x的x次方图像长啥样？利用复数拓展乘方，刷新你对数学的认知！

[@maldives216]

我最喜欢这种知识一点都留不下来的感觉了

[@garygao4863]

这种心态真好呀哈哈哈

[@alanai778]

我听懂了一句话，这是干嘛呢？！我竟然全听下来了，还不困！！

[@cheriedon6389]

哈哈哈哈哈哈

[@mxd3178]

哈哈哈，看之前没觉得你的评论怎么样，看完发现一样，😂

[@kjyhh]

相当于入定了。禅修的最高境界，无我境界。我不思故我不在

[@香仮夢]

淺顯易懂，難怪以前玩那些畫graph軟件亂輸入，有時候會輸出不連續的點，今天總算清楚了解了。

[@googleylam]

令我重溫大學學過的數學，有30年無看過了，尤其是复數的另一表示方式 ρ*e^(iθ) 實在聽得津津有味，無限回憶，很快輪到我的兒子上高中了，希望他肯讀數學

[@trevorsong4345]

现在已经成为初中数学内容了，太卷了。

[@spacefreedom]

@@trevorsong4345初中教材就有欧拉公式？不能把

[@joeyoung2130]

@@spacefreedom 我上竞赛那会是小学内容，不是每个人都适合学这个

[@xingchenzhou151]

感谢李老师的本期视频,这个问题也是高中时代留给我的一个大疑惑,当时只考虑得到c大于零时的条件,上了大学之后知道了这个问题能够解决但一直没有去思考这个美妙的问题,此刻看到李老师解惑,真是感谢！

[@kjj8273]

小学能毕业的人都知道吧

[@spacefreedom]

讲的太好了，自己研究搜索肯定是花很长时间还不一定明白，李老师整理思路讲解的很有收获，感谢李老师的付出

[@捉i小吉]

不難 大學修過複變分析就知道了

[@非非-e9e]

@@捉i小吉 只要會寫名字就能考上大學的台灣嗎？

[@pettterhenrry7029]

@@非非-e9e 玩笑归玩笑，别当井底之蛙。

[@非非-e9e]

@@pettterhenrry7029 那些招不到什麼學生死撐著的大學每年還是從教育部拿走幾億幾億的經費，看上週的新聞，最近要退場的那所大學似乎也是在校董惡搞後學校破產，打算把聘來當管理人員的校長推出去當替罪羊背他們的鍋...那些沒領到薪水，被拖欠許久的教職員真是欲哭無淚...你猜美國駐台撈金跟搞事的教育部官員是打算裝聾作啞、以拖待變到民怨沸騰？還是要拖到總統大選後丟給下一屆的人去替他們收拾善後、擦他們屁股？ .

[@捉i小吉]

@@非非-e9e笑死 你沒讀書才會這樣講 老師講的不就是極座標 碧美福定理嗎 笑話這些高中就教了 只不過大學再深入一點

[@hanschen2380]

以前從沒想過在x^x會有不連續的點 感謝老師 漲知識了!

[@zitianwang1205]

我和很多评论去的一样 多多少少了解过一点但没有系统学习过复分析 只学了实分析。这次多谢李老师整合起来 对复数域的理解加深了很多 感谢李老师！

[@godpleaseme]

每次看老師的影片，都要按一下暫停思考一下再繼續，很喜歡那種思考了解並跟上老師的過程

[@UCO_biofuel_feedstock]

说明智商在正态分布的大概率的范围

[@Dr2quan]

这个视频已经算复分析入门了，厉害了小朋友👍

[@YEL-gc2cj]

It is easier to use e^ln(x^x) to discuss it. It becomes complex multiplying complex numbers in the exponent. x can be complex as well.

[@RD-fp3cy]

李老师的解法是当x为实数时，y也可能为复数。并没有讨论当x为复数时的函数情况。 依照你的写法， 当x为实数时， 不会出现多个y值，显然是讨论不充分的。

[@pettterhenrry7029]

@@RD-fp3cy 也会有的，对数解析延拓一样的

[@RD-fp3cy]

你计算了吗？

[@YEL-gc2cj]

@@RD-fp3cy ln(x) has multiple values with i2kpi, whether x is real or not.

