Trassierung (Beispielaufgabe) | Mathematik

Zwei Schienen laufen nebeneinander her. Die eine Schiene soll mit der anderen verbunden werden. Man spricht von zwei Trassen, die verbunden werden sollen. Daher der Begriff "Trassierung".
Wie das konkret aussieht und vor allem, wir wir sowas rechnen, das erfahrt ihr in diesem Video.
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[@dertolle7884]

Gutes Video, erklärst das spannend!

[@alexx8567]

Kann mir einer sagen, wie ich das LGS in den Taschenrechner eingeben würde? In den meisten Fällen kann der Taschenrechner ja nur 3x3 LGS's lösen

[@lucaprisma]

Wieso machst du Bei 5:05 das negative Vorzeichen?

[@martinkupke2099]

Man hätte sich die Arbeit auch vereinfachen können. Da beide Trassen bei -2 bzw +2 enden, bzw. anfangen und der Abstand in y-Richtung 2 ist, muss es eine Punktsymmetrie zur y-Achse geben. Somit kann die gesuchte Funktion keine geraden Exponenten haben. Auch die Konstante am Ende (2) ist schon vorher bekannt, da eben die gesuchte Funktion die Y-Achse am Punkt (0|2) schneiden muss [g(x=-2) + h(x=2) / 2] = (1+3)/2 = 2 Somit müsste die Funktion wie folgt aussehen: f(x) = ax^5 + bx³ + cx + 2 Aber ein wichtiger Punkt wurde nicht erwähnt. Warum muss es eine Funktion 5. Grades sein? Nur weil man aus den gegebenen Werten 6 Gleichungen heraus bekommt? Eine sehr magere Argumentation. Prinzipiell könnte es auch eine Funktion 3. Grades sein: f(x) = ax³ +bx +2 aber das kann man auch beweisen ob die resultierenden Gleichungen kombinierbar sind (was sie nicht sind).

[@satoutatsuhiro866]

1. Überreschend guter Kommentar! 2. Wie meinst du das? "Man kann das auch beweisen" wie wäre da grob der Ansatz um zu zeigen, das 3. Grad nicht ausrecicht? Und wie zeigt man dann das 5 gut ist? Seine Argumentation war recht verständlich mit n unbekannte => Polynom von Grad n-1. Aber wenn man deine Idee mit "wir brauchen nur 3 unbekannte also warum nicht nur Grad 3 Polynom?" nimmt, dann wüsste ich woran man das erkennen soll, dass es trotzdem Grad 5 braucht.

[@martinkupke2099]

