Lagebeziehungen von Geraden - Teil II

Wie findet man heraus, ob zwei Geraden echt parallel, identisch oder windschief oder ob sie sich in einem Punkt schneiden. Und wenn sie sich schneiden, wie bestimmt man den Schnittpunkt? Genau das wird in diesem Video anhand eines Beispiels erklärt.
Ebenso ist dieses Video eines Hilfe zum Thema Gleichungssysteme.
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Playlist zu Vektoren:
• Vektoren
In der verlinkten Playlist werden auch Geradengleichungen in Parameterform ausführlich behandelt.

[@konstantinschulze8454]

Hallo, ich bin jetzt in der 10.Klasse und habe erst vor kurzen wirklich verstanden was man bei Gleichungsumformungen macht und, dass das normalerweise nur eine Implikation ist. Manches aber auch eine Äquivalenzumformung ist. So habe ich mich viele Jahre gefragt warum das überhaupt mathematisch korrekt ist, dass Scheinlösungen entstehen. Und erst gerade eben habe ich verstanden, dass bei Äquivalenzumformungen natürlich keine Scheinlösungen entstehen können. Ich finde das Thema oft wirklich schlecht erklärt. Auch in der Schule, wenn einem beigebracht wird, wie man nach einem Quadrat auflöst, wird nur "plus minus die Wurzel" gesagt, wobei ich auch erst verwirrt war warum. Vielleicht könnten sie zu diesem Thema ein Video machen, in dem die Unterscheidung zwischen Äquivalenzumformung und Implikationen klargemacht wird. Das soll nur eine Idee sein!

[@Mathe_mit_ThomasBlankenheim]

Hallo Konstantin, ich danke Dir für Deine interessanten Überlegungen. Kannst Du vielleicht einige konkrete Beispiele nennen, damit ich mir besser vorstellen kann, was Dich irritiert hat? Mir fallen nur wenigen Situationen ein, in denen man in der Schule mit Implikationen arbeitet, die keine Äquivalenzumformungen sind, so dass Scheinlösungen Ausnahmen sind. Du schreibst aber das Gegenteil: "... dass das normalerweise nur eine Implikation ist" Daher habe ich noch nicht ganz verstanden, wo Deine Schwierigkeiten liegen.

[@konstantinschulze8454]

@@Mathe_mit_ThomasBlankenheim Sie haben Recht! Ich habe mich in der Tat schlecht ausgedrückt. Mit "dass das normalerweise nur eine Implikation ist." meinte ich, dass, wenn man eine Gleichung umformt, man zunächst nur davon ausgehen darf, dass es eine Implikation ist. Und in der Schule kann ich mich tatsächlich nicht an eine Scheinlösung erinnern. Wenn ich aber auf You Tube unterwegs bin begegnen mir jede Menge komischer Gleichungen, bei denen man oft für die Lösung beispielsweise auch quadrieren muss. Manchmal begegnen mir dabei auch Scheinlösungen, was ich am Anfang hingenommen habe und wobei ich mir dachte, dass diese wohl immer auftreten können. Traurig fand ich, dass man mir in der Schule auch nie eine klare Antwort gegeben hat. So habe ich auch kaum verstanden, dass das Einsetzverfahren auch keine Äquivalenz ist. Weil ich unheimlich schrecklich im recherchieren bin, habe ich im Netz eben keine Antwort gefunden und auch in Videos, die über Scheinlösungen gesprochen haben, konnte ich keine Vollständige Antwort finden. So fand ich zum Beispiel dieses Problem total verwirrend und habe mich gefragt, warum in der Schule nicht immer nach Scheinlösungen überprüft wird. kzbin.info/www/bejne/iXi4i2BuqpaCrq8 Und ich habe noch eine Frage zum Gleichzeichen. Wie ist das in der Mathematik definiert? Ich weiß, dass es Teil des Kalkül des natürlichen Schließens ist und ich weiß auch, dass das automatisch Teil einer elementaren Sprache ist. Woher nimmt die Mathematik denn aber ihre Definition für das Gleichzeichen?