[@YEL-gc2cj]

@TchLiyongle_ I have enjoyed all your videos. You are the best teacher I have seen.

[@futu1024]

这让我想起了一个梗：恋人会欺骗你，兄弟会背叛你，生活会玩弄你，但数学不会，数学不会就是不会！

[@圓宿方]

隨然聽不懂，但李老師的課程、口中念道的符號、術語，讓我聽出了數學之美。隨著粉筆聲，多象一種奇妙的音樂。

[@limlim4251]

醒！尤其是年轻人是时候文字醒悟了》 这个时代有这个时代的中华文字发展趋势！唤醒大家是时候让世界容易学习中文，跟上国际大成员的中华简体文字发展步伐，没有必要一直复杂复杂的旧体的繁体的。复杂旧体的繁体留给专家呀！ 群众聪明一起跟上中华近代文字发展步伐的简体中文,让世界容易学习，加油！ 海外很多都已经跟上国际大成员的文字发展步伐的简体中文了！

[@dolphin90]

🫥

[@dolphin90]

🔥🔥

[@捉i小吉]

貝多芬氣暈在廁所

[@ChaoAnnnnn]

然後就睡著了

[@exlife9446]

其实实数就是一根数轴，也就是一维空间。负数相当于给这个实数的一维空间加一个独立的第二维，扩展成二维空间。所以为什么要把两个轴画成垂直的，垂直也就相当于某一维在其他维的投影必须是一个点（也就是不能产生投影），这也就是相互“独立”的意思。所以它们不一定需要图形化表示画出来，这不是必须的。只要每个维度彼此独立即可。当然我们对 2 维是最方便图形化出来的，就是笛卡尔坐标系统。所以一个复数，a + bi 本质上对应的是二维空间中的一个点 (a, b) ，a 和 b 是这个点在两个维度上的坐标。所以不管你用什么表示，它最终对应的都是这个二维空间中的某个点。这个点又经常被理解为代表一个从坐标系统原点指向该点的向量。

[@pellorao]

All memories come back! Haven't had so much fun of watching in a long time!

[@X20105]

可以用颜色的饱和度代表复数幅值，色相代表幅角，这样不同颜色填充复平面来画出复函数的完整图像。

[@非非-e9e]

然後這個虛數世界的圖就被顯影出來了，看要用甚麼頻率區間的感光膠卷拍攝，再用顯影劑沖洗張相片出來...倘若進一步採立體印刷射出成型的話...或是雷射雕刻在玻璃內燒灼出立體圖樣來的話...

[@夏丹青]

@@非非-e9e 激光玻璃内雕没法着色吧╮(￣▽￣"")╭

[@奈米-mc1]

上次看到這種圖好像是看黎曼猜想的時候，我覺得反而更混亂了

[@yunzhao8013]

讲的很通透。放下书本十多年了，听的津津有味。❤❤

[@leoliu8700]

别人家的小朋友就是厉害，杨幂我知道，幂次方是谁啊？

[@loohooi6545]

幂次方就是--杨“幂”演戏的“次”数与“方”式

[@snorlaxmunchlax1886]

如果你是父or母親，與其跟別人家小孩比，不如找出你家小孩的長才吧～

[@donum5]

@@snorlaxmunchlax1886 你说什么呢

[@diyshow888]

@@donum5 他应该不知道杨幂

[@snorlaxmunchlax1886]

@@diyshow888 不知道，但是我在意的又不是後面說的

[@yuwang7911]

太赞了！大学上复变之前要是先看这个一下就好了

[@Jeff-sf7jh]

讲得真好！最后画图真精彩，学复变函数时候都没画那些图。

[@chaokong9457]

老师请讲一讲复数相关数学在物理或工程上的应用，谢谢！

[@qiwang220]

信号处理要用到。

[@マヌルネコ-d9w]

太感动了，解决了我20多年来的疑问

[@yuhanghe2067]

如果你会玩多项式已经可以探索很多科学问题了，因为现实的很多高次复杂系统响应都是先做泰勒展开近似

[@Tengrikut121]

我终于找到清真寺拱顶的数学函数😄 谢谢了老李！

[@eaglelin12]

