【漫士科普】为什么数学不允许除以0，却定义了根号- 1？

[@manshi_math]

👇畢導影片在這裡~大家都來看看！ kzbin.info/www/bejne/f5_Olp-On66FbLs 這期影片一方面是填很早的時候火柴人複數的坑，剛好藉畢導影片的機會講一講數學史和數學的“意義”，雖然知識大家可能都明白，但有些脈絡感覺還是有必要講一講。此外，這期影片也是重啟我們影片團隊的暑假合作的磨合，接下來的幾週我們將會出神經網絡、分形之類的硬核影片，（做起來挺麻煩的不知道要多久），請大家期待一下哦~

[@caojidan8913]

当你学会1/0，你就能赚大钱了。

[@caojidan8913]

@@西斜 1/0等于无限大，可惜数学家必须写很长论文来证明。无中生有，有中生无的道理没人能理解。

[@黃竑舜]

11:02 (3+4i)(1+i)=3+i+6i+4i^2不是3+i+6i+4i^2漫士下次檢查一下😅😅

[@tomhu7917]

希望能看到微积分学的真假，高中记了许多公式，算算感觉很神奇。但是总感觉微积分瞎搞，想不通。

[@余明新]

you are wrong. In 7 century. Indian mathematician Brahmagupta had proposed the idea of negative numbers as decrease, loss and debt.

[@神奇海螺-x7s]

好美，一直都可以理解和接受虛數的概念 但是今天才第一次知道原來虛數是這麼完美的契合原本的數學世界，簡直像是本來就在那裡一樣 不像是人類發明了虛數，而是「發現」了虛數的存在

[@BrownBeans5789]

有些數字符號的發明，在當下可能沒意義，但不代表未來沒意義，像是虛數，成為了交流電電學必備的東西

[@jackyd1917]

应该是理解为发明了一种工具，以方便处理以前不能处理的复杂问题。但这未必代表世界的本质是这样的，比如牛顿定律是为了处理当时人类所面对的问题。初中物理说引力来自于有质量物体的吸引，但这并没有解释为什么有质量物体之间就会有引力。数学/物理发明的很多理论都是如此

[@vpblade3227]

真有趣，要是我年輕時看過這樣的影片就好了 可見我們所生活、並且感受到的現實 其實只是所有現實中的一小部分 數學可以幫助我們繞出去解決問題後，再回到這個世界應用

[@seanfu522]

負債是負數的實際應用，還有地面上和地面下也可以

[@phoenixarian8513]

负债是一个 坐标原点左侧的点也是一个 没有负数的话平面坐标系就只有第一象限了

[@fpn12099]

[幾個重點說明] 1. 談談除以0 0:14 並沒有打死不能接受 1÷0，除了畢導說的用 ℂ∪{∞} (會拿ℂ補上北極點，是因為 extended real numbers 會有正負∞)，在代數上有 Wheel theory，在 wheel theory 上面 1/0=∞, 0/0=⊥，都是有定義過的符號。 2. 談談根號-1 這影片提到一個極重要觀點，是當今課本以及課堂上不講的，我用一句話概括就是「釐清為什麼需要這個定義」。 我改天再來用親身經歷呼個應。 關於 根號(-1) 的問題，我上個月才在自己的yt社群裡聊過，課本裡的理由，寫了也只有傻子才信，但老師們代代相傳，講得不亦樂乎。 認真的孩子問了只會被罵，求助無門， #什麼時候追根究底成為了一種罪過？ 3. 談談負數 0:45 小學二年級就知道負負得正！ 好強，我小學三年級才自己想到解釋方式。但若是從理論的發展現來看，負數，也許是因為複數的需要，而被迫重要起來了。 基於這個出發點，我會說，負數在 #17世紀初 其實就已經過關了。 至於數系發展的一些門檻，如果你有考證過，會發現它湊巧就是學校裡學生特別容易考差的章節。 理由也很簡單，因為課本講的都是大結論，抽象的結論特別難搞懂，學生自然普遍搞不好，所以會考差。 詳細理由我將在我自己的社群描述，這要扯一堆東西， #有可能還有上中下三集。 所以 6:52 講的結論，說對也對，說不對也不對。 4. 談三次方程 三次方程有超級多科普公眾號的盲區，7:13 就是一個。 簡單來說，關於卡丹與塔塔利亞之爭，野史是站在塔塔利亞一邊，而正史則是站在卡丹，並對塔塔利亞表示「理解」。 正史跟野史的立場會對立，是因為研究並考量過當時的社會背景。 『塔塔利亞想要用三次方程公式解跟卡丹換得社會地位，他暴怒並不是因為卡丹「偷走」他的著作，而是之後並沒有換到他想要的社會地位。』 至於卡丹「偷走」的這個所謂懸案，又可以談個一兩集了。 對了， 7:15 應該有人以為那個公式是塔塔利亞發明的吧？ #可惜的， #不是。 5. 我來自己挑戰自己 看過14:37 的論述之後，那麼 wheel theory 究竟是自爽，又或者是有大用呢？ 有，在computer science ，只是沒有太有名。 總歸一句，會寫進課本的，一定是大主流。 一旦退主流，即使曾經穩如泰山，一樣會被砍，例如數論。 #有時候我真的不知道教育部在想什麼， 當密碼學開始蔚為風潮，我們卻把它給砍了。 說到底，教育，究竟是為誰築夢？

