notion d'ensemble et/ou d'infini (j'ai toujours cru qu'un paradoxe avait 2 solutions, ou il était fondé sur une erreur/approximation ou que la logique pouvait toujours le solutionner)?

[@mathieupascal8882]

Salut, Petite question sur la diagonale de Cantor. Quelqu'un voit pourquoi avec cet argument ne peut être appliqué à Q (puisqu'il est dénombrable)? Merci !

[@Aroux1930]

Bonjour, On ne peut pas appliquer cet argument à Q car tout rationnel admet un développement décimal périodique (c'est même une équivalence). Or le nombre que l'on défini avec la diagonale de Cantor n'a aucune raison de l'être. Cordialement

[@soka7636]

bien vu Sophiane

[@phileas2283]

7:20 L'ensemble oméga est la liste de tous les ensembles.Y compris de l'ensemble "diagonale d'oméga" ou "diagonale de la diagonale d'oméga" Donc non rien n'est plus grand qu'oméga car rien qu'imaginer un ensemble plus grand l'intègre à oméga. A moins que la définition d'oméga soit "ensemble de tous les ensembles déjà crées"

[@lightgazaret6825]

Pour le graphe à 5 points, il suffit de colorier tous les segments à l'extérieur et ceux à l'intérieur d'une couleur différente, non? (bleu pour le pentagone externe, rouge pour les segments à l'intérieur, par exemple).

[@Draithak38]

Yep j'ai pensé a ce coloriage en 1er moi aussi.

[@Science4Allfrancais]

Yes!

[@mathieupascal8882]

Salut science4all ! Question hors sujet, mais pourrais-tu me conseiller un livre (ou mieux, un cours, en pfd...sur internet), pour m'initier à la topologie algébrique (en francais ce serait le top du top) :) ?

[@GrothenDitQue]

Mathieu Pascal Si tu veux j'en ai, quel niveau mathématique as-tu pour l'instant?

[@mathieupascal8882]

Ah super !! J'ai un niveau général de L3 (avec pas mal de topo), et j'ai un M1 de crypto ou j'ai fait pas mal d'algèbre. Mais niveau topo algébrique, je n'ai donc jamais eu de cours !

[@GrothenDitQue]

D'accord pas mal, et bien c'est parfait sachant que mon premier cours de TopAlg date du S1 de M1 Maths! Alors j'ai 2 polys, qui vont plus loin que le cours que j'ai suivi mais qui m'ont l'air pas mal. Je te les envoie en MP :)

[@mathieupascal8882]

Top, c'est super sympa ;) !

[@GrothenDitQue]

Mathieu Pascal​ Avec plaisir ;) Et regarde la page perso de Jean-Pierre Demailly aussi, c'est mon prof; et il y a des photocopies de nos notes cours qu'il nous donna!

[@supermarioplayersmp]

4:55 Oui vas-y Oui-Oui !

[@yannickdumas917]

Euuuuh y'a pas un comme qui dirait un sous-graphe induit à trois sommet qui soit monochromatique en bas à 11:46 ? Sinon très bonne vidéo, ça fait toujours planer l'infini... Continue :)

[@Science4Allfrancais]

Les diagonales ne se coupent pas en fait. Il n'y a pas de point au milieu.

[@lucPIERROTalias01]

Décomptées sur racine de 2 soit : un complexe infinitésimal je ne vois pas comment elles pourraient se représenter avec un nombre fini !? Sauf à poser formellement : la valeur de l'unité = 1 côté du carré basique = "racine de 2" d'où l'hypoténuse en vaut "2" quand le 1.ier "homme" en est averti... Et cela ne prouve MÊME PAS qu'elles se recoupent sur UN point qui serait éventuellement celui qui marque la borne qui limite le terrain de l'autre ! C'est seulement la "fonction unité carrée" qui pêche., SURTOUT en fonction f2 (-)2 de (a)= (a/a) = (a)° = 1. Il faut poser en CNS d'hypothèse : (a) EST UN COEFFICIENT et non-pas un CORPS géométrique et appartient à l'Ensemble-vide de son Ensemble de corps géométriques congrus dans "la suite " numérique " de base U.

[@Draithak38]

un peu comme sur un échecier

[@pierreswing9165]

Question : à 2:30 sur le fait que le nouveau nombre réel ne fait pas partie de la liste fournie, N'a-t-on pas en fait juste la preuve qu'on a une écriture d'un nombre réel qui n'est pas dans la liste fournie, un nombre réel pouvant avoir plusieurs écritures : exemple 1 et 0,11111111... donc si ça se trouve le nombre obtenu par inversion de la diagonale est peut-être déjà dans la liste avec une autre écriture. Comment démontre-t-on que ce n'est pas le cas ?

[@MrAmericanDreams]

La démonstration est fausse en soi.