@@satoutatsuhiro866 ​ Mir würde als Beweis nur eine Methode einfallen. -> Probieren. Da Punktsymmetrisch zur Y-Achse fallen wieder alle geraden Exponenten heraus: f(x) = ax³ +bx +2 1. Ableitung: f'(x) = 3ax² + b 2. Ableitung: f''(x) = 6ax Hier könnte man schon aufhören, da hier eine Geradengleichung vorhanden ist, welche nur einen Schnittpunkt mit der X-Achse hat, wir aber zwei brauchen. Eine Funktion 3. Grades hat nur einen Wendepunkt. Wir brauchen aber (mindestens) zwei! Also kann man z.B. eine Funktion 4. oder 5. Grades verwenden. Bei 4. Grades müsste man aber den Punkt mit der Punktsymmetrie vergessen. (also keine direkte Verbindung) Also sowas wie f(x) = ax^4 + bx³ + cx² + dx + e bestimmen. Hier mal die Berechnung, wenn man die 2. Ableitung ignorieren würde! I: f(x=-2) = -8a -2b +2 = 1 II: f(x=2) = 8a +2b +2 = 3 III: f'(x=-2) = 12a +b = 0 IV: f'(x=2) = 12a +b = 0 Fangen wir mal das Rechnen an V: I + II = -8a -2b +2 +(8a +2b +2) = 1 + 3 => 4 = 4 -> hilft uns nicht weiter VI: III - IV = 12a +b - (12a +b) = 0 -> hilft uns nicht weiter VII: III (oder IV) nach b umgestellt: b = -12a VIII: Ergebnis aus VII in II eingesetzt ergibt: 8a +2(-12a) +2 = 3 => 8a -24a = 1=> -16a = 1 => a = -1/16 IX: Ergebnis aus VIII in VII eingesetzt ergibt: b = -12(-1/16) = 12/16 = 3/4 Also sieht die gesuchte Funktion wie folgt aus: f(x) = -1/16x³ +3/4x +2 Etwas anders dargestellt: f(x) = 1/16 ( -x³ +12x +32 ) Die 1. Ableitungen dazu: f'(x) = -3/16x² +3/4 f'(x) = 1/16 (-3x² +12) Sollte diese Lösung nicht funktionieren, müsste eine der Gleichungen I bis IV nicht aufgehen: I: f(x=-2) = 1/16 (-(-2)³ +12(-2) +32 ) = 1/16 (8 -24 +32 ) = = 1/16 * 16 = 1 -> Passt II: f(x=2) = 1/16 (-(2)³ +12(2) +32 ) = 1/16 (-8 +24 +32 ) = = 1/16 * 48 = 3 -> Passt III: f'(x=-2) = 1/16 (-3(-2)² +12) = 1/16 (-12 +12) = 0 -> Passt IV: f'(x=2) = 1/16 (-3(2)² +12) = 1/16 (-12 +12) = 0 -> Passt Somit ist die dies auch möglich (wenn man die Bedingung durch die 2. Ableitung ignoriert)! f(x) = -1/16x³ +3/4x +2 oder f(x) = 1/16 ( -x³ +12x +32 ) Als Bestätigung. Hier der Plot in wolframalpha: www.wolframalpha.com/input/?i=f%28x%29+%3D+1%2F16+%28+-x%C2%B3+%2B+12x+%2B+32+%29%2C+g%28x%29+%3D+1%2C+h%28x%29+%3D+3

[@chriseventy]

Bei einer Funktion 3. Grades sind aber nicht zwingend alle Bedingungen erfüllt, sondern höchstens zufällig. Und bevor ich das ewig durch probieren versuche herauszufinden, nehme ich lieber gleich eine Funktion 5. Grades. Geht schneller und führt sicher zu einer Trasse, die alle Bedingungen erfüllt.

[@mathehilfe24]

Und wenn ich 1. Sprungfreiheit 2. Knickfreiheit UND 3. Krümmungsruckfreiheit haben möchte, dann habe ich eben sechs Bedingungen und es ergibt sich eine Funktion fünften Grades...

[@satoutatsuhiro866]

@@martinkupke2099 Wow, danke! Das ist ja schon gefühlt eine Halbe Bachelorarbeit. Aber ich glaube das hilft, lol

[@lpju1220]

Das ist aber ein extremer Rechenaufwand😂

[@satoutatsuhiro866]

nicht wenn du Online Rechner benutzt, also online Gauss rechner und online ableitungsrechner. Ansonsten hast du ein paar lustige Stunden vor dir ^^

[@lpju1220]

@@satoutatsuhiro866 ja stimmt schon man sollte auch eher ein programm dafür benutzen aber selber machen dauert😂😂😂😂

[@satoutatsuhiro866]

@@lpju1220 obwohl, ich weiß ja nicht wo du in Mathe gerade stehst. Wenn du zaheln wie 120*4 oder 120/32... ok im Kopf rechnen kannst geht das Gleichungssystem doch ganz gut zu lösen und ableiten ist auch nicht zu schwer. (Ich bin nicht gut im Kopfrechnen^^)

[@lpju1220]

@@satoutatsuhiro866 ja momentan bin ich Schüler und mach mein Abitur und danach werde ich mathe studieren

[@satoutatsuhiro866]

@@lpju1220 freut ich zu hören. Ich studiere gerade schon Mathematik, aber das hilft nicht wirklich beim Kopfrechnen^^. (Mach irgendwelche Brücken und Vorbereitungskurse oder google ein bischen was wenn du Zeit hast.)