무리수 파이(pi)의 실체를 알려 드립니다 | 무리수 파이(pi)를 통해 보는 수학의 본질

[@mathandenglish]

무리수의 길이를 가진 무언가가 존재하는 것이 마치 당연하다는 듯이 얘기하시는 분들이 하도 많아서, 또 다른 영상에서 그 부분을 짚어보도록 하겠습니다. 아마 이 부분은 상당히 방대한 작업이 될 것 같아서 좀 시간은 걸리겠지만요 ^^

[@mygrnu]

파이값이 무리수여서 (원둘레/지름)의 유리수 형식으로는 표현 불가능하다는 사실의 놀랍고 신선하네요. 당연한 사실인데도 지금껏 생각해 본적이 없었네요. 비율의 값으로 출발했지만 비율로는 표현 불가능한 수. 파이값의 정의가 무한수식 형태로 더 세련되게 바뀌었다는 새로운 사실을 알았습니다. 전에는 (원둘레/지름) 값과 무한수식 값이 그냥 같다고만 알고 있었거든요. 좋은 영상 감사합니다.

[@mathematics_love]

설명 전에는 원주와 지름 중에 하나는 무리수면 되는거 아닌가 했는데 그것을 측정하는데에 현실적인 문제가 있다는 걸 알았네요!! 그것을 통해 새로운 정의가 필요한 이유를 알았고 여기서 테일러 급수가 나옴으로써 더이상 가상의 원이 필요 없어지고 누구나 동의할 정의가 나오게 되네요!! 좋은 내용 감사합니다.

[@junisuni0835]

복소해석학이나 다른 몇몇 해석학 전공서적에서는 가끔 sin(z), cos(z)를 멱급수로 정의한 후에 그 최소주기가 존재함을 보이고 최소주기를 2pi로 정의하더라구요. 정의도 분야 나름대로 다양한것 같습니다

[@mathandenglish]

네 맞습니다. exp(z)를 먼저 power series로 정의하고, 그 다음 exp(it)의 실수부, 허수부를 cos(t), sin(t)로 정의하기도 하죠. 그게 실제로 Rudin의 방식이기도 하구요.

[@swagger8729]

정말 복잡한 해석학!!! ㅋㅋㅋ 전 빨간색이였던걸로 기억하는데 초록색도 있었나보네요 ㅋㅋ

[@mathandenglish]

워낙 유명한 책이라 에디션도 많았을 것 같네요 ^^

[@김용수-v6l]

이상적인 원을 그릴 수 없으니 pi의 정의를 다르게 해야 한다는 얘기는.. 이상적인 길이 1을 그릴 수 없으니 1 + 1 이 진짜 2가 되는지를 알 수 없다는 얘기랑 마찬가지인 것 같아요. pi 의 정의 자체는 '이상적인 원둘레와 이상적인 지름의 비율'로 두어야 하지 않을까요. 단지 pi의 구체적인 숫자값을 구하기 위해서 수학적 방법이 필요한 것이구요.

[@mathandenglish]

이상적인 원을 그릴 수 없어서 pi의 정의를 다르게 해야 한다고 한 적이 없고, 수학자들이 기하학에 대한 신뢰를 잃어버려서 산술적으로 정의를 바꾸었다고 하였습니다. 그리고 제가 정의를 바꾼 것도 아니고, 바꾸어야 한다고 주장한 것도 아닙니다. 따지시는 것은 수학자들에게로 ^^ (참고로 기하학적으로 pi를 정의할 경우, pi를 파생시킨 원은 허구적인 원입니다.)

[@mathandenglish]

그리고 말씀하신 1 + 1 = 2 라는 명제 역시 현대수학에서는 증명을 합니다. 증명이 알고 싶으면 제가 예전에 올린 영상 kzbin.info/www/bejne/qHvKk55va5mfpsU 을 참고하시면 됩니다!

[@김용수-v6l]

바꾸었다고 히시니 기존의 기하학적인 정의를 버렸다는 말씀처럼 보여서요. 수학자들이 한 것은 산술적인 정의를 '추가'했다는 표현이 맞을 것 같아요. 그 산술식을 유도하기 위해서는 결국 '원둘레, 지름' 개념을 사용할 수밖에 없으니까요.

[@김용수-v6l]

영상을 다시 보니 끝부분에서 거의 비슷한 이야기를 하시는군요. ^^

[@mathandenglish]

@@김용수-v6l 수학자들이 엄밀함의 기준을 기하학에서 산술로 바꾸었다는 말을 한 것입니다. 따라서 파이의 정의 역시도 바꾼 것이 맞습니다. (버렸다기보다는 전복된 것이라고 보면 될 것 입니다.) 물론 파이뿐 아니라 기하학 자체도 산술적으로 정의하고요.

[@koreaprofood]

곡선인 원의 길이를 직선인 지름의 길이로 나누었을 때 정확한 유리수 비율로 나타낼 수 없기에 무리수로 표현합니다. 곡선인 원의 둘레와 직선인 지름의 길이는 근본적으로 다른 성질을 가지고 있어, 둘 사이의 비율을 정확한 유리수로 표현할 수 없습니다. 아무리 작은 단위로 나누어도 딱 맞아떨어지는 비율을 찾을 수 없기 때문에 무한히 계속되는 소수로 나타낼 수밖에 없습니다.

[@mathandenglish]

원의 둘레와 지름의 길이가 근본적으로 다른 성질을 가지고 있어서 그 비율이 무리수로 나타나는 것이 아니라 "점은 크기가 없고, 선은 두께가 없다"는 유클리드 기하학의 허구적인 전제 때문에 그 비율이 무리수로 나타난다는 것을 말하고 있는 영상입니다.

[@hyunjoolee6468]

파이의 정의 : 원둘레/지름 파이의 성질(특성) : 무리수... 이렇게 말하는 것이 맞지 않을까 싶습니다만. 그걸 뒤집어서 파이의 정의가 둘레/지름 이것이 아니다는 것은 어거지스럽네요. 그렇다면 무리수로 표현되는 파이란것이 의미하는 것이 무엇이냐(수치말고)고 물으면 뭐라고 얘기할까요?

[@mathandenglish]

저는 현대수학에서 정의하고 있는 파이의 정의를 알려드린 것 뿐입니다. 제가 정의한 것이 아닙니다 ^^ (왜 다들 저한테 따지시는지(?) 모르겠네요.) 영상에 있는 pi에 대한 위키항목에 가면 cosine 함수의 pi를 정의한 것은 Edmund Landau라는 독일의 수학자이고, 적분 형태로 파이를 정의한 사람은 유명한 수학자 Karl Weierstrass 라고 하네요.

[@mygrnu]

초기에는 유클리드(평면)에서는 (원둘레/지름)의 값이 일정한 값이어서 이를 파이값으로 정의했지만 비유클리드평면(곡면)까지 확장하면 면의 모양에 따라 (원둘레/지름)의 값이 일정하지 않게 되니 무한급수 형식의 수식 파이값으로 재정의 한것 같네요.

