사실 저기서 x에 어떤 수를 집어넣어도 식의 값이 0이 되게 하는 a, b, c 값을 찾는 것이라 굳이 0, 1, -1 외의 다른 세 수를 집어넣어보아야 할 필요는 없긴 하지만, 굳이 다른 값을 넣어보고 싶으시면, 서로 다른 x, y, z를 넣어서 연립방정식을 풀면 (그렇게 어렵지 않게) a = b = c = 0이 되는 것을 알 수 있습니다. 만약 선형대수학을 아신다면 3 × 3 행렬, 구체적으로 1행은 [x^2, x, 1], 2행은 [y^2, y , 1], 3행은 [z^2, z, 1] 이라는 행렬의 determinant = -(x - y)(y - z)(z - x) ≠ 0이라는 사실을 통해서도 a = b = c = 0이라는 것을 유도할 수 있습니다.

결합법칙과 교환법칙이 성립한다는 조건이 필요합니다. 무리수에 왜 그런 법칙이 성립하는지를 설명하는 내용의 영상이지요 ^^

파이가 실측된다고요? ㅎㅎ

일단 제가 여기서 말씀드리는 '영향을 미친다'라는 말은순전히 일상적인 용어로 사용한 것입니다. 일상적으로 생각할 때 '3의 배수'와 '소수의 눈'은 겹칠 수 있기 때문에 일상적인 의미로 영향을 미치는 것 처럼 보이기 때문입니다. 사과를 먹는 예를 드셨는데, 사실 말씀하신 것은 독립사건을 논하기는 적합하지 않고, 배반사건을 말할 때 사용해야 합니다. 오히려 이런 경우를 생각해보시는 게 나을 것입니다. -시행: 사과를 10개 먹는다. -사건C: 배가 부르다. -사건D: 소화가 안 된다. 여기서 과연 사건 C와 사건 D는 일상적인 의미로 독립적인 것일까요? 아니면 독립적이지 않은 것일까요? 일상적인 의미로 독립적이라고 할 수도 있고 아니라고 할 수도 있겠지만, 수학에서는 그런 식으로 독립/종속의 여부를 따지지 않습니다. 오직 영상에서 말한 바와 같이 확률을 수식으로 표현하고 P(C ∩ D) = P(C) ∙ P(D)라는 수식이 성립할 때만 독립이라고 합니다. (물론 여기 사과의 예의 경우, 수식으로 표현하지 않았기 때문에 수학적 독립/종속을 우리가 판단할 수는 없구요.) 결국 제가 말하고자 하는 것은 수학에서 말하는 독립과 우리가 일상에서 말하는 독립은 다르다는 것입니다.

같은 분수의 곱셈이라도 사용되는 현실적 상황에 따라 여러가지 의미로 해석할 수 있는 것 같습니다. 예를 들어, 개수의 ×4/5 일 수도 있고, 질량의 ×4/5일 수도 있고, 부피의 ×4/5 일 수도 있습니다. 개수의 경우는 ×4/5가 정확하게 이루어질 수도 있습니다. 왜냐하면 '개수'라는 개념자체가 일단 '수'로 표현된 것이기 때문에 10개의 ×4/5는 그냥 8이 되는 것이구요. 그러나 질량이나 부피의 경우는 어떤 물체가 얼마나 무거운지 혹은 얼마나 큰 공간을 차지하는지의 개념인데, 이것을 인위적으로 숫자를 붙여놓은 것이기 때문에 완벽하고도 정확한 ×4/5라는 것이 있을 수는 없습니다. 마지막에 말씀하신 문장에 동감합니다.

