Kannst DU diese Gleichung lösen? - Bruchgleichungen

Bruchgleichungen lösen
In diesem Mathe Lernvideo erkläre ich (Susanne) wie man die Lösungsmenge der Bruchgleichung bestimmen kann. Wir berechnen die Definitionsmenge und stellen die Gleichung nach x um. Mathematik einfach erklärt.
0:00 Einleitung - Bruchgleichungen lösen
1:05 Definitionsmenge bestimmen
2:43 Bruchgleichung lösen
4:10 Ausklammern Terme
5:49 Bruchgleichungen multiplizieren
8:36 Lösungsmenge bestimmen
9:17 Bis zum nächsten Video :)
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[@johnbat4474]

Macht ganz einfach Spass wieder einmal (gefahrlos) in einer Mathestunde zu sitzen. DANKE!

[@opahorst162]

Schön erklärt. Konnte alle Schritte nachvollziehen. Gut gemacht , Susanne!

[@renekoelzer2328]

Hey Susanne, das Ausklammern zur Vereinfachung hast Du schön erklärt. Danke und liebe Grüsse!

[@hans-jurgenkallweit2767]

Einfach schön, wie Du das machst.

[@butterflytv7240]

Dir kann man einfach stundenlang zuhören. Also wirklich ganz fantastisch

[@krachenford9594]

Immer wieder toll!

[@MathematikFee]

Durch das Kürzen ist die Bruchgleichung einfach geworden. 🙃 3/2 hätte ich als 1,5 lieber geschrieben. 😊 Ich mag Bruchgleichungen. Sehr nett erklärt!

[@peterloffler5667]

Moin, Susanne, sehr interessante Aufgabe zur Bruchrechnung mit schlüssiger Erklärung zur Definitionsmenge. Bei Lösung mittels der pq- Formel hätte die Definitionsmenge noch mehr Aussagekraft erhalten. 😊😊

[@rolandmengedoth2191]

Super dargestellt. Konnte folgen und hätte es genau so gemacht.

[@Frank-ce3dx]

Super erklärt!

[@retorichli649]

🙈🙈😂macht immer wieder Freude mit Dir👍💪🌹🌹

[@haka2811]

Wenn man die Brüche stumpf ausmultipliziert und dann die pq- Formel benutzt bekommt man 22 und die 2 als Lösung. Da die 2 durch die def-Menge aber ausgeschlossen wird, passt das ganze wieder☺

[@teejay7578]

Macht Sinn, weil "x - 2" rausgekürzt wurde.

[@gerhardbeschorner2851]

Hab ich auch mit pq Formel raus, ausser das mit der 2, die nicht sein darf. Nicht dran gedacht...

[@learn123]

Schöner Tip mit dem ausklammern, ich rechne auch immer wild los.

[@ta_nya5240]

Nach über 20 Jahren ist noch erstaunlich viel da, das meiste hätte ich noch allein hinbekommen, nur ein paar Details hätte ich durcheinander gebracht. Eine wirklich interessante und gut aufgegliederte Erläuterung. 👍

[@MathemaTrick]

Dankeschön, freut mich, dass dir das Video gefallen hat! 🥰

[@long-7615]

Ich habe absolut keine Ahnung von Mathe aber trotzdem macht es Spaß zuzusehen

[@MatthiasHolgerMieth]

Wow! Ich habe es intuitiv genauso in knapp 1 min im Kopf geschafft.

[@wolfgangvanwersch1228]

Find' ich gut!

[@stefanmesina]

Danke🥰

[@markusnoller275]

Hallo Susanne, erst mal lieben Dank für die Aufgabe und liebe Grüße auch an Thomas, nach Bayern und die Kanadier 🙂 Hier mein Weg zur Lösung: zunächst ist der Definitionsbereich zu bestimmen (Nenner darf nicht Null werden, da Division durch 0 nicht erlaubt definiert ist. Da nichts anderes angegeben ist, unterstelle ich zunächst x€R Jetzt die Fälle berechnen, bei denen der Nenner 0 wird. Fall 1: 2x-4=0 | gemeinsamer Faktor 2 'rausziehen' 2(x-2) = 0 | nach der Regel vom Nullprodukt muss gelten 2=0 oder x-2=0. da 2 =0 niemals erfüllt ist, bleibt x-2=0 x-2 = 0 | +2 x=2 Fall 2: x-6 =0 | +6 x=6 Für die Werte X=2 und x=6 würde der Nenner 0 werden, somit sind diese beiden Werte nicht erlaubt, x€R\{2;6} Jetzt ans eigentliche Rechnen: Zunächst Hauptnenner zu 2x-4 und x-6 finden: Für ganz Faule ist ein möglicher Nenner (2x-4)(x-4) 🙂 Damit kann man "über kreuz" multiplizieren (3x-6)(x-6) = (2x-4)(x+2) | 3(x-2)(x-6) =2(x-2)(x+2) | : (x-2) zulässig, da x=2 per Definitionsbereich ausgeschlossen ist. 3(x-6) =2(x+2) | beide Seiten ausmultiplizieren 3x-18 =2x+4 | +18, -2x x=22 x=22 ist im Definitionsbereich enthalten, also zulässige mögliche Lösung: Probe: ((3*22)-6) /((2*22)-4) = (22+2)/(22-6) (66-6)/(44-4) = (24/16) 60/40 =24/16 | links kürzen mit 20, rechts kürzen mit 8 3/2 = 3/2 wahre Aussage Somit ist x=22 die gesuchte Lösung. LG aus dem Schwabenland

[@analname5428]

Lieblingskanal!!!

