Wie lang ist die Kurve? - BOGENLÄNGE einer Funktion berechnen

[@MathemaTrick]

*Mein komplettes Equipment* ➤ mathematrick.de/mein-equipment _____________________________________ Meine Wunschliste: mathematrick.de/wunschzettel

[@Caleena1989]

Immer wieder schön, dass bei Schulaufgaben alles aufgeht und schöne Lösungen rauskommen. Davon kann man im Studium leider nicht mehr ausgehen 😉

[@kaptnkirk2740]

oder in der Wirklichkeit erst...

[@silvanadamini9122]

Ach Schule ist doch auch langweilig, wenn man einfach eine Nullstelle raten kann etc.

[@Hexer1985]

Die Bogenlänge ist eigentlich schon fast keine Schulaufgabe mehr.

[@Caleena1989]

@@Hexer1985 Meistens wird in den Abituraufgaben die entsprechende Formel dazu angegeben. Und dann ist das durchaus lösbar. Ohne Formel natürlich nicht 😉

[@philippbo9050]

Sehr schöne Aufgabe! Bei der Anwendung der zweiten binomischen Formel unter der Wurzel wäre eine Überprüfung noch ganz hilfreich gewesen, um zu zeigen, dass der 2ab-Teil auch wirklich die 1/2 ergibt. So haben wir nur auf die Aufgabenstellung vertraut. :)

[@Oestemer]

genau - das wurde vergessen!

[@goldfing5898]

Diese Funktion f(x) = (e^x + e^(-x))/2 wird auch cosh(x) bzw. Cosinus Hyperbolicus genannt (die Kurve auch "Kettenlinie", weil sie wie eine Kette durchhängt, die in zwei Punkten aufgehängt ist). Und die Ableitungsfuntion davon, f'(x) = (e^x - e^(-x))/2 wird auch sinh(x) bzw. Sinus Hyberbolicus genannt. Und so, wie man aus dem Sinus durch mehrmaliges Ableiten einen Viererzyklus bilden kann: sin(x) cos(x) -sin(x) -cos(x) sin(x) ... usw. so kann man aus dem Sinus Hyperbolicus durch mehrmaliges Ableiten einen Zweierzyklus bilden: sinh(x) cosh(x) sinh(x) cosh(x) ... usw. Wie man aus den e-Darstellungen von sinh und cosh leicht ersehen kann, ist der Sinus Hyperbolicus eine ungerade Funktion, also punktsymmetrisch zum Ursprung: sinh(-x) = -sinh(x), und der Cosinus Hyberbolicus ist eine gerade Funktion, also achsensymmetrisch zur y-Achse: cosh(-x) = cosh(x). Außerdem gibt es ein Analogon zum Additionstheorem cos^2(x) + sin^2(x) = 1, nämlich cosh^2(x) - sinh^2(x) = 1. Und genau dieses kommt in der Berechnung der Bogenlänge zum Tragen.

[@josefstr]

Danke!

[@Oestemer]

nur sind diese Hyperbolicusfunktionen den Kindern - danke Taschenrechner - so bekannt wie die Rückseite des Mondes.

[@CB-yh3ov]

Bei ungefähr 11:00 hat mir noch die Überprüfung gefehlt, daß 2ab=+1/2 ist. Von der Systematik war es vorher schon einmal erklärt. Ich hätte es an der Stelle aber auch nochmal gegengeprüft.

[@GeroldSturm]

Die Längenformel kannte ich gar nicht; eine Herleitung dieser Formel würde mich noch interessieren. Mit lieben Grüßen, der alte Mathe-Lehrer 🙂

[@maikmeier5032]

Wollte gerade das gleiche schreiben. Ein Video zur Herleitung der Formel wäre grandios!

[@novidsonmychanneljustcomme5753]

Kurzer Umriss einer Herleitung: Zwischen 2 Punkten auf der Kurve liegt entlang der x-Achse die Distanz Delta(x) und entlang der y-Achse die Distanz Delta(y). Nach Pythagoras ergibt sich die Länge dieser Sekante entlang des Dreiecks zu Wurzel((Delta(x))^2+(Delta(y))^2). Je mehr und kürzere Sekanten, bzw. Sekantenabschnitte dieser Art wir in das entsprechende Intervall legen und aufsummieren, desto mehr nähern wir uns dem exakten Wert an. Der Grenzübergang erfolgt, wenn die Sekantenabschnitte zwischen zwei Punkten infinitesimal klein werden (und die Sekanten de facto zu Tangenten), d.h. die Seitenlängen ihrer zugrunde liegenden rechtwinkligen Dreiecke sind dann dx und dy und aus der Wurzel oben wird Wurzel((dx)^2+(dy)^2). Es sind nun also unendlich kleine Sekantenabschnitte, dafür unendlich viele davon im entsprechenden Intervall. Eine unendliche Summe über unendlich kleine Elemente wird damit zum Integral. Genauer gesagt zum Integral(Wurzel((dx)^2+(dy)^2)) im entsprechenden Intervall. Klammern wir in der Wurzel (dx)^2 aus und wenden Wurzelgesetze an (für a, b reell und nicht-negativ: Wurzel(a*b)=Wurzel(a)*Wurzel(b) sowie Wurzel(a^2)=a), erhalten wir Wurzel(1+(dy)^2/(dx)^2)*dx = Wurzel(1+(dy/dx)^2)*dx. dy/dx ist wiederum gleichbedeutend mit der ersten Ableitung und damit folgt die entsprechende Formel. 🤓

[@rkalle66]

Die Herleitung geht via Pythagoras. Man zerlegt die Fläche unter der Kurve in dx-breite Abschnitte (wie beim Integral selbst auch), betrachtet die Steigung jeweils zwischen x und x+dx und berechnet im Dreieck über den Abschnitten jeweils die Hypothenusenlänge. Ergebnis: eine Kathete hat dx, die andere ist gleich der Steigung -> f'(x) ... Hypothenuse -> Wurzel über eine Summe aus Quadraten: erste Quadrat ist 1², zweite ist (f'(x))². Voila: Genau die Wurzelformel. Über alle Hypothenusenlängen wird integriert (summiert mit dx gegen null).

[@alexich963]

@@rkalle66 Danke für die tolle Erklärung!

[@hantheken8801]

@@novidsonmychanneljustcomme5753 👍 super erklärt. Danke.

