Minimalpolynom intuitiv erklärt | Math Intuition

[@andersonsen1989]

7 Semester Mathe Studium und jetzt erst verstanden was das Minimalpolynom ist...ein Lob an dich :D

[@mathintuition]

Haha, sehr geil :D Besser spät als nie ;) Doch ich denke du bist bei weitem kein Einzelfall! LG

[@andersonsen1989]

Definitiv :D Hatte letzt erst mit einer Kommilitonen kurz darüber gesprochen und sie meinte auch, dass sie nicht weiß wofür man das Minimalpolynom braucht und was das genau ist. Da hast du schon recht, dass die meisten Erklärungen einfach nur schlecht sind obwohl es so simpel ist. Bitte weitermachen! :D

[@HoloBoss]

no offence aber des is sehr schwach

[@umutlu5551]

Wow... so gut erklärt! Nirgends so verständlich erklärt bekommen, vielen Dank !

[@julianblazevic6170]

du bist einfach sooooo gut!!! Ich wünschte meine Profs würden es mal so erklären ^^

[@hphapek]

Prima Video, wieder einmal eine sehr klare Aussage über die wesentlichen Bestandteile dieser Thematik. Bin gespannt auf die weiteren Videos. Danke für deine Beiträge. lg HP

[@aconitumnapellus6490]

Boah, super Video! Man findet nirgends eine so verständliche und anschauliche Erklärung zu diesem Thema. Danke dafür! :)

[@niklasschulte1690]

Danke, so verständlich hat es mit wirklich auch noch niemand erklärt!

[@MrsMelly177]

Ich bin dir wirklich sehr dankbar für dieses Video!

[@kenanyagci4180]

3 Monate versucht den scheiß zu verstehen. wie habe ich dieses video bitte nicht schon davor gesehen. Du bist echt killer.

[@Sarah-pu8un]

Danke dir so sehr!!! Deine Videos sind so hilfreich! Habe auch einen deiner Kurse gekauft, war das Geld definitiv wert 👍

[@Fallkhar]

Super video! Danke sehr

[@huydang6059]

Danke! Hat mir sehr weitergeholfen

[@mathintuition]

Sehr gern! Und schau auch mal auf math-intuition.de vorbei, da gibts ganze Videokurse zur Klausurvorbereitung für deine Mathevorlesung :)

[@Sarah-pu8un]

Endlich verstanden, danke! Mit dem Skript und allem Lehrbüchern konnte ich gar nichts anfangen

[@julianblazevic6170]

Du bist so gut! Ich liebe dich! Hoffentlich wirst du Lehrer oder sowas :)

[@norc]

"In der Uni musst du darüber nachdenken: bist du in Q oder in R.". Ups wir müssen gerade mit einem allgemeinen K rechnen xD

[@sandyvu9652]

Omg sehr gute Erklärung🎉🎉

[@Artur-cz1ek]

Ein großes Dankeschön von mir :D

[@braindead8899]

hammer! danke!

[@leana1342]

Super Erklärung, danke! Hab in der Vorlesung gar nicht verstanden, was das sein soll. Kann man sich das ganze irgendwie geometrisch vorstellen? Also Polynome über R kann man ja zeichnen wie kann man sich so en Polynom mit Matrizen anstelle von x vorstellen? Gibt es dafür eine geometrische Bedeutung?

[@mathintuition]

Gute Frage. Mir ist dazu nichts "einfaches" bekannt. Du hast ja eine Matrix A gegeben und suchst ein Polynom, bei dem die Matrix quasi eine Nullstelle ist. Allerdings lässt sich eine Matrix A nicht (wie eine reelle Zahl in der Schule) einfach als punkt auf der x-Achse einzeichnen. Ein Trost jedoch: in fortgeschritteren Vorlesungen wie Galois-Theorie gibt es dann Übersetzungen in konkretere Fälle. Beispielsweise wurde bei mir die Galois-Theorie-Vorlesung damit begonnen, dass ein Mathematiker mal folgende Beobachtung machte: Er hatte ein bestimmtes Polynom gegeben und hatte dazu die Nullstellen ausgerechnet. Er beobachtete, dass die Nullstellen alle "ähnlich aussahen" (z.B. 1,337733... war eine Nulllstelle, die andere war z.B. 1,773377...). Er fand dann heraus, dass die Nullstellen tatsächlich eine Art Verbindung hatten. Wenn man eine Nullstelle hat, kann man (mit diesem neuen Wissen von) auf die anderen Nullstellen schließen. Also von Nullstelle x1 konnte man auf Nullstelle x2 schließen oder auch umgekehrt. Dies führte dann auf einen Zykel (z.B. in meinem Beispiel die Verbindung 1-> 2 und 2-> 1 führt zum Zykel (1 2)). Wenn dir Zykel nichts sagt, schau dir mal mein Video zur Symmetrischen Gruppe an (Gruppenvideo teil 3). Will nur sagen: später entstehen mehr Querverbindungen, aber am Anfang ist das noch schwer aufzubauen. Hoffe, das gibt dir aber eine Perspektive :)

[@tobey4484]

Müssen die Potenzen auch aus dem Körper sein oder sind das immer natürliche Zahlen?