[@MrKevin095]

Der Step mit dem ausklammern war wie du sagtest MEGA nützlich, ich hab da wie nen Trottel ne Quadratische Gleichung raus gemacht und per PQ gelöst xD

[@hans7831]

Hab brav die Def, Menge bestimmt. Dann - leider ohne zu kürzen - brav ausmultipliziert, eine quadratische Gleichung erhalten u d diese brav mit der quadratischen Ergänzung gelöst. Hab als Lösung 2 und 22 erhalten und sofort gesehen, dass 2 bereits ausgenommen war. War ich stolz auf mich. Dann sah ich Dein Video 🙈.

[@karlhaensel]

Das ist doch gut! Das ist doch das Schöne an Mathematik, dass unterschiedliche Wege zum Ziel führen können. Klar...einige sind vielleicht "eleganter" als andere, aber korrekte Lösung mit logisch nachvollziehbarem Weg - alles super! :)

[@BiesenbachKlein]

Danke. 👍 Besonders der Hinweis am Anfang war gut: "Differenzen und Summen kürzen nur die Dummen."🤤💐

[@Birol731]

Danke für das kleine Intermezzo 🥯 Es lässt sich sehen, dass 2x-4=0 nicht sein kann, somit x= 2, weil dann wäre der Nenner 0, was nicht erlaubt ist, das gleiche für die rechte Seite, somit x=6 wäre auch nicht erlaubt ! Ich habe die Gleichung ohne Ausklammern gelöst🙈 obwohl ich durch Ausklammern Zeit hätte sparen können. Somit die Gleichung: x²-24x+44=0, x1=22 und x2=2, weil 2 auf der schwarzen Liste steht, wäre die 22 die einzige Lösung von dieser Gleichung 🤗

[@Birol731]

@@pikamu174 Wenn Du x=2 gibst, hast Du auf der linken Seite: (3*2-6)/(2*2-4)=0/0 ist undefiniert, da 0/0 nicht definiert werden kann, das gleiche gilt auch wenn bei dem Zähler eine Zahl (nicht gleich null) und bei dem Nenner eine Null steht, wie zum Beispiel oben auf der rechten Seite x=6, dann hast Du 8/0 ebenfalls nicht erlaubt !

[@Birol731]

@@pikamu174 Hallo Pikamu, Du solltest meine Aussage nicht wörtlich nehmen, verboten bedeutet für den bestimmten Wert nicht definierbar zu sein. Nehmen wir die linken Teil als Funktion an: f(x)= (3x-6)/(2x-4), wenn der Wert x=2 ist, lässt sich diese Funktion nicht definieren, also (0/0), wir könnten allerdings fragen was würde passieren wenn der x Wert gegen die 2 läuft, also dies in eine Grenzwert Situation umwandeln. Durch die Regel von L'hospital lässt sich dann doch eine Lösung finden, nach dem: (d/dx)(3x-6)/(d/dx(2x-4) = 3/2 = 1,50 wäre die Antwort, also wenn der Wert x den Wert 2 erreichen würde, würde sich die (0/0) Situation für die gegebene Funktion dennoch lösen lassen.

[@utedalheimer1742]

❤️❤️

[@pylsur2024]

Vielen Dank für deine Videos, die ich immer sehr interessant finde. Könntest du vielleicht mal eines machen zu der anscheined immer noch strittigen Frage, was bei der Gleichung "8:2(2+2)" rauskommt? 1 oder 16? Da scheiden sich irgendwie die Geister.

[@kaltaron1284]

Das ist wirklich eine "etwas" unglueckliche Notation. Ich wuerde 16 sagen.

[@Darklord345646]

16, wegen des Kommutativgesetzes.

[@kaltaron1284]

@@Darklord345646 Ist eher eine Frage der Assoziativitaet und die ist fuer Punktrechnung idR. linksseitig. Daher wird erst 8:2 ausgerechnet und dann mit (2+2) multipliziert.

[@Darklord345646]

@@kaltaron1284 Hast natürlich recht. Kommunikativgesetz gilt nicht, da dividiert wird. Ergebnis bleibt aber 16.

[@TheGeorgianSmoker670]

Ich habe das ganze noch einfacher gelöst und zwar; statt auf den gleichen Nenner zu kommen habe ich die "Kreuzregel" verwendet. Danach habe ich die x Faktoren und natürliche Werte voneinander getrennt.