[@Kolinnor]

Mais moi en regardant toutes ces vidéos sur l'infini, je me demande juste si parler d'infini ne serait pas là le problème ? Je ne pense pas qu'on puisse démontrer de manière rigoureuse l'infini ? Enfin je ne m'y connais pas trop, mais par exemple 1+2+3...=-1/12 pour moi ça voudrait juste dire que nos axiomes de départ étaient faux (c'est à dire l'utilisation des infinis avec des sommes), je préfère que ça aille à l'encontre de la "règle des signes" --> une somme d'entiers positifs est positive Enfin quoi qu'il en soit ça reste super intéressant et j'espère me tromper

[@manun7105]

Bonne vidéo! Je réagis surtout à la dernière remarque concernant l'épisode de l'axiome du choix. J'avoue que je ne comprends toujours pas bien bien cet axiome (ni si oui ou non il "faut" le considérer comme acceptable). Deux questions me sont venues à l'esprit. Déjà la première (rien avoir avec l'axiome au fond) sur le fait que les lapins devinent leur propre nombre réel serait impossible et donc l'axiome du choix "faux" (oui je résume caricaturalement ce que tu as dis). Ce "raisonnement" parait inexact. Ce n'est pas comme si chaque lapin trouvait vraiment seul: c'est l'ensemble de tous les lapins qui après application de l'axiome du choix permet à chacun de trouver. L'axiome fait que chaque lapin a de l'information considérable pour y arriver (une suite de nombres réels [le représentant fournit par l'axiome] ET une suite presque complète de nombres réels [les nombres des lapins devant eux]). Vu comme ça qu'y a t-il de si "impossible"? N'est-on pas dans un raisonnement du type "c'est pas possible pour un individu isolé donc c'est bizarre" alors que ce qui fait marcher le truc c'est justement qu'il y a beaucoup d'individus "isolés"? Genre par exemple la contribution d'un réel (nulle) d'un intervalle d'intégration dans la valeur d'une l'intégrale non nulle; ou dit autrement une mesure qui ne charge aucun point, mais charge des ensemble. Je ne sais pas trop si je suis clair :/ Et la deuxième, la plus importante à mon avis. L'axiome, à ma connaissance, n'est pas le fait de dire que Paris est la capitale de la France, Rome celle de l'Italie, etc...C'est dire que pour chacun de ces pays, il EXISTE une ville qui en est la capitale...aucune idée d'où se situe ces villes particulières là, à quoi elles ressemblent, leur taille, leur population...et si on habite une ville, impossible avec l'axiome du choix de savoir dans quel pays on est et donc qui est notre capitale. On sait juste qu'il existe une capitale d'un certain pays qui représente notre ville. En terme un peu plus mathématiques, la magie (ou l'intérêt, c'est selon le point de vue) de l'axiome du choix est que justement le représentant n'est pas en général exprimable ou descriptible. Du coup comment les lapins comparent-ils leur suite de chapeaux (que se soient des 0 et 1 ou des réels) avec chaque capitale, étant donné qu'on n'en connaît vraiment aucune? A vrai dire, ils ne savent même pas quel pays est susceptible de correspondre à leur suite. On sait simplement qu'il y a une capitale qui correspond à leur suite de chapeaux (leur ville). Et même s'il le savaient (pour le pays), impossible pour eux de discerner clairement la capitale (car non construite mathématiquement) pour la comparer à leur ville. Ma conclusion serait donc que l'axiome du choix est surtout contre-intuitif à cause des conséquence comme Banach Tarski, Zermelo ou que sais-je....mais difficile avec des exemples comme ça de vraiment rendre compte de son caractère non-raisonnable/surprenant. Sachez que tout ceci n'est pas hyper clair pour moi; alors mes excuses si mon texte n'est pas clair :/

[@yusefiguess]

Il y a une chose que je ne comprends pas dans la vidéo, comment peut-on lister tous les ensembles avec eux-mêmes? Je pensais qu'on ne pouvait les lister qu'avec des entiers naturels? Et comment est-ce qu'un ensemble se contient lui-même? Est-ce différent de dire qu'il est inclus dans lui-même?

[@gaelbxl1338]

Très bonne vidéo, on sent que tu maîtrises ton sujet :) j'ai juste 2 petites questions : 1) Pourquoi passer par P(x) pour montrer qu'il existe toujours un ensemble plus grand puisque dans beaucoup de cas (dont tous ceux que tu as cités), l'ensemble vide n'appartient pas à X? Ne suffirait-il pas de dire qu'il existe un ensemble contenant tous les éléments de X ET l'ensemble vide (ou tout autre élément qui n'est pas dans X comme une paire par exemple) pour montrer qu'il existe un ensemble plus grand? Deuxième question : "L'axiome de la fondation" de la théorie ZFC énonçant que tout ensemble n'appartient pas à lui même (j'ai bien dit appartenir, pas inclure) ne contredit-il pas l existence de l'ensemble de tous les ensembles et, par conséquent, le paradoxe de Russell (puisque s'il existait, alors il s'appartiendrait nécessairement, de par sa définition)?