[@mathandenglish]

더 정확히 말하면, 비유클리드 기하학의 등장으로 기하학에 대한 신뢰가 깨져서 정의를 바꾼 것이지, 여전히 파이라는 수는 유클리드 기하학의 원의 원주율이긴 합니다. ^^

[@쩡발룸]

동의합니다. 파이의 정의는 원둘레/지름이죠

[@l_I-I_l]

pi값을 그렇게 정의해버리면 유클리드 기하학에서만 사용할 수 있는, 종속적인 상수가 되어버립니다 이러한 문제를 해결하고 곡면기하학, 더 나아가 다른 분야에서도 사용할 수 있도록 수학자들이 정의 자체를 고쳐 pi를 독립적인 상수로 만든 것입니다.

[@웬리-m4d]

점들의 집합, 하지만 연속이어야 한다. 이런 모순이 재밌죠.

[@mathandenglish]

기하학적 연속체 geometric continuum 이라고도 합니다. 이것을 산술적 연속체 arithmetic continuum로 바꾼 것이 실수이구요. (참고해보세요 kzbin.info/www/bejne/l4u5kKqAh6t3fLs )

[@jenylark]

논리의 전개가 이해가 안됩니다. 선이 두께니 가상이니 하는걸 이야기 하기 시작하면 애당초 모든 기하학은 다 무의미한 것이 되고, 이 영상에서 하고 싶은 말인 pi 를 기하학적 표기가 아니라 산술적 표기를 하는 것에 있어 가장 중요한 멱급수로 표현 하는 방법 자체가 그냥 통째로 빠져있고, 애당초 멱급수로 표현할때 테일러 전개를 위해 미분값을 써서 유도할텐데, sin 미분이 cos 이 되는건 삼각함수의 덧셈 공식을 기초로 극한값을 계산할꺼고, 그 덧셈 공식은 결국은 기하학에서 올텐데, 정말로 기하학에서 벗어난 건가요? 대충 중간의 미싱링크를 넣어서 pi가 기하학에서 벗어난 것과 같이 이야기하는 것 같아서 신경이 씌이네요. 공부한지 너무 오래전이라 위와 같은 논리전개가 틀렸을 수 있는데, 해당 부분에 대해 알려주시면 감사하겠습니다

[@mathandenglish]

허구적인 것과 의미가 없다는 것은 다른 것 같습니다. 예를 들어 판타지 소설 같은 것들이 허구적이지만 (어쩌면 실제 사건보다) 교훈을 줄 수 있고 의미는 있거든요. 미분, 적분 자체가 기하학적으로 정당화될 수 밖에 없는 개념입니다. 적어도 뉴턴이 프린키피아에서 미적분을 소개할 때 오로지 기하학에 의존해서만 미적분의 개념을 정의하고 사용했습니다. 물론 지금의 미적분은 실수 시스템과 극한을 이용하여 정의하지만 실수 시스템 자체가 기하학에서 유래한 것이기 때문에 역시 기하학적입니다. 저는 파이를 산술적으로 정의하는 과정을 모두 다 보여준다고 하지는 않았습니다. 다만 파이가 현대 수학에서는 산술적으로 정의되고 있다고 하였고, 왜 그렇게 되었는지를 이야기하고 있을 뿐입니다. 물론 삼각함수의 덧셈정리나 미분같은 것은 기하학적으로 어떻게 유도가 되는지 보여줄 필요가 있는데 그 부분은 이후 고등학교 교과 수학에 대한 영상을 통해 소개할 것이라고 언급하였고, 나머지 테일러 급수 유도과정은 다분히 테크닉 적이 면이 많아서 생략하였습니다. (별로 기하학이 요구되지도 않구요.) 파이의 산술적 정의는 여전히 기하학에서 유래합니다. 다만 파이의 기하학적 정의에서 유래한 산술적 성질을 파이의 정의로 바꾸어버렸을 뿐입니다. 따라서 파이의 허구적 본질은 여전히 똑같습니다. (이 부분도 영상 말미에 언급하였습니다.) 중간에 '미싱링크' 말씀하신 것은 무슨 뜻인지 이해를 못 해서 대답을 못해드리겠습니다. 혹시 자세히 써 주시면 답해드리도록 하겠습니다.

[@jenylark]

​@@mathandenglish 이야기 주신 내용을 보니 영상에서 하고 싶은 이야기를 이해했습니다. 영상 중간에 대충 멱급수로 정의하고 나서는, 기하학과 무관하다라고 이야기 주셔서, 이야기 하고 싶은 부분이 pi 는 기하학과 무관하게도 정의가 된다. 라는 이야기를 하고 싶다고 생각하여 댓글을 달았습니다. 아마 이 영상의 설명에서 중요한 포인트를 빠진 것이 있다면, pi는 더이상 기하학적 측정 및 근사로 계산하는 것이 아닌 단순 산술적으로 계산을 할 수 있게 되었고, 무리수와 초월수임을 증명할 수 있게 되었다는 것이 사실인 것 같습니다. 이전 시대에서는 pi를 기하학적으로 밖에 측정하지 못해 길이, 면적 등으로 근사하는 방법 밖에 사용하지 못했고 누가 더 정밀한 pi를 계산하냐 같은 걸 했지만, 현대에는 산술적 표현으로 변경할 수 있게 됨에 따라 pi를 계산해 낼 수 있게 되었다는 내용을 말씀하시고자 하신게 아닌가 생각이 듭니다. 좋은 영상 감사합니다.

[@mathandenglish]

댓글 감사합니다. 조금 더 보충하고 싶은 얘기가 있지만 그건 또 다른 영상에서 하도록 하겠습니다. ^^

[@merope7910]

감사합니다. pi가 허구적인 개념이라 하셨는데, 무리수가 아닌 유리수는 가상의 개념이 아닌 겁니까? 혹은 자연수는 실재한다고 보시는지요, 그것이 궁금합니다

[@mathandenglish]

자연수, 유리수의 경우는 가상적 혹은 허구적 개념이라고 보지는 않습니다. 그러나 어떤 부분에서 이 수들은 그렇게 생각하고, 또 무리수는 가상적 혹은 허구적 개념이라고 하는지는 오해가 많은 것 같아 또 다른 영상을 통해 더 구체적으로 설명할 예정입니다 ^^

[@merope7910]

@@mathandenglish 감사합니다

[@랍]

옛날엔 기하적으로 정의될 수 있던것들이 지금은 죄다 산술적인 정의로 바뀌었다는말이죠? 파이 말고도 또 다른 대표적인 예시가 있을까요

[@mathandenglish]

기하학적인 점 역시도 숫자의 쌍으로 정의되죠 (2, 3)과 같이요. 직선 역시도 ax + by = c로, 원도 x^2 + y^2 = r^2 과 같이 정의됩니다.

