Demonstração por absurdo 😱 - Teoria e Exercícios

A demonstração por absurdo é uma técnica de prova matemática que se baseia na contradição. Ela é usada para provar que uma afirmação é verdadeira, mostrando que, se ela fosse falsa, algo contraditório aconteceria.
Exemplo:
Mostre que todos os números pares são divisíveis por 2.
Demonstração por absurdo:
Supor que seja falsa, ou seja, que exista pelo menos um número par que não é divisível por 2.
Vamos supor que esse número existe e seja representado por x.
Se x é par, então ele pode ser escrito como 2k, onde k ∈ ℤ.
Mas, se x não é divisível por 2, então ele não pode ser escrito como 2k.
Isso é uma contradição!
Logo, a suposição inicial de que existia um número par que não era divisível por 2 estava errada.
Portanto, podemos concluir que a proposição inicial é verdadeira:
Todos os números pares são divisíveis por 2.
Como p → q ⇔ ¬p ∨ q,
então ¬(p → q) ⇔ ¬(¬p ∨ q).
Pela Lei de De Morgan, temos: ¬(¬p ∨ q) ⇔ p ∧ ¬q.
Um enunciado só pode ser verdadeiro ou falso.
Para mostrar que p → q seja verdadeira por contradição, “trabalhamos” com a expressão p ∧ ¬q.
Supõe-se que a hipótese p seja verdadeira e a tese q seja falsa, a fim de, após uma sequência de argumentos válidos, chegar em uma conclusão contraditória.
Uma vez que a hipótese contraditória conduziu a um absurdo, concluímos que negar a tese foi um erro e, portanto, a tese é verdadeira.
Exercícios
1º] Demonstre que a soma de dois números pares é sempre um número par.
Conjectura: A soma de dois números pares é sempre um número par.
Demonstração por absurdo:
Supor que seja falsa: ou seja, que a soma de dois números pares é um número ímpar.
Sejam x e y dois números pares quaisquer.
Então, podemos escrever x = 2a e y = 2b, onde a e b são números inteiros.
Assim, a soma de x e y é:
x + y = 2a + 2b = 2(a + b)
Observe que 2(a + b) é um número par, pois é o dobro de um número inteiro.
Isso é uma contradição!
Logo, a suposição inicial de que a soma de dois números pares é um número ímpar, estava errada.
Portanto, a soma de dois números pares é sempre um número par.
2º] Prove que √𝟐 é um número irracional.
Conjectura: √𝟐 é um número irracional, ou seja √𝟐 ∉ ℚ.
Demonstração por absurdo:
Supor que seja falsa:
ou seja, que √𝟐 ∈ ℚ.
Seja √𝟐 ∈ ℚ, então existem m, n ∈ ℤ com n ≠ 0 tal que √𝟐 = 𝒎/𝒏.
Sem perda de generalidade, consideremos m e n primos entre si.
Dessa forma, elevando ambos os lados ao quadrado, temos: 2 = 𝒎²/𝒏²
⇒ 2n² = m²
⇒ m² é par
Assim, existe k ∈ IN tal que m = 2k
Substituindo em 2n² = m², temos:
2n² = (2k)²
⇒ n² é par
Logo 2|m e 2|n.
Mas isso é uma contradição!
Pois contradiz nossa hipótese de que m e n são primos entre si.
Assim, √𝟐 não pode ser escrita como uma fração 𝒎/𝒏 .
Logo, a suposição inicial de que √𝟐 ∈ ℚ estava errada.
Portanto √𝟐 é um número irracional.

[@MyPaulocorrea]

Professor, o sr. pode indicar livro de introdução a demonstrações?

Claro tem um iniciante: Um Convite à Matemática de Daniel Cordeiro e Morais Filho, más eu gosto muito do: Matemática Discreta e Suas Aplicações, de Rosen, Kenneth H. (capitulo 1).

[@MyPaulocorrea]

@ Obrigado!

[@janderlangomes2237]

Professor esta questao, de forma simbolica. Eu poderia dizer que : p implica q nao é equivalente a p e nao q. Desculpe, pois nao consigo apresentar aqui ao celular tudo simbolicamente. Porem, fiz em meu cadero. Me responda ta! Abracos

[@janderlangomes2237]

Boa noite, professor. O enunciado so pode ser verdadeiro ou falso. Pelo o principio do terceiro excluido, ou seja, uma proposicao so assume seu valor logico verdadeiro ou falso. Mas nao ambos. So queria deixar esta observação. Obrigado!

[@telmagiovana6006]

Obrigada pelo vídeo professor! Só não entendi pq supomos que m e n são primos. Da onde tiramos isso? Já vi em outras literaturas que supomos que não são pares. E eu não entendo o porquê de simplesmente supormos isso… se for assim eu tbm poderia supor que são pares, e então daria certo a suposição final??

Por nada! Fico feliz que esteja sendo útil. Em relação à sua pergunta, dizer que os números são primos entre si e que não são pares daria no mesmo. A negação é que seja racional, então pode ser representada por uma fração. Ai eu já coloquei da forma irredutível ou seja o numerador e o denominar são primos entre si. Se eu colocasse os dois pares ou impares que um seja múltiplo de outro, também estaria correto porque está em forma de fração. Mas agente poderia simplificar a fração e eventualmente chegaria em dois números primos entre si. Eu apenas fiz com ela já simplificada, mas estaria correto seguir esse caminho também.

Outra coisa: m e n não são primos individualmente, mas sim primos entre si, o que significa que o máximo divisor comum (MDC) entre eles é 1. Isso indica que a fração m/n já está na sua forma simplificada. Quando dizem que os números 'não são pares', estão querendo dizer que pelo menos um deles é ímpar, mas isso não é o ponto central. Por exemplo, se tivermos uma fração como 3/9, ao simplificá-la, chegamos a 1/3, onde m e n são primos entre si. Algumas pessoas preferem abordar a questão da paridade e durante a demonstração chegar a uma contradição quando ambos se tornam pares. Eu prefiro afirmar logo que m e n já são primos entre si, porque isso evita a necessidade de discutir a paridade. E se agente quisesse usava até mesmo números pares para realizar a demonstração, como falei na mensagem anterior.

[@RebecaDeSouzaSilva]

para estudar esse conteúdo e ter uma base legal, qual conteúdo vejo primeiro?

Olá! Tudo bem? As técnicas de demonstração, são em sua maioria baseadas em lógica matemática. Sendo assim eu recomendo um curso de introdução a lógica matemática. Geralmente um curso assim é ofertado como disciplina ainda no primeiro semestre nos cursos de graduação na área de matemática.