[@yunadener7126]

En fait quand on parle d'ensemble "plus grand" c'est dans le sens qu'il n'existe pas de surjection de l'ensemble "plus petit" dans le "plus grand", c'est-à-dire qu'il n'existe pas de fonction du petit ensemble dans le grand dont l'image soit le grand ensemble en entier. Prenons N l'ensemble des entiers naturels et 2N l'ensemble des entiers pairs, on a bien 2N inclus strictement dans N et pourtant f : x -> 2x est une bijection de N dans 2N et par conséquent N et 2N ont même cardinal/taille, celui du dénombrable. Dans le cas des ensembles de cardinaux finis il suffit en effet de rajouter un élément pour augmenter le cardinal mais dans le cas des ensembles infinis, rajouter un élément donne un ensemble de même cardinal. C'est justement paradoxes comme l'inexistence d'un plus grand infini et celui de Russel qui montrent qu'il y a des problèmes avec l'existence d'un ensemble des ensembles, et globalement à considérer tout et n'importe quoi comme des ensembles. Dans ZFC, la classe (la collection si on veut) des ensembles n'est pas un ensemble, et si ce n'était pas le cas la théorie serait inconsistante. Si on admet l'axiome de fondation on dit juste que la classe {x | x n'appartient pas à x} est la classe de tous les ensembles.

[@gaelbxl1338]

Bob Dener d'accord, je vois mieux maintenant, merci beaucoup ! c'est vrai que j'aurais du penser à appliquer mon raisonnement à l'infini avec les cardinaux...

[@Science4Allfrancais]

Gaël BXL, je te recommande très vivement le visionnage (répété s'il faut) des excellentes vidéos de Science Étonnante et El Jj : kzbin.info/www/bejne/Z4rVk4h4iNRnhdU et kzbin.info/www/bejne/hJDGdXRsqatgapI

[@hamilcarr4685]

ahhhhhh,les preuves par diagonales...toujours un plaisir...la premiere fois que j'ai su comment prouver que le probleme de l'Arret était indécidable,j'en ai eu mal a la tete pendant 2 jours

[@noemiesvi]

du coup si on décide de lui pisser à l'Arret ya plu de probleme

[@gmatitchi]

et bim et bim et bim et bam tu me retourne le cerveau une nouvelle foi, maintenant il et à l’endroit mais si tu fait une infinité de vidéo dans quelle position se trouvera mon cerveau ?

[@gmatitchi]

question existentielle si il en est qui n’aura surmenant jamais de raiponce

[@leschapmc]

Pour P(X) à 6min15, tu as tout de même supposé qu'on pouvait ordonné l'ensemble X. Et dire "je prends le suivant"' ne fonctionne pas, on peut penser à [0;1], ou même "j'en prends un autre", puisque comment être sûr de tous les avoir?

[@lielos1964]

Tout à fait, sa preuve est fausse (sauf si on a une liste finie ou dénombrable), mais la preuve rigoureuse part du même principe. Raisonnons par l'absurde, et supposons qu'il existe une surjection f de X dans P(X) Soit A={x n'appartenant pas à f(x), x un élément de P(X)}. f est surjective donc il existe a appartenant à X tel que f(a)=A a appartient à A a n'appartient pas à f(a), or f(a)=A. Contradiction.

[@leschapmc]

"f est surjective donc il existe a appartenant à X tel que f(a)=A" A est un ensemble d'éléments de P(X), mais tu supposes que A appartient à P(X) ensuite. Tu voulais peut être dire A={x n'appartenant pas à f(x), x élément de X} ? On a alors A appartient à P(x), et le reste de ta démonstration est correcte :)

[@lielos1964]

leschapmc Effectivement, désolé.

[@ManuelBoissenin]

@@lielos1964 En fait, y'a un truc qui me gêne dans cette démonstration, et c'est, à peu de chose près, la même chose qui fait que ça saute aux yeux que sa démonstration a un problème, mais en plus subtile. Pour revenir à sa démo, on crée un nouveau nombre qui n'est pas dans la liste des nombres, mais, comme on a une liste infinie, il suffirait de l'ajouter à la liste et ainsi de suite, comme N est infini, il n'y a rien d'évident qui nous empêche de faire cela. Ce qui me gêne avec la démo "classique" c'est que l'ensemble est implicitement construit, et qu'il faut un nombre d'étape infini pour le construire. La définition de A occulte cette construction, mais est-il raisonnable de construire un ensemble avec une infinité d'étapes? Il est vrai que j'ai une vision constructiviste biaisée par ma vision de l'informatique et la machine de Turing. En même temps, avec un tel raisonnement on pourrait se demander si 1/3 est un nombre décimal qui existe: une infinité de 3 a-t-elle un sens? (on a des mathématiques qui, soit dit en passant ne semblent pas cohérentes avec la constante de Planck, et donc notre monde physique.) Notez que je ne conteste pas que card(P(X)) > card(X), c'est évident pour des ensembles finis et ça semble évident pour des ensembles infinis: quelque soit x appartenant à X, il y a une infinité de parties de X, celles ne contenant pas x, qui peuvent lui être mis en correspondance (mais là encore l'argument n'est pas à priori correct car N peut être mis en bijection avec NxN, en d'autres termes une infinité d'infinité). Bref, quelqu'un aurait-il une autre démonstration à proposer? Au fond, je suis d'accord avec la méthode "classique": si on a une surjection de E sur P(E) alors on peut construire (définir en fait) un ensemble de p(E) tel que par sa définition il n'a pas d'antécédent dans E. Outre le problème sus-mentionné de constructibilité, on n'exhibe qu'un seul ensemble de P(E) sans antécédent. C'est certes suffisant, mais ça ne va pas dans un sens de l'intuition: on devrait avoir une infinité de tels ensembles, d'où, à nouveau la même question: Y aurait-t-il une autre démonstration?