[@ede320d3]

Aufgabe verdammt kniffelig aber wie immer sehr schön und Ingenieursicher erklärt 😅 Hervorragende zusammenfassung von integral, Ableitung, Potenzgesetz….also mal wieder danke fürs Training der grauen Zellen. 👍 Edit: wie ich immer wieder scheitere weil ich zu viel im Kopf mach- hier das 1/2, da das zwei vergesse weil ich denk: klar mach ich im Kopf. Nein Leute es ist sicherer alles brav wie hier in den Videos gezeigt alles kleinschrittig aufzuschreiben Die Formel mit der Länge wusste ich nicht mehr, aber hatte die mal im Studium irgendwann. Es dämmerte was

[@rainerpust6813]

Auch wenn ich mal wieder nicht alles verstanden habe......es macht mir einfach Spaß, Dir zuzuhören und zumindest ansatzweise zu versuchen - es zu verstehen 👍 Mathe ist doch schön.

[@lamprete]

Wenn man so ausführlich erklärt, fehlt bei 11:36 noch der Schritt, dass 2ab = 2*1/2*e^x*1/2*e^(-x) = 1/2*e^(x-x) = 1/2 ist. Ansonsten eine schöne Aufgabe super erklärt!

[@janfloh9549]

Das war auch meine Frage.

[@ibrahimkesikbiyik3349]

... super aufgepasst!!! Daher betrachte ich das Ergebnis als "falsch", so leid es mir tut! Oder.... ? Längenformel war mir auch nicht bekannt, danke ... wieder was gelernt💥👌!

[@hansoberlack7346]

Das Ergebnis ist nicht falsch. Die Herleitung wäre deutlicher geworden, wenn zunächst das 1/2 als 2/4 dargestellt worden wäre. Dann kann man 1/4 als 1/2 vor die Wurzel ziehen und behält in der Wurzel eine 2, die mit der 2 in der binomischen Formel korrespondiert.

[@lowenzahn3976]

11:40 Hier hat mir die Gegenprobe gefehlt, dass da im Mittelteil auch wirklich wieder 1/2 rauskommen würde.

[@MathemaTrick]

Ja das stimmt, das hätte ich noch erwähnen sollen. 😊

[@lowenzahn3976]

"Das ist o.B.d.A. trivial und dem Zuschauer als Hausaufgabe überlassen"

[@teejay7578]

@@MathemaTrick Der Mathema-Trick 😉wäre an dieser Stelle gewesen, die Erklärung, dass e^x * e^-x = 1 ist, nicht dazu zu nutzen, den Ausdruck in der Mitte zu eliminieren, sondern die vorne stehende 1 als e^x * e^-x darzustellen und dann die beiden Ausdrücke zu 1/2 * e^x * e^-x zusammenzufassen. Dann wäre sofort für jeden sichtbar gewesen, dass das mit der ersten binomischen Formel so hinhaut. 💡

[@FHA1971]

Gut , dass Du das schreibst, wollt ich auch anmerken.

[@markslowhand4214]

Ja genau, hatte ich auch drauf hingewiesen. Aber schaut mal wie aggressiv dieser Patrick Patrick auf meinen Hinweis reagiert hat. Rein interessehalber, kann man solche Leute hier entfernen? Ich befürchte sie machen das Forum mit der Zeit kaputt.

[@walterschade6312]

Tolle Sache! Das ist die Kettensinie. Die ergibt sich zum Beispiel bei einem durchhängenden Seil. Mir hat nur in 12. Minute der Hinweis gefehlt, dass das "1/2" dem "2ab" entspricht, und es aus diesem Grund verschwindet. Aber trotzem sehr erhellend. Danke schön!

[@markslowhand4214]

Liebe Susanne, wie immer toll erklärt aber du hast leider eine Kleinigkeit vergessen. Wenn man versucht, einen quadratischen Ausdruck mit einer der binomischen Formeln zu "matchen" reicht es ja nicht, dass man nur zu den beiden quadratischen Thermen die Basen a und b ermittelt sondern man muss mit diesen beiden Werten für a und b auch den gemischten Term in der Mitte gegenchecken. Falls der gemischte Therm, der sich dann aus a und b ergibt nicht genau der ist, den man selbst da stehen hat, muss man Korrekturausdrücke hinzuaddieren. In diesem Beispiel haben wir Glück und es passt genau aber man muss das unbedingt überprüfen. Hätte es nicht gepasst wäre die Aufgabe nicht so einfach zu lösen gewesen. (siehe bei etwa 11:42)

[@nnnn-mz5fm]

Vor 40 Jahren das letzte Mal so eine Aufgabe gesehen und Dank Deiner sympathischen Art, die Lösung zu präsentieren, mein Gehirn wieder auf Vordermann gebracht. Danke !!

[@lillirost5256]

Du bist einfach toll!❤️ Dank dir habe ich eine richtige Begeisterung für Mathe.

[@MathemaTrick]

Das freut mich sehr! 😍

[@Daniel_59]

Hallo! Ich verfolge Dich schon lange! Du macht das echt gut und erklärst alles perfekt verständlich! Respekt dafür! Mein Lieblingsbereich bei der Mathematik war immer Vektoranalysis und Differentialgeometrie, da ich Strömungsmechanik studiert habe. Kannst Du auch mal Aufgaben zu diesen Themen bringen. Mir ist klar, dass dann das Niveau ein bisschen höher ist, aber es schauen Dich auch viele Leute mit gutem Vorwissen. VG Daniel

[@daniel1wengler]

Liebe Susanne, kann nicht sagen wie dankbar ich bin. Bei der Matura und im Studium rettest du mich immer wieder mit deinen Videos! Wünsch dir eine guten Start ins neue Jahr und alles liebe 😊

[@MathemaTrick]

Hey Daniel, freut mich riesig, dass ich dir mit meinen Videos so gut weiterhelfen kann!! 😍

[@jurgenpfister8297]

Super Video wie immer! Man hätte vielleicht noch erklären können, dass man diese Art der Aufgabenstellung ständig in der Praxis hat, z.B. wenn man die Länge von Hochspannungsleitungen zwischen den Masten berechnen muss (Kettenlinie).

