Méthode04 - Utilisation du théorème de la bijection

Rappel du théorème de la bijection et son utilisation pour montrer l'unicité de la solution d'une équation donnée.

[@artistika1790]

Merci pour cette vidéo très bien expliquée !

[@andy2001garbin]

Mieux expliquer que ma prof de prepa incroyable merci

[@fatimaezahraelboukili8411]

Merci pour cette petite vidéo.

[@mattedu5059]

Bonjour, serait-il possible de détailler le calcul de la dérivée ?

[@tsimathstroyes]

1. On doit dériver f comme un quotient u/v avec u = (x+1)*ln(x+1) et v = x. On aura donc f' = (u'*v - u*v')/(v^2) où on a facilement v' = 1. 2. Le numérateur u lui-même doit être dérivé comme un produit : u = a*b avec a = x+1 et b = ln(x+1) donc u' = a'*b + a*b' = 1*ln(x+1) + (x+1)*1/(x+1) = ln(x+1) + 1. 3. En regroupant ces deux étapes, on obtient f'(x) = [(ln(x+1) + 1)*x - (x+1)*ln(x+1)*1]/x^2. 4. On développe et simplifie cette expression : f'(x) = [x*ln(x+1) + x - x*ln(x+1) - ln(x+1)]/x^2 = [x - ln(x+1)]/x^2 comme espéré. :)

[@antoninberanger4361]

Merci !

[@soniaaab575]

bonjour ,j'ai pas compris comment vous avez fait pour trouver les lim (ps merci pour la video)

[@tsimathstroyes]

Je l'explique à partir de 4:12. En résumé : - en 0, on utilise un équivalent (ou un développement limité à l'ordre 1) de ln(1+x). Plus précisément, on a (x tend vers 0) : ln(1+x) ~ x d'où après simplification f(x) ~ x+1 qui tend clairement vers 1 lorsque x tend vers 0 ; - en +infini, on a directement (x+1)/x tend vers 1 donc f(x) a même limite en +infini que ln(1+x) donc +infini.

[@etiennep4415]

merci

[@widedse]

Merciii

[@midid458]

Bonjour pouvez vous m'expliquer le lien entre bijection et la réciproque d'une fonction

[@tsimathstroyes]

Si une application est une bijection (disons d'un intervalle I dans un intervalle J) alors elle admet une application réciproque (qui va alors de J dans I et est aussi une bijection). Par exemple, la fonction exponentielle est une bijection de ]-∞, +∞[ dans ]0, +∞[, elle admet donc une fonction réciproque qui va de ]0, +∞[ dans ]-∞, +∞[ : c'est la fonction logarithme népérien. Réciproquement, on a aussi un résultat : si on dispose d'une fonction f (de X dans Y) et qu'on trouve une fonction g (de Y dans X) telle que pour tout x dans X, g(f(x)) = x et pour tout y dans Y, f(g(y)) = y, alors f est une bijection (g aussi) et g est la réciproque de f. Par exemple exp(ln(x)) = x pour tout x > 0 et ln(exp(y)) = y pour tout y dans R, donc exp est la réciproque de ln.