[@王大明-n7t]

太美了！高中的時候根本搞不懂這東西有什麼意義，沒想到藉由「負數不被接受到接受」的過程切入，反而理解了「複數」的存在意義，再從可視化的複平面去理解實際應用，這科普簡直完美！

[@Alston-k9e]

高中時第一次接觸複數不知其所以然，研究所時念無線通訊天天跟複數打道才慢慢瞭解到複數的美，這邊提一個我自己的另一個感受，就是【負頻率】，頻率在數學上可以定義為時間的倒數，也就是 1/t，按直覺來説很難想象負頻率是什麽，但是放在複數平面上，負頻率其實就是反向旋轉的意思（也就是順時針），例如exp^iwt，其中i=根號-1，w=頻率，t=時間，這是一個在複數平面單位圓上逆時針旋轉的點，而如果頻率是負的，那他就會變成順時針旋轉，僅此而已。如果把複數平面加上第三個維度 - 時間，就會很容易理解負頻率乃至負時間的概念

[@ray9912]

高中只背公式沒搞明白的複數 竟然十幾年後在這裡悟了...

[@Wind_of_Night]

很合理，因為在學時期，不單單只應付這項專業，還要處理多個領域的問題。 所以在未來比較多時間，能專注在自己想要研究的領域之中。 不過相對來講，高中就是學問最紮實的時期。

[@百合仙子]

当你知道除了常规复数外，还有 dual complex 和 split complex 之后，你就又会迷惑了（

[@cayman1021]

看到這篇真的是不理解現在那些爽領退休金的老師們，當初怎麼不這樣教，誤人子弟讓大家對數學很挫折🙁

[@chuenn]

@@cayman1021因為基礎不穩理解不了，基礎穩了就會自己去學

[@7pupu683]

@@百合仙子 學問一直都是重複 看山是山 看山不是山 看山又是山的過程😂

[@zelda0079]

如果數學課會說這些數學歷史, 應該更多人對數學感興趣

[@user-nomorenothing]

分子不為零的時候，也不是不可以。黎曼球面的北極就是複平面的無窮點。將一個局部緊緻拓撲空間全部緊緻化最簡單的方法

[@projectawake]

感謝老師願意去深入探討這類型的問題，本人也是從小就很好奇這種問題，但是每次要發問總是會被以“其他人都沒問題就你有問題”，或者“你就照著公式或者前人定義好的東西做下去就行了，問題那麼多幹嘛”，導致我從小天生具有的旺盛好奇心因此被澆熄。 我是不曉得除了亞洲教育認為好奇心毫無價值，其他地方是否也一樣把好奇心不當回事，但是我個人認為西方可能好一些

[@劉俊治-r2s]

偷偷告訴你，老師只是轉述答案給你，他自己也不懂，所以無法回復你的問題 還有好奇心雖然麻煩，但不是壞事，相反的很有價值，如果老師能放下臉面，直接坦言他也不懂，可能需要你自己找答案，這才是良好的求知環境

[@seraskier.]