[@sologub1905]

Dazu haben wir früher immer Tabellen/Monogramme verwendet. Input: Mastabstand und Temperatur. Ausgang: Seillänge

[@Olaf_Schwandt]

Ich würde bei der Zusammenfassung zu (a+b)² --> 2ab überprüfen (nach 11:00) und bei 11:42 eine Klammer schreiben

[@jorgheinecke3856]

an der Stelle musste ich auch mal genauer Hinschauen, stimmt aber.

[@uwereichert9158]

Hi Susanne, ein total cooles Thema mit der Berechnung der Bogenlänge einer Funktion, was mir bis dato völlig unbekannt gewesen ist. Habe mir auch mal rein spaßeshalber den mathematischen Beweis hierzu aus dem Internet herausgesucht. Da wird einem als Nichtmathematiker schon etwas schwindelig. Vielen Dank für dieses, sicherlich nicht nur für mich, hochinteressante mathematische Thema!

[@daniorerio5566]

11:30 Leider hast du vergessen zu zeigen, dass 2 x a x b wirklich das 1/2 ist was in der binomischen Formel noch übrig ist .

[@JensBroos]

Gute Erklärung, danke sehr. Was mir ja immer in Vorlesungen gefehlt hat und auch hier im Video, sind Anwendungsfälle warum ich die Länge berechnen möchte. Also das "why".

[@amostheking]

Wenn man mathematisch schon in derlei Regionen (Kurvenlängen-Bestimmung) vorgedrungen ist, denn kennt man vielleicht auch cosh²(x) - sinh²(x) = 1 sinh'(x) = cosh(x) bzw ʃ sinh(x) = cosh(x)+C cosh'(x) = sinh(x) bzw ʃ cosh(x) = sinh(x)+C damit ließe sich die Aufgabe elegant lösen.

[@phonixausderasche538]

👍👍👍 danke, das hat großen Spaß gemacht!

[@MrADex]

Moin! Und nochmals vielen Dank für diese und alle anderen perfekt erklärten Mathe Videos

[@thomasroese7887]

Tolle Idee die Gedankenspiele wieder aufzufrischen bzw. die Ansätze erst einmal zu finden

[@renekoelzer2328]

Liebe Susanne, diese nicht ganz einfache Aufgabe, hast Du super schön detailliert erklärt. Von der Längenformel habe ich allerdings noch nie etwas gehört. Dankeschön und viele Grüße!

[@silvanadamini9122]

Die Längenformel habe ich mir ziemlich einfach herleiten können ich: Der unendlich kleine Abstand der Kurve nenne ich mal dl und die Länge L dl²=dx²+dy² wäre der Satz des Pythagoras. dl²=(1+(dy/dx)²)×dx² Das Distrubitivgesetz... Da ich hier keine Wurzel schreiben kann, schreibe ich w(). Außerdem ist (dy/dx)² die Ableitung ins Quadrat. Ich nenne sie (f'(x))². Also dl=w(1+(f'(x))²)×dx Wenn man jetzt die Summe i=1 bis unendlich bildet und die Untergrenze+i×dx in (f'(x))² für x einsetzt um die Summe aller Strecken zwischen den Grenzen zu finden und man das dx grenzenmäßig dementsprechend anpasst, hat man die Definition eines Integrales in Form einer Summe.

[@timurkodzov718]

@@silvanadamini9122 Etwa genauso habe ich mir sie auch hergeleitet. Bist du Physiker? (frage nur anhand deiner Herleitung).

[@silvanadamini9122]

@@timurkodzov718 Nein, ich gehe noch in die EP, also 10te Klasse, was ich stark bedauere, weil ich bereits Laplace-Transformation etc. recht gut kann. Ich bin soweit gekommen, ohne wirklich Themen zu überspringen, und Analysis ist nicht die einzige Fähigkeit von mir. Ich möchte später den Grade des Doktors und des Professors in der Physik und Mathematik erreichen. Haben Sie vielleicht Tipps?

[@timurkodzov718]

@@silvanadamini9122 Tipps habe ich leider so direkt nicht, aber als ich damals in Düsseldorf studierte, kannte ich einen, der sein Abitur gemacht hat und parallel Mathematikvorlesungen besuchte.

[@timurkodzov718]

@@silvanadamini9122 Das Problem ist nur, ich schaffe es nicht den Link seiner Webseite in dem Kommentar zu teilen. Aber bist du auch bei Instagram? Wenn du willst, kann ich dir vielleicht dort den Link teilen. Vielleicht könntest du ihn fragen, wie man die Schule und die Uni gleichzeitig besuchen kann.

[@Largo-cy3rg]

Besten Dank, keine Ahnung, ob ich auf die ganzen Schritte je selbst gekommen wäre 😅👍

[@hans-jurgenkallweit2767]

Danke Susanne, Du warst super als Pfadfinderin für diese Aufgabe.

[@silvanadamini9122]

Die Längenformel habe ich mir ziemlich einfach herleiten können: Der unendlich kleine Abstand der Kurve nenne ich mal dl und die Länge L dl²=dx²+dy² wäre der Satz des Pythagoras. dl²=(1+dy²/dx²)×dx² Das Distrubitivgesetz Da ich hier keine Wurzel schreiben kann schreibe ich w(). Außerdem ist dy²/dx² die quadratische Ableitung. Ich nenne sie (f'(x))². Also dl=w(1+(f'(x))²)×dx Wenn man jetzt die Summe i=0 bis unendlich bildet und (untere Grenze=u) u+i×dx in (f'(x))² für x einsetzt um die Summe aller Strecken zwischen den Grenzen zu finden und man das dx grenzenmäßig dementsprechend anpasst, hat man die Definition eines Integrales in Form einer Summe.

[@quantenvakuum9197]

Riemann Integral, ja

[@robertjohn4899]

Sehr schön erklärt! Wie schon in vorigen Kommentaren angemerkt, würde auch mich die Herleitung der Längenformel interessieren. Beim Anwenden der ersten Binomischen Formel (rückwärts) hast du nicht darauf hingewiesen, dass das 2ab Element sich wie 30 Sekunden vorher ja aus dem E hoch X mal E hoch minus X ergibt (wie gibt man mathematische Exponentialnotation am Handy ein?) Vielen Dank für deine hervorragenden Videos!