所以雙狹縫實驗的間隔成像也可能是跟立體空間螺旋成像的特性有關~ 只是打在平面上的交點是斷斷續續的，但其實在三維空間中是連續存在的

[@WillingHsieh]

我覺得不錯的想法

[@usecrew5754]

噴霧看看三維中成像

[@黃冰-o8f]

今天竟然講複變函數論(complex variable) 太狠了

[@limlim4251]

醒！尤其是年轻人是时候文字醒悟了》 这个时代有这个时代的中华文字发展趋势！唤醒大家是时候让世界容易学习中文，跟上国际大成员的中华简体文字发展步伐，没有必要一直复杂复杂的旧体的繁体的。复杂旧体的繁体留给专家呀！ 群众聪明一起跟上中华近代文字发展步伐的简体中文,让世界容易学习，加油！ 海外很多都已经跟上国际大成员的文字发展步伐的简体中文了！

[@李立群-m2l]

讲的很清楚，支持这样的老师💕

[@kaituo6648]

再学了一次欧拉公式谢谢李老师。以前我还用三角函数的方法来表示。（字幕有些同音的错别字，例如 负数 和复数）

[@casperhawkin]

在李老师的这个定义中，y = x的x次方 ，这个函数其实是个复值函数（函数值在复数域），也可以叫多值函数，也就是说这个函数的自变量到函数值的映射可能具有多个，这其实是不满足我一般对函数的定义的。我也看了视频才发现有这个疑惑，就去多了解了下。

[@aquarium35]

這一期讓我想到大學時我在補習班當輔導老師的時候 有位對數學很有興趣的小朋友也問過我這題，我當時回答不出來😂

[@techauto1886]

你扼杀了一个数学天才

[@咩拘泥]

@@techauto1886 没有不懂装懂才不会耽误别人

[@techauto1886]

@@咩拘泥 开个玩笑而已

[@奈米-mc1]

這真的得把復變完全搞懂才答得出來，不怪你

[@dddxy8928]

被扼杀的那个学生无奈经商去了，后来成立了阿里巴巴

[@hotel_california]

Great @[26:38]. When (x=p/q; p x q

[@Sindy1992]

e^(iπ) + 1 = 0 是真的美..... 這式子剛學到時簡直看呆了

[@newhan123]

有人說這是數學最"美"的公式，完全認同 就好比有人說物理最美的公式是E=MC^2 都很厲害，簡潔卻深刻

[@ruiyangliu-ice]

板书上是不是有一个错误。视频 25:25 ，当k=0 且x>0时，图像并不是绕x轴的螺线，而是一条和模值重合且只在实数域的曲线，此时e^i2kπx = 1 转角恒为0。

[@ruiyangliu-ice]

也正是当k=0时 x>0部分在实轴上是连续的，k>=1时 x>0部分在实轴上是离散的点。导致最终图像x>0时，y>0部分连续 y

[@weipingshi77845]

你说的对，k=0 不转，k>0 才转。

[@CheahMichael]

其实如果不使用复数直角坐标系，而是采用极坐标系，套欧拉公式，那个图会更美

[@spacefreedom]

喜欢这种硬核严谨的知识，有收获

[@CharlieC716]

有几处的字幕“负”错误的写了“复”，应该是负数不能开偶次方根，负数开偶次方根得到复数。恰好是同音字😂

[@kmcbest]

字幕是机器听出来的所以电脑不知道，这也是为什么把复数的复读成复杂的复（第三声）会好区分，说起来complex确实是复杂的意思，compound才是复合的意思，复数的复是应该读第三声

[@䧝贵]

@@kmcbest 根本就没有第三声这个读音，复杂中也读四声。如想避免发音误解，可以改做杂数。

[@deskeyi]

太漂亮了😂又一次見識到了數學之美，讓離散變連續，沒意義變有意義，這就是數學的意義呀😊

[@jimmylio8805]

小朋友已經對這些感興趣.... 我這個成年人情何以憾......