[@lielos1964]

​@@ManuelBoissenin Alors construire un ensemble avec une infinité d'étapes, je suis pas d'accord. Il n'y a qu'un nombre très réduit d'étapes avec ma démo, où chaque étape est l'utilisation d'un axiome de ZF. Une autre démonstration, je sais pas, celle-là je l'ai vue plusieurs fois et j'en ai jamais vu d'autre.

[@Neiosian]

6:10 Le sous ensemble des chats qui ne contient même pas les chats :)

[@fredericdupre4254]

Bonjour. Les différentes vidéos que j'ai vues de toi semblent prouver que tu es suffisamment bon en maths pour savoir que ta preuve n'est pas tout à fait juste ! En effet, elle suppose implicitement que la décomposition en base 2 est unique, ce qui n'est pas le cas (par exemple, 0,011111.... = 0,1). En fait, ta preuve marche avec toute base de numération sauf justement la base 2, à la condition de prendre des développements dits "propres". Alors certes, l'idée générale de la preuve de la non-dénombrabilité de IR que tu exposes est la bonne, mais ta démonstaration doit être modifiée pour devenir parfaitement juste...

[@thecubeur33]

Frédéric Dupré La définition de IR est peut-être à éclaircir. La dernière que j'ai lu excluait justement ces développements!

[@pifdemestre7066]

@Ron Frta Oui on fixe une écriture canonique, mais ça ne change rien au problème de la démonstration. On peut imagine que la suite construite soit 0,111111... (1 répété à l'infini), dans ce cas on n'a pas de problème (i.e. cette suite n'a pas besoin d'être atteinte pour que la fonction soit bijective). On peut corriger facilement le problème en regardant en base 3, ou en considérant les décimales deux à deux (donc en base quatre en fait).

[@SalimRostam]

En effet ; je ne sais pas s'il y a un moyen de s'en sortir en restant en base 2 ? Peut-être avec un argument qui permet d'avoir une « bonne » numérotation initiale des éléments de [0, 1], mais je ne pense pas que ce soit plus rapide que de passer en base 3 ! En tout cas, quand il fait la même preuve avec des « oui » et des « non » là ça a l'air tout à fait correct :)

[@fredericdupre4254]

Si, on peut facilement s'en sortir en restant en base 2 et en n'envisageant que des développements propres : les éléments diagonaux de la liste ne sont pas tous nuls à partir d'un certain rang, sans quoi cette liste oublierait beaucoup de réels de [0,1[. Il en résulte que le nombre qu'il construit en inversant les 0 et les 1 ne comporte pas que des 1 à partir d'un certain rang, son développement est donc propre et, par unicité, il ne figure pas dans la liste.

[@fredericdupre4254]

Bonjour. On peut toujours décider de ne représenter conventionnellement un réel que par son développement binaire propre, il n'en reste pas moins que 0,011111... existe et vaut 0,1 ! Quant à la construction de IR, elle se fait classiquement par le procédé de complétion de Cantor ou par les coupures de Dedekind : cela détermine sans ambiguïté le IR que nous connaissons et il n'y a donc rien à préciser à ce propos.

[@alinstlawrence3458]

15:00 Oui mais comment le 1er lapin connait il la couleur de son chapeau? de plus si le nomre de lapin sest infini je vois diffiilement comment il pourrait dire que le nb de chapeau est paire ou impaire A la limite on pourrais dire que chaque lapin n observera que le10 premiers chapeau,et dira "imapaire" si le nb de chapeau noire est paire,et paire si il l est,ainsi le lapin pourras deduire son chapeau

[@quedepassage5246]

oui mais si la diagonale de cantor transforme toutes les suites cela ne veut pas dire quelle en crée une ? et même si dans les suites la diagonale semble crée un nouvel ensemble de suite ça ne veut pas dire qu'elle en crée un vraiment mais elle pourrait simplement changer l'emplacement sur les lignes et et les colonnes non ?

[@jeanbigozon7967]

est ce par la diagonalisation que l'on passe de aleph2 à aleph3,puis 4,5,etc. ?je veux dire que l'on construit aleph2,puis 3,4,5,etc. ?

[@noemiesvi]

ché pa

[@PPriker11]

je ne comprends pas la diagonale de cantor ne marche que si le nombre de chiffres dans l'écriture et le nombre de nombre listés sont égaux ? sinon comment ??

[@AlessandroZir]

oh, I was to embed this in a page I devoted to infinite venerable monsters, but there is a point I couldn't actually get, and besides you being so adorable (and also because of it) you still need to answer: don't you think that Russell's paradox (independently of Russell's own opinion) might strengthens Cantor's original insights about the infinite, even though if it destroys (eh pewn! eh pewn!! eh pewn!!!) Frege's axiomatization of it?! corollary: maybe from Cantor's perspective we never even really needed a ZF or ZFC! & logicism seems a straight-jacket invented by the most mad!!

[@mouadadam4132]

Pk sa me choque pas 6:43

[@professeurcultureprecieuse936]

Super vidéo, une petite question: Ne pourrions-nous pas construire un ensemble A infini tel que P(A) inclus dans A (en n'en faisant sa définition même). Ce qui en ferait un infini suprême !!! Merci de ta réponse et bonne continuation :)

[@TheMaxtimax]

Professeur Culture Précieuse Comment construis-tu ton A ? Ou, alternativement, si tu le définis ainsi, comment prouves-tu qu'il existe ?