[@nichtvonbedeutung]

Ohne Ausklammern und Kürzen, kommt man auf eine quadratische Gleichung, die x1=22 und x2=2 ergibt (x-12=+-10). x2=2 wurde zuvor jedoch ausgeschlossen, also bleibt auf die Art halt auch nur x1=22 übrig. Viel interessanter wäre es gewesen, wenn 2x-4 und x+2 vertauscht gewesen wären ( (3x-6)/(x+2)=(2x-4)/(x-6) ). Ausklammern und Kürzen fällt dann aus und die 2 Liefert eine Ungleichung (0/4=0/-4). Vorschlag, wenn man so etwas (wie Letzteres) hat: Ruhig mal die Zähler der einen Seite mit den Nennern der anderen Seite einzeln oder zusammen vertauschen, was durchaus legitim ist, und dann Definitionsbereiche festlegen. So erfährt man z.B. dass -2 und -6 auch ausscheiden.

[@teejay7578]

1. Aus einer Gleichung wird niemals plötzlich eine Ungleichung. Vielmehr ist x = 2 einfach eine Lösung deiner Gleichung, da 0 = 0 korrekt ist. 2. Warum es legitim (oder überhaupt erlaubt) sein sollte, die Zähler und Nenner willkürlich durch die Gegend zu tauschen, erschließt sich mir nicht. 3. -6 würde nicht einmal ausscheiden, wenn deine Tauscherei erlaubt wäre. Und -2 scheidet nicht aus, weil du "x + 2" willkürlich in den Nenner verschiebst. Wenn du das machen möchtest, musst du eine Fallunterscheidung machen und x = -2 gesondert überprüfen, weil du durch (x + 2) nur dividieren darfst, wenn x -2 ist.

[@nichtvonbedeutung]

@@teejay7578 Frage(n): 4/3=4/3 ist eine Gleichung, richtig? 4/4=3/3 ist auch eine Gleichung, richtig? Und wenn Du mal schauen magst: In der zweiten Gleichung wurde lediglich der Nenner der linken Seite mit dem Zähler der rechten Seite vertauscht. Darum ist es legitim. Und nach dem Tausch steht in meiner Gleichung nicht einfach 0=0 bei x=2 sondern 0/4=0/-4. Das wäre das Selbe, wie 0*0,25=0*(-0,25) und das führte ein paar Videos zuvor z.B. auch dazu, dass 4=5 wurde - hier wäre 0,25=-0,25 - und das ist nicht legitim. Der Tausch ist nicht willkürlich, sondern dazu da, tatsächlich alle ilegitimen Möglichkeiten im Definitionsbereich auszuschließen. x+2 steht deswegen auch nicht willkürlich im Nenner.

[@teejay7578]

@@nichtvonbedeutung Was bedeutet das Tauschen denn mathematisch betrachtet? Multiplikation der Gleichung mit dem linken Nenner und Division durch den rechten Zähler - im Beispielfall "4/3 = 4/3 | * 3/4 4/4 = 3/3". Insofern ist es tatsächlich legitim ... solange man weiß, was man da macht! Wenn da (3x-6)/(2x-4) = (x+2)/(x-6) steht, darfst du nicht einfach so tauschen - und damit insbesondere durch "x+2" dividieren und dann daraus schließen, dass x nicht -2 sein darf, sondern anders herum wird ein Schuh draus: Den Tausch darfst du nur machen, wenn x nicht -2 ist, und musst für den Fall "x = -2" eine gesonderte Betrachtung vornehmen. "x ≠ -2" ist nicht die Folge aus diesem Tausch, sondern die Voraussetzung dafür. Und x = -2 ist keine Lösung, weil nach dem Einsetzen rechts eine 0 steht und links nicht. Aber x = -2 macht keinen der Nenner zu 0 und ist somit in der Definitionsmenge enthalten.

[@nichtvonbedeutung]

@@teejay7578 Mal abgesehen davon, dass durch das Löden der Gleichung eh nur x=22 übrig bleibt, ist es unendlich egal, welche Zahlen man im Definitionsbereich aus welchen Gründen auch immer noch ausschließt. Wären bei der ürsprünglichen Gleichung besagte Zähler und Nenner von Anfang an vertauscht gewesen, wäre niemand auf den Gedanken gekommen, die 2 auf die Ausschlussliste zu setzen, obwohl sie dahingehört. 0/4 ist nun mal ungleich 0/-4. Die Konsequenzen, wenn man daraus noch 0=0 macht, sind ja bekannt - man kehrt wichtige Infos einfach unter den Teppich, oder wolltest du etwa 4=5 sagen?

[@teejay7578]