[@yaekaori3423]

羡慕可以上课直接老师说到底的，我们上课现在就整天搞点幺蛾子，一会要学生讨论，一会要搞活动，都不如传统教学

[@joy2000cyber]

x^x图形化在油管上是一大发明❤

[@菠萝大神]

重拾了中学的知识，感谢李老师

[@thunderlinghu]

最后的图像确实太美了！

[@Bill-cf8ot]

李老师 我想问一个问题：怎么由万有引力公式推出行星是沿椭圆轨道运行的？

[@TchLiyongle]

这个理论力学的书里有

[@oilliooillio]

需要一点向量、极坐标和解微分方程的知识

[@devintherandom3063]

@@TchLiyongle 李老师，x的x次方，当底数是复数的情况，图像是什么样子呢？

[@捉i小吉]

@@devintherandom3063手段啦 複數不會先化成極座標？

[@devintherandom3063]

@@捉i小吉 那你说说图像是个什么形状？

[@VerseUtopia]

请教老师 x的x次方 对 相对性多个 x的x次方 的多项式方程 交互结果，有办法写方程出来吗？

[@richiefhf85]

神奇的欧拉公式，上学时候也是这么直接给出来，李老师能讲一下欧拉公式的由来吗？

[@spacefreedom]

新的一期简单讲了一下

[@michaelliu6323]

李老师讲得清楚，我居然听懂了，谢谢！

[@小浩-d5c]

謝謝老師，我又睡了好覺!

[@listen2baibai]

数学之美没震撼到，但数学之难把我拍得这个晕呢！😵‍💫

[@非非-e9e]

不能同意再多...

[@捉i小吉]

那你只適合做超商店員 反正只要會加減乘除就夠了

[@sjdjjdaaasd3772]

@@捉i小吉 或者从事生物科研

[@flyingtiger2675]

最后一部分x是负数的时候，不需要写成exp(2kpi+pi),因为一直乘以了这个x。只需要最后再画出图形的时候讨论x正负即可。

[@no1xtz765]

为了课程内容的连续性. 当然要写成这样了……

[@ymj5161]

既然定义域是复数为什么只考虑实数的情况呢？既然定义域是复平面，那么定义域的复平面上每一个点作为x都对应一个复数函数值才是正确的理解方式，而这个函数图像是无法用三维成像画出来的，因为定义域是二维的，而值域也是二维的。

[@UU-235]

老师，现代数学是建立在十进制之上的吗？这一切在非十进制体系下是否还能成立？

[@kimyostory]

四则运算和进制无关，只需要转化一下即可，也就是说进制不影响逻辑，只是一个形式而已

[@neocort4513]

一样的，因为同一个数在进制之间是可以互换等价的

[@spacefreedom]

成立，进制好比单位，不论你用米还是英尺，长度还是那个长度不受影响

[@stephensu4371]

都是等價的，不然二進制和電腦，十六進制和programming都沒了

[@躺平就不会倒]

与进制没关系。进制只是数的表示形式

[@alayrwang4768]

21:02 定義 x∈R，如果 x∈C 會怎樣？25:08 模的變化是爲什麽一下子就畫出來了？

[@jweng9554]

X如果是複數的話,在三維空間裡應該是畫不出來的

[@joy2000cyber]

请问老师x^x有实际应用吗？还是只是小朋友们钻牛角尖😂，长得好真像个牛角尖🎉

[@1998leo]

被演算法推薦點進來看，發現是部不錯的影片，推薦給想睡又睡不著的人，保證秒睡

[@xihao3742]

笑死我了哈哈哈 真想睡一觉什么都懂了

[@肥羊-y9d]

李老师之前讲过一个不需要透露具体数目就能比较俩人工资的视频，请问谁知道是哪个啊？

[@cdewqazxs]

感謝老師 昨天晚上睡得很好

[@techauto1886]

就喜欢看你们抖机灵

[@chemhunter]

我上大学的时候，有一天在操场草坪上躺着休息，突然想到一个问题，假如自行车轱辘上有只苍蝇，当自行车跑起来的时候求苍蝇的运动轨迹。当时想了很久也没弄明白。毕业后来查资料，才知道在基础数学的范围内根本解不出来。

[@zhandongzhang]

基础数学能解出来啊，不就是摆线么？

[@macpoolalbert5615]

李老师，其实 几乎 所有数，基本 在立体空间 当中。 而他们 几乎 也是 有意见的，就是 位置 不相同。

[@rich524050]

你講這個叫做複變函數分析，有主值和分支。。。李老師電機工程的本科對他來說是小事

[@全泉-m7q]

太神奇了！谢谢李老师！！

[@turtleqqq]

很清楚~簡潔有力!