[@랍]

@mathandenglish 헉 그럼 기하학적으로 정의되는데 산술적으로는 정의 안 되는것도 있나요?? 아니면 산술적 정의가 기하학적 정의를 무조건 포함하는관계인건가요

[@mathandenglish]

@@랍 기하학의 가장 기본적 요소인 점, 선, 면을 산술적으로 정의했으니 안 되는 것이 있을까 합니다 ^^

[@MsTuring]

지름이 1일때 원의 둘레가 π라고 단순히 생각하고 보고 있었는데 상당히 복잡하네요.

[@mathandenglish]

네 맞습니다. π라는 것은 "완벽한" 원에서나 가능한 일이거든요.

[@egoist0115]

캬… 영상이 너무 달아요…

[@cho8963]

맛있네 진짜 맛있네

[@아오바-z6x]

완벽하게 평평한 종이, 심의 두께가 0인 펜 등의 이유로 현실에서 존재하지 않는 것을 이유로 한다면 "작도"라는 기하학 개념도 없어져야 하는 개념입니다. 좀 동의하기 힘든 논리네요. 그냥 영문 위키피디아의 정의만 보더라도 The number π (/paɪ/; spelled out as "pi") is a mathematical constant that is the ratio of a circle's circumference to its diameter, approximately equal to 3.14159. 라고 되어 있습니다. 파이는 처음부터 "원둘레와 지름의 비"로 출발을 했고 지금도 그렇게 정의되어 쓰고 있는 용어를, 다른 관점에서의 정의만 옳다고 하는 건 좀 아니라고 생각합니다. 그리고 여담이지만 파이라는 비율의 존재는 rational number를 번역할 때 '유리(理)수'가 아니라 '유비(比)수'라고 불러야 한다는 주장을 반박하는 반증 사례가 되기도 합니다. 파이, 삼각비 등등 이미 무리수가 '비율'이 되는 경우는 많기 때문에, '비율=자연수/자연수'라는 잘못된 인식 위에서 '유비수 = 비율이 있는 수'라고 rational number를 번역하는 것 자체가 오역인 셈이지요. 0도 음수도 유리수니까요. '유리(理)수'라고 부르는 것은 이치 즉 규칙이 있는 수라는 의미로 잘된 번역이지요.

[@mathandenglish]

1. 작도 역시도 두께가 없는 완벽한 직선과 완벽한 원을 작도하는 것이라면 상상의 (혹은 허구적) 자와 컴퍼스를 가지고 하는 활동입니다. 참고로 저는 기하학 개념이 없어져야 한다고 한 적이 없습니다. 말씀하신대로라면, "소설이라는 것이 상상의 활동이니 소설이라는 활동은 사라져야 한다"고 해야겠죠. 2. 저는 원래 파이가 '원의 둘레/원의 지름'으로 정의되었으나, '현대수학'에서는 그렇게 정의되지 않는다고 했습니다. 옳고 그름을 따진 적이 없구요. 현대 수학자들이 자신들의 신념에 따라 그렇게 정의한 것을 알려드리는 것이니, 저한테 따지지는 말아주세요 ^^

[@박상찬-v6d]

표현이 그렇게 되었다고해서 어떻게 그것이 원과 무관하다고 말할수있니? 본질적인 사람이 옷만 바꿔입은거 아니겠니?

[@초록빛노을-s8k]

자로 재면 실수가 나오지 유리만가 나오나요? 인간의 측정의 한계상 유리수로 표현한것이지 자는 실수의 집합으로 알고있습니다.

[@mathandenglish]

자에 실수가 표현되어 있나요? '루트2'나 '파이'같은 것이요? 그런 수들이 가리키는 거리가 있기는 한 건가요? 영상을 보시면 알겠지만 그런 거리는 크기가 없는 두 점 사이의 거리밖에는 없습니다.

[@mathandenglish]

@@재윤노-m3j 숫자라고 하는 건 사용하기 나름입니다. 1, 2, 3과 같은 수도, 말씀하신대로 완벽한 1cm, 2cm, 3cm 와 같은 거리를 가리키기 위해 말한다면 그런 완벽한 거리는 없죠. 현실에 실수에 대응되는 무언가가 있다고 가정하고 있으신데, 그럴 수 있습니다. 수학자들이 그렇게 믿고 가르치니까요.

[@오판다-i6n]

궤변입니다, 유클리드가 현대수학인가요? ​@@mathandenglish

[@meleesy8071]

실수 중 무리수는 측정할 수 없습니다. 정의되는 수 입니다. 영상에도 나오듯이 상상의 개념인 무한대에 기반한 수이기에 측정으로 특정할 수 없습니다. 반면, 유리수는 분수로 표현가능하기에, 예를 들어 a=123/4567890는 '유한 번'의 분할을 통해 4567890개로 나누어 순서를 매기면 122번 째와 124번 째의 사이에서 이들과 명확히 구분되는 123번 째를 특정할 수 있습니다. 이 과정에 무한대는 개입되어 있지 않기에 유리수는 어떤 경우에도 특정할 수 있으며 이는 측정가능하다는 걸 의미합니다.

[@takeme-somewherenice]

@@kbyshaker33 당신이 생각하고 있는 측정이란 말의 의미는 무엇인가요?

[@xllrby5344]

영상을 다 보고 댓글을 남겼으면 좋겠네요

[@Euler0403]

영상은 깔끔하고 좋습니다. 그런데 좀 이해가 안 돼서 댓글 남겨봅니다. (1) 가상의 원 : 요즘 시대에 아무도 직접 원을 그려서 π값을 근사하려 하지는 않습니다. 그러므로 '현실에 존재할 수 없는 가상의 원'이 언급되는 이유를 잘 모르겠습니다. 하다 못해 x^2+y^2=1을 만족하는 (x,y)을 모아놓고 원이라고 생각한 후, arc-length같은 것으로 생각하면 "완벽하지 못한" 문제는 해결되지 않을까요? (2) 비유클리드 기하학 유클리드 기하학 밖에서 원의 둘레와 지름의 ratio가 우리가 익히 아는 π값과 다를 수 있습니다. 그렇다고 기존의 정의방식을 바꿀 이유까지야 되는지 모르겠습니다. 같은 논리로 "피타고라스 정리는 거짓이다"라고 주장할 수도 있겠네요. 만약 'π는 R^2에서 (...) C/d의 값이다'처럼 정의한다면요? 어쨌든, π는 너무 trivial하게 정해진 실수라고 생각했었는데 다른 시각을 볼 수 있어서 좋았습니다.