@@nichtvonbedeutung 1. Ohne das Rauskürzen der (x-2) würde man eine zweite Lösung x = 2 erhalten, was aber an der Lösungsmenge nichts ändern würde, da die 2 als Nenner-Nullstelle nicht in der Definitionsmenge enthalten ist. 2. Es stimmt, dass nur Elemente der Definitionsmenge auch Elemente der Lösungsmenge sein können. Das bedeutet aber nicht im Umkehrschluss, dass du jede Zahl, die kein Element der Lösungsmenge ist, nach Belieben aus der Definitionsmenge rausschmeißen darfst. 3. Wären bei der ursprünglichen Gleichung besagte Zähler und Nenner von Anfang an vertauscht gewesen, wäre zu recht niemand auf den Gedanken gekommen, die 2 nicht zur Definitionsmenge zu zählen, weil sie dann keine Nenner-Nullstelle wäre. Deine Tauscherei ist keine äquivalente Umformung, weil sie die Definitionsmenge verändert. Bei der ursprünglichen Gleichung ist die Definitionsmenge R\{2; 6}, bei der umgeformten R\{-2; 6}. Und nach deiner Tauscherei ist die 2 nicht nur in der Definitionsmenge enthalten, sondern auch eine zulässige und korrekte Lösung, denn wenn man sie einsetzt, steht da mit 0 = 0 eine wahre Aussage ... natürlich ist 0/4 = 0/-4 = 0, denn sobald man eine Zahl mit 0 multipliziert, kommt dabei immer 0 heraus! Was nicht gilt, ist die Folgerung "0a = 0b => a = b", weil man den Faktor 0 nicht wegdividieren darf. Aber 0a = 0b = 0 stimmt immer, egal was man für a und b einsetzt. Deine eigene Aussage "Wären bei der ürsprünglichen Gleichung besagte Zähler und Nenner von Anfang an vertauscht gewesen, wäre niemand auf den Gedanken gekommen, die 2 auf die Ausschlussliste zu setzen, ..." hätte dich auf die Idee bringen können, mal zu überlegen, ob deine Tauschlogik nicht vielleicht doch einen Schönheitsfehler hat, anstatt daraus zu folgern, dass 0 dann eben nicht gleich 0 sein könne - oder was sollte deiner Meinung nach dabei heraus kommen, wenn man 0 durch 4 und durch -4 dividiert, wenn nicht 0?

[@Trynvis]

Hi. Hab eine Frage. Wieso kann man (wie bei 7:25) wenn man y×x hat (y ist hier dann halt 3/2) und davon x abzieht, einfach 1 von y abziehen? Bin gerade 8. Klasse und haben diese Regel scheinbar noch nicht durchgenommen.

[@joachimschulz4792]

3/2x - 2/2x = 1/2x bzw. x/2

[@lukasthiede6465]

Was mir wirklich für youtube noch fehlt ist eine Funktion in der man wirklich mathe aufgaben lösen muss und wenn man es falsch löst ... die erklärung weiter erhält als video z.b. dieses.

[@dirkpfeiffer1686]

Dirk Ich hab da noch eine coole Aufgabe: Auf einer Geraden liegen 5 Punkte, aus denen sich 10 verschiedene Paare bilden lassen. Die Abstände der beiden Punkte aus jedem der 10 Paare sind der Größe nach aufsteigend geodnet: 2,4,5,7,8,a,13,15,17,19. Wie groß ist ser Abstand a?

[@user-jw2em6pu2k]

a=12

[@alexanderstorm6062]

Sehr schön erklärt, vielen Dank. Mich würde aber mal interessieren, wie das Szenario ausgesehen hätte, damit man ÜBERHAUPT eine zweite Lösung bekommt. Liebe Grüße in die alte Heimat...

[@bielefeldundmehr2461]

Am Anfang den linken Bruch nicht kürzen. Sondern alles auf beiden Seiten ausmultiplizieren, dann erhält man eine quadratische Gleichung. Und durch die pq-Formel erhält man dann zwei verschiedene Lösungen.

[@isabelllowenherz2213]

Üben, üben, üben. Gibt es eigentlich ein Video, indem Du die ganzen Regeln vermittelst? Oder gibt es dazu eine andere Quelle? Danke 🙂

[@elviraduckstein3134]

Ich habe die Möglichkeit, gleich zu Anfang zu kürzen, leider nicht gesehen, und habe deshalb sehr viel umständlicher gerechnet. Um erstmal die Brüche wegzubekommen, habe ich Nenner und Zähler der zwei Brüche über Kreuz multipliziert, also (3x-6) * (x-6) = (x+2) * (2x-4). Wenn ich das ausmultipliziere und alles auf eine Seite bringe, ergibt sich X^2 - 24x + 44. Diese Gleichung habe ich mit der pq-Formel gelöst und bekomme X1 = 2 und X2 = 22. Die 2 fällt ja als Lösung weg, da sonst einer der Zähler 0 würde, und somit habe ich auch x = 22 als Lösung.

[@olivers.3669]

Ja, das mit dem Ausklammern muss man natürlich sehen, sonst rechnet man (wie ich und viele andere hier) doch deutlich umständlicher

[@user-cg7zn8ey5k]

Plotte doch mal die beiden Funktionen, die links und rechts neben dem Gleichheitszeichen stehen. Dann kannst Du auch erklären, wie die Definitionsmenge zustandekommt und warum die beiden Definitionslücken unterschiedlicher Natur sind (l.S.: konstante Funktion 3/2 mit Defintionslücke bei x=2, r.S. gebrochen rationale Funktion mit Polstelle bei x=6). Außerdem könntest Du so visualisieren, was die Lösung eigentlich bedeutet.

[@reinhardeley7573]

Hallochen! Bitte nicht so hoch anbinden. Das soll doch noch eine "normale" 9. Klasse nachvollziehen können!

[@user-cg7zn8ey5k]

@@reinhardeley7573 Eben drum! Gebrochen rationale Funktionen waren Stoff der 8. oder 9. Klasse, denn sonst könnte die "normale" 9. Klasse das ja nicht behandeln. Wenn es grafisch visualisiert würde, wäre es nicht "nur eine nette Manipulation mathematischer Ausdrücke".