말씀하신 대로 어떤 점 A와 어떤 직선 l이 주어졌을 때, 수선의 발의 좌표H를 구하고 피타고라스 정리를 사용해서 선분 AH 길이를 구하면 됩니다. 그런데 이렇게 되면 새로운 직선과 새로운 점이 주어질 때마다 이런 작업을 해야되기 때문에 매우 번거로울 수 있습니다. 따라서 점과 직선을 문자로 표현하고 나서 미리 이 작업을 하는 것이라고 생각하시면 될 것 같습니다. 예를 들어, A(x_1, y_1), l: ax + by + c = 0이라고 하서 똑같이 수선의 발 H를 구한 다음(= 문자 x_1, y_1, a, b, c 로 표현한 다음), 피타고라스 정리를 사용하여 선분 AH를 또 구하면 ( = 문자로 표현하면) 점과 직선의 거리가 나오는 것이죠. 예상하시겠지만 이 과정에서 식을 정리하는 것이 조금 복잡합니다. 그러나 원리는 말씀하신 것과 같이 피타고라스 정리를 사용하는 것 밖에 없습니다. 이런 것과 비슷한 것으로 헤론의 공식이라는 것도 있습니다. 세 변이 주어졌을 때, 삼각형의 넓이를 구하는 공식이죠. 이것 역시 특정 세변의 길이, 예를 들면 13, 14, 15라는 길이가 주어지면 피타고라스 정리를 사용하여 삼각형의 높이를 구한다음 넓이를 구하면 되는 것인데, 매번 길이가 주어질 때마다 이렇게 하기가 번거롭기 때문에, 삼각형의 길이를 a, b, c로 둔 다음 똑같은 원리를 적용해서 삼각형의 넓이를 문자로 표현할 수 있습니다. 영수의 본질 학습 프로그램을 만들어가면서 언젠가는 이것을 영상으로 만들날이 올 것이라고 생각합니다. ^^

🙃

앞으로 또 좋은 영상으로 보답하겠습니다 ^^

질문 많이 올리셔도 괜찮습니다. 질문 내용 자체가 매우 유익하고 저도 생각을 많이 해보게 되어서 좋습니다! 중등기하는 저도 계속 올릴 예정이지만 처음 올렸을 때 별로 생각보다 반응이 없어서 좀 쉬엄쉬엄 올릴려고 했습니다. 무엇보다도 유클리드 기하학이 무엇인지 먼저 다루고 싶은 것도 있구요 ^^

반응은 계단식이 아니라 알고리즘으로 갑자기 오는것같습니다. 빈말이 아니라 저렇게 근본적으로 외심이란게 왜 생기는지 설명듣기전엔 살면서 생각조차도 안해봤던 주제라 저렇게 설명들었으면 까먹을래야 까먹을 수 없을것같습니다. 영상 내용은 하나같이 질이 정말 높고 유니크한데 어떤 주제로 영상을 찍으셨을때 보는사람입장에서 단발성이 아니라 그 주제에 대해서는 시리즈로 시작과 끝이 확실했으면 더 접근성이 좋아질것같습니다.

@@정제이슨-i1f 사실 이와 같이 '왜'를 물어보고 답하면서 수학적인 사고력은 늘어가는데, 사실 대부분은 이렇게 생각을 잘 안 하게 되는 것 같습니다. 유튜브 알고리즘은 어떻게 작동하는지 제가 깊이 생각을 안 해봐서 잘은 모르지만, 어쨌든 말씀해주신 부분은 도움이 많이 되는 것 같습니다. 사실 무게중심에 대한 부분도 한번 올리긴 했었는데 예전엔 저의 영상 편집 실력이 안 좋아서 다시 내렸던 것 같네요. [영수의 본질 학습 프로그램]이라는 테두리 안에서 계속 연속성이 있는 영상들을 올리고자 합니다 ^^

​@@mathandenglish그러면 몇가지만 더 물어볼게요 1. 2:48에서 세 점으로부터 같은거리에 있는 점을 동시에 생각하는게 복잡해보이긴 해도 가능은 한건가요? 2.7:48에서 수직이등분선을 길게 그으면 확인하기 힘들어도 가능은 한건가요? 이런게 가능한지 힘든지는 경험적으로 아시는건가요 직관적으로 아시는건가요? 특히나 도형같은건 저를 포함해 아마도 대부분은 그런 감조차 못잡아서 가르치는 사람이 "A로 하면 힘드니 B로하자" 이러면 그러려니 하면서 받아들이는것같아요. 특히 도형은 들을땐 아는것같아도 문제풀땐 뇌가 정지되고 하나도 안보이는 경험을 많이 했던 기억입니다. 3.수심이나 방심도 예전에 있었던것같은데 지금은 빠진걸로 알아요. 수능같은 시험에 그런거 모르면 불리하나요? 수학과에선 중요하나요? 4.수학의 확실성도 일단 샀는데 그거 외에 일반인대상 수학적 사고나 지식 넓히는데 좋은 책 추천해주실수 있나요?