[@mathandenglish]

안녕하세요. 제가 할 수 있는 한 답변을 드리겠습니다. (1) 제가 '가상'의 원을 언급한 이유는 크게 두 가지입니다. 첫째는 저는 일단 학생들에게 수학을 가르치는 사람인데, 학생들이 원주율을 그냥 '원의 둘레/원의 지름'으로 나누면 된다고 쉽게 생각하는 것 같아서 언급한 측면이 있습니다. 두번째는 수학 전체가 가상적인 토대위에서 진행되고 있다는 것을 언급하고 싶어서 입니다. 여기서 '가상적'이라는 것은 단지 '추상적'인 개념이 아니라 fictional 혹은 허구적인 것이라는 것입니다. 다시 말해 숫자 1, 2, 3 과 같은 것들은 현실에 대응되는 분명한 사물들이 있지만 무리수는 그런 것들이 존재하지 않습니다. 순전히 허구적인 개념이라는 것입니다. 말씀하신 것처럼 x^2 + y^2=1에 해당하는 점들을 찍어놓고 arc-length를 구하더라도 무한이라는 허구적 개념이 개입되기 때문에 여전히 허구적인, 가상적인 개념입니다. (이 부분은 영상말미 13:40 에서도 (약간 다른방식으로) 언급했습니다.) (2) 사실 pi의 정의를 바꾸어준 것은 엄밀히 말하면 비유클리드 기하학이 발견되서라기보다는, 비유클리드 기하학이 나타남에 따라 '기하학에 대한 신뢰'가 깨졌기 때문이라고 할 수 있습니다. 기하학은 거의 2000여년이 넘게 진리의 본체라고 여겨져왔습니다. 그리고 그 기하학이란 '유클리드' 기하학이구요. 그러나 기하학에 대한 신뢰가 깨짐에 따라 수학자들은 숫자, 혹은 산술이라는 영역으로 그 신뢰를 옮겼을 뿐입니다. 그래서 기존의 모든 기하학적 개념들은 이제 수식으로 표현을 합니다. 말씀하신 x^2 + y^2 =1이라는 것 역시도 새로운 원의 정의라고 할 수 있겠습니다. 참고로 원이라고 하는 것은 비유클리드 기하학에서도 정의를 할 수 있습니다. 예를 들어, 어떤 norm | • |이 주어진 공간에서 | x | = r 이라고 하면 됩니다. 물론 이 경우, 원주율이 우리가 아는 파이(pi)가 나오지 않을 수 있겠죠. 또한 피타고라스 정리 역시, inner product < , >를 정해주면 orthogonality를 정의할 수 있기 때문에 피타고라스의 정리 역시 어느 기하학에서나 성립할 수 있습니다. 그러나 그 inner product가 유클리드 기하학의 dot product와 다르면 그 피타고라스의 정리는 우리가 흔히 아는 피타고라스의 정의는 아닐 것입니다. 결국 요약하자면 수학이라고 하는 것은 언제까지나 정의하기 나름인 것이고, 수학자들의 신념에 따라 얼마든지 바뀔 수 있는 분야라는 것입니다. (참고로 수학이 허구적인 토대 위에 세워져 있다는 것을 좀 더 구체적으로 알기 원하신다면, 제 또 다른 채널 www.youtube.com/@truthnfoundation 을 참고해주시면 되겠습니다.)

[@mathandenglish]

@@hanjinnoh2703 무한도의 정밀성으로 잴 수 없기 때문에 정의를 바꾸었다고 한 적은 없습니다. 유클리드 기하학에 대한 신뢰가 깨지면서 기하학에 대한 신뢰가 깨졌기 때문이라고 하였죠. 조금 더 구체적으로 말하자면 수학자들에게 있어서 공리를 바탕으로 논리를 전개하는 유클리드 기하학이야 말로 엄밀한 수학의 대표적인 분야였습니다. 파이와 같은 무리수도 기하학으로 정당화했고요. (사실' 기하학'과 '수학'은 거의 동의어나 다름 없었습니다.) 그러나 5번째 평행선 공준이 사실이 아니라는 것을 알게 되면서 유클리드 기하학이 엄밀한 분야가 아니라는 것을 알게 되고, 오히려 숫자나 산술의 토대위에 수학을 세우려는 노력을 하게 된 것입니다. 그러다보니 모든 기하학을 arithmetic 위에 세우려고 하게 된 것고, 파이와 같은 무리수도 순수히 산술적 정의를 하게 된 것입니다.

[@mathandenglish]

@hanjinnoh2703 측정의 문제는 당연히 존재하죠. 기하학의 어원 자체가 땅을 '측정'한다는 뜻이구요, 또 측정을 하지 않을 거면 굳이 Pi를 지금과 같은 정교한 값으로 구하도록 정의할 이유도 없구요. 파이의 값은 여전히 변함이 없습니다. 그 본질도요. 다만 기하학에 대한 신뢰문제가 생겼기 때문에 정의를 구하는 방식을 바꾸어주었다는 것입니다. 그리고 크기가 없는 점, 굵기가 없는 선이 환상속의 도형이 아니면 무엇이라고 생각하시나요? 이것은 플라톤의 이데아의 세계에만 존재하는 도형입니다. 플라톤은 현실속의 빨간색이 이데아에 존재하는 '완벽한 빨간색'의 그림자 정도로 생각한 사람입니다. 그런데 그런 '완벽한 빨간색'이 있다고 말하는 것과 저런 역설에 기반을 둔 '완벽한 도형'이 있다는 것은 같은 맥락입니다. 둘다 이데아의 세계에만 존재합니다. 이런 도형을 환상 속의 도형이 아니라 참된 도형이라고 생각하는 것이, 오히려 플라톤의 추종자들에게 그 생각을 주입받은 결과입니다.

[@mojo2467]

할 말이 많지만 갓 태어난 아기처럼 용어를 몰라 그냥 울겠습니다 엉엉

[@mathandenglish]

어려운 용어 쓰실 필요없이 그냥 하시고 싶은 말 하시면 됩니다 ^^

[@salm2000]

문자로 쓴 설명을 수식으로 바꾼 거네요. 그래서 본질은 그대로.

[@frisebichon1519]

그리고 저 말인즉.. 원의 면적과 같은 정사각형은 절대 만들 수 없다는것임..

[@콜레트]

히히 한 변의 길이가 π^(1/2)인 정사각형 발싸

[@mathandenglish]

원래 댓글은 주어진 원의 면적과 같은 면적을 가지는 정사각형을 작도할 수 없다는 것을 의도한 것 같습니다.

[@frisebichon1519]

@@mathandenglish 유튜버분도 댓글 단 분도 제 의도를 잘 파악하셨어요... 전 첫 댓글 읽고 재밌어서 웃었어요.. ㅎㅎㅎ

[@mygrnu]

그러네요. 원의 면적과 같으면서, 한변의 길이가 유리수인 정사각형을 만들수는 없네요.

[@mathandenglish]

@@mygrnu 이건 작도불가능 문제인데 대학교 수준의 지식이 필요합니다 ^^

[@의문-b6d]

무리수의 길이는 인간의 관념 안에 존재하는 게 맞죠. 아무리 생각해도 산술적으로 정의한 pi의 정의가 더 수학적 논리를 전개하기 편리해서, 엄밀해서까지는 납득할 수 있는데 기존의 기하학적 정의가 유리수/유리수라서 틀렸다 이건 아니라고 생각합니다. 분명 인간의 관념안에서 길이는 무리수 값을 가질 수 있으니까요.