[@marcusgriese5966]

Hab einen etwas anderen Weg eingeschlagen, nämlich zuerst multipliziert. Später waren meine beiden x-Werte 2 und 22. Aber da auch bei mir ein x rausgeflogen ist, kam ich zum selben Ergebnis.

[@loewe0284]

Klammer auf lösen: 3/2 x - 6 ?

[@tommy40629]

Kann mich noch gut erinnern, die Klausur über Bruchgleichungen, 97% richtig gehabt und ich kann es noch heute.

[@oida10000]

(3x-6)/(2x-4)=(x+2)/(x-6) Ok als erstes notieren wir uns, dass 2 und 6 keine Lösungen sein können, weil sonst die linke oder rechte Seite 0 im Nenner hätten und multiplizeren quer: (3x-6)(x-6)=(x+2)(2x-4) Aus multiplizieren: 3x^2-24x+36=2x^2-8 Zusammenfassen: x^2-24x+44=0 Ok laut 2ter binomischer Formel ist x^2-24x=(x-12)^2-144 also haben wir (x-12)^2=100 von daher x-12=-10 oder +10 und so x=2 oder 22. Aber wir haben am Anfang festgestellt, dass 2 keine Lösung ist, also ist x=22 die Lösung.

[@antonpressing]

Bingo -> Mathe Gringo !

[@user-jw2em6pu2k]

Schöner wäre es, bei der Definitionsmenge 2;6 zu schreiben. 2,6 könnte als 2 Komma 6 gelesen werden.

[@kaltaron1284]

Zum Glueck habe ich auch irgendwie gesehen, dass man auf der linken Seite gut ausklammern kann. Der Rest ist dann ja relativ einfach. Edit: Hatte aber einen leicht anderen Loesungsweg, aber ist ja relativ egal, was man wann auf welche Seite zieht.

[@murdock5537]

Nice! Vielen Dank, insbesondere für den Hinweis zu Beginn (kürzen). Da f(x) = 3/2 und g(x) = (x + 2)/(x - 6), geht es um den Schnittpunkt einer Geraden (df/dx = 0) mit einer Hyperbel. Daher gibt es auch nur eine Lösung (x = 22). btw: Die 6 hat natürlich eine erhebliche Relevanz, wenn auch nicht für die Lösung der gestellten Aufgabe: dg/dx= -1 → x = 6 + √2 bzw. x = 6 - √2. Bei x = 6 strebt der Ast der Hyperbel entweder nach y = ∞ (für x > 6) oder nach y= -∞ (für x < 6) 🙂

[@dimimurik3970]

Falsch! Die Lösung (zwei Werte!): x1 = 22, x2 = 2.

[@murdock5537]

@@dimimurik3970 Na ja. Einfach die Gleichung bei WolframAlpha eingeben, dann wird es deutlich. 🙂

[@dimimurik3970]

@@murdock5537 und wie ist es mit selbständig lösen, ohne WolframAlpha? ;) Die Schule liefert ja uns alle notwendigen Ansätze und Formeln

[@murdock5537]

@@dimimurik3970 Das war nur ein Hinweis, ich habe das ohne WA gelöst.

[@karlbesser1696]

Wenn man es mit einer quadr. Glg. löst, muss man halt anschließend die Probe machen, welche Lösung passt.

[@teejay7578]

Die Lösungen passen immer, aber du musst prüfen, ob durch das Einsetzen der Lösungen ein Nenner zu 0 wird. Und sollte die Aufgabenstellung lauten, Definitions- und Lösungsmenge zu bestimmen, gibt's Punktabzug, weil du die Definitionsmenge nicht bestimmt hast.

[@karlbesser1696]

@@teejay7578 Da eine der beiden Lösungen {2,22} beidseitig zu einem Nullnenner führt, kann man schon mal diese Lösung aus der Definitionsmenge ausschließen. Die zweite Ausschließung (6) ist hier belanglos. Interessant ist, dass man eine quadr. Glg. in Linearfaktoren zerlegt, lösen kann.

[@goldfing5898]

6:20 Es ist viel besser, die Gleichung nicht nur mit (x - 6), sondern auch mit 2 durchzumultipizieren. Das erspart einem unnötiges Bruchrechnen und ist auch die übliche Vorgehensweise. Der Hauptnenner ist also 2(x - 6) und man erhält 3(x - 6) = 2(x + 2) Beide Seiten ausmultiplizieren: 3x - 18 = 2x + 4 | - 2x + 18 x = 22 ===== Ganz ohne Bruchrechnen.

[@reinhardeley7573]

geht einfacher: die Lösungen nur im Nenner für x einsetzen und schauen, ob Null rauskommt.

[@goldfing5898]

@@reinhardeley7573 Verstehe ich nicht. Wie kann man die Lösungen für x einsetzen, bevor man sie bestimmt hat? Ich habe die Gleichung nach x aufgelöst (um die Kandidaten, nämlich 22, für die Lösungsmenge zu bestimmen, nicht um die "verbotenen Werte" für die Definitionsmenge zu finden. Die sind ja 2 und 6).

