Drehachse & Drehwinkel aus Drehmatrix bestimmen + Orientierung, Orthogonale Matrix im R^3, det(Q)=1

[@Xactenergy]

Es ist so schön die Angabe einer Aufgabe zu suchen und direkt auf so ein Video zu kommen. Verstanden und gerechnet!

[@jop2612]

Danke!, genau so ein Beispiel ist auf meinem Übungsblatt. Und ich habe auf meine Mathe I Prüfung übrigens ein Sehr Gut geschafft, wo deine Videos definitiv einen Beitrag dazu geleistet haben :D großes Dankeschön für alle deine Videos.

[@ToniMikaBaier]

Du hast mir gerade 1/10 meiner Matheklausur gerettet! Respekt dafür dass du das alles so verständlich rüber bringen konntest!

[@patrickjoos577]

Danke Peter, das Video hat echt mir das nötige Verständnis vermittelt auch mein räumliches Vorstellungsvermögen zu verbessern. Und liefert einen guten Einstieg in die Berechnung von Quadriken und die Vorstellung davon. Echt dankbar das es solche Menschen noch gibt wie dich die anderen versuchen zu helfen.

[@tangistowntangi5983]

du bist ungelogen der beste im erklären! danke mein bester :)

[@nikihn]

Sehr nice fürs Verständnis, einer der besten Mathe-KZbinr

[@jh_esports]

Nicht zuletzt auch wegen dir heute mit einem richtig richtig guten Gefühl aus meiner ersten Matheklausur im Physikstudium, danke!! ❤️

[@MathePeter]

Sehr cool, das freut mich! Gib gern Bescheid, wie es gelaufen ist :)

[@jh_esports]

@@MathePeter14 Punkte (meine Uni benutzt das 15-Punkte-Notensystem), konnte es kaum fassen als ich das Ergebnis bekommen habe! Da hat sich das Lernen ausgezahlt, Danke dir für den hilfreichen content

[@MathePeter]

Richtig stark!! Herzlichen Glückwunsch zu so einer krassen Leistung! :)

[@hilberthilbert8129]

Tolle Erklärung!!! Danke

[@kiritsugu5365]

grandioses Video, vielen Dank für deine Hilfe!

[@achtelein1883]

Krasss :D Ich wusste nie warum man A-En durchführt ! Es liegt tatsächlich daran, dass das ein Eigenwert-Problem ist ^^nice to know

[@lea18306]

Vielen Lieben Dank ♡ du rettest mir mein Studium. Mein Tipp noch am Rande: in min 9.44 erklärst du wie man von der Matrix auf den eigenraum bzw hier den eigenvektor kommt. Ich finde das viel übersichtlicher die Einheitsmatrix oben links fertig zu machen, das dann als c Block zu schreiben und die letzte Spalte mal minus zu nehmen und unten mit der 1 zu ergänzen falls du weißt was ich meine. Für mich persönlich ich das viel leichter zu merken und weniger Fehleranfällig beim anwenden. Das geht manch anderen bestimmt genauso :) Aber nochmal vielen dank für das Video!!

[@MathePeter]

Noch entspannter wäre es wahrscheinlich diesen coolen Trick für 3x3 Matrizen zu benutzen: kzbin.info/www/bejne/j5enYaSwqpl9j7c

[@TheMrWurst]

Du hast mir grade einen Tag vor der Klausur den Arsch gerettet. Danke man!

[@MathePeter]

Das freut mich! Gib gern mal Bescheid, wie es gelaufen ist :)

[@hurricanejesse]

Frage: Der Eigenvektor zu lambda 1 ist ja nicht eindeutig bestimmt. Ich könnte also gerade so gut die Drehachse mit einem (anderen) Eigenvektor in entgegengesetzter Richtung fixieren (Also einen Eigenvektor, der zu deinem umgekehrte Vorzeichen hat) . Heisst: Ich würde dann (nicht wie du) den positiven Winkel erhalten (+arccos()), da sich meine Drehachse (die in die entgegengesetzte Richtung zeigt) im mathematisch positiven Drehsinn (Gegenuhrzeigersinn) bewegt. Kommt es also darauf an, wie ich meine Drehachse fixiere? Ich habe für das Bsp. im Video den Eigenvektor (1, 2, -1) genommen und erhalte dann eben den positiven Drehwinkel. m.E. kommt das aufs Gleiche raus. Grüsse, deine Videos sind wirklich toll! Ich studiere an einer technischen Hochschule und dank dir geht mir immer wieder ein Licht auf. Meinen Kollegen rate ich regelmässig deine Videos zu schauen ;)

[@MathePeter]

Das freut mich, danke dir! Und ja, wenn du die Drehachse in anderer Richtung fixierst, wird das Vorzeichen vom Drehwinkel geändert. Also der Drehwinkel bezieht sich immer auf die Richtung der Drehachse.