[@mathandenglish]

실제로 대응되는 현실의 대상이 없는데, 인간의 관념 안에만 존재하는 것을 허구적(관념)이라고 합니다. 인어공주처럼요. 그리고 기하학적 정의가 틀렸다고 한적이 없습니다. 수학자들이 기하학에 대한 신뢰를 잃어버리는 바람에 산술적으로 바꾸었다고 했죠. (참고로 제가 바꾼 것 아니니 저한테 뭐라고 하시진 마세요 ^^)

[@oganesson1242]

:= 대입연산자로만 알고 있었는데... 새로운 걸 알고 갑니다

[@HissingGeotrauma]

잘 봤습니다. 비전공자 입장에서도 이해가 빠르고 쉽네요. 아 혹시 범주론에 대해서 언젠가 다뤄주실 수 있을까요? 아니면 개인적으로 찾아서 공부해볼만한 소스가 있다면 추천이 가능할까 싶습니다. 범주론을 들먹이는 사람들이 종종 보여서 알긴 알아야 겠는데, 영어권 자료를 좀 들여다보는 걸로는 비전공자에 사전지식이 거의 없는 상황에서 바로 진입해 들어가기가 상당히 어렵네요.

[@mathandenglish]

답변 감사드립니다. 제 채널이 사실 초/중/고등학생들이 접할 수 있는 가장 기본적인 주제를 심도깊게 다루는 채널이다보니 category theory를 다루게 될지는 잘 모르겠습니다. 그리고 사실 category theory가 수학의 모든 범위를 다 아우르는 것인만큼 제대로 다루려면 대학원 수준의 대수학, 위상수학 등을 다 다루어야 해서 쉽지가 않을 것 같습니다. 만약 어느 정도의 일반적인 개론을 원하신다면 위키백과 범주론 항목(ko.wikipedia.org/wiki/%EB%B2%94%EC%A3%BC%EB%A1%A0 )을 참고하셔도 좋을 것 같습니다. 또, 유튜브 채널 이상엽 math 에서도 범주론( kzbin.info/www/bejne/l5jKoHyuetClbLM )을 다루긴 하는데, 이것도 일반적인 개론정도인 것 같습니다. 그래도 참고하시면 도움이 될 것 같습니다. ^^

[@재성-z9b]

1:05 자로 길이를 재서 나온 길이는 어째서 유리수일 수밖에 없나요? 두 변의 길이가 1로 같은 직각이등변삼각형의 빗변의 길이는 sqrt(2)입니다. 물론 현실적으로 그 길이를 '재면' 1.41같은 유리수로 근사할 수밖에 없겠죠. 하지만 그렇다고 그 직각삼각형의 빗변의 길이를 재면 유리수의 길이가 나온다라고 하는 게 맞나요? 애초에 여기서 잰다는 건 진짜 공학적인, 실용적인 의미에서 잰다기보다는 이론적인 길이를 말하는 게 아닌가요?

[@mathandenglish]

(루트 2)라는 길이를 가진 길이가 있기는 한 걸까요? 도대체 무리수가 무엇이고 숫자는 무엇일까요? '무리수의 길이'라는 것이 근사해서 얻을 수 있는 길이이기는 한 것일까요? 아니면 아예 불가능한 것일까요? 이런 부분을 한번 생각해보시면 좋을 것 같습니다.

[@재성-z9b]

@@mathandenglish 한 번 생각해봤습니다. 무리수는, 유리수와 달리 자에 눈금으로 나타낼 수가 없더군요. 예를 들어, 1/4는, 눈금의 길이가 0과 1사이를 4등분한 만큼의 길이인 자의 눈금들 중에서, 0과 1사이의 첫 번째 눈금에 표시할 수 있겠죠. 이는 다른 유리수들도 마찬가지입니다. (모든 유리수는 눈금 사이의 길이가 0과 1을 n등분한 만큼인 자에서, 어떤 두 정수 사이의 눈금들 중 자연수 번째 눈금에 나타낼 수 있기 때문에, 모든 유리수들은 눈금에 표시할 수 있습니다) 그러나, 무리수는 눈금에 표시할 수 없습니다. 그렇기에, 아무리 정밀한 기계를 가져와도 우리는 루트2라는 길이를 측정할 수는 없습니다. 아무리 눈금을 잘게 잘라도 정확히 루트 2라는 값을 나타내는 눈금은 존재할 수 없거든요. 그래서 무리수의 길이를 측정할 수 없다는 말에는 동의합니다. 그렇다고 무리수의 길이가 아예 존재하지 않는다고는 할 수 없지 않을까요? 직관적으로 생각해도 줄자를 쭈욱 늘리다보면 1과 2 사이를 지나게 될 것이고 그렇다는 것은, 무조건 루트 2를 한 번 지났다는 겁니다. 다시 말해, 줄자의 끝이 루트 2를 지날 때, 그때 눈금을 지나진 않았지만, 그 순간에는 그 줄자의 길이가 루트 2인거잖아요. 무리수의 길이가 존재하지 않는다는 말은 뭔가 무리수가 존재하지 않는다는 말과 비슷하게 들려요... 그야, 두변의 길이가 1인 직각이등변삼각형의 빗변 길이는 다들 루트 2라고 답하잖아요? 그냥 그 길이는 루트 2라고 정의된겁니다. 일단 무리수의 길이를 측정할 수 없다는 것은, 실용적인 이유에서가 아니라 정말 본질적으로 측정할 수 없다는 것은 알겠습니다...

[@재성-z9b]

@@mathandenglish 따라서, 자로 재서 나온 길이는 무조건 유리수일 수밖에 없다는 것에도 동의합니다. 하지만, 곡률이 0인 평면에 그려진 원에 대해 (원의 둘레의 길이)/(원의 지름의 길이)가 파이가 아니라는 점에는 동의하기 힘들어요. 아무리 정밀한 자로 측정해도 파이의 길이를 측정할 수는 없지만, 그렇다고 파이의 길이가 존재하지 않는다는 말에는 동의하기 힘들다는 말입니다.

[@mathandenglish]

@@재성-z9b 생각을 꽤 깊이 해 보셨네요. 줄그러나 1과 2사이를 지날 때 (루트 2)를 지난다는 말 자체가 이미 무리수의 길이가 있다고 가정을 하고 있는 것입니다. '수'라는 것은 개념적 도구이고, 그것은 현실에 대응되는 것이 있을 때 허구적인 개념은 아닐 것입니다. 그러나 무리수라는 것 자체가 말씀하신 대로 현실에 대응되는 실체가 없습니다. 기껏해야 크기가 없는 두 점 사이의 거리인데, 이런 길이는 공상속에서나 가능한 것이죠. 예를 들어, 인어공주 같은 것은 현실에 대응되는 것은 없지만 상상속에서만 존재하는 것처럼요.