[@teejay7578]

Hat sie im Prinzip ja auch gemacht, die Multiplikation mit der 2 nur etwas später.

[@Thafold]

Hallo, ich glaube bei der Definitionsmenge ist dir ein Fehler unterlaufen. Du schreibst 2,6 (mit Komma) statt 2;6 (mit Semikolon) was bedeutet du meinst 2,6 und nicht 2 und 6. Dazu mussten wir das Ergebnis immer zweimal unterstreichen, sonst gibt's Punkte Abzug.

[@MathemaTrick]

Wenn Lehrer da Sonderwünsche haben, sollte man sich natürlich dran halten. Ansonsten ist die Notation in der Mathematik grundsätzlich völlig normal, dass man in Mengen Kommas benutzt. Das wird dann aus dem Kontext klar, dass man 2 und 6 meint. Das sind ja auch die Ergebnisse, die man vorher rausbekommen hat. 😊

[@danielgrana7487]

1. Den Nenner auf beiden Seiten der Gleichung eleminieren und dann nach x auflösen. Als Ergebnis kommen dann 2 Lösungen heraus. 2 und 22. Die erste ist falsch, da diese den ersten Nenner zur 0 werden lässt. Mit Probe ist die zweite Lösung richtig.

[@reinhardeley7573]

Das entspricht wohl auch meiner Lösungsvariante: - über kreuz multiplizieren - Klammern auflösen - so entstandene quadratische Gleichung in die Normalform überführen und mit der sog. "p-q-Formel" lösen - ergibt auch 2 und 22 - selbstverständlich Lösungen überprüfen, ob sie keine Division durch Null ergeben. Damit fällt 2 raus, also x=22

[@teejay7578]

Jede Lösung, die keine Nenner-Nullstelle ist, ist richtig - es sei denn, du hättest dich verrechnet.

[@dimimurik3970]

1. Schritt - quasi "Entfaltung": (3x-6)(x-6)=(2x-4)(x+2) => 3x^2-24x+36 = 2x^2-8 => x^2-24x+44=0. 2. Schritt - Diskriminante-Formel anwenden und dann die Lösung (zwei Werte!): x1 = 22, x2 = 2.

[@psdl1337]

Sitze hier um 23:51 und sollte mal mein Leben überdenken... Aber ich habe umgeformt und die pq Formel benutzt: L={22;2} !

[@dirkreisige4628]

Mit meinem Abiwissen von 1991 hätte ich die Pq Formel angewendet 😉

[@m.r.3912]

Ich nicht. Ich muss leider ja sowas im Alltag nicht verwenden. Da geht nach über 30 Jahren doch das eine oder andere verloren, wenn man es nie benutzt. Ich erinnere mich aber gut daran, dass ich vor 10 Jahren immerhin noch die Klassenarbeit zu Kohlenwasserstoffen, die mein Schwager mit seinen Realschülern geschrieben hat, mit einer 1 bestanden habe.

[@m.h.6470]

Lösung: Das erste was man bei Bruchgleichungen machen muss, ist die Lösungsmenge einzugrenzen: Die Nenner dürfen nicht 0 sein, daher ist 2x-4 = 0 und x-6 = 0 nicht erlaubt. 2x - 4 = 0 |+4 2x = 4 |:2 x = 2 x - 6 = 0 |+6 x = 6 Die Lösungsmenge darf also weder 2 noch 6 enthalten. Das zweite was man machen sollte, ist Faktoren ausklammern: (3*(x-2))/(2*(x-2)) = (x+2)/(x-6) Dadurch fällt nämlich schnell auf, das man auf der linken Seite den Term (x-2) direkt kürzen kann: (Darf man machen, da x nicht 2 sein darf) 3/2 = (x+2)/(x-6) Jetzt multipliziert man mit dem Nenner des rechten Terms (x-6): (Darf man machen, da x nicht 6 sein darf) 3/2 * (x-6) = x+2 3x/2 - 18/2 = x+2 |*2 3x - 18 = 2x+4 |-2x+18 x = 22

[@kaltaron1284]

Inwiefern ist fuer das Kuerzen relevant, dass x nicht 2 sein darf?

[@m.h.6470]

@@kaltaron1284 Wenn x = 2 wäre, wäre der Bruch: (3*0)/(2*0) also 0/0 und das ist offensichtlich nicht das gleiche wie 3/2, denn 0 darf man nicht kürzen.

[@teejay7578]

@@m.h.6470 Mit (x - 6) multiplizieren darf man auch, wenn x = 6 ist; es ist dann nur keine äquivalente Umformung.

[@m.h.6470]

@@teejay7578 Mit anderen Worten, es ist keine Gleichung mehr... Wie der Name schon sagt "Gleich"-ung, d.h. beide Seiten sind GLEICH. Wenn es keine äquivalente (Fremdwort für "gleichmäßige") Umformung ist, sind die beiden Seiten nicht mehr gleich. Wir brauchen aber eine Gleichung, um den Wert berechnen zu können.