[@novidsonmychanneljustcomme5753]

Kurzer Umriss einer Herleitung (da ich darauf schon unter einem anderen Kommentar eingegangen bin, erlaube ich mir einfach mal Copy&Paste :P): Zwischen 2 Punkten auf der Kurve liegt entlang der x-Achse die Distanz Delta(x) und entlang der y-Achse die Distanz Delta(y). Nach Pythagoras ergibt sich die Länge dieser Sekante entlang des Dreiecks zu Wurzel((Delta(x))^2+(Delta(y))^2). Je mehr und kürzere Sekanten, bzw. Sekantenabschnitte dieser Art wir in das entsprechende Intervall legen und aufsummieren, desto mehr nähern wir uns dem exakten Wert an. Der Grenzübergang erfolgt, wenn die Sekantenabschnitte zwischen zwei Punkten infinitesimal klein werden (und die Sekanten de facto zu Tangenten), d.h. die Seitenlängen ihrer zugrunde liegenden rechtwinkligen Dreiecke sind dann dx und dy und aus der Wurzel oben wird Wurzel((dx)^2+(dy)^2). Es sind nun also unendlich kleine Sekantenabschnitte, dafür unendlich viele davon im entsprechenden Intervall. Eine unendliche Summe über unendlich kleine Elemente wird damit zum Integral. Genauer gesagt zum Integral(Wurzel((dx)^2+(dy)^2)) im entsprechenden Intervall. Klammern wir in der Wurzel (dx)^2 aus und wenden Wurzelgesetze an (für a, b reell und nicht-negativ: Wurzel(a*b)=Wurzel(a)*Wurzel(b) sowie Wurzel(a^2)=a), erhalten wir Wurzel(1+(dy)^2/(dx)^2)*dx = Wurzel(1+(dy/dx)^2)*dx. dy/dx ist wiederum gleichbedeutend mit der ersten Ableitung und damit folgt die entsprechende Formel. 🤓

[@nicoledoll2772]

Ergänzung zu der anderen ausführlichen Antwort: Mit Wurzel aus (a² + b²) ist schon einmal klar, dass mit dem Satz des Pythagoras die Länge in einer Steigung beschrieben wird. Und mit der Ableitung als Steigung an jedem Punkt einer Funktion ergibt dann sich durch Integration die Bogenlänge.

[@teejay7578]

e^x ist die Exponentialfunktion. Diese hochgestellte Spitze sollte ein handelsübliches Smartphone eigentlich im Repertoire haben; alternativ kannst du aber auch exp(x) schreiben. Ja, da sie ansonsten jeden Pillepalle, den man zum Teil bei jedem, der sich mit solchen Aufgaben beschäftigen darf, voraussetzen können sollte, in aller Ausführlichkeit erklärt, war ich auch höchst erstaunt, dass sie die Erklärung, warum das 1/2 in der Mitte genau dem benötigten 2ab entspricht, komplett ausgelassen hat. An ihrer Stelle hätte ich das e^x * e^-x vorher gar nicht weggestrichen, sondern nach der Erklärung, dass das genau 1 ist, die vorne stehende 1 als e^x * e^-x dargestellt und dann die beiden Ausdrücke zu 1/2 * e^x * e^-x zusammengefasst; dann hätte es jeder gesehen.

[@Bob94390]

Great video! To make it even greater, a bit more could have been said about the formula for the length. Why is the formula like that? It must be possible to give some intuitive feeling so that we see why it has to be like that?

[@juniatamc]

Danke für die tollen Videos. Ich finde es nur etwas schade, dass nichts dazu gesagt wird, warum die Formel so aussieht. Als käme sie vom Himmel gefallen und als ginge es bei mathe darum, wie ein Roboter Arbeitsabläufe zu verrichten. Dabei kann man die Formel verstehen und begreifen, woher sie kommt.

[@chriseventy]

11:30 hier hätte man der Vollständigkeit halber noch kontrollieren sollen, ob das gemischte Glied (2ab = 1/2) auch hinhaut ☝

[@faberson4078]

Sehr schön. Das kannte ich noch nicht. Vielen Dank für die interessante Aufgabenstellung.

[@ohubdan9576]

Ein weiteres Dankeschön

[@guenternoack3481]

Liebe Susanne ,ich schaue mir gern Deine Beiträge an. Vor 38 Jahren hatte mich ein Kollege während der Arbeitspause gefragt , ob ich die Länge eines Parabelbogens berechnen kann. Ich sagte ,dass ich nur die Fläche unter dem Parabelbogen berechnen kann. Wir waren uns schnell einig dass hier ganz anderes gerechnet werden muss. Ich war nun sehr gespannt auf Deinen neuen Beitrag , besonders zu erfahren wie die Formel zur Berechnung für die Länge der Kurve entwickelt wird. Du bist ja nun von der fertigen Formel ausgegangen. Ich habe mir nun mehrmals diesen Beitrag angeschaut, besonders den Teil, als es darum ging, die Wurzel verschwinden zu lassen. Danach müsste zunächst einmal meines Erachtens 2ab nicht 1/2 sondern 1/8 sein. Es währe perfekt ( wirklich schön ) gewesen, wenn also vorher statt dem Summanden 1/2 der Summand 1/8 unter der Wurzel gestanden hätte. Wenn das stimmt, dann siehst Du ,dass ich mir gern Beiträge von Dir anschaue. Ich weiß nicht, Du sagst ja selbst, dass es schwierig ist, die Wurzel aus dem Integral herauszubekommen. Ich würde mich freuen, wenn Du mir antwortest .Es gefällt mir wenn Du von Deinen lieben redest. In dem Sinne, mach`s gut meine liebe !

[@the_verTigO]

1/2 ist schon richtig. Man kann zur Probe ja einfach die erste binomische Formel nochmal vorwärts anwenden. a² und b² sind denke ich klar und für 2ab ergibt sich: 2 * 1/2e^x * 1/2e^-x = 2 * 1/4 * e^(x-x) = 2/4 * e^0 = 1/2 * 1 = 1/2

[@guenternoack3481]

@@the_verTigO Herzlichen Dank für die Hilfe. Natürlich brauche ich nur die binomische Formel aus der richtigen Lösung ( nachdem die Wurzel aus dem Integral verschwunden war ) anzuwenden. Ich war völlig konfus. Habe immer wieder 1/4 mal 1/4 mal 2 gleich 1/8 gerechnet , mich daran gestört wo die 1/2 unter der Wurzel herkommen . . . Nach Deiner Richtigstellung war für mich alles klar.