[@Mathe_mit_ThomasBlankenheim]

@@konstantinschulze8454 Ok, jetzt wird es etwas konkreter. Äquivalenzumformungen sind z.B. die folgenden: - Addition einer Zahl auf beiden Seiten der Gleichung - Subtraktion einer Zahl von beiden Seiten der Gleichung - Multiplikation beider Seiten einer Gleichung mit der gleichen Zahl, die ungleich 0 ist - Division beider Seiten einer Gleichung durch die gleiche Zahl Bei keiner dieser Umformungen können Scheinlösungen entstehen. Keine Äquivalenzumformungen sind z.B.: - quadrieren beider Seiten einer Gleichung - Bildung des Skalarproduktes mit dem gleichen Vektor auf beiden Seiten -Bildung des Vektorproduktes mit dem gleichen Vektor auf beiden Seiten Entscheidend für die Frage, ob etwas eine Äquivalenzumformung ist, ist die Frage, ob es sich um eine eindeutig umkehrbare Rechenoperation handelt. In der Schule ist das Quadrieren tatsächlich die einzige Ausnahme. Zum folgenden Satz: "So habe ich auch kaum verstanden, dass das Einsetzverfahren auch keine Äquivalenz ist." Meinst Du das Einsetzungsverfahren zum Lösen von Gleichungssystemen? Dann stimmt das nicht. Solange Du dabei nur Äquivalenzumformungen verwendest und immer brav Gleichungen beibehältst, bleibt alles äquivalent. Es wundert mich, dass Deine Mathe-Lehrer Dir dabei nicht helfen konnten. Im Gespräch geht das doch viel einfacher als über eine Kommentarspalte auf KZbin. Zum Gleichheitszeichen: Ein Gleichheitszeichen drückt aus, dass die Bezeichnungen links und rechts davon das selbe Objekt bezeichnen.

[@Mathe_mit_ThomasBlankenheim]

@@konstantinschulze8454 So, jetzt antworte ich zum zweiten Mal, weil ich mir gerade das Video zu Deinem Link angeschaut habe. Die Erklärung ist allerdings unvollständig. Das Problem beim Einsetzen entsteht, weil er zum Einsetzen keine zweite Gleichung verwendet, sondern eine, die durch Umformen der ursprünglichen Gleichung entsteht. Das führt fast immer zum Entstehen weiterer Lösungen, weil die zugrundeliegenden Operationen nicht umkehrbar sind. Versuche mal, von der dritten Zeile zur zweiten überzugehen. Das ist nicht möglich, weil Du dafür die Ausgangsgleichung bereits voraussetzen musst. Beim Einsetzungsverfahren zum Lösen von Gleichungssystemen gibt es dieses Problem nicht, weil Du zum Einsetzen immer eine andere Gleichung heranziehst. Auf den entscheidenden Fehler geht der Referent allerdings gar nicht ein. Das Hinzukommen der Lösungen erklärt nicht, warum trotz scheinbar korrekter Folgerungen am Ende ein falscher Wert für x herauskommt. Das lässt sich nicht damit erklären, dass die Folgerungen nicht umkehrbar sind. Nein, mindestens eine Folgerung muss selbst falsch sein und so ist es auch! Es ist der Schluss von x³=1 nach x=1. Er ist nicht korrekt, wenn wir mit komplexen Zahlen arbeiten, da 1 nicht die einzige Lösung der Gleichung ist, sondern die ursprünglichen Lösungen nach wie vor Lösungen von x³=1 sind, denn es wurde ja mit Folgerungen gearbeitet. Das Ziehen der dritten Wurzel auf beiden Seiten ist in R eine Äquivalenzumformung, nicht jedoch in C. Wenn man sich auf R beschränkt, wird der Fehler bereits in der ersten Zeile gemacht: "Let x be a solution" Denn eine solche gibt es in R ja gar nicht!