我以前小時候也有這個問題，理科問問題老師都只會說你的問題超過現在的程度，要等你上大學才會學到

[@SummerFrost23]

我的看法就是 ：每个疑问 都值得探讨。 水平低的老师 只会告诉你 “因为是， 所以是” 他们本身并不理解、也没兴趣思考。

[@penguin_1488]

老師只是一份工作，每天把該教的課教完領薪水，才是他們應盡的職責。你搞不懂，那是你的問題。人家沒有義務要講到你懂，更別說有些問題他們自己也不懂。

[@maxandfu3]

講解的太好了！ 只是字幕中有些「負數」被打成「複數」

[@noname-pp4rb]

字幕问题很大。对于初学者有很强的误导。开头的绝大部分fu4数其实是负数。但字幕上全是复数。很容易造成初学者的误解。这对于一个科普视频来说是很不利于传播正确思想的。请博主更新自己的字幕。哪怕扒下现在油管给出的自动字幕修改后再上传回去啊

[@yuan0]

會看這個，至少有高中程度吧，不至於搞混

[@afanks]

@@yuan0 去到 3:18 的時候才知道是負數 LOL

[@IanHsieh]

@@afanks 9:22 這裡也是

[@年下攻信徒]

@@yuan0 國中 好奇點進來 我不理解 .-.

[@yuan0]

@@年下攻信徒 那別看了，看了還是不理解，會理解的就會理解

[@porker2008]

字幕好几个位置都把负数写成了复数

[@rickyjiang301]

複數平面是一個數學名詞

[@dmc2543]

負數跟複數完全不是同個概念

[@POTATO-um1no]

應該是自動識別的錯

[@user-djelwJsskI8964]

楼上几个人根本没看懂还在这里评论😂

[@Klee2find]

負數：小於零的數值 複數：擴展實數系統以包括平方根為負數的數

[@劉俊治-r2s]

有點小缺失，跳過(略過)了兩個重要的點 一、在負整數出現之前，是先發明出0這個數 二、要先定義根號負1=i，i為虛數，其他原本的為實數，實數+虛數=複數

[@eciii3flow305]

数学所有的推论都是有前提的，追溯到尽头就是公理， 标准分析里0.9循环等于1是显然的，但引入超实数等号还能成立吗？ stein复分析教材里就介绍了扩充复数的概念，将复平面加上一个无穷远点的扩张就是一个黎曼球面，在此上定义z/0=infinite

[@user-djelwJsskI8964]

超实数是什么？

[@SaderGP]

簡單來說 實數體系不含“無窮小(的)數​” 因此0.999… 與 1 之間沒有任何數 使得0.999… 等於 1 超實數體系 含“無窮小數”(只差在這) 致使0.999… 與 1 之間出現一個無窮小數 使得0.999…不等於1 @@user-djelwJsskI8964

[@joe40173]

@@user-djelwJsskI8964 非標準分析，數值分析領域中的重點概念。亦即並不默認epsilon這種極小值一定是不會影響最終運算值的可忽略誤差值，而是有可能會因為重複運算而被放大進而影響最終結果的不可忽略誤差。

[@atussentinel]

这个扩充显然改变了拓扑，所以不是简单的增加一个定义，或者事对原有体系的扩展，而是一个完全新的东西

[@マヌルネコ-d9w]

有点好奇，古人肯定有借贷和记账，收入支出欠钱还钱必然是很常见的，他们为什么这么长时间里都没把这些概念和正负数联系起来呢？

[@Jan-pu4dt]

因為經驗上不允許, 如果你有50元, 就沒辦法去買100元的商品 A和B借50元 A本身要有多餘50, 才有辦法借給B

[@マヌルネコ-d9w]

@@Jan-pu4dt B找A借走50之后，会记录自己欠了50，A没有钱借他他可以去找C、D、E，总有人有多的50，实在借不到就赊账，也可以记为自己欠50

[@唯心主义者]

@@マヌルネコ-d9w古人在生活中肯定是有类似负数的概念的，但是为了服务于生产生活，所以把负数全都转化为类似你说的“赊账”的概念，实际上赊账就是“-50”，但是这个概念更适用于具体生活

[@マヌルネコ-d9w]

@@唯心主义者 把生活里的概念抽象化这件事确实比想象的困难好多啊

[@唯心主义者]

