역설 위에 세워진 기하학 (feat. 무리수 파이의 실체)

[@TheKtw729]

인간의 사유가 참 대단하네요, 뒤늦게 수학공부하는 입장으로서 이런 본질적은 영상으로인해 조금이나마 수학 공부를 꾸준히 해 나갈 원동력을 얻고 갑니다. 감사합니다 ^^

[@mathandenglish]

도움이 되셨다니 기쁠 뿐 입니다! 제가 최근에 새로 개설한 채널도 있으니 관심있으시면 영상 봐보셔도 좋을 것 같습니다 ^^ (www.youtube.com/@truthnfoundation )

[@탈탈US]

본인은 수학을 전공하지도 않고 평소에 수학을 생각해 본 적도 없는 사람인데...최근에 이상한 의문이 들었던 것 중의 하나가 바로 "점"의 정체였습니다. "점" 뿐만 아니라 "선"도 마찬가지고 면적, 공간도 마찬가지지요. 도무지 실체가 있는 것인가?' 라는 의심이 들어서 한가한 때는 궁리에 궁리를 했더랬습니다. 그런데 선생님의 강의를 들으니 이제야 좀 실마리가 풀리는 것 같습니다. 정말 재미있습니다. 우리가 처음 수학을 배울 때, 정말 이것부터 배웠어야 하는가 싶어요. 이렇게 중요한 점..선...수....이런 기초적인 개념에 대한 아무런 지식도 없이 덜컥 연산부터하고 넓이를 구하고....문제만 풀어대는 기계만 만들어 내고 결국 수학은 재미없고 지루한 "일"이 되어 버린 것이 아닌가 합니다. 앞으로도 좋은 강의 만들어주시면 후학들에게 큰 도움이 될 것 같습니다. ^^

[@mathandenglish]

저 역시도 학창 시절에 수학을 배울 때 이런 부분을 조금도 배우지 못했습니다. 공교롭게 수학에 관심을 가지고 수학을 전공하면서 이런 부분을 조금 더 찾아보게 되었습니다. 이 부분은 사실 수학과에서 배우는 것이라기보다는 수학철학을 공부하는 분야에서 다루는 내용이기도한데, 굉장히 중요한 부분이라고 저는 생각합니다. 말씀하신대로 이런 부분을 계속해서 짚어나가려고 합니다 ^^ 답글 감사합니다

[@un-kim.]

실체는 있잖아요 나무를 사각형으로 만들면 그게 실체 아닌가요 동그랗게 만들면 그것이 실체고

[@mathandenglish]

@@un-kim. 실체는 말씀하신 대로둥근모양의 나무, 사각형 모양의 나무입니다. 그런데 그리스 기하학에서는 소위 "완벽한" 원, 사각형 등을 생각하고 있죠. 그 "완벽한" 원, 사각형은 선의 두께가 없는 환상의 존재입니다. 예를 들어, 빨간 스카프, 빨간 지붕 이런 건 있겠지만 완벽한 "빨감" 이란 것이 저 어딘가에 있다고 하는 것과 같습니다. 이게 플라톤의 이데아의 개념인데, 판타지 같은 생각이죠.

[@雨里]

수학은 결국 정의의 연속일 뿐인지요? 분명하게 원의 경계를 그려놓고도 원의 넖이와 원주를 유리수적으로 표현하지 못하는 오차로 인해 공전 자전의 원운동으로 인해 윤달 윤년이 생기는건지요? 원형 냄비에 물을 가득 채우면 파이×r제곱×h의 질량과 부피가 나올텐데 그 부피와 질량이 실수가 아닌 무리수로 정의되어야 하는건지요? 호기심 가득한 수학은 깊히 이해 못하고 연구도 하지않는 사람이라 여쭙니다. 어릴 때부터 늘 궁금했던 문제라서요.

[@mathandenglish]

(답변을 하기 앞서... 질문하신 내용은 매우 심오한 것입니다.) 수학은 정의의 연속은 맞습니다. 그리고 그 정의는 수학자들의 영감 혹은 직관에 의해 주어집니다. 그래서 드 모르간이라는 수학자는 수학적 발견의 원동력은 상상력이라고 했죠. 저는 윤달, 윤년과 같은 문제는 공전, 자전의 문제와 관련이 없다고 봅니다. 왜냐면 차차 말씀드리겠지만 저는 지구가 공전, 자전하는 것은 뉴튼과 같은 과학자가 주장하는 말일 뿐이고, 아인슈타인의 상대성이론은 또 다르게 이야기합니다. 과학 역시도 상상력이 기반하고 있기 때문에 어느 것 하나 진실이라고 얘기할 수 있는 것이 없습니다. 과학은 끊임없이 그리고 거시적으로면 매우 불규칙하게 바뀌거든요. 무리수 자체가 세상에 존재하지 않는 것을 가리키는 허구적 개념이기 때문에, 무리수로 무엇인가를 나타내는 것 자체가 허구적 행위라고 보시면 될 것 같습니다.

[@blue-pill]

좀 이상하군요. 선의 두께가 있다고 가정하더라도 원의 면적을 구할 때 선 내측의 면적을 기준으로 하고, 채워넣는 사각형의 면적도 사각형을 이루는 선의 내측을 기준으로 채워넣으면, 설령 사각형을 이루는 선의 두께 때문에 사각형의 선이 원의 바깥으로 나오더라도 원 내부를 채우는데는 문제가 없으니까요. 선의 두께가 없다고 생각했을 때와 같은 문제가 발생합니다. 이렇게 바라보면 선의 두께는 파이를 출현시키는 이유가 될 수 없는 것 아닌가요?

[@mathandenglish]

사각형의 내부를 기준으로 삼든 외부를 기준으로 삼든 사각형이라는 도형의 형태를 규정하는 경계가 필요합니다. 바로 그 경계가 사라질 때 비로소 무리수가 등장하는 것인데, 문제는 그 경계가 사라지면 도형도 같이 사라진다는 것이죠.

[@옼케발]

"크기가 없는" 점을 정의하지 않았다면, 저는 오히려 인류의 발전을 저해시켰을 거라 생각합니다 저렇게 '크기가 없는' - 존재 덕에 '무한히' ~~ 한다라는 감각을 활용할 틈이 생겼다고 보거든요. 수학을 만지면서 신에게 다가가려 했던 칸토어나 라이프니츠같은 분들도 나타난거구요. .

[@mathandenglish]

좋은 의견 감사합니다. '인류의 발전'이라고 하는 것을 어떻게 보느냐에 따라 다를 수 있지만, 적어도 크기가 없는 점을 정의하면서 수학의 발전이 이루어진 것은 맞는 것 같습니다. 참고로 크기가 없는 점을 정의한 것 자체를 문제 삼는 것은 아닙니다. 모든 것은 개념적 도구이고 인간 생활에 활용을 하면 될 뿐이죠. 그러나 그리스인들, 그리고 그들의 후예들인 라이프니즈, 칸토어 같은 수학자들은 상상의 요소가 포함된 수학을 마치 진실, 혹은 진리라고 생각했다는 것입니다. 수학에는 그러한 신념들이 스며들어가 있고, 그것은 또 대를 이어 전해내려오고 있구요. 때문에 지금 많은 현대인들 역시 마치 수학이 말하는 것이면 진실인양 생각하고 있다는 것이 큰 문제이죠.