[@mathintuition]

Die Potenzen von X sind immer natürliche Zahlen (oder Null). Für das X "einsetzen" kann man aber nur Elemente aus dem zugrunde liegenden Körper.

[@xchilLeDx]

geiler channel, cheers!

[@AlessioZocker]

15:24 Satz von Cayley Hamilton wenn ich mich nicht irre oder? :D

[@mathintuition]

genau! :)

[@HoloBoss]

bitte was? der Satz sagt dass wenn man A in das charakteristische Polyom von A einsetzt kommt 0 raus

[@moabclan1222]

Gibt es für transzendente Zahlen ein Minimalplynom?

[@mathintuition]

Ne, nur algebraische (also per Definition nicht-transzendente) Zahlen haben ein Minimalpolynom. Also haben beispielsweise Pi und die Eulersche Zahl keins Minimalpolynom.

[@zirkq]

so gut

[@Ciao22ciao]

Dumme Frage: 3^(1/2) ist eine Lösung von (x^2-3) in Q[x] Gilt das auch für (x-3^(1/2))(x+3^(1/2)) in Q[x]? Oder muss da R[x] sein. Falls ja - warum?

[@waighten123]

+Paolo Martinoni Jein. Wenn du beide Terme miteinander multiplizierst erhältst du doch x^2-3, sofern ich mich nicht verrechnet habe. Somit ist die Frage redundant und man befindet sich im Körper der rationalen Zahlen. Wenn du die Faktoren einzeln betrachten möchtest, bleibt einem das irrationale Absolutglied 3^0,5, welches in den reellen Zahlen existiert, da es sich nicht mithilfe eine Bruches darstellen lässt. Somit ist es nicht die Frage nach dem Körper sondern nach dem Grad des Funktionsterms des Minimalpolynoms, welchen du untersuchen möchtest. Ich hoffe, dass ich mit meinen Behauptungen nicht falsch liege und deine Frage klären konnte. :)

[@Ciao22ciao]

+Даниэл Струнк Ja, aber bei 4:50 behauptest du, dass Q[x] bei (x^2 -3) ausreicht, nicht aber bei (x-3^(1/2))*(x+3^(1/2)), obwohl diese zwei Terme genau (x^2 -3) ergeben, wenn man sie miteinander multipliziert. Das scheint mir ein Widerspruch zu sein.

[@mathintuition]

Hey +Paolo Martinoni , gute Frage! Was du beschreibst, ist die Zerlegung des Polynoms x^2 - 3 in die beiden Faktoren x - Wurzel(3) und x + Wurzel(3). Wichtig dabei: Diese Zerlegung gibt es in Q[x] nicht, denn beide Faktoren (x plus/minus Wurzel(3)) sind keine Elemente aus Q[x]. Wenn du hingegen das Polynom x^2 - 3 als Element von R[x] auffasst, dann hat es dort die Zerlegung in diese beiden Faktoren, eben weil beide Faktoren Elemente aus R[x] sind. Allgemein gilt: Minimalpolynome lassen sich nicht weiter zerlegen (mathematisch korrekt: sie sind irreduzibel) über dem jeweils gefordertem Polynomring. Also x^2 -3 ist irreduzibel über Q[x] und damit das Minimalpolynom von Wurzel(3), jedoch ist das Minimalpolynom von Wurzel(3) über R[x] stattdessen bereits das Polynom (x - Wurzel(3)).

[@hari01071983]

Bei dem Bsp mit der Matrix: Was für ein Polynom ist das? Bei einem Polynom über R schreibt man ja z.B. R[x] Was schreibt man aber bei der Matrix? (??[x]) Um was für ein Polynom handelt es sich hier? Leider hast du das nicht erwähnt. Danke, ansonsten wieder mal spitzenmäßig erklärt!