@@マヌルネコ-d9w 是的，倒不如说“抽象化”这个行为本身的出现就已经代表着人类文明进入到了一个相当的阶段了 翻译：吃饱了没事干可以想点乱七八糟没用的了（划掉）

[@TWJRPGGamming]

負數是ㄧ維的另一個方向 複數是二維的90度的那個方向 跟負數一樣，當你不接受另一個方向的量時，負數不存在 當人們還不接受90度方向的量時，複數不存在

[@righteouslin3621]

在拓撲學中也許真的有其定義這我不知道，不熟 但好多人就把高中唸完就覺得1/0就是無限大... 大概是誤會了lim x->∞ 1/x 這類型的問題所致..... 首先這類型的問題從來沒有定義X是無限大，是趨近於無限大 其次 影片中的b=1/0 一堆人認為b就是無限大 在這個等式中，兩邊都是數 b想要成立，他必須是個數 就如同5=10/2，5是個數 也就是說b是那個無限大的數 假設真有個那麼個數好了 如果2/0=2*(1/0)=2b 那2b就是無限大數的兩倍（？） 講正經的 無限大只是一個概念而不是數，我相信你們的數學老師肯定有提到，只是你們更願意相信自己的想像力 至少到i為止他都還是有運算能力的「數」

[@Silver_G]

誤會1/0 = ∞是誤解lim x→0 1/x = ∞吧？

[@righteouslin3621]

@@Silver_G 就是怕有人會像你一樣搞錯反過來也行得通才不這麼打 1/x不會=∞ 1/x是發散

[@Silver_G]

@@righteouslin3621 我知道是發散啊lim x→0+和x→0- 1/x = ±∞ 我只是在說他們誤會的原因 既然在說誤會「1/0 = ∞」，原因卻列舉「lim x→∞ 1/x = 0」，1/∞和1/0是兩種不同情況，雖然有寫上「這類型的問題」，只是看上去還是有點奇怪才提出

[@jackksc207]

的確, 在實數系統下, 無限大只是一個概念而不是數 但在超實數系統下, 定義無限大為ω, 所以也存在無限大數的兩倍2ω 當然, 1/0和無限大沒有任何關係.

[@JacobianMX]

印象中高等数学里面对1/0的说法是，未定义，原因是不收敛。就，如果选定了取极限的方向的话，1/0是可以被定义的。如果从-1靠近0，那么1/0=负无穷；反之正无穷。

[@jackksc207]

你說的應該是用分母趨向0來定義"除以0" 得出函數f(x)=1/x的右極限是正無窮, 左極限是負無窮 但x=0不存在極限，所以1/0沒有定義

[@nar198637z]

以下任何數不能除以0的原因是哪個？ 1.數學家不願意研討無限符號倒數的意義。 2.數學家求微分時，只求單向收斂的解，忽視微分其實是雙向收斂的解。 3.數學家懶得跟數學麻瓜解釋這麼多。 4以上皆是。

[@righteouslin3621]

符號倒數...真虧你能想出來 我也想要求數學家告訴我+號的倒數

[@nar198637z]

@@righteouslin3621 是「無限符號」的倒數

[@righteouslin3621]

@@nar198637z 我知道，所以I服了You

[@豪豪-s4y]

UP都已經證明了當達到奇點時一即是全全即是一，在還沒達到奇點前不需要去計算奇點的狀況。

[@滴滴波波]

我的理解是 虛數的概念是可以不存在於現實 但是沒有（0）是不存在於現實與非現實 虛不等於無 無就是無 結案

[@李佳键-i6r]

0不存在乘法逆元是由环或域的性质所自然推导出来的，可分别证明其左右乘法逆元不存在；以右为例，首先证明用环或域的性质推导出0乘以任何元素等于0；然后假设0存在某个（右）逆元，右乘以任何一个非幺元a，就像视频中所说的，就可以推出矛盾，从而证明x/0不存在。但是，话也不能说死，我们假定所研究的代数结构是环或域，未来人类是否会发现一种代数结构，在其上定义了某种除以0的运算且赋予了意义，也犹未可知。只不过这套体系不兼容环和域罢了，整个数学大厦不一定会崩塌，非欧几何不兼容欧式几何，也没见几何大厦塌掉嘛~ 一切都是人类对于世界的局限性认知罢了。

[@李佳键-i6r]

推出的矛盾是0乘以某个数可以不等于0，跟视频说的那个矛盾不太一样，更正一下…

[@kuri7154]

太精彩了, 感谢 OP 做这些视频. 小白流下了弱者的眼泪.呜呜呜.