[@三呆发]

期待已久的视频😚

[@toto-qh7or]

完全聽不懂 但感到萬分佩服@@

[@rockl5113]

李老师正式开讲前我都听懂了

[@216dark2]

老师，为什么那个 row （模）的变化是那个像宝塔顶那样的曲线，这里能展开说下吗？

[@hippodino4965]

26:59 金句

[@sheepb1ack611]

这里是不是有个自指的问题，我们计算的X^X转换为ρ^x*exp(x*(2kpi+(pi or 0)))，但我们仍然需要面对ρ^x的问题，老师这里直接给出结果，能不能有拓展资料。

[@SQli-dg3ue]

p是复数向量长度，大于等于0

[@jinglongchu3829]

以前學過，都還給老師了！謝謝，這在後來的電磁學（波）有用。基礎沒了，電磁學（波）就看不懂。

[@neocort4513]

好想知道那个塔形状的拐点处的x值是多少，应该有两个拐点，一个是从大变小处，一个是从小变大处。 李老师可否给出大致的数值呢？

[@spacefreedom]

-1, 1

[@捉i小吉]

手斷啦 自己不會微分啊

[@shunitsu__]

大二工程数学复变函数学过前面的内容，都还给老师了，来复习和延伸

[@liymouse1]

李老师想请教一个问题，滑雪滑板冲下坡的时候，为什么重心靠后速度会更快。一般新手因为害怕人会往后躲，导致速度越来越快。反而让人肩膀跟下坡平行，就没那么快。这是什么原理呢

[@ainsisoit-elle6754]

双板滑雪下坡，如果身体重心太靠后，雪板前半部分承受的压力变小，与雪坡阻力降低，那下坡自然就越滑越快。

[@趴在墙头上等红杏]

X小于0时极其复杂，倒数是偶数时没有实数解，无理数且是代数数时没有实数解，如果是超越数时我没想明白，负无穷且为实数时值为负的e分之1

[@nba2187]

數學還真是我的天敵，無論學多少次仍無法理解，誰有無字天書，說不定無字天書比數學容易學...

[@richardyeung270]

50岁，高中生，听懂了，但是不知道有啥用？ 希望李老师开一个初高中数学的课，然后开会员上课，数学有很大用途

[@jianpingchen2239]

讲得好👌🏻👍🏻👍🏻👍🏻

[@degangliu3453]

我是70后，这期有点像小时候看中央台的电教节目，虽然听不懂但还是耐着性子看，因为那时候中央台白天基本都是电教节目

[@whatif2520]

李永乐老师感觉有机会说不定可以稍微提一下“大数学”（Googology）的概念？

[@jeffzhang9764]

讲的太好了，大爱！越来越觉得数学是上帝的语言，可以和上帝对话。

[@WL-mi9pl]

突然覺得自己高中數學學的不錯，雖然十幾年沒碰不過還是輕鬆跟上，也可以說是李老師講的太好

[@Wind_of_Night]

高中數學〝不等於〞高級數學～

[@WL-mi9pl]

@@Wind_of_Night ？？

[@andrewchen5629]

分析得很清晰！

[@邱月嬌-p8e]

老師函數太難，我不懂，我直接念文組放棄數學了。

[@pazoho2663]

你好，李老師，想問吓片中所講C和K有冇特定含意？

[@趴在墙头上等红杏]

大哥，没有下边那条线，x大于0小于1时是U形函数，1/e时达到最小值x=0,x=1时等于1，当x>1时是一个斜率不断增加的增函数，整个函数是高等函数，但因变量永远大于0

[@趴在墙头上等红杏]

我给我的学生讲过

[@ZhongdiLuo]