[@mathintuition]

Hallo +hari01071983 , welche Stelle im Video meinst du denn genau? Bei 13:36 zum Beispiel schreibe ich doch beim Polynom dazu, dass es aus Q[x] ist, also nur rationale Koeffizienten haben soll. Oder was meinst du mit "Was für ein Polynom ist das?"? Woher das Polynom kommt, muss man in der Aufgabe immer dazu sagen (in meinem Beispiel also Q[x]), das hat erstmal nichts mit der Matrix oder dem Element zu tun, von dem ich das Minimalpolynom berechnen soll.

[@DaRealMidnight]

Macht du auch noch ein Video zur Jordannormalform?

[@mathintuition]

+Fabianxyz Dazu gibt es schon einige Videos von im LA 2 Kurs! :) www.math-intuition.de/videokurs-lineare-algebra-2-intuition/

[@niklaskoster3840]

❤

[@ostihpem]

Gibt's irgendwann auch einen Kurs über math. Logik, also nicht nur einfache AL, sondern auch fortgeschritten? Es ist Wahnsinn, wie gut du erklären kannst, selbst als Nichtmathematiker steigt man da recht gut durch....

[@mathintuition]

+ostihpem Mit AL meinst du Aussagenlogik, oder? Was genau verstehst du denn unter fortgeschrittener Logik-Theorie? Hast du ein Beispiel? :) Darüber, wie man an Beweise rangeht und mathematisch denkt, habe ich ja schon einen Videokurs erstellt ("Wie du Übungsblätter und Klausuren löst").

[@ostihpem]

Aussagenlogik, Prädikatenlogik, Wahrscheinlichkeitslogik, Gödel's Theoreme und überhaupt Metalogik...also was man so math. Logik nennt. Mich interessiert das und im Studium ist sowas bestimmt Pflichtfach, oder? Stochastik inkl. Statistik wäre auch cool...alles nur Ideen, welche dich vllt. inspirieren können; ich bin froh, dass du überhaupt hin und wieder hier Video's machst (ich studiere kein Mathe, bin nur Mathe-Interessierter, sonst hätte ich deine Kurse über Analysis und LA schon längst abonniert).

[@antoniusnies-komponistpian2172]

​@@ostihpemNee also Pflicht ist bei uns im Mathe-Studium (Bachelor of Science) nur ein paar Stunden/Wochen Aussagenlogik am Anfang. In meinem Nebenfach Philosophie hab ich tatsächlich mehr Logik gemacht, das ist für alle Philosophie-Hauptfach-Studenten und Mathe mit Nebenfach Philosophie Pflicht gewesen. War aber auch nur ein Semester. Also wenn du dich wirklich auf Logik spezialisieren willst, solltest du eher in die theoretische Philosophie gehen. Aber im Mathe-Studium werden die Grundlagen der Aussagenlogik und einfache Prädikatenlogik natürlich dauernd angewandt.

[@ostihpem]

@@antoniusnies-komponistpian2172 Ja, in der Philosophie wird Logik auch vertieft behandelt, aber nie so, wie richtige math. Logik, wo man zB den Gödelschen Vollständigkeits- und Unvollständigkeitssatz beweist. In der Philosophie bekommt man da nur eine etwas vertiefte populäre Version vorgesetzt. Hier mal ein Bsp.: home.mathematik.uni-freiburg.de/ziegler/skripte/logik.pdf Leider wird das sehr schnell sehr technisch und gerade da bräuchte man einen wie Markus, der viele Bsp. und wiederholende Erklärungen bringt, damit es nicht zuviel Formelsalat wird. Es gibt keinen Kurs, der diese Lücke schließt, ok, es gibt auch nur wenige, die sowas interessiert. ;).

[@ewfwffw]

ich liebe dich

[@ndkgamingcsgooxyz_9462]

Konnte ich nie verstehen und kam zum Glück nicht bei meinem Mathematik Abi dran :P

[@mathintuition]

+NDK GAMING CSGO #oxyz_ Echt du hattest das schon in der Schule? Ich kannte das erst seit der Uni.

[@waighten123]

+Math Intuition Ich habe selbst vor 3 Wochen Matheabi geschrieben und so etwas wird eigentlich nicht in der Oberstufe behandelt. Ich kenne jedoch nur das Kerncurriculum aus Niedersachsen. Es mag sein, dass es anderswo Abweichungen gibt. Jedoch bezweifle ich die vernünftige Integration in den normalen Schulstoff. So eine "Vermischung" aus Analysis und linearer Algebra ist mir eigentlich noch nicht untergekommen, selbst bei länderübergreifenden Aufgaben nicht. So ein paar Variablen in der Matrix sind da schon das Höchste der Gefühle. Trotzdem wieder richtig Klasse erklärt. Ich denke, dass das ein guter Vorgeschmack aufs Studium ist. :P