[@teejay7578]

@@m.h.6470 Def. Gleichung: Linke Seite = Rechte Seite Def. Ungleichung: Linke Seite /==/ Rechte Seite Def. Äquivalente Umformung: (Un-)Gleichung 1 (Un-)Gleichung 2; bedeutet insbesondere, dass die Lösungsmengen beider (Un-)Gleichungen identisch sind und die Rechenoperation, die von (Un-)Gleichung 1 zu (Un-)Gleichung 2 geführt hat, wieder rückgängig gemacht werden kann. Bei der Multiplikation mit 0 ist das nicht mehr gegeben: Gleichung 1 | * 0 => 0 = 0; der Folgepfeil gilt hier nur von links nach rechts, eine Äquivalenz liegt nicht vor. Denn die Rückumformung ist nicht möglich, da die Division durch 0 verboten ist. Und die Lösungsmenge ist auch nicht mehr zwingend identisch, da "0 = 0" immer für jedes x erfüllt ist, während die Lösungsmenge von Gleichung 1 kleiner sein konnte. Aber selbstverständlich ist "0 = 0" immer noch eine Gleichung, bei der beide Seiten nicht gleicher sein könnten, denn sie sind sogar unabhängig von x immer gleich. Eine Ungleichung ist "0 = 0" keinesfalls. In der Sache hast du ja Recht, aber die Begriffe verwendest du falsch.

[@DiamondMcNamara]

Wo um des Osterhasen willen kommt solch eine Gleichung im praktischen Leben vor??

[@maxi7322]

Nirgendwo

[@dirkpfeiffer1686]

Dirk

[@g.s.1625]

Hallo Susanne, müssen denn am Anfang nicht beide Seiten durch x-2 geteilt werden. Das irritiert mich insofern, als beide Seiten immer gleich bearbeitet werden müssen. küsse Gaby

[@MathemaTrick]

Liebe Gaby, wir kürzen den Bruch auf der linken Seite ja nur. Also wir vereinfachen erstmal die eine Seite für sich. Das ist so wie wenn auf der linken Seite sowas wie 3x+2x-6 stehen würde. Dann kann man daraus erstmal 5x-6 machen, ohne dass man auf beiden Seiten der Gleichung irgendwas anpasst. Hilft dir das? 😊

[@anestismoutafidis529]

Sieht einfacher aus, als sie ist.

[@61tcat]

klar muss man die x=2 als Lösung herausnehmen. Bei einer gebrochen rationalen Funktion wäre die x=2 jedoch eine behebbare Definitionslücke, weil (x-2) sich herauskürzt. Es ist nur seltsam, dass beim Einsetzen nur Mist herauskommt (3/2=-1). Warum eigentlich?

[@markusheigl22]

Wenn du einsetzt, erhältst du nicht 3/2 = -1, sondern 0/0 = -1. Du musst immer in die Ausgangsgleichung und nicht in einen Zwischenschritt einsetzen. Man kann es sich auch so erklären, dass man beim kreuzweisen multiplizieren mit den Nennern mit 0 (2x - 4 ist für x=2 ja 0) multipliziert hat. Dann steht da 0 * irgendwas = 0 * irgendwas. Das ist immer eine wahre Aussage, aber Quatsch. So könnte ich aus jeder falschen Aussage immer eine wahre Aussage machen. Deswegen ist ja die Multiplikation mit 0 ist nicht erlaubt.

[@avarion9538]

-2 würde auch nicht gehen. Nicht nur 2 x 2 -4 = 0, sondern auch 2 x (-2) -4 = 0 , oder nicht?

[@thomaspolasik6235]

Lösungsmenge ist 22, weil D=R ohne 2 und 6.

[@dmnkhs]

Die 2 ist allerdings eine hebbare Definitionslücke

[@hans7831]

Sieht man die linke Seite der Gleichung als Funktion, so ist deren Graph einfach y = 3\2, also ohne jede Unstetigkeit. Als Lösungsmenge kommt die 2 trotzdem nicht in Frage.

[@paulkellerman8936]

du ist eine Göttin, Susi! @}-;---'---

[@wolfgangbalu1253]

guten Hunger

[@paulkellerman8936]

@@wolfgangbalu1253 ??

[@kaltaron1284]

@@paulkellerman8936 Du hast "ist" statt "bist" geschrieben, was aber auch nicht "isst" ist. Schreibt sich das noch mit sz? Hab das Zeichen eh nicht auf der Tastatur.

[@paulkellerman8936]

@@kaltaron1284 hi, speak english please😉

[@paulkellerman8936]

@@kaltaron1284 im rus speaker from Blr

[@Cix._]

"Aus Differenzen und Summen kürzen nur die Dummen" Hm bin ich anscheinend, habs nämlich versucht XD

[@vosch8229]

Mir hätte es besser gefallen, wenn in der Aufgabe die 5 statt der 6 nicht in der Definitionsmenge gewesen wäre. Frei nach Monty Pythons Ritter der Kokosnuss: "die 5 scheidet völlig aus!"

[@mhhhfunnay]

krass

[@Caligula_]

Formal hast du eine nicht erlaubte Definitionsmenge von 2,6 anstatt von 2 und 6. Da muss doch ein Semikolon anstatt dem Komma hin.

