Japanese Math Olympiad | Can you solve this ? | A Nice Algebra Problem

This is an interesting question with amazing concepts!
Hope you are well
Playlist to watch all videos on Learncommunolizer
• Maths Olympiad
And
• Maths
Subscribe: / @learncommunolizer

[@user-pd7js7cy9m]

HellOOOOO 😊) . The first way : (1) sqrt(x)=u>=0 , (2) sqrt(x-11)=v>=0 . (3) u+v=11 , (4) u^2-v^2=11 . (4)/(3) --- (5) u- v=1 . (5) end. (3) --(7) u=6>0 , v=5>0. -- (1) end (7) -- x=36 !! The second way : You can guess that x=36 - root. It is necessary to prove that it’s only one!! f(x)=sqrt(x)+sqrt(x-11) - Is the sum of increasing functions . Therefore , It is increasing function. Therefore , it takes all its meanings only once. It turned out to be a little shorter 😊). With respect , Lidiy

[@dinaranechaeva4395]

Неправильно. В Вашем случае u^2+v^2 должно равняться не 11,а 121, если возводить в квадрат обе части уравнения. Но Вы пишете u^2-v^2, а это значит, надо умножать на сопряжённое число. В общем, неправильно решили

[@user-pd7js7cy9m]

@@dinaranechaeva4395 извините . Я плохо объяснил. u=sqrt(x) значит u^2=x ; аналогично : v^2=x-11 . Поэтому : u^2-v2=11 .{121=(u+v)^2=u^2+v^2+2*u*v=НЕ=u^2+v^2 !!!)) } С уважением, Лидий

[@ralph_6579]

x=36 √36+√(36-11) 36-11=25 6+5=11

[@user-pd7js7cy9m]

@@ralph_6579 При решении уравнений необходимо найти ВСЕ корни. Если Вы нашли корень подбором , что вполне допустимо , обязательно нужно доказать , что он единственный . Без этого решение не засчитывается . Например можно отметить , что обе функции в левой части равенства - возрастающие. Значит их сумма - возрастающая функция , которая принимает все свои значения только один раз. С уважением , Л.

[@N_Kumar26]

√𝑥+√𝑥−11=11 (√𝑥+√𝑥−11)(√𝑥−√𝑥−11) =36(√𝑥−√𝑥−11) x-(x-11)=11(√𝑥−√𝑥−11) 11=11(√𝑥−√x−11) √𝑥−(√𝑥−11)=1 ......eq 1 √𝑥+(√𝑥−11)=11 ......eq 2 Add 2√𝑥=12 √𝑥=6 X=36

[@Abdulhamidov_A.S.]

Отличное решение!!!

[@lifewatery7472]

Good method!

[@is7728]

√x + √(x - 11) = 11 √(x - 11) = 11 - √x Squaring both sides, x - 11 = 121 - 22√x + x Cancelling x on both sides, -11 = 121 - 22√x -132 = -22√x √x = 6 x = 36

[@Lksius]

there is a fast way Every perfect square is the sum of an arithmetic progression of odd numbers example: 4 = 1 + 3, 9 = 1 + 3 + 5, 16 = 1 + 3 + 5 + 7, ... Since x-11 is probably a perfect square then x= 1+3+5+7+9+11=36

[@soniamariadasilveira7003]

Amei!

[@Noname-gx6rg]

Just try 7 then 6 😂