[@三杯西瓜]

又更新啦～～

[@酸我的都是車力巨人]

14:34的四則算法錯誤，左式的a必需和右式的a同步才符合等比，所以在這規則上0不能乘a，也就不會有1=a，1÷0的根本原因才不是0讓數量變成全無，而是除法是把連除縮成除法符，而重複減的數是除數，被減的數成被除數，重複的次數是商數，而任何數除零的次數是無限大，所以沒有意義

[@SummerFrost23]

“没有意义”，应该更正为 “没有定义”， 更确切为 “中学教纲内 没有定义”。

[@Beiyun1]

还是没有理解，不是“没有定义”，而是“无法定义”。

[@SummerFrost23]

@@Beiyun1 log (-1) , arcsine (2) are defined in complex domain.

[@ChiHuaTung]

正如同複數的存在和其歷史演進，現在的我們也還沒有想到合理的方法來詮釋「除以0」，但很難說會不會在幾百年後，那時的人類聰明地想到一種詮釋，可以很好的使用0的概念，並且也把「除以0」同樣優雅地將其融合進數學大廈裡。或許到時候，科技正因此而一舉猛進，帶領人類飛向宇宙深處。

[@200-b8k]

其實問題是為什麼要定義？ i 是因為沒有它，有些合理的事解釋不到。 我們學的一元二次方程 ax^2+bx+c=0 它的求根公式和以前不一樣 是因為以前數學一切都和圖形有關 它們不接受x

[@林浩誼-t6z]

其實我覺得是否有意義是主觀的 更重要的是探討為什麼這樣強行定義不會使數學崩塌 為何使用不存在的東西進行推理卻總能得出正確的結果 其實是因為複數的本質是實數二元序對 我們在二元序對定義了二元運算,再證明他符合那些直覺規則 任何集合S都可以定義SxS,所以二元序對本來就是存在的 因此並不是什麼不存在的東西

[@MingleTingle]

真棒！很有启发性的视频！

[@听风-h1i]

负号不管是在数学还是在现实中所代表的一直都是一个方向的矢量，数学和现实世界中不只是一味的想一个方向不停的加减更重要的是还有能够往相反方向推导到前者的过程，就是负号存在的意义，当然在然后形式中都不可能存在小于零的事物，而数学和物理上的负号它也并不代表小于零而是相反矢量的推导，零代表的本身就在一切的开始和始点，而在人们的认知中所谓的零其实都并不是真正的零（当然如果你坚定的认为这个起点是宇宙大爆炸的那一瞬间的话那么那一刻就是零的起点）数学最讲究的就是逻辑推导，但是逻辑应该有一个最初的起点这就是零，包括所有的目前的物理规律的发现其实都是在尽可能的找到那个起点，就像是一颗大树你只发现了它末梢的几个枝叶就认为那是全部了并且也会自然的认为这些枝叶都没有什么联系都是独立的，但是当你找到那个最粗的树干的时候再往逻辑上推导自然也就会发现之前的那些找到的枝叶其实都是相互关联密不可分并且必须存在的

[@BingoBleacher]

16:04 為什麼直角不是90度? 有些人說直角是平角的一半, 90度的角是直角 但不能說直角是90度, 為什麼?

[@往往此]

直角是一個90⁰的圖形。

[@eerriicc1st]

所以反過來講 如果我們真的找到了把X÷0的意義，然後像虛數i給它一個新的運算用符號，並且實際在預算中發揮功用 那整個數學的世界又會像承認負數一樣再次掀起一陣騷動了吧😮

[@學淵鄭]

複數對物理人來說是常打交道的朋友😂

[@vuu4bp6]

用這影片講解向量圖形，感覺會讓學生們省很多時間 當年高二我花了1個多月才理解

[@dlfang]

数学的发展伴随着实际应用的需要，负数复数的运算体现了一种借的思想，并被实践证实其正确性。思想总是沿着一个方向发展碰壁后，再换个方向继续发展😏

[@张世风]