[@565ares]

Intuitivement, je dirais non, parce que A est un ensemble de quelque chose, et P(A) est un ensemble d'ensemble de quelque chose, donc c'est pas le même type d'éléments. Après je sais pas ^^

[@TheMaxtimax]

charon25 non ce n'est pas ça le problème. d'ailleurs sans utiliser l'axiome de fondation, il te sera impossible de prouver qu'on n'a jamais P(x) € x.

[@professeurcultureprecieuse936]

Je fais que donner un exemple (je sais pas du tout si ce que je dis est valide mais imaginons: A={ø,0,1,{0},{1},{0,1},{0,{0,1}},{1,{0}},...}

[@TheMaxtimax]

Professeur Culture Précieuse mais dans un cas comme ça, P(A) contiendrait aussi {{0}}, {{1}},...

[@theojycece9610]

Bien que ce commentaires soit inutile, j'aimerai bien adopter un de ces lapins... Ils ont lair vraiment badass ! ;)

[@Piffsnow]

Hey ! Je rabaisse un peu le niveau là, mais ne devrait-on pas employer le symbole "inclus" au lieu de symbole "appartient" quand on parle d'ensembles étant inclus dans eux-mêmes ?

[@Piffsnow]

Bah pourquoi on utiliserait un signe différent que celui qu'on voit quand on commence les bases de la théorie avec AetB, AouB et tous ces trucs ? Je suis aussi de ton avis "élément appartient ensemble" "ensemble inclus ensemble" Sans oublier évidemment que l'élément peut être un ensemble et l'ensemble un ensemble d'ensembles.

[@MrAmericanDreams]

On ne parle pas d'ensembles inclus dans lui-même, mais d'ensembles appartenant à lui-même. L'emploi des symboles est adéquat.

[@amineaboutalib]

Et bah c'est tout exactement pourquoi la théorie à l'état était problématique en fait, ce n'est qu'après reformulation et modification d'axiomes qu'on est arrivé à formuler les théories ZF/ZFC

[@quevineuxcrougniard2985]

"Inconsistante" dites-vous ? Ne serait-ce pas plutôt : "incohérente" ? Merci de votre réponse.

[@moadkrifech]

@Science4all svp est ce que l argument de la diagonale de Cantore est validé par la communauté mathématique?

[@DanielBWilliams]

Bien entendu, c'est ultra classique.

[@mohkranis6883]

Ca me fait penser au paradox d'Achille et la tortue. C'est le fait de dénombrer qui limite notre pensée ? La liste à la base elle était complète avant qu'on essaye de dénombrer.

[@daemonsoadfan]

"L'ensemble des sous-ensembles de l'ensemble des ensembles" XD

[@runaway4271]

Serait il possible que l'axiome du choix soit vrai s'il est appliqué à un ensemble dénombrable d'ensembles pour lesquels on choisit un représentant ? et faux si c'est un ensemble indénombrable d'ensemble ? Mon intuition va plutot dans ce sens là... Pour un ensemble dénombrable, l'opération de sélection est possible par super tâche (faire chaque etape 2 fois plus vite que la précédente par exemple), un peu comme le paradoxe dont tu parlais dans tes premiers épisodes. Ou alors... on dit que c'est possible seulement si on se donne la peine d'expliquer comment concrètement le faire...

[@Science4Allfrancais]

Super question ! Certains mathématiciens ont justement exploré "l'axiome du choix dénombrable" : fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_du_choix#Axiome_du_choix_d.C3.A9nombrable

[@sebastienkneur1280]

Concernant les lapins, si le lapin de derrière donne la couleur du chapeau de celui qui est devant lui, le problème est résolu, non ? Le premier lapin sera sacrifié mais tous les autres seront sauvés. Cette stratégie a le mérite de fonctionner avec toutes les variantes, y compris les nombres réels mais je ne sais pas si elle illustre l'axiome du choix.

[@quevineuxcrougniard2985]

Ce petit gars est vraiment prédestiné pour les casse-tête chinois !

[@eniotnayssaneb3442]

on a pas juste prouvé qu'il y a pkus de N configurations possibles dans une liste de N entités ? parce que c'est évident sans ça

[@framboo000]

A 4:27, c'est Albert ?!!

[@nopainnoglucide7498]

top

[@morganlaleure8037]

Je ne suis pas assez calé en mathématiques, mais je n'ai pas compris pourquoi le nombre obtenu à partir de la diagonale ne serait pas tout simplement listé, mais ailleurs dans la liste ? Dans l'exemple à 6m17, la diagonale est oui non non non... quand je liste les 16 possibilités de ces 4 premiers choix entre oui ou non, j'obtiens de oui oui oui oui à non non non non et toutes les variantes (oui oui oui non, oui oui non oui, oui oui non non, etc) ; je suis sûr de savoir lister ces termes. De plus, si vous êtes capables d'affirmer que 0.1111111... = 0.1, peut-on affirmer que certaines propositions listées sont les mêmes ?