[@nayamun4378]

Wau das hat super geholfen! So klar und gut erklärt danke!

[@tomte5636]

Top!!! Danke 🙏🏽

[@matattz]

Hey klasse 👍 hab es endlich verstanden

[@robsenponte3308]

Nice Peter

[@omarnatsheh222]

einfach genial

[@AaaBceK]

Bei 5:21 warum kommt denn jetzt die 1/15 weg? Womit wurde das ausmultipliziert?

[@MathePeter]

Einfach die Gleichung mit 15 multipliziert. Auf der rechten Seite passiert nichts und auf der linken Seite fällt die 1/15 weg.

[@AdrianStudySessions]

Kuss auf Nuss. Du rettest mir so den Arsch in Mathe

[@alexsturm3864]

Danke für deine Videos! Machst du auch mal was zu den Kuhn Tucker Bedingungen? Lg

[@MathePeter]

Vielen Dank :) Ja zu den Karush-Kuhn,Tucker Bedingungen wirds auch noch Videos geben, sobald ich mich mal dem Thema "Optimierung" zuwende.

[@math260879]

@@MathePeter Hallo Peter du machst das super allerdings dringende Frage: gegeben ist eine Ebene zum Beispiel yz-Ebene. Diese Ebene dreht sich um eine gegebene Gerade im Raum. Die Drehung erfolgt mit einem bestimmten Winkel zum Beispiel 60 Grad. Dabei entsteht eine neue Ebene. Gesucht ist dann diese neue Ebene. wie geht das ? Auf einen ausführlichen Antwort wäre ich Dankbar.

[@wolkenkranich7243]

Danke für deine Videos! Eine Frage hätte ich jedoch: Wenn man allgemein die Eigenwerte der verwendeten Beispielmatrix (ohne den Vorfaktor 1/15) berechnet, bekommt man als einzigen reellen Wert Lambda=15 heraus mit dem zugehörigen Eigenvektor (-1 -2 1). Ist das Zufall oder kann man über diesen Weg ebenfalls die Drehachse bestimmen?

[@MathePeter]

Das ist kein Zufall. Wenn du die Matrix mit einem Faktor multiplizierst, werden auch die Eigenwerte mit diesem Faktor multipliziert. Das folgt direkt aus der Gleichung für das Eigenwertproblem A*x=lambda*x. Die Eigenvektoren bleiben dabei unverändert.

[@soundsoftheuniverse3552]

Hallo, was wenn man mehr Eigenwerte hat? Muss man dann auch dementsprechend viele Fixpunktgleichungen lösen? LG

[@MathePeter]

Nein, die Drehachse ist nur der Eigenvektor zum Eigenwert 1.

[@lucaschmidt8170]

Wie kann man daraus die euklidische Normalfrom herleiten? Also die Form x1^2/a1^2 + x2^2/a2^2 + ...

[@MathePeter]

Du kannst in quadratischen Gleichungen mit mehreren Variablen mit einer Koordinatentransformation die Quadrik in Hauptachsenlage bringen. Das passiert anschaulich durch eine Drehmatrix. Schau dir mal meine Videos zu "Hauptachsentransformation" an.

[@pscheiel9388]

Hey, danke für das coole Video. Warum genau müssen wir das Vorzeichen der -24 des Kreuzproduktes ändern? Oder was meinst du mit der einfachen schnellen Art das Kreuzprodukt zu berechnen? Ist das nicht das ganz normale Vorgehen um das Kreuzprodukt zu berechnen?

[@MathePeter]

Das ist eine kleine optische Unterstützung. Damit man damit aber auf das Kreuzprodukt kommt, muss noch von der mittleren Komponente das Vorzeichen geändert werden. Nur dann stimmt die Rechnung mit der Definition des Kreuzprodukts überein.

[@treesoldier9428]

Muss man für die Drehachse immer den Eigenwert 1 abziehen oder kann das auch ein anderer Eigenwert sein? bzw. anders gefragt haben Drehmatrizen immer den Eigenwert 1?