[@siegfriedschudel7024]

Ja war ein Genuss! So schön wie damals 😻

[@SebastianStanta]

Danke!

[@krachenford9594]

Du bist die Größte!

[@hanshartmann8205]

Sehr gutes Beispiel! Das erste, dass ich nicht im Kopf lösen konnte :) Ich habe aber nie die Notwendigkeit gehabt, die Bogenlänge von einem Funktionsabschnitt zu berechnen. Die verwndete Funktion ist ja nicht gerade allgemein. Aber die Lösung ist verblüffend.

[@lasyx9786]

Der Funktionsgraph zeigt übrigens an, wie es aussehen würde, wenn ein Seil oder eine Kette zwischen zwei Punkten hängen würde. Die Funktion wird auch cosh genannt (Cosinus hyperbolicus). Es ist der gerade Anteil der e-Funktion.

[@hanshartmann8205]

@@lasyx9786 danke! Hätte ich eigentlich erinnern müssen :) doch ein Alter von 71 Jahren fordert seinen Tribut :)

[@matthiasburger2315]

Ich höre ihren gerne zu - Rechnen gewinnt auf diese Weise eine sehr entspannte Atmosphäre. Nur die Mathematik vor der Zauberformel fehlt mir hier ein wenig.

[@horstwerner4939]

Das Ding wäre deutlich einfacher gewesen, hättest du mit Hyperbelfunktionen operiert, weil natürlich die Ausgangsfunktion der cosh(x) ist .Die Dinger (sinh, cosh) sind ja bekanntlich gegenseitig Ableitung und Integral voneinander. In der Mitte wäre noch ein kleines Additionstheorem anzuwenden gewesen. Im Integral steht dann wieder der cosh, dessen Stammfunktion sinh ist, fertig. Das hätte vielleicht 2 bis 3 Minuten gedauert und keine 15.

[@waltertanner7982]

natürlich, bekanntlich, … fehlt noch „wie leicht zu zeigen ist“. Ich zB hätte damit nichts anfangen können, aber so bin ich mitgekommen.

[@fahrrad1950]

Peter Volgnandt Aufgaben zur Berechnung von Bogenlängen finden sich selten, weil sich die Integrale sehr schwer lösen lassen. Aber mit dem cosh geht das ganz gut. Auf der Schule hat man den meist nicht.

[@porkonfork2023]

noch nie von gehört. interessant.

[@markslowhand4214]

Noch ein Nachtrag, es wurde ja gefragt wie man zu der Formel kommt, denn ich hatte sie früher im Mathe Leistungkurs auch nicht kennen gelernt. Aber man kann sie leicht herleiten. Kann hier leider kein Bild malen aber ich versuche es mal in Worten. Man denkt sich die Kurve als unterteilt in eine Folge von vielen kleinen Verbundingsgeraden zwischen den Endpunkten dieser kleinen Bogenstücke. Diese jeweils "schräg" verlaufende Gerade (mathematisch heisst es eigentlich Stecke, sorry) bildet mit dem horizontal verlaufenden Treppenstückchen dx (Schrittlänge des Treppenstückchens) und dem senkrecht verlaufeden Teil dy (Höhe des Treppenstückchens) ein rechtwinkliges Dreieck und entspricht ungefähr der Länge des kleinen Teilstückchens der Kurve. Wenn wir die Unterteilung unendlich fein machen konvergiert dieser genäherte Wert genau gegen die tatsächliche Länge der Kurve (die Grundmethodik der Intergralrechnung). In dem Dreieck gilt dx² + dy² = dl² (Satz des Pythagoras). Was wir am Ende eigentlich berechnen wollen ist das Integral (ich schreibe es als "INT") dieser Teillängenstücke dl, also INT( dl ) von -2 bis 2. INT( dl ) = INT( WURZEL(dx² + dy²) ) Weil aber das dy = f'(x)*dx ist (Die Ableitung ist die Steigung und die gibt ja genau das Verhältnis zwischen Schritthöhe zu Schrittweite an) kann man auch schreiben: INT( dl ) = INT( WURZEL(dx² + (f'(x)*dx)²) ) = INT( WURZEL(dx² + (f'(x)*dx)²) ) = INT( WURZEL(dx² + f'(x)² * dx²) ) = INT( WURZEL(dx² (1+f'(x)²) ) ) = INT( WURZEL(1+f'(x)²) dx) Und das ist genau die Formel für die Länge der Kurve einer Funktion f(x).

[@sliquifier_ger3465]

Hallo MathemaTrick Team, Könntet ihr mal ein Video zu Tensoren, oder allgemein zur Tensorrechnung machen. Würde mich sehr freuen. MfG.

[@quantenvakuum9197]

Jede gute Quantenmechanik-Vorlesung zeigt auch, wie man mit Tensoren hantiert

[@derhausfreund5691]

Das Forum heißt Mathema TRICK - nicht mehr und nicht weniger. Man bekommt z.B. schöne / trickreiche Umformungen im Bereich der binomischen Formeln. Ob das dem Verständnis des Sachverhaltes dient, muß jeder sich mit sich ausmachen. Mir gefällt es.:-)

[@stefka5107]

Danke für die interessante Aufgabe.

[@MathemaTrick]

Sehr gerne! ☺️

[@yassirlahsini2684]

Kannst du bitte ein Video machen , wo du uns zeigst , wie man den Binomialkoeffizienten herleitet ?

[@heinerfeldscher7319]

Kompliziert aber toll.

[@Nico2171]

Gutes Video. Deine Videos haben mir echt geholfen bei der Vorbereitung auf meine erste Prüfung an der Hochschule (E-Technik) am Montag.

[@amostheking]

@Gehteuch Nichtsan ich auch nicht.