[@floriantaffara5373]

4:46 c'est curieux au quotidien on utilise un souvent ensemble vide pour dessiner un diamètre avec Alt + 157 ou Alt + 0216 Mais tu utilises le vrai symbole Diamètre pour un semble vide, c'est ironique je trouve 🤣

[@arthurgall2686]

En vrai poser ce Omega c'est pas comme dire je pose x égal à l'infini ? Parce que dans ce cas x n'est plus un nombre... Du coup Omega ne serait pas un ensemble ?

[@Unydric]

J'aimerais comprendre .. Si l'on regarde la propriété "l'ensemble appartient à l'ensemble E des élements qui n'appartiennent pas à eux-mêmes" formalisée par P(X)=X∈E Le paradoxe de Russel est causé par le fait que pour l'ensemble E des éléments qui n'appartiennet pas à eux-mêmes, nous avons P(E)="non"P(E) où "nonP(E) désigne la non appartenance à l'ensemble E si j'ai bien compris Mais ce que j'aimerais comprendre c'est pourquoi on crée une nouvelle axiomatique de la théorie des ensembles Jai aussi un soucis avec le fait que la propriété soit défini de manière récursive d'une telle manière si tu pouvais répondre à toutes mes interrogations dans ta prochaine vidéo et si je n'ai pas bien exprimer ou compris quelque chose je suis sujet à toute remarque merci beaucoup et encore bravo pour la vidéo

[@TheGlacius31]

question, si les chapeaux sont distribués aléatoirement, le suprême fasciste n'est la que pour constater, dans ce cas là le'axiome du choix n'entre pas en compte si?

[@charlotmatheux]

Moi je voulais voir le célèbre barbier de Russell :'-( Enfin façon de parler : ce barbier ne pouvait pas exister. Mais du coup Russell aurait dû être barbu ? :-P

[@Edward23409]

Le soucis de ce que tu dis a 2.40, c'est que tu considères qu'il y a autant de nombre que de décimale. Il faut voire qu'on est en base 2, donc si tu considères que pour chaque digit, tu as 2 lignes, je pense qu'on ne peut pas avoir le raisonnement que tu as eut. En effet l'infinit du nombre de ligne, grandit deux fois plus vite que l'infinit du nombre de digit.

[@noemiesvi]

2:40

[@hamadahiro4347]

Merci «le top 5» j'ai rien compris 😂👍

[@quentinlieumont3078]

je comprend pas la premiere demonstration: Si je prend tout les réels: 1;2;3;...;15;16;... Et que je rajoute ,0 puis que je les lis a l'envers: 1.0;2.0;...;15.0;... 0.1;0.2;...;0.51;... j'aurais tout les nombres entre 0 et 1 (par déduction logique) mais il en manqueras au moins 1 (par définition mathématique...) Bref j'y comprend rien... Merci d'avance pour tes vidéos qui font fondre mon cerveau :)

[@yunadener7126]

En fait on ne peut pas obtenir tous les nombres entre 0 et 1 de cette manière car il n'existe pas d'entier avec un nombre infini de chiffres.

[@MrAmericanDreams]

Oui, ne pas confondre nombre décimal et nombre non décimal... Il y a quand même un saut énorme de l'un à l'autre !

[@magicpaul24]

Du coup.......... c'est pas paradoxal de lister de façon dénombrable des infinis indénombrables? (Aleph1 etc...)

[@DanielBWilliams]

Pourquoi est-ce que ça le serait ?

[@francoischristal5344]

de même prenons la suite infinie des nombres entiers (en bijection avec ladite liste infinie), de même que le nombre construit, racine(2) ne se trouve pas dans cette liste. Or N union { racine(2) } est dénombrable...

[@malicksoumare370]

Peut on construire l'ensemble des nombres réels avec P(N)??

[@noemiesvi]

je sais pas trop

[@alexiskoen4981]

Y a un problème dans la diagonalisation de Cantor : faut justifier que le nombre obtenu n'est pas nul (en clair, la diagonale est 1111... Donc donne 0) et différents de 1 (000... Donne 0,111... =1)

[@philippechaumont3505]

je viens de me rendre compte que la liste des nombres réels entre 0 et 1 est non seulement incomplète mais elle est infiniment incomplète si j'ose dire. On intervertit par exemple le premier et le deuxième nombre de la liste. ceci va changer le premier chiffre du premier nombre et le deuxième chiffre du deuxième nombre et si ces deux chiffres sont différents de ce qu'ils étaient avant l'inversion, alors on peut réutiliser la construction pour obtenir un autre nombre non listé qui n'est pas le même qu'avant l'inversion...

[@maxence4873]

oui mais ducoup si on suppose un plus grand infini X et que P(X) est forcément strictement plus grand que X, y a-t-il un infini plus grand que P(X), si oui ce serait lequel ? l'ensemble des parties des parties de X ?

[@DanielBWilliams]

C'est impossible que X soit un plus grand infini, car P(X) est forcément strictement plus grand.