[@mathandenglish]

​@@재성-z9b 참고로 저는 (원의 둘레의 길이)/(원의 지름의 길이)가 파이가 아니라는 얘기를 한 적은 없습니다. (원의 둘레의 길이)/(원의 지름의 길이)가 파이가 되려면 그 원은 바로 선의 두께가 없는 원이 되어야만 가능한 것이라고 말했구요. 그리고 현대수학에서는 수학자들이 파이의 정의를 산술적으로 바꾸었다는 사실을 말씀드렸을 뿐입니다. (제가 바꾼 것이 아니구요 ^^)

[@hyeonsseungsseungi]

현대수학은 어디서부터 어디까지를 말하는 걸까요?

[@mathandenglish]

사람마다 차이는 있을 수 있겠지만, 제가 언급하는 현대수학의 시기는.. 칸토어가 등장해서 무한집합을 이야기하고, 또한 수학계가 (무한 때문에 발생하는) 역설에 진지한 관심을 가지기 시작하면서 수학의 기초론(foundations of mathematics)에 대한 논의가 진행되었던 19세기 말부터 지금까지라고 생각하면 될 것 같습니다.

[@하호준-b4j]

현대수학이 언제부터 시작되었다고 정확하게 정의하기란 참 어려운 일입니다. 왜냐하면, 과거에 연구가 시작된 것들이 몇 백년 넘게 연구되온 경우도 있기도 하구요. 그래도 보통 고대 헬라 철학자 에우클라이데스가 과거의 수학을 재정리 하여 집대성한 기하학원론의 영향력을 벗어나기 힘든 르네상스 중세시대를 넘어, 뉴턴과 라이프니츠 이후로 많은 연구가 진행되었고, 이를 집합론의 창시자 칸토어 이후 재정립한 것을 현대수학으로 보는 견해가 많습니다. 집합론이라는 학문 자체가, 유한한 세계를 살아가는 인간이 직관적 판단을 넘어, 무한을 다루기 위해 집합론이 만들어졌거든요. 대부분의 수학 용어가 집합을 바탕으로 재정의 되었습니다. 그 이후, 수학은 수를 다루는 학문을 넘어, 집합과 함수를 다루는 학문으로 발전하였죠. 에우클라이데스(유클리드)가 수학을 수를 다루는 학문을 넘어, 기하학을 수학의 영역으로 편입시켰다면, 칸토어는 무한을 수학의 영역으로 편입시켰고, 어떤 수학적 대상을 이해하고 정보를 획득하기 위해서는, 그 대상의 일부분을 탐구하거나, 그 대상의 성질을 연구하기 시작하였고, 지금에 와서는, 범주론을 바탕으로 어떤 성질을 연구하고, 그 성질을 만족하는 대상을 연구하는 순서가 거꾸로 연구하는 방법을 많이 하고 있습니다. 자연수와 수열 합동과 등거리사상 복소수와 등각사상 벡터공간(선형공간)과 선형사상 등등 근래의 수학은 과거 연구되던(칸토어 이후 집합론적 연구되던) 대상을 다른 시각으로 바라보는 활동을 많이 합니다. 물론 과거 몇 백년 전부터 진행되던 연구도 하고 있습니다. 리만가설, 골드바흐 추측 등등 300여년 넘게 수작자들을 괴롭혀온 페르마의 마지막 정리가 현대, 근래 연구한 다양한 기법을 총 동원하여 푼 것 처럼, 따로 연구하던 미분과 적분이 미적분학의 기본정리에 의해 서로 연관됨이 알려지고, 근래의 수학은 기존에 따로따로 연구하던 수학의 하위 학문들을 연결하여 연구하기도 합니다.

[@patience-o7x]

미분가능성과 도함수의 연속성이 관련이 있는지 궁금해요. 고등학교 과정에서는 시험범위 내에서는 크게 문제 없다. 그래도 궁금해요

[@mathandenglish]

전 구간에서 미분가능하더라도 도함수는 연속이지 않을 수 있습니다. 예를 들어, x가 0이 아닌 값에 대해서는 x^2 * sin(1/x)으로 x = 0일 때는 0으로 정의한 함수가 그러한 케이스입니다. (이 함수의 경우 x = 0에서 도함수가 연속이 아니죠.) 보통 도함수까지 연속인 함수를 C-1함수라고 부릅니다. 또한 무한번 미분가능한 함수는 C-∞ 라고 부르는데, 고등학교 교과과정에서 배우는 함수들, 다항함수, 삼각함수, 로그함수, 지수함수는 C-∞라서 위와 같은 부분을 신경쓸 필요가 전혀 없지만, 대학교 과정에 가면 병적인(pathological) 가 굉장히 많습니다. 연속함수이지만 어떤 점에서도 미분이 안되는 함수도 있구요. 이 모든 것은 실수라는 집합이 허구적인 집합이라서 그런 것이라고 생각이 듭니다.

[@izear-han]

유리수/유리수 는 유리수가 맞나요? 1/3 은 0.333333 무리수 아닌가요?

[@mathandenglish]

무한소수로 표현된다고 무리수는 아닙니다. 무리수는 순환하지 않는 무한소수가 무리수입니다.

[@izear-han]

@ 아.. 그랬네요.. 분수로 표현 못하는 수가 무리수였네요.. 배운지 오래되서 ㅎㅎ

[@아무거나-o9n]

무슨 말인지는 알겠지만 무언가 찝찝하네요... 역사적으로 발달되어온 순서와 자연스러운 인식 과정을 무언가 임의적으로 바꾸어 놓은 듯한 기분이 드네요.

[@mathandenglish]

뭔가 오해가 있으신 것 같은데, 제가 바꾼게 아니라 이게 현재까지 수학이 발전된 순서입니다 ^^ 그리고 수학의 인식과정은 결코 자연스럽지 않습니다. 무리수만 해도 엄청난 논란이 있었던 개념이구요. 익숙해져서 그냥 자연스럽게 느껴질 뿐입니다. 조금 더 깊이 알기 원하시면 NYU의 수학석좌교수였던 Morris Kline(모리스 클라인)이 쓴 [수학의 확실성]이란 책을 읽어보시기를 추천드립니다.

[@아무거나-o9n]

@@mathandenglish 아 선생님께서 바꾸셨다는 말이 아니라 이렇게 흘러온 과정에 대한 느낌이었습니다. 그니까 제가 말씀드리려던 건 원주율이 원래 기하적으로 정의되었었는데 물론 연관은 있지만 기하로부터 탈피하여 재정의하는 과정이 뭔가 이상하게 느껴진다는 겁니다

[@lucirsay7248]

오일러등식을 만족하게 하는 숫자로 정의하면 기하학이랑 무관할 수 있지 않나요?