[@schnitzel2425]

Prost Mahlzeit, auf die Umformung wär ich alleine nicht gekommen :D

[@hada1945]

Stopp bei 11:42 - Wenn ich das richtig verstanden habe, wenden wir die oben rechts sichtbare binomische Formel von rechts nach links an. Bis hier hin wurde a^2 und b^2 verarbeitet, jedoch nicht 2ab. Zwischenschritt: Damit das Ganze funktioniert , müsste diese übrigen 1/2 oben mittig als Äquivalent zu diesen 2ab der rechts stehenden binomischen Formel verstehen. Dazu muß man einen Schritt zurück zur früheren Vereinfachung des vorher angewandten Binomes machen. 2ab ist dann wie folgt: 1/2 = 2 * 1/2*e^x * 1/2*e^(-x) denn erst dadurch ist sichtbar, dass (2) * (1/2*e^x) * (1/2*e^(-x)) dem Äquivalent von 2ab entspricht. Dies bedeutet nun, dass wir in der Tat erst zu diesem Zeitpunkt der Feststellung, dass das Äquivalent besteht gemäß des linken Teiles der binomischen Formel diesen Part des Termes vernachlässigen dürfen. Ich musste den Kommentar beim Schreiben auch etliche Male neu optimieren und hoffe, dass mein Zwischenschritt nicht zu mehr Verwirrung führt. Es hätte auch gehörig schief gehen können an dieser Stelle, was wieder für den Satz spricht, "Die Aufgaben sind so gemacht, dass es funktioniert. Ich habe die schlechte Erfahrung gemacht, dass GERADE IN DER KLAUSUR es EBEN NICHT funktioniert. *mega lach) Trotzdem vielen vielen Dank für die Längenformel einer Funktion. Ich hätte sie mir wahrscheinlich über irgendwas differential selbst herleoten müssen, kann diese aber sehr als Geschenk annehmen. Mein Daumen hoch hast Du auf alle Fälle und freue mich immer auf solchen Austausch. Es sind alles Bausteine, die uns unser Universum auf faszinierende Weise näher bringt. Ja, natürlich empfehle ich jedem Maler, sich das hier zu Gemüte zu führen, damit er auch die Farbe für die gebogenen runderen Wände gut kalkulieren kann oder der Elektriker, der die Länge der Leitung kennen muß. 😀

[@jurgenneugschwandtner928]

Eigentlich fehlt bei 11:42 der Beweis, daß 2.a.b = 2.e^x.e^(-x) = ½ ist und somit die binomische Formel hier angewendet werden kann, oder?

[@hada1945]

@@jurgenneugschwandtner928 ja, ich hätte es gerne dort gesehen. Deshalb habe ich mir wahrscheinlixh diese Lücke mit meinem Kommentar geschlossen. Allerdings hätte man das Problem nicht gehabt, wenn der Mittelteil des vorher benutzten Binomes nicht zusammengekürzt worden wäre.

[@hansoberlack7346]

Möglicherweise wäre es deutlicher geworden, wenn zunächst das 1/2 als 2/4 dargestellt worden wäre. Dann kann man 1/4 als 1/2 vor die Wurzel ziehen und behält in der Wurzel eine 2, die mit der 2 in der binomischen Formel korrespondiert.

[@oliverschulte427]

Du bist super ! :)

[@MathemaTrick]

Danke! 🥰

[@_H__T_]

@mathematricks: Streng genommen ist die Aufgabenstellung unvollständig: ohne Kenntnis der Wurzelformel für die Länge kann ich die Aufgabe nicht lösen. Und so gebräuchlich wie z.B. eine binomische Formel ist die ja nun nicht. M. M. n. hätte daher die Formel mit in die Aufgabenstellung gehört um die Erweiterung: "[...] unter Zuhilfenahme dieser Formel: {Formel ausgeschrieben}."

[@Manfred_Z]

Ich bin mittlerweile ein echter Fan deines Kanals (und von Dir), Du machst es echt derart gut: Die nette aufmunternde Ansprache, die ruhige und sehr strukturierte Herangehensweise, die technische Umsetzung in der Präsentation ...all das könnte gar nicht besser sein. Du machst großartige Arbeit und ich freue mich über jede neue Folge. Die "einfachen" Geometrieaufgaben sind immer wieder erhellend und spannend, aber gerade auch aus dem Bereich der Diffenenzial-/Integralrechnung ist jedes Video nützlich und trägt (zumindest bei mir) dazu bei, wieder altes Wissen aufzufrischen und zu vertiefen. Ich würde deinen Kanal auch als extrem spannend bezeichnen, da ich bei manchen Aufgaben echt gespannt bin wie der Lösungsweg sein könnte und wie man zu dem Ergebnis kommt. Vielen lieben Dank dafür und weiter so.

[@popogast]

Man hätte vielleicht darauf hinweisen können, dass f(x) symmetrisch zur y-Achse ist. Dann hätte man die Integralgrenzen auch zu [0;2] oder [-2;0] setzen und dann die Bogenlänge verdoppeln können.

[@teejay7578]

Das ist zwar richtig, hätte die Rechnung aber in keinster Weise vereinfacht. Von daher gab es dazu keinen Anlass.

[@quantenvakuum9197]

@@teejay7578 Das stimmt, aber den cosh x zu benutzen und die Identität cosh² x - sinh² x = 1 hätte die Rechnung vereinfacht.

[@lakehalbouabdelli4079]

Merci fuer das Liçht

[@jackydittrich9925]

Gut erklärt. Ich wäre niemals darauf gekommen. Aber als wir das in der Wurzel mithilfe der binomischen Formel zusammengefasst haben, damit sich die Wurzel weghebt, da hast du gar nicht kontrolliert, ob dein a und b in der Mitte auch 1/2 ergibt. Das müsste man im Zweifelsfall doch eigentlich machen, oder?

[@manfredquasten8828]

1/2*(e^x+e^-x)=cosh(x) und 1/2*(e^x-e^-x)=sinh(x) , cosh(x) ist sym. zur Ordinate , bei den Hyperbelfunktionen wird beim Ableiten und Integrieren aus sinh(x) cosh(x) und umgekehrt. Dann noch der Hyperbolische Pythagoras cosh^2(x) -sinh^2(x) =1. und den Wert von sinh(0), den kennt man , der ist 0 und dann ist dieses bestimmte Integral schlicht und einfach 2*sinh(2)= e^2 -e^-2 , d.h im Kopf zu berechnen. Integrieren ist immer eine Mischung aus Übung und natürlich auch Glück sich durch Wahl des geschickten Weges Arbeit und Fehler zu ersparen.

[@BenjaminSchiel]

Wenn man die Hyperbelfunktionen sinh(x) und cosh(x) sowie ihre Eigenschaften kennen würde, wäre diese Aufgabe super einfach zu lösen gewesen.