1除以0的数学意义就是把数轴变成一个球面，所有球体表面的点相对球心来说不就正好是意义完全相同的同一个数了吗🎉🎉🎉

[@evewait]

好像有個盲點 如果0能乘以b後不為0 ( bx0=1 ) 那把0xa理所當然的合併成0不就有問題了嗎 應該照0xb=1的比例 得到0xa=a/b才對

[@はこぶねー]

我也是觉得这样比较严谨。当a是已知复数平面量时a=无限，当a属于假设B或其他C的空间量时0*a=a/b不等于0更加严谨。

[@EagleRAY-x6v]

从小就是数学学渣的我听得津津有味，好羡慕数学优秀的人，你们眼里看到的世界一定很精彩

[@aki_0487]

以前的人：我欠你十萬，我只有三萬，三萬減十萬不成立，所以我不用還你錢😂

[@chao541]

当然可以定义了 用无穷大即可 而且有一门数学分支叫非标准分析 就是把无穷大加入实数集合研究微积分

[@jackksc207]

無窮大有無窮大的定義 把1/0定義成無窮大會有一堆問題, 比如超實數下ω*ω等於ω^2, 但1/0*1/0會得出什麼?

[@chao541]

@@jackksc207等势的无穷大啊

[@jackksc207]

@@chao541 如果1/0*1/0會得出等勢的無窮大 那麼1/0*1=1/0*1/0??? 2/0呢?是兩個1/0嗎? 2/0比1/0大嗎? 那2/0*2/0又會得出什麼? 如果結果都是阿列夫零的無窮大的話, 那還能分析什麼呢 所以說把1/0定義成無窮大會有一堆問題

[@廖建昱]

因為1/0無法帶來其他公式的解法中

[@kkhc1068]

有沒有可能1/0令「數軸」由2D變成3D來計算🤔

[@百合仙子]

有了复数，我就再也不知道开方和对数运算的结果里该用哪一个了 😂 其实 1/0 还好啦，可以定义为 +∞，和 -∞ 一起加进来，变成扩展实数。但是 0/0 就没办法了。我更希望从代数结构的角度，来讨论一下零元的特殊性，以及接受 1/0 会破坏哪些性质、留下的东西又有哪些性质（我已经看到有些非常好的性质了）。

[@Shon0621]

早20年看到 我的童年就豁然開朗了

[@BensonMainChannel]

這題放在選擇題就很尷尬 問下列何者錯誤 (A) 負數沒有平方根 (B) 因為-3²=-9，所以-3是-9的平方根 (C) 16的平方根為4，得4²=16 (D) 面積為9的正方形，邊長為3 答案是B，但是A也錯(=i)

[@bernardily]

(C) 更詳細：16 的平方根為 ±4，4²=16 且 (-4)²=16

[@snake_dragon]

假設1/0存在且定義b=1/0 且考慮到0/0的存在，因為任意數€（0/0） 那麼在進行b*0的計算時會求得0/0而不是1

[@章松妹]

1除以零只是暂时不能定义不代表以后不能定义，现在的数学体系都是建立在结果是确定的狭义因果论的逻辑推理基础上，但不适合广义因果论中相对不确定系统，1除以零=b,但b的定义可以是一种量子化的不确定性数字，就好比爱因斯坦的相对论为什么和量子力学不兼容，就是因为他没有想到“观察者”其实并不一定是相对的也可以是多视角兼容的，观察者的视角其实也可以量子化，意识是可以同时出现在不同空间和时间节点的，想清楚这一点那么量子力学中的所谓超距作用就可以从理论上得到合理解释，与此同时一个新的数学大厦或体系将开始搭建

[@風車王]

11:02 式子有漏字 3+3i+4i+4i²

[@aceviewwood]

谢谢！我差点以为那是新技术。

[@Nagnto-masked-fool]

9:59 數學大廈沒有崩塌，只是挖了個地下室

[@zakarumpal]

1/0在wheel的代數結構上存在，但最基本的field不存在

[@hantuun]

负数的概念在商业上应该很早就出现了吧，虽然我没有证据，但熟谙商业史的人应该可以在古希腊和古代腓尼基的商业记录中发现类似的概念

[@kkhc1068]