[@mathandenglish]

조금 더 구체적으로 말씀해주신다면요? ^^

[@elgb5671]

e^ix+1=0의 해 말씀이시면 x=(2n+1)π(n은 정수)가 전부 해라서 수학자들 발작버튼 돼버립니다

[@LoE-qx6ge]

선에 두께가 있더라도 해당 선의 두께에 대해 중심선은 결국 존재하니까 그 중심선에 대해서만 길이를 측정하면 정확히 지름의 길이와 원의 둘레 길이로 파이를 정의하면 안되나요?

[@mathandenglish]

영상에서 말씀드렸다시피 중심선이든, 바깥 끝선이든, 안쪽 끝 선이든 간에 그 선들 역시도 굵기가 읽으면 또 같은 문제가 생길 수 밖에 없습니다.

[@LoE-qx6ge]

@@mathandenglish 컴퓨터로 정확히 그린다고 했을 때 선의 두께에 해당하는 양 끝이 0과 2라고 하면 1에 해당되는 부분이 중심선이 될텐데 이런식으로 두께 양 끝의 중앙값에 해당하는 선으로 생각하고 직경과 둘레를 계산해도 불가능한가요? 가령.. 원의 선 두께중에서 0에 해당하는 둘레길이, 2에 해당하는 둘레길이로부터 시작해서 양 끝에서 1로 향하는 극한값으로 둘레를 구해보는거죠..

[@mathandenglish]

@@LoE-qx6ge 컴퓨터로 그리는 점도 어떤 크기가 있는 픽셀입니다. 또한 극한값으로 가면 결국 점은 없어지겠죠.

[@hjchoi2063]

π를 굳이 cosθ = 0의 가장 작은 양수 해의 두 배와 같은 식으로 정의하는 이유가 뭐죠? 말씀하신대로 정의하더라도 결국 π가 현실에 실존하지 않는 원으로부터 유래됐다는 건 바뀌지 않는 것 같아 보여서요. 게다가 수 개념 역시 현실에 실존하지 않는 건 마찬가지 아닌가요? cosθ의 정의가 직각삼각형의 밑변/빗변으로부터 단위원의 x좌표, [exp(iθ) + exp(-iθ)]/2와 같이 바뀌는 건 일반성을 추구하는 것이라 이해가 되는데 영상에서 말씀하신 내용만으로는 정의를 바꾼 이유를 납득하기 어렵네요.

[@mathandenglish]

와, 파악을 잘 하셨네요. 정의를 바꾼 건, 사실 파이에만 해당한다기보다는 영상에서 이야기했다시피 수학자들이 기하학에 대한 신뢰를 잃어버렸기 때문입니다. 실제로 힐베르트가 모든 수학을 산술 위에 얹으려고 했고요. 사실 그렇게 했던 것은 아무래도, 수학자들의 유클리드 기하학에 대한 신뢰가 워낙 컸어서 그것에 대한 반동으로 그렇게 된게 아닐까 싶습니다. 사실 '무한'이라는 개념만 수에 포함되어 있지 않다면 그래도 산술이 조금 더 명확하다고 말할 수는 있을 것 같은데, '실수'라는 수 시스템은 기하학에서 유래된 수이기도 하고 무한이라는 개념이 포함되어 있어서 기하학의 허구적 본성을 그대로 가지고 있다고 할 수 있습니다.

[@hjchoi2063]

@@mathandenglish 하긴 비유클리드 기하학이란 게 존재하는 시점에서 기하학을 수학의 기저로 삼고 싶은 생각이 안 들 것 같긴 하네요. 단지 추가로 궁금한 게 하나 있는데 π의 정의를 영상에서 말씀하신 방식으로 바꿨을 때 얻는 다른 이득 같은 게 있을까요? 이 경우는 정의를 바꾸더라도 그 정의가 가리키는 외연이 전혀 안 바뀌는 것 같은데 논리 전개 같은 것에 특별히 더 편한 부분이 있는 건지 궁금합니다.

[@mathandenglish]

@@hjchoi2063 사실 편해지는 부분이 있을 리가 없습니다. 똑같죠. 왜냐하면 새로운 것이 아니라 그냥 원래 있던 성질을 정의로 삼았을 뿐이니까요. (오히려 개인적으로는 불편한 것 같습니다.) 그냥 수학자들의 '정신적 만족'이 아닐까 싶습니다 ^^

[@ckehf]

​@@mathandenglish영상 보면서는 뭔 하나마나한 소리를 열심히도 하시네 했더니 여기에 핵심을 숨겨두셨네요. 수학 자체가 어차피 공리로부터 전개하는 사고실험 같은 거고, 막상 따져보면 허구가 아닌게 없는데 뭔 갑자기 원둘레를 줄자로 재니 못재니 하고 계시나 했어요.

[@hjchoi2063]

​@@mathandenglish생각해보니 이 모든 사단(?)의 원흉이 또 무한으로 보이네요 ㅋ... 코시 이전처럼 무한을 직관적으로 다루기엔 오류가 발생할 위험성이 너무 크니 수학의 지식 구조에서 직관을 완전히 배제하고 오직 논리로만 지식을 배열하려는 것처럼 느껴집니다. 단지 저는 물리를 전공해서 그런지 저렇게까지 해야하나 싶긴 하지만요 ㅋ...

[@Qwerty-ui123op]

이 영상의 핵심은 완벽한 원이 존재하지 않는다가 아님. 완벽한 원이 존재하지 않으니까 파이란걸 저렇게 정의해선 안된다, 도 아니고. 완벽한 원이 존재하지 않는거야 당연한거고, 극한이란 개념을 만든 현대수학부터는 원을 도입하는 것보다 저런 극한을 이용해서 정의하는게 훨씬 깔끔하고 명확함. 영상보면 sin cos도 다 수렴하는 무한급수로 환원하고, 파이라는 숫자도 무한합을 이용해서 정의함.

[@거북선-b1k]

원은 그리는 게 아니라 힐베르트 공리와 정의로 결정되는 것입니다..그렇지 않나요?

[@mathandenglish]

유클리드 시대에 힐베르트 공리계가 있었나요? 힐베르트 공리계와 유클리드 공리계의 (관점의) 차이는, 힐베르트는 어떤 대상이 존재한다고 선언을 하는 것이고, 유클리드는 어떤 대상을 작도할 수 있다고 말을 하는 것입니다. Geometry_ Euclid and Beyond (Robin Hartshorne)를 읽어보시면 도움이 될 것입니다.

[@이창희-g1m4i]

반론이요. 나누기한게 유리수여야 한다는 가정은 잘못됨. 길이는 실수입니다.

[@mathandenglish]

실수 길이는 있는 것인가요? 루트 2 cm는 뭔가요?

[@sdm0089]

그런데 원둘레a가 어째서 유리수 인가요? 무리수도 엄연히 실수인데 말이죠. 오히려 역으로 파이가 무리수니까 완벽한 원의 둘레는 실수인 무리수일수 밖에 없다고 하는것이 맞지 않을까요?

[@mathandenglish]

도대체 '수'가 뭔가요? '무리수'는 무엇이고 또 '실수'는 무엇인가요? '무리수'가 실수라고 하셨는데, 무리수의 거리라는 것이 실제로 있는 건가요? 그리고 '완벽한' 원이란 건 존재하기는 하는 건가요?