[@MathePeter]

Im R^3 hat eine Drehmatrix immer den Eigenwert 1. Die Drehmatrix muss der Eigenvektor zum Eigenwert 1 sein, weil für die Drehachse ja gilt A*v = v. Das ist das Eigenwertproblem mit lambda=1.

[@treesoldier9428]

@@MathePeter vielen dank! :)

[@tintinmaster]

Wie begründe ich den Schritt mit Vektor v am besten? Wir haben das in der Vorlesung anderes gelernt den Drehwinkel zu bestimmen, aber ich finde deine Methode deutlich einfacher.

[@MathePeter]

In 2:07 gebe ich die Begründung für die Berechnung des Vektors der Drehachse. Die "Formel" für den Drehwinkel ergibt sich aus der allgemeinen Darstellung der Drehmatrix, was ich im Video zu orthogonalen Matrizen im R^3 genauer erklärt habe: kzbin.info/www/bejne/Y4vTXpuwbL2YrK8

[@mustafam5267]

Wann kann man diesen Vorfaktor nicht rausziehen ? Min 1:38

[@MathePeter]

Du kannst den Vorfaktor immer rausziehen, musst allerdings drauf achten ihn aus jeder Zeile/Spalte rauszuziehen. Darum immer "hoch Anzahl Dimensionen".

[@mustafam5267]

@@MathePeter alles klar, Danke! Hast mir sehr weiter geholfen

[@minenwerfer3566]

Hi Peter, ich hätte eine Frage: Wie ist es zu interpretieren, wenn die Matrix keinen EIgenwert e = 1 hat. Ist es dann einfach keine Drehmatrix?

[@MathePeter]

Genau. Denn dann gibt es keinen Vektor, der bei der Multiplikation an die Matrix seine Richtung beibehält. Bei e=-1 wäre es höchstens eine (Dreh-)Spiegelung.

[@hannahmcguinness2887]

Bei meiner 2x2 Matrix kam mithilfe der Formel im Video arccos(1/2x(spur… nicht der richtige Drehwinkel raus. Woran kann das liegen? (Ich weiß, dass bei einer 2x2-Matrix der sin, -sin des Drehwinkels gegeben ist und man eigentlich gar nicht mehr berechnen müsste)

[@MathePeter]

Schreib doch einfach mal deine Matrix, dann kann ich dir zeigen, wo das Problem liegt 😂

[@hannahmcguinness2887]

@@MathePeter ok danke 😂 folgende Matrix: 5 4 -4 5

[@MathePeter]

Mit Vorfaktor 1/sqrt(41), oder? Denn sonst wäre die Matrix nicht orthogonal und damit auch keine Drehmatrix. Angenommen die Matrix hat noch den Vorfaktor 1/sqrt(41), dann ist es eine Drehmatrix, weil sie orthogonal ist und Determinante 1 hat. Bei einer 2x2 Matrix ist cos(𝜑) = 1/2*spur(Q), ohne die "-1", die im R3 vorkommt. Da das Minus links unten steht und nicht rechts oben, muss am Ende das Vorzeichen vom Winkel geändert werden, weil die Matrix so (Transponiert = Inverse bei orthogonalen Matrizen) in die andere Richtung dreht.

[@hannahmcguinness2887]

@@MathePeter Ja den Vorfaktor habe ich natürlich vergessen, stimmt. Okay vielen Dank! Also gilt die Formel mit -1 nur für den R3 und deshalb habe ich etwas falsches herausbekommen! Vielen Dank!

[@niklasbk116]

Ist die Drehachse sozusagen eine Fixpunktmenge?

[@MathePeter]

Genau!

[@timo7465]

Und was ist, wenn ich unter der Diagonalen zwar nur Nullen habe, dabei aber auf keine Nullzeile komme?

[@MathePeter]

Dann handelt es sich nicht um eine Drehmatrix oder du hast dich verrechnet.