[@severinjaggi80]

@Science4All Bonjour, comment va tu? Excuse-moi, Est-ce que c'est bien correct de transposer les arguments de Russel à la quantité de connaissances existantes en concluant qu'elles sont en nombre infinie? Sinon, pourrais-tu me dire pourquoi? Merci, pour ton travail Lê! Merci presque infiniment, il est pour moi une source de réjouissance immense. Bonne continuation :) . P.S. Demande pas trop pourquoi je demande si tu ne l'as pas compris s'il te plait, ou ailleurs. Si tu veux je posterais une vidéo sur ma chaine et te filerai le lien pour que tu puisses le faire mais j'ai déjà peur d'en avoir trop dit et de bouffer une shit storm qui n'a rien à voir avec les maths ;) .

[@noemiesvi]

tu joues les mistérieux. genre la nasa te surveille 🥷

[@severinjaggi80]

@@noemiesvi Salut Noémie comment va tu? Non, je joue pas pour commencer, le truc c'est que je ne savais quelle charge morale j'étais capable de supporter, du coup j'ai pas pris de risque... Il y a trois ans je connaissais moins bien la plate-forme et je me connaissais moins bien aussi... Genre la nasa me surveille hein? mon commentaire vaut la peine que tu te fendes d'une moquerie... Je peux te demander une précision ou deux à ce sujet s'il te plait? Tu sais à qui tu parles? Tu as une idée de qui je suis?? Tu te sens forte de te moquer d'un handic., vraiment?? Je suis pas entrain de dire que j'ai une patte folle là, non, je suis autiste(diag offi, et vous nous faîtes tellement ch... à en douter tout le temps que j'en suis arriver le publier, mon diag donc tu le trouveras dans les commentaires de la vidéo la plus courte de ma chaîne..........), ne pas être adéquat sur ce qu'on doit dire ou ne pas dire et comment on doit le dire si on doit le dire c'est une part importante, de mon handicap et ne recevoir que moqueries en retour ne m'aide pas à m'améliorer figure toi... En espérant ne pas t'avoir trop heurter part cette réponse et dans l'impatience de lire la tienne je te souhaite sincèrement, une bonne continuation.

[@noemiesvi]

@@severinjaggi80 lol. t'as l'air sympa meme quand t'es énervé

[@severinjaggi80]

@@noemiesvi Donc t'en as rien carrer... Du coup rigole bien... Juste, rends toi compte que ce genre de comportement a fait et fait que je ressens de la haine, à l'égard des normaux.

[@noemiesvi]

@@severinjaggi80 bah non j'en ai pas rien à carrer. je t'ai lu attentivement. et par respect pour toi et pour le fait que tu te sois confié, je me suis retenu de me moquer

[@tctrainconstruct2592]

En fait, le cardinal de P(X) est 2^X (bon en réalité c'est l'ordi qui voulait pas que je tape des puissances ^^)

[@abdoulkarimsidibe9649]

Pour démontrer que P(X) est toujours strictement plus grand que X, il me semble que tu supposes implicitement que X est dénombrable ce qui à mon avis limite la portée de la preuve. (à partir de 4:48)

[@DanielBWilliams]

Non, on a effectivement cette impression, mais en fait les éléments sont indexés sur X et non particulièrement sur un ensemble dénombrable. En gros, on a une fonction f:X--->P(X). Et là, on va construire A dans P(X) ainsi: pour x dans X, - si x est dans f(x), alors x n'est pas dans A - si x n'est pas dans f(x), alors x est dans A. C'est ça la construction qu'il illustre par la diagonale. Cette construction est valide parce que l'on a simplement construit A en prenant chaque x dans X et au cas par cas, on a choisi si x était dans A ou non. De sorte que l'on peut à présent supposer par l'absurde qu'il existe a dans X tel que A=f(a), et se demander si a est dans A ou non - si a est dans A, alors a est dans f(a) donc a n'est pas dans A - si a n'est pas dans A, alors a n'est pas dans f(a) donc a est dans A. C'est en somme le paradoxe du barbier.

[@abdoulkarimsidibe9649]

Merci @@DanielBWilliams . Ton explication est assez claire.

[@RammusTheArmordillo]

Mais du coup, la théorie de Frege est vraiment fausse ? C'est quoi la suite de l'histoire ? On utilise bien la théorie des ensembles maintenant non ? C'est quoi la différence ??

[@GrothenDitQue]

RammusTheArmordillo Actuellement, on n'utilise pas la Théorie «Naïve» des Ensembles de Frege, mais la Théorie tout à fait cohérente et consistante de Zermelo-Fraenkel (avec ou sans Axiome du Choix, c'est selon). :)

[@jchristian3775]

Super, l'infini c'est vraiment trop cool. Par contre j'ai l'impression que la preuve que tu donne pour montrer que les ensembles P(x) > x n'est une preuve que pour x ≤ ∞ car si l'ensemble x a un cardinal supérieur à l'infini tu ne peut déjà pas le lister dans ton tableau infini, la preuve de la diagonal ne devrait donc pas suffire, alors je me trompe peut être mais cela ne prouve pas que P(P(x)) > P(x).

[@MrAmericanDreams]

Il voulait lister X avec une liste transfinie. Sinon "cardinal supérieur à l'infini" ça ne veut rien dire. Dire "x plus petit que l'infini" non plus. Le premier cardinal infini est appelé aleph-zéro.