[@sdm0089]

@생각해보니 1의 길이라는것이 추상적이네요. 그런데 어쨌든 1의 길이가 정해지면, 거기에 무리수를 곱한 길이도 실제 길이가 아닐까 생각합니다. 그래서 제 생각을 바꿀께요. 원의길이나 지름을 같은 단위로 측정하면 둘중 하나는 반드시 무리수여야만 한다구요. 어떤가요? 완벽한원은 모르겠습니다

[@mathandenglish]

@@sdm0089 무리수의 길이는 '완벽한 점'들 사이에서만 나올 수 있습니다. '완벽한 점'들이란 영상에서 말했다시피 '크기가 없는 점' (=허상)이구요. 사실 제가 드렸던 질문은 정말 깊이 생각해봐야 하는 문제입니다. 그래서 다른 영상에서 그것에 대해 다루어볼 생각입니다!

[@sdm0089]

@@mathandenglish네 기대해 보겠습니다. 전 수학 전공은 아니지만, 유리수 길이를 가진 지름으로 원을 그리면 그 원의 둘레는 그 지름에 유리수를 곱한 값으로는 표현 못할거라 생각 했거든요. 물론 측정의 한계와 선의 두께등의 문제때문에 측정을 통한 증명은 불가능하겠지만요...

[@mathandenglish]

@@sdm0089 전공이 아닌 사람도 충분히 이해할 수 있는 방식으로 설명해보려고 합니다 ^^

[@sds-od9zu]

한마디!!! 천국에 사는 천사들의 수학으로 치면 초등학생 수준?

[@mathandenglish]

?

[@xllrby5344]

?

[@elgb5671]

13:50 굳이 2배 안하고 새로운 상수로서 정의한다 했으면 머리 터졌겠다 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ

[@mathandenglish]

그럴리는 없을 것 같긴 한데요. 기하학적인 정의에 끼워맞춘 격이라..

[@frisebichon1519]

참 수학이란건 가장 명확한것이지만 도저히 증명 불가능한게 있어서 혼돈스럽지요 전 아직도 고3극한에서 0.999999=1이라는것 자체가 이해 불가입니다 물론 증명이 된 명제긴 하지만요. ㅎㅎㅎ

[@mathandenglish]

0.99999.. = 1은 고3극한에서 다룰 수 있는 게 아닙니다. 이것은 실수의 정의를 알아야 다룰 수 있는 것이고, 그것은 대학수학에서나 가능한 것입니다. 이해를 못하는 것이 당연한 것입니다. 제가 찍은 영상 "1=0 9999⋯ 에 대해 제대로 설명해드립니다" kzbin.info/www/bejne/eYjchGyLobOmos0 을 참고해보셔도 좋습니다. 사실 0.9999 = 1은 증명할 문제가 아니라 거의 정의에 가깝습니다. ^^

[@손오공-r6e]

자로 크기 재는것칸 몇번해봐도 깨닫는 사실

[@정제이슨-i1f]

수학쪽 분야 박사과정까지 마치고 이렇게 개념이나 발전역사 확실히 알고 본질적 설명 완벽하게 할 수 있는 사람이 입시강사 해야한다고 생각함. EBS 50일수학같은 강의는 초1부터 고1까지 커버하는 강의인데 아예 덧셈뺄셈0 가우스 절댓값 함수 방정식 루트 등등 철저하게 발전역사,왜이렇게 생각하고 출발한건가,시대적상황 이런 용어까지 확실히 설명을 해주면 개념자체가 확고해지고 튼튼해져서 좋을것같은데.. 내 어릴때는 남자는 정의로운 사람 정의역 단체소개팅에 여자 콕 집었는데 선택 못받은 여자는 치사하다 해서 치역 이런식으로밖에 못배움. 그러다 패배감과 두루뭉술함,찝찝함을 못견뎌서 포기. 이런 사람들 대다수일듯

[@mathandenglish]

감사합니다. 참고로 코로나 때 발생한 어떤 상황으로 인해 박사과정을 다 마치진 못했습니다. (박사과정 수료하고 논문 하나 쓰다가 중단할 수 밖에 없었습니다.) 언젠가는 그 상황이 무엇이었는지 말할 수 있는 기회가 올 수 있을 거라 기대해봅니다. ^^

[@sororist]

기하학 자체가 두께가 없는 선분, 길이가 없는 점 등의 현실에 존재할 수 없는 개념을 전제하기에 이를 배제해야 한다는 논지인데, 그렇다고 해서 기하학의 대표격인 파이를 기하학을 배제하고 설명해야 한다면, 해석학의 대표격인 i는 어떻게 설명 가능할까요? 애초에 분류부터가 허수이고 현실에 존재할 수 없는 개념으로 현실에 존재하지 않는 개념을 전제하지 않으면 설명하기에는 상당히 무리가 있어 보이는데요.

[@mathandenglish]

저는 그런 개념을 '배제'해야 한다고 한 적은 없습니다. 다만 그것이 가상적 혹은 허구적 개념이라고 하였죠. 제가 말한 가상적 혹은 허구적 개념이라는 말은 아무래도 조금 더 명확히 밝힐 필요가 있을 것 같아서 또 다른 영상에서 설명할 예정입니다. 그리고 해석학에서 i를 말씀하셨는데, 굳이 i까지 갈 것도 없이 실수 시스템 자체가 허구적인 개념입니다. 이 부분은 아마 제 또 다른 영상( kzbin.info/www/bejne/qZ2adYelbLhlZ7c )에서 소개하였으니 참고하시면 될 것 같습니다.

[@sororist]

@mathandenglish 수학 관련 영상이야 그냥 취미삼아 보고 있을 뿐 저는 수학과는 관련없는 사람이고 관련학과를 나오지도 않았기에 당연히 현대수학의 관점에 대해 잘 모릅니다만, 기존의 파이에 대한 정의를 바꾸는 이유는 영상의 내용처럼 기존 정의에서의 가상적 또는 허구적 개념의 문제로 이를 최대한 배제하여 좀더 명확히 정의하고자 하는 시도가 아니고 비 유클리드 기하학이 나오면서 기존의 유클리드 기하학에서만 적용되던 정의를 비 유클리드 기하학에서도 적용할 수 있도록 적용영역을 확장하고자 한 시도로 보는것이 맞지 않을까 하는 부분입니다.

[@mathandenglish]

@@sororist 가상적 및 허구적 개념의 문제로 정의를 바꾸었다고 한 적이 없습니다;;; 영상 내용을 잘 보셔야 할 것 같습니다. (수학자들이 그런 것을 인정할리가 없죠.....) 비유클리드에 대해 확장하려고 한 것이라기보다는, 유클리드 기하학이든, 비유클리드 기히학이든 간에 기하학의 엄밀함에 대한 신뢰를 잃어버렸기 때문입니다.