[@timo7465]

@@MathePeter Jap, ich hab mich verrechnet, aber danke sehr. :)

[@silversurfer8057]

falls dir nochmal ein Thema fehlt: Quaternion wäre evt auch mal was. Stößt man zB in Unity drauf. Da lernt man dann damit umzugehen bzw hauptsächlich eigentlich nur wie man dort eulerwinkel passend umrechnet ---> Quaternion.Euler( rotation.x , rotation.y, rotation.z);. ich weiß nicht ob da evt noch mehr mit möglich wäre.... und selbst wenn nicht-> dann freut der ein oder andere sich sicher dennoch über die erklärung der sperrachsen auf deutsch ;-)

[@MathePeter]

Gutes Thema mit enorm wichtigen Anwendungen! Werd ich irgendwann angehen, wenn ich alle Themen für Ingenieure und Schüler abgefilmt habe :)

[@scoresoest1700]

Quaternion, das war auch mein Gedanke. Hat man eine Drehmatrix erst einmal in eine Einheitsquaternion Q= w + x*i + y*j + z*k umgewandelt, dann sollten sich Rotationsvektor und Rotatationswinkel relativ leicht bestimmen lassen. Sei der Rotationswinkel Phi und Rotationsvektor (nx, ny, nz), dann ist der Realteil w des Quaternion gleich cos(phi/2) und der imaginäre Vektor (x, y, z) gleich (nx, ny, nz) * sin(phi/2). Bleibt im Wesentlichen das Problem der Wandlung der Drehmatrix zum Quaternion.

[@scoresoest1700]

Gimbal Lock oder kardanische Blockade, die bei Eulerschen Winkeln auftreten kann, gibt es mit Quaternions gerade nicht. Die Geschichte mit Eulerschen Winkeln ist auch reichlich schwierig. Da gibt es 12 verschiedene Konventionen, je nachdem in welcher Reihenfolge um welche Achse gedreht wird und auch, ob es sich dabei jeweils um die globale oder lokale Achse handelt. Das gäbe jedenfalls einen langen Film..

[@xX1998Xxfly]

Geht das genau so wenn die Determinante gleich -1 ist, also die Matrix eine Drehspiegelung beschreibt?

[@MathePeter]

Schau mal hier: kzbin.info/www/bejne/Y4vTXpuwbL2YrK8

[@xX1998Xxfly]

@@MathePeter Danke 😊

[@Junis_]

bin mal eben im mathe studium gelandet... aua

[@magnuschase2694]

Ist der Vektor v der sogenannte Drehvektor?

[@MathePeter]

Gute Frage, was ist die Definition des Drehvektors?

[@Cemolan]

Und wie finde den Winkel ohne Taschenrechner raus? xD

[@MathePeter]

Gar nicht, einfach so stehen lassen 😂

[@magnuschase2694]

Und wie berechne ich den Sinus Drehwinkel?

[@MathePeter]

Reicht dir der im Video nicht? :)

[@magnuschase2694]

@@MathePeter wir sollen den Sinus und Cosinus Drehwinkel bestimmen

[@MathePeter]

Was ist der Unterschied der beiden, was sollen sie aussagen? Bei der Multiplikation mit der Drehmatrix kommt es zur Drehung um den Winkel alpha. Willst du einfach nur eine andere Darstellung des Winkels?

[@magnuschase2694]

@@MathePeter Meine Aufgabe lautet: Berechnen Sie Cosinus und Sinus des Drehwinkels phi element (0,Pi) bezüglich v. Und für v heißt es vorher berechnen Sie den normierten Drehvektor v element R hoch 3 mit Hilfe des schiefsymmetrischen Anteils skw (A) = 1/2 (A-A transponiert) und gegeben ist eine Matrix A

[@magnuschase2694]

Dein Video hat mir schon sehr geholfen aber ich weiß leider noch nicht was der Drehvektor ist und wie ich den berechne und was mit diesem zweiten Winkel gemeint ist auch nicht vielleicht + und - arccos kann das sein?

[@lazarusgrey7520]

bin ich der einzige der sich wundert wie bei 5II-I aus 5*(-2)-10=0 wurde? da hätte -20 rauskommen müssen oder?

[@MathePeter]

5*(-2) - (-10) = -10 + 10 = 0.

[@lazarusgrey7520]

@@MathePeter stimmt ja Danke

[@TheHERBERT2210]

nicer scheiß, saugut erklärt

[@deepTh00ught]

diese 1/15 ahahah

[@Junis_]

habe 0 verstanden

[@MathePeter]

Dann empfehle ich dir erst mal die Grundlagen zu wiederholen, also die Videos vor diesem hier in der großen Playlist zur Linearen Algebra. Ansonsten kannst du jederzeit nachfragen, wenn du vor konkreten Problemen stehst!

[@Junis_]

@MathePeter vielen Dank!