[@Rollkragenpullover]

Die 1. binomische Formel hätte ich kaum erkannt (bei Minute 11 ca.). Daß ½ da das 2ab ist, mußte ich mir erstmal klar machen (e hoch x mal e hoch minus x gleich 1 hattest Du ja zum Glück vorher ins Gedächtnis zurückgerufen.) In Minute 7 : 45 etwa weist Du ja auch auf den schlichten Zwischenteil, dort die 2, in der dort 2. binomischen Formel hin, was nach Deiner Aussage eher selten ist. Tolles Gehirnjogging. Vielen Dank! 👍😊👏🎶

[@markusstrobel4146]

Bei 11:44 fehlt die Kontrolle das 2ab auch den Wert 1/2 liefert, ohne dieses Kontrolle ist das ganze „Binom rückwärts“ nicht anwendbar, will sagen der nachfolgende Schritt darf erst umgesetzt werden nachdem man kontrolliert hat ob die Summe unter der Wurzel wirklich als Binom geschrieben werden kann. Bitte an passender Stelle noch einen Kommentar einblenden. Vielen Dank und herzliche Grüße 🖖

[@abcabc-vp3vj]

Mathe Aufgabe ! 5000 2500 1500 Schweiz kzbin.info/www/bejne/eanSqn6CYtuho7M

[@wolfwall8228]

Sehr schöne Aufgabe 👍

[@MathemaTrick]

Freut mich! :)

[@Beno_Schwammenhoefer]

Einfach top. Und eine verdiente 🌹 dafür 🖐️😃

[@thomasroese7887]

Was passiert mit dem 2 ab unter der Wurzel. Der Schritt zu 1/2 fehlt in der Erläuterung vielleicht ?

[@thomasweber7444]

Schade, dass nichts zur Längenformel gesagt wird. Ohne Hintergrundwissen ist das nicht sehr lehrreich. Müsste ja nicht eine komplette Herleitung sein, aber was sind die Grundgedanken.

[@hardyflor6410]

Wo ist die Prüfung bei 11:43 mit den 1/2 für 2ab?

[@anestismoutafidis529]

Das Herleiten der Formel fand ich auch schwierig, obwol ich mir vorher andere Beispielaufgaben angeschaut hatte. Letztendlich stimmt meine Bogenlänge.

[@alibutt02]

Könntest du bitte Videos zum Impliziten Differenzieren hochladen!!! Habe bald meine Mathe Klausur im Maschinenbau. Wäre mega, danke im Voraus !!

[@phonixausderasche538]

Liebe Susanne, was macht man bei Kurvenlängen-Aufgaben, wenn man die Wurzel nicht weg bekommt, wie bestimmt man dann die Stammfunktion F(x)?

[@markslowhand4214]

Das ist ja leider nicht immer möglich Stammfunktionen für einen Wurzelterm zu bestimmen, das müsste man also im Einzelfall anschauen.

[@alekin85]

Warum sind das 7,25 Längeneinheiten? Wie kommt man darauf?

[@maxmantycora5132]

Hier 11:34 war der "+2ab" nicht nachgeprüft, oder ? (Glücklicherweise, wenn wir es prüfen, passt es schon)

[@caroliensche13]

Alles richtig und ausführlich erklärt, außer der Teil mit dem mittleren Term der ersten Binomischen Formel, der ist irgendwie verschütt gegangen. Es war doch noch die 1/2 unter der Wurzel.

[@quantenvakuum9197]

Also ich hätte jetzt einfach den cosh x benutzt und die Identität cosh² x - sinh² x = 1. Dann verschwindet die 1 unter der Wurzel, es bleibt nur noch cosh² x stehen und man berechnet abschließend das Standardintegral ^^

[@FinoMaler]

Wir halten bis zum Schluß durch 😀

[@MathemaTrick]

So muss das sein! 😜

[@ma.fr02]

Auch bekannt als Cosinus hyperbolicus.

[@novidsonmychanneljustcomme5753]

So ist es - und wer das weiß, hat einen entscheidenden Vorteil, denn mit den bekannten Zusammenhängen (cosh(x))^2-(sinh(x))^2=1, woraus folgt Wurzel(1+(sinh(x))^2)=cosh(x), und (sinh(x))'=cosh(x) geht alles noch viel schneller. 😛

[@waltertanner7982]

@@novidsonmychanneljustcomme5753AnscheineNd wissen das nicht mal alle Ingenieure.

[@christianwiese9887]

also wenn man "einfach so" die formel für bogenlänge voaussetzt, kann man doch einfach so auch den cosh und den sinh voraussetzen. bzw das 1-cosh^2= sinh^2. es wäre halt noch interessant, in welchem kontext bzw bei welchem wissenstand die aufgabe gestellt wurde.

[@Birol731]

Die Längenformel fand ich interessant, ist das nicht die Funktion f(x)=coshx.......Danke für die Lösung 👏

[@novidsonmychanneljustcomme5753]

Ja genau, das ist die Definition von cosh(x). ;) Nehme an, sie hat es hier nicht erwähnt, weil das in der Schulmathematik oft nicht vorkommt, bzw. benötigt wird. Aber wer das weiß, hat einen entscheidenden Vorteil, denn mit den bekannten Zusammenhängen (cosh(x))^2-(sinh(x))^2=1, woraus folgt Wurzel(1+(sinh(x))^2)=cosh(x), und (sinh(x))'=cosh(x) geht alles noch viel schneller. 😛

[@Birol731]

​@@novidsonmychanneljustcomme5753 Gerade wollte ich dies zu meinem Kommentar addieren, Sie waren dennoch schneller😊: also die (1+((d/dx)coshx)²)^(0,50)=(1+sinhx²)^(0,5)= Int. coshx dx= sinhx zwischen -2 und 2 (1/2 (2e²-2e-²) =e²-e-² lässt die Frage schneller zu Lösung bringen. Danke nochmals 🙏

[@novidsonmychanneljustcomme5753]

@@Birol731 🙂👍

[@stephanberger7455]

Müsste nan nicht bei 15:24 noch kontrollieren, ob das 1/2 auch 2ab entspricht? Sorry, aber mein letzter Matheunterricht liegt schon 43 Jahre zurück…

[@kazuya8]

An der Stelle an der du die Binomische Formel zurück gerechnet hattest komme ich noch nicht so ganz drauf wie man sieht dass das 1/2 unser 2ab ist.