負數就是負債🤣

[@user-slowbarhashmanage]

建議納入華語區基本數學教材。

[@richardting7446]

看完這則視頻，我不禁淚流滿面，科學總有一股力量，讓我們淚流滿面。

[@7748977489]

然而對於平常生活中沒有用處，卻要在選擇志向前強行學習。 某數的I次方在圖形上的點為是哪呢

[@dadalus0916]

如果说一维是复数体系的特例，二维是复数体系的正常运算，马上好奇了，那三维坐标的数学体系是什么样的？

[@EmptySeat1423]

可以搜一下「四元數」

[@王司徒-g8r]

tuple (a,b,c) 看你a,b,c要個別屬於什麼

[@ymzhong2845]

1除以0是极限计算，高等数学 中，1除以0等于 无穷大，这个不是一个数，是一个趋势。无穷小之间是可以比较，但是数与无穷小就不好比较了，要导数或者极限计算，看是否比值为一个数还是无穷

[@OmAmoghaVairocana]

突然想到类似的一个情况，所有自然数之和等于-1/12，这其中或许包含更深刻意义的另一个维度

[@蓝宇-z7d]

谢谢老师的解答 一直有这个疑问❤️

[@Jack-x1q]

實際場景的應用像是記帳不是也需要負數嗎？怎麼可能古人不會有開銷大於收入時

[@afanks]

幾有趣，所以在幾何上的負數其實更像是一種象限的改變方向，就像一種電腦指令，指令的文字內容本身可以沒有意義，但它卻可以產生有意義的效果。即我可以把某個帳戶的密碼改為 "1=-1"，文字內容上他是錯誤的，但以「密碼」的角度來說它是正確的。

[@zaopzaop]

根號負一很重要啊！因為他真實的存在，以電學來說是虛功

[@h9826790]

那是數學家定義了i 之後才被科學家拿來用的，在定義i 之前，根本就不知道在物理學上可以有實際應用。Negative frequency 也不是甚麼現實世界可以測量到的東西。

[@ziranshuzhang6831]

虽然我理解题主只是为了引入对复数的介绍才用的这个题目，但是确实在探讨这个问题用的篇幅太少了，也太技术了。作为一个数学科普博主，这当然是没有问题的。但是我想说“为什么数学不允许除以0，却定义了根号- 1？”这个问题让我眼睛一亮，我期待的其实是深入探讨的东西，这个问题其实可以展得更开在不同的层面进行讨论，例如极限，例如无穷大，以及我们现在的数学大厦是怎么讲故事的，是如何接纳讲故事的合理性的，等等。

[@happyboy2323]

谢谢！非常有趣！我想了解这方面知识更多，有入门书籍推荐吗？

[@胡詮]

那該怎麼解釋黎曼球的應用?

[@xiangqiu2788]

黎曼球面。把复数集扩展就可以了。想证明更多，就假设更多。1/0有没有定义，并不取决于可不可以，而是取决于这么干有没有用。

[@ladyk7389]

年轻时候像呼吸一样的复数，现在已经完全理解不了了

[@weining5124]

时间11:00等式有点瑕疵~~

[@seanfu522]

還有什麼無意義的式子是可以被賦予意義的？

[@zhuzailengxi]

我从我4岁时就知道数学中是有负数的，我当时的理解是假如2-3等于多少，我当时认为就是我有2颗苹果，我欠了某人3颗苹果，我还差多少苹果可以还完所有苹果，也就是x+2=3 就得到了1+2=3，在调转顺序就得到了2-3= -1。

[@MikaliaSakural]

可以說說建構式微積分嗎? 我一直搞不懂微積分要怎麼算

[@phoenixarian8513]

如果用不定积分的格式来写1/0的话它等于c 对就是那个可以为任意数的c 这个函数确实没啥用就是了

[@alexchan4226]

1/0 是未定義的，根號- 1被定義為虛數i，但是只有數學原因，就是定義。

[@封嶺]

我覺得你真的講得太好了..