[@MathemaTrick]

Nee, die Elemente einer aufzählenden Menge können entweder mit einem Komma oder mit einem Semikolon getrennt werden. Das ist Geschmacksache und meiner Erfahrung nach wird tatsächlich häufiger mit einem Komma getrennt. 😊

[@Caligula_]

Ok. Aber wie stellst man dann sicher, dass keine Missverständnisse entstehen. Mein Mathelehrer hätte mir eiskalt wg. der Komma/Semikolon-Sache garantiert 1-2 Punkte abgezogen

[@MathemaTrick]

Das wird ja normalerweise aus dem Kontext klar. Wir haben vorher zwei Ergebnisse raus, die wir ja einfach nur sammeln. Ansonsten kann man es mit etwas Platz aufschreiben oder falls es doch Kommazahlen sein sollen, dann eben ein Semikolon zur Trennung verwenden. Die eine Schreibweise z.B. ist genauso richtig wie die andere: { 1,2 , 3 } = { 1,2 ; 3 }

[@reinhardeley7573]

@@MathemaTrick O.k. - aber Semikolon beugt allen Missverständnissen vor und ist deshalb aus meiner Sicht zu bevorzugen.

[@Tino731007]

x=10

[@Sitimeee]

Man kommt schneller zu der Lösung, wenn man diese Gleichung löst 3. (x-6)=2. (x+2) :)

[@BloxxingDinosaurus]

Also, äh, auf jeden Fall kann x weder 2 noch 6 sein. Das war's auch schon von mir, tschüss.

[@wolfgangbalu1253]

tolle Leistung

[@abyssost4523]

3(x-6)=2(x+2) dann 3x-18=2x+4 X=22 geht schneller 😂

[@user-og7ty2tu2s]

nee kann ich net

[@barbaralosch1829]

Das habe ich schon als Schülerin nicht kapiert und kapiere es heute immer noch nicht!!!°

[@Drunken_Butterfly]

Verstehe ich jetzt nicht... in der Definitionsmenge wurde doch festgestellt dass 2 nicht Teil der Lösung sein darf und in der Lösung haben wir sogar zwei Zweien nacheinander.🤣

[@mariannereiz1178]

🤩

[@tugaykaya7738]

Meine Sinne sagen mir, dass es sich um einen Dad-Joke handelt

[@beerberger5461]

Das is dann ja gleich zwei mal nicht erlaubt

[@andycanasius]

Das ist mir auch direkt aufgefallen

[@Rollkragenpullover]

@@beerberger5461 Zweimal nicht erlaubt ist dann womöglich minus mal minus und damit wieder plus, also erlaubt?! 😄

[@Ni1234ckA]

*viel einfacher und schneller ist es* ab :3/2= x+2/x-6 den gesamten bruch mit dem *kgv:2.(x-6)* zu multiplizieren 3/2 = x+2/x-6 I.2.(x-6) ergibt bruchfrei dann: 3(x-6) = 2(x+2) ergibt ausmultipliziert 3x -18 = +2x +4 jetzt alle x auf der linken seite und alle zahlen auf der rechten seite bringen: 3x -2x -18= +4 x = +4 +18 *x = 22*

[@Beutelipper]

Ich hätte nach dem Kürzen über Kreuz multipliziert, um den (hässlichen) Bruch loszuwerden.

[@de00001]

Ich werde mich nie daran gewöhnen, dass man Schülern erklären muss, was z.B. 3/2 - 1 ist, ich meine, mit dem Umweg über Eintel. 3/2 ist für mich 1 1/2 (oder 1,5), und minus 1 ergibt für mich dann direkt 1/2 (oder 0,5). Kennt man gemischte Brüche nicht mehr? Werden unechte Brüche nicht mehr so zerlegt? Ist das für Schüler heutzutage wie Magie und unbegreiflich? Klärt mich auf ;-)

[@hans7831]

Ja, geht auch, solange es nicht so aussieht: 5 4\7- 3 5\7.

[@theofuhrmann1984]

Gewöhnen oder nicht, man muss die Schüler akzeptieren, wie sie sind, und es dann auch machen - das Erklären der vermeintlich einfachen Schritte. An dieser Stelle möchte ich Susanne loben, weil sie das immer ausführlich macht, und jeden erkLEHRER auffordern, sich ein Beispiel daran zu nehmen ;-)

[@markzockerzwerg8997]

Mit etwas Erfahrung würde man die Gleichung sofort auf beiden Seiten mit 2 multiplizieren und so alle Brüche vermeiden.

[@de00001]

@@markzockerzwerg8997 Was soll das bringen, mit 2 multiplizieren?? Der Bruch auf der rechten Seite lässt sich dadurch nicht eliminieren. Oder versteh ich da was falsch?

[@kaltaron1284]

@@de00001 Man kommt dann nie auf den Schritt mit 3/2. Kann man machen, wenn man Brueche nicht mag, ich fand es unnoetig.

[@derterraner]

Das war eine 20 Sekunden Aufgabe :-).

[@Leirix61]

*rofl* Die Lösungsmenge ist für die Lösung vollkommen irrelevant.

[@vanessasalwai3072]

Finde sie kann nicht erklären viel zu kompliziert

[@saif_2802]

Lehrer Schmidt >>> 🗿

[@dirkpfeiffer1686]

Dirk