[@johanneskeller3794]

Bei einer einfachen Funktion wie y=x2 wird die Berechnung schon sehr kompliziert ! Ich habe die Berechnung für die Länge des Graphen im Bereich x=0 bis x=2 mal durchgeführt und komme zum Ergebnis : 4,6468 . Ist das richtig?

[@stefangerlach7655]

Die Berechnung wird kürzer, wenn man die Symmetrie der Funktion ausnutzt. Die Länge ist offensichtlich zweimal das Integral von 0 bis 2.

[@novidsonmychanneljustcomme5753]

Meinst du? Du hast grundsätzlich recht, aber das Integral muss man ja trotzdem lösen (im Sinne von Stammfunktion bestimmen), dieser Aufwand wird nicht geringer... Und ob man dann das Integral kompakt berechnet oder zweimal von 0 bis 2 (oder -2 bis 0), macht für mich jetzt nicht den entscheidenden Unterschied... Oder worauf genau willst du hinaus?

[@stefangerlach7655]

@@novidsonmychanneljustcomme5753 Du hast Recht. Die Integralberechnung ist nur ein kurzer Teil der Lösung. Mit dem Integral von 0 bis zwei kürzt sich der Faktor 1/2 raus und man hat direkt die Stammfunktion e^x - e^-x in den Grenzen 0 bis 2 und e^0 -e^0 ist dabei 0. Was die Lösung wirklich kürzer macht, ist zu wissen, dass die Funktion die Kettenlinie, also der Cosinus hyperbolicus ist (cosh(x)) und dessen Ableitung der Sinus hyperbolicus (sinh(x)). Wegen cosh^2(x) = 1 + sinh^2(x) ist die Wurzel dann wieder der cosh(x), also f(x) selbst. Dessen Stammfunktion also der sinh(x) und die Aufgabe ist gelöst 🙂

[@novidsonmychanneljustcomme5753]

@@stefangerlach7655 Da stimme ich dir in allem zu. :) Das mit cosh(x) ist mir ebenfalls bekannt und in anderen Kommentaren hab ich bereits damit geflext. :P Zusammenhänge wie (cosh(x))^2-(sinh(x))^2=1 machen einem das Leben auch deutlich einfacher. (Nehme an, Susanne hat das hier nicht thematisiert, weil es in der Schulmathematik (zumindest meines Wissens) nur selten bis gar nicht gelehrt wird. Und der Vorwissensstand, der bei diesen Videos vorausgesetzt wird, ist ja meist die Schulmathematik.)

[@philipkudrna5643]

Bei 11:50 hätte ich mir einen Beweis gewünscht, dass bei Rückrechnung der binomischen Formel auch wirklich nachgewiesen wird, dass die Quadrierung des neuen Begriffs wirklich den Ausgangsterm ergibt! (Muss eh so sein, weil es vorher auch so war - aber normal erklärst Du alles step by step, und hier bist Du da irgendwie drübergenudelt…!)

[@hada1945]

"Was haben wir da eigentlich ausgerechnet?" 😀 Die rhetorische Frage ist für mich der Lacher des Abends gewesen.

[@stevetimelinger9679]

Herleitung für die Formel (ganz easy) In einem sehr kleinen Wegelement ds entlang der Kurve gilt der Pythagoras: (ds)^2 = (dx)^2 + (dy)^2 \ :dx^2 (ds/dx)^2 = 1 + (dy/dx)^2 (ds/dx)^2 = 1 + (f'(x))^2 \ wurzel() ds/dx = wurzel(1+f'(x)^2) D.h ds = wurzel(1+f'(x)^2)dx Um ds zu finden, integrieren Integral ds = Integral wurzel(...)dx

[@herbertwedelmann395]

Die cosinus hyperbolicus Funktion wird auch als „Kettenfunktion“ bezeichnet, weil eine an den Enden befestigte, durchhängende Kette durch ihr Eigengewicht von der Seite gesehen diesen Verlauf hat.

[@murdock5537]

Nice! √(1 + (1/4)(e^x - e^-x)^2) → substitute: e^x ≔ k → √(…) = (1/2k)(k^2 - 1) → resubstitute → (1/2)(2e^2 - 2e^-2) = e^2 - e^-2 = (1/e^2)(e^4 - 1) ≈ 7,25372 🙂

[@yilmazkaraman256]

2sinh(2)

[@martinsemkat480]

Nun wäre für mich noch die Frage zu klären, wie man auf die Formel für die Bogenlänge kommt. Mal sehen, ob ich die Herleitung noch hinkriege.

[@bigtiger1964]

Bei 11:44 wird vergessen, zu checken, ob das 2ab auch passt.

[@HK-pb4zg]

11:42 wo bleibt 1/2= 2ab aus der binomischen Formel ... 1/2 ehochx mal 1/2 ehoch-x = 1/2 und das mal 2= 1/2... oder?

[@nafizberkozbek5219]

super gut erklärt, danke, nur: ab Mitte ließ meine Konzentration nach😊

[@melonenlord2723]

Falls sich jemand für den Hintergrund interessiert, wie man auf die Formel kommt. Am besten stellt man sich das erst mit Steigungsdreiecken vor. Das Dreieck hat die Länge 1 und die Höhe ist der Anstieg der Funktion an der Stelle. Die Länge der Schräge ist dann über den Pythagoras Wurzel(1²+f(x)²). Addiert man die Längen der Diagonalen auf, dann nähert man damit die Länge der Funktion an. Der Trick ist jetzt noch das Integral zu verwenden, sodass die Steigungsdreiecke unendlich fein werden und somit der Länge der Funktion entsprechen.

[@thomast3620]

UM es mit den Muppets zu saagen: Applaus Applaus Applaus

[@Que11k0t]

Habe mal eine Frage, und vllt gaebe es eine Antwort darauf - wenn ich diese Frage stellen sollte? Es geht um einfachere Geometrie.

[@alexs9302]

Puuh, wo ist das +1/2 unter der Wurzel bei 12:06 hin?

[@henrykoplien1007]

Woher kommt diese Formel?

[@dadasdadas5998]

Wegen Symmetrie ist es einfacher 0 bis 2 zu integrieren dan mal 2