[@yhuang9]

只是因为我们生活在3维空间，所以不能除0. 否则它会让我们的数学架构没有规矩可言。

[@yi-chuntseng8162]

10:14 複數應該是從英文 complex 翻譯過來的 所以應該跟複合的數沒關係吧

[@ysf-d9i]

wow this is a really good explanation

[@shengchen4637]

11:06 第二行算式是否筆誤, 應=3+3i+4i+4i^2😅

[@林子軒-h2r]

12:29 MS大大(3+4i)(1+i)=3+ '3' i+4i+4i^2=3-4+(3+4)i= -1+7i

[@珞霙]

最后并不认同诶，数学中，直接把公理改掉的案例都是有的，比如非欧几何。 另外，负数好像有实际的应用相对应--赊账；而复数在物理学中的应用对应挺多的。而且，2-3+4这种东西，在日常中也并不会造成困扰，因为可以有明确的生活场景进行对应。 至于1/0这个东西也并不是完全没有对应的场景，因为这个东西与无限、无穷之类的概念是有相关性的。需要研究非平直空间的结构的时候，还是会触碰到它。只不过，目前说来，微积分已经可以满足现有计算需求，所以，还不需要把1/0这么极端的东西抬出来而已，但如果有需求的时候，祭出1/0及其配套规则也不是没有可能。

[@qiaoli8776]

小数减大树引出了负数，对负数开平方引出了复数，还有没有什么操作作用于复数，引出新的数的？

[@a_player7770]

四元数的引入同样也破坏了原有的规则

[@phillipchen8456]

11:06 的第二行應該是 3+3i+4i+4(i^2)

[@user-user-user-user-user-888]

b= 1/0 b=無限 無限x0=任意數 任意數可以等於1 任意數也可以等於0 但1不等於0

[@yeelee3816]

如果没有数轴，负数也没有这么顺理成章吧； 如果没有坐标轴，复数也没有这么顺理成章吧

[@qwerty-xs8rb]

人类不能形象地理解虚数是因为时间是一种错觉。

[@jonasxie5230]

讲的真好 感谢

[@程可夫-b4g]

看到b可以等于任何值这里，给我一种和把三维坐标系的3个固有向量，通过矩阵变换到同个平面中后，无法再还原的感觉。

[@atussentinel]

应该不只是感觉而是同一回事吧，一个维度收缩到0了

[@ymj5161]

因为统一不了。0作为除数或者分母，得到的结果至今没有一个能服众的统一说法，以至于衍生出了无穷小量这个概念；而root(-1)却由复平面统一了，而复数运算是封闭的。因此，i是有意义的；而0作为除数或分母是无意义的，或者严格来说，应该叫“未定义”。

[@Beiyun1]

是无法定义。

[@jackal8779]

獲益良多，感謝！

[@fergusfu]

請問³√(2+11√-1)+³√(2-11√-1) 怎樣得出來等於4？

[@cathayperrkkey2933]

我也好奇，等答案

[@jiazhen616]

(2 ± i)^3 = 2 ± 11i

[@jiazhen616]

@@cathayperrkkey2933 (2 ± i)^3 = 2 ± 11i

[@cathayperrkkey2933]

@@jiazhen616 谢谢

[@fergusfu]

Thank you

[@meow4619]

好像除以0就是个黑洞，一切变得虚无，成为了0维，没有变换。 正负数开创了一维的数学，在数轴上变换。 复数i开创了二维数学，在二维平面上变换。 好奇三维的数学是什么样的呢？什么能在三维平面上变换呢？

[@userou3cu5gg6r]

四元数

[@大昌-g7s]

以前怎麼可能沒有負數存在, 欠錢這種事情有了人就會發生XD

[@nelification]

5:12 例如借錢就是一種負數例子

[@souen0313]

簡單來說就是它現在用不到，但如果有天用得到就有意義了。

[@neofishneo1270]

非常有趣的主題!

[@邱伊華-t6g]

除以零會有無限可能，√-1是唯一的所以可以定義

[@samwong6153]

以前上課時很自然就接受了負負得正, 後來長大了才發覺很奇怪

[@smallbin5512]

古代人不會下樓梯? 2樓往下走3層樓會到幾樓?答案是地下一樓 (我覺得古人沒有負數不太合理，或是被頻道主誇大了)

[@kongsam1666]

11:13步驟一的第二個項不是i,應該是3i😮

[@chizhang8055]

如果允许除0，然后重新定义出一整套全新的数字数学体系，说不定黎曼猜想就解决了😝