[@chimondavidnaouri1625]

Ils se noies dans un ver d'eau. premièrement je dirais que ce n'est pas parce que un certain ensemble n'existe pas (en l'occurrence l'ensemble de tous les ensemble ne se contenant pas eux-mêmes) que l'ensemble de tous les ensembles existant n'existe pas. Deuxièmement on peut imaginer deux ensemble un ensemble de tous les ensemble ne ce contenant pas eux-mêmes sauf lui-même(qui ne se contient pas lui-même) et un autre qui contient tous les ensembles ne se contenant pas eux-mêmes et qui se contient également.(et bien sûr comme ces deux ensemble existe ils appartiennent à l'ensemble de tous les ensemble existant). Tout cela me semble évident mais je ne comprends pas pourquoi apparemment ça ne l'est pas pour eux. Et ce n'est malheureusement pas la seule absurdité que je retrouve en math(ou choses évidentes qui ne le sont apparemment pas pour les mathématiciens). (mais bon peut-être que c'est moi qui n'ai pas encore compris). (bien sûr ce n'est pas le cas en général. En général je trouve les math cohérent et très intéressant).

[@lachouetteaveugle4893]

Alors Oméga possède tout les sous ensembles d’Omega?

[@DanielBWilliams]

Et comme il l'explique, ça c'est impossible, donc Oméga ne peut exister.

[@noemiesvi]

11:47 ouais t'as raison, il n'y a vraiment aucun triangle rouge là

[@DanielBWilliams]

Non car le centre du carré n'est pas un point du graphe.

[@noemiesvi]

@@DanielBWilliams ben voyons

[@DanielBWilliams]

@@noemiesvi Qu'est-ce que tu n'as pas compris dans ce que j'ai dit ?

[@abdellatifdz8748]

J'ai une hypothèse mais elle est un peu long que je peux pas l'écrire dans les commentaires j'ai envie de t'envoyer un screen Ou je peux te contacter ?

[@wheedle1979]

C'est toi, Fermat? :D

[@mimzim7141]

Comment appliquer la diagonale de Cantor à l'ensemble des réels calculables (computable) ? A priori on obtiendrait un nouveau réel non calculable par diagonalisation, mais on l'aurait calculé. Et cet ensemble est denombrable. La conclusion devrait donc plutôt être que l'on ne peut pas expliciter cette liste de réels calculables et non qu'il ne sont pas dénombrables. Ne devrait on donc pas avoir la même conclusion avec l'ensemble de tout les réels.? C'est à dire que la digonale de Cantor prouve plutôt que l'on ne peut pas en établir une liste complète, mais pas qu'il ne sont pas dénombrables.

[@reefa4655]

Je trouve la preuve de l’existence d’un infini strictement plus grand que celui des nombres entier inutilement compliquée. Je m’explique : Si on considère la liste des nombres réels comme complète, alors on peut classer cette suite par ordre croissant. Hors il sera toujours possible de trouver un nombre réel plus petit que le premier élément de la liste. À moins qu’il y ait une faille dans mon raisonnement, je pense que ce dernier est beaucoup moins compliqué à démontrer et expliquer que la démonstration par la transformation de 0 en 1 en prenant pour xème terme le xème chiffre du xième nombre. Par ailleurs, serait-il pertinent de comparer la taille de ces infinis en prenant comme analogie un segment de droite infini et une droite infinie. Elle est en quelque sorte... infiniment plus grande ? Même si on a vu que ♾ x ♾ = ♾ ? Edit : Plus je réfléchis au dernier point de mon commentaire plus je le trouve idiot, mais je n’arrive pas savoir pourquoi, je le laisse pour que tu puisses m’éclairer

[@DanielBWilliams]

Qui vous dit que l'on pourrait classer la liste des réels par ordre croissant si jamais on arrivait à lister tous les éléments ?

[@reefa4655]

@@DanielBWilliams Si on peut les lister c’est qu’on peut les classer dans un certain ordre. Si on peut les classer dans un certain ordre, un de ces ordres possible est l’ordre croissant. C’est mon raisonnement, peut-être est-il mauvais, mais ça me semble être du bon-sens

[@DanielBWilliams]

@@reefa4655 À vous de le prouver. À vous de prouver qu'il est possible d'ordonner tous les éléments d'une liste. Comment procédez-vous ?

[@reefa4655]

@@DanielBWilliams Je ne suis pas sûr de bien comprendre la question, il me semble tellement naturel de pouvoir manipuler les éléments d’une liste, que je me vois mal l’expliquer et encore moins le prouver. Quoi qu’il arrive, pour commencer cette liste par ordre croissant, il faut trouver le nombre réel le plus petit qui existe. Or on sait que ce nombre n’existe pas, puisqu’on pourra toujours trouver plus petit (en rajoutant un 0 avant la dernière décimale, par exemple). Je ne suis absolument pas assez bon en mathématiques pour poser ce raisonnement sous forme algébrique, mais j’ai le sentiment qu’il reste vrai pour autant

[@reefa4655]

Ce que j’essaie de dire dans ce dernier commentaire, c’est qu’on a pas besoin de prouver qu’on peut classer n’importe quelle liste dans l’ordre croissant pour prouver que l’infini des nombres réels est plus grand que celui des nombres entiers, chose qui a déjà été prouvée de toutes façons. Ceci dit la question que vous posez est intéressante, malheureusement je n’ai pas les capacités nécessaires pour faire plus qu’effleurer la réponse adéquate.