我看到最后也觉得奇怪呢。同一个实数x值还能对应两个y，x大于0的时候y还能小于0。。。 李老师这里应该是犯了一个错误，最开始被问出来的问题y=x^x按提问者通俗的理解应该隐含了一个条件是x，y都是实数。 但李老师在说函数图像的时候实际上是把x和y同时展到复平面了（虽然图像里只显示了x实部的投影），而最后收缩到实数域却只考虑了y而忘了收缩x。所以下面那条线应该是对应的x在复平面展开后对应的y为实数的解。 我也只是个毕业了几十年的半吊子，如果理解有误请指正。

[@papercut1987]

当年要是有李老师的这节课，复数转换这块应该能轻松好多

[@回大唐梦]

经典力学里面用实数就可以了，但是在量子力学必须要用复数

[@洪秉旭]

喜歡這種數學的題材！！

[@Retr0Smile-yd5bt]

问问 为啥x的x次方在实数范围内四象限也是不连续的 x>0正常来说在R范围内不是应该不会有位于四象限的解吗

[@oniakuma5429]

不知道李永樂的班有多少個或是百分比%的學生在高考拿夠分數讀到心儀大學呢❓

[@b9844030]

很高深的講解。但是這個結果該怎麼使用呢？ 到底對科技有何幫助?

[@zhunsui1145]

老鸣的频道有一集讲复平面的，李老师团队能不能用计算机辅助把视频画出来

[@陳映竹-c7e]

好懷念XD 不過中學目前沒有三角，應該沒辦法說明那個複數的轉換了

[@非非-e9e]

有三角函數也沒用--假如遇到那種沒講當有講就為了等著領薪水的老師...口才很好，只是前後矛盾，不打算把人教明白，存心把人教得觀念更混亂的那種 被放生的學生只能靠自己，看是要去補習、直接考驗理解力、還是考驗背題目答案後照樣模仿的能力

[@李-q6c]

「中學」兩個字，有時候是指國中加高中 你要說的應該是「國中」或「初中」（不過臺灣國中好像也開始教三角函數了）

[@lansi3608]

真想学自己买书看呗，非得等老师讲才学是很被动的

[@非非-e9e]

@@lansi3608 學生窮，哪來的錢？ 一般人家支付不起一個孩子的補習費，必須家庭環境小康才可能買課外讀物或送孩子去補習班，絕大多數孩子都是靠自己，即使就讀公立學校，若是被那種 疑似遭私校收買的老師 放生，就相當於被踢進海裡自生自滅，整個班級孩子的數學都毀了，學費昂貴的私校，他們學生的對手就這樣被他們收買的內應給處理掉了大半...

[@maolaoda7689]

@@非非-e9e 這就是多元入學的奧義！

[@brendanfan3245]

请问老师，2可以写成8 ^1/3 (8的1/3次方），也可以写成16^1/4(16的1/4次方）。 这同一个2， 岂不是可以在复数域上拓展成2种不同的复数形式？ 同样，任意一个实数岂不是可以拓展成无数种复数形式？

[@dependself]

当然不是，2的复数形式就是2...实数属于复数啊，你说的就跟告诉别人1+1和3-1是两个不同的数一样...

[@mikejhon7243]

你举的例子在复平面上都是幅角为2kΠ，模为2，并不是两种不同的复数形式

[@非非-e9e]

感覺有趣，在下數學不好，沒學過這些，今天的課聽不懂，只是想問一下，倘若照閣下這樣的思路，舉例的這題目的解答印出來在一張紙上時，可以折疊的次數有一樣嗎？

[@kurtwzhao]

李老师，幂是无理数的时候，乘方怎么定义？

[@towser380towser2]

完全能听懂👍👍👍

[@joshualiu2693]

还有 有没有类似于解析延拓的方法，让这个函数在实数范围内的点做到连续

[@baotutubenbenxiong]

这一期太好了！

[@tmzgleaderone]

16:55字幕有错误，负数写成了复数。

[@qz27377u]

老师能不能讲讲 Elon Musk’s Neuralink

[@fernandochen1577]

实平面内，x的x次方为什么在第四象限还会有不连续的点？x大于0时，y还可能小于0？

[@wuffendok]

视频进入到5分钟，我已经到了Alpha Centauri了！ 虽然一直在云里雾里，不过还是听的津津有味。 因为我一直想知道最后的形状是怎么样的！

[@GLIM1888]

很像泰国和印度等东南亚国家的某些建筑