@@정제이슨-i1f 1. 처음에는 복잡해보이지만 영상의 결론이 말해주듯이 가능합니다. 결국 삼각형의 외심(혹은 외접원의 중심)이 존재한다는 것이 곧, 한 직선 위에 있지 않는 세 점으로부터 같은 거리에 있는 점이 있다는 것과 같은 이야기이기 때문이죠. 2. 나머지 한변의 수직이등분선을 직접 그어서 점 O(외심)를 지나는지 확인하는 방법은 constructible 방법은 아닌 것 같습니다. 물론 결론적으로는 그 점을 지나는 것을 증명하였지만, 증명한 방식은 영상에 있는 것과 같은 또 다른 방식이었구요. 직관적으로는 그래보여도 실제로는 아닐 수도 있기 때문에, 그 직관이 맞는지는 constructible한 단계를 거쳐서 증명을 해야합니다. 3. 수심이나 방심이라는 용어가 빠지긴 했어도 여전히 심화문제집에서는 나오기도 합니다. 사실 용어가 빠졌기 때문에 수능에서 직접적으로 나오지는 않겠지만 너무 기본적인 내용이라 얼마든지 비슷한 내용이 나올 수도 있고, 수학과에서는 저 정도의 내용은 그냥 기초/기본인 것 같습니다. 4. 사실 제가 보는 몇몇 책들이 있는데 (수학의 역사나 철학과 관련 책들) 한글로 번역이 되어 있는지는 잘 모르겠습니다. (예를 들면, www.amazon.com/Brief-History-Numbers-Leo-Corry/dp/0198702590 책들입니다.) 제가 Morris Kline의 책 <수학의 확실성>을 대학 졸업할 때 정말 우연히 발견해서 읽었는데, 읽고 읽고 또 읽어서 지금까지 10번 정도는 읽은 것 같습니다. 처음 읽을 때도 매우 놀라웠지만 수학적 지식이 더 쌓일수록 저 책의 깊이는 정말 어마어마하다는 것을 매번 깨닫습니다. 사실 저 책은 Morris Kline이 쓴 방대한 수학역사책 3권( Mathematical Thought from Ancient to Modern Times ) 의 축약본인데, <수학의 확실성>만 제대로 읽어도 왠만한 수학 역사에 대한 통찰력은 충분히 갖출 수 있습니다.

지금 생각할 수 있는 건, 일괄적인 기준은 없는 것 같습니다. case by case일 것 같구요. 예를 들어, 십진소수들의 수열의 경우 순환하는 마디가 있으면 반드시 유리수로 수렴을 하는 반면, 파이 같은 수는 무리수로 수렴을 한다는 것을 보이는 것이 굉장히 어렵죠.

수학지식이 많지않아서 수학적으로 적절한 예시는 잘 못들겠지만 본질님이 말하시는 부분은 수학보다는 형이상학적인 부분에 중점을 두시는게 아닌가 하는 생각도 들어요. 적절한 예시인지는 모르겠지만 예컨데 이미지트레이닝의 경우 현실의 물리적 상황의 한계로 많은 수술경험을 얻지 못하는 의사가 이미지트레이닝으로 이 성인남자 마네킹이나 동물 혹은 그냥 상상 등으로 이부분을 개복해서 이부분을 꿰메고 등등 이미지 트레이닝을 한다면 실제적인 물리적 사람은 아니더라도 그것으로 인해 현실의 환자와 마주할 때 실용적인 장점을 얻을 수 있다면 그게 단순히 상상이기에 가치없는 판타지로 보기엔 무리가 있지않나 싶어요.

굳이 수학 뿐 아니라 우리가 사는 물리적 현실을 완벽하게 나타내는게 무엇이 있을까 생각해보니 딱히 답이 떠오르진 않아요. 우리가 주관을 완전히 벗어나 객관화가 되어 제3자로서 존재론적인 사유를 할 수 있기는 할까요? 신이 있다면,평행우주라면,외계인의 시뮬레이션이라면 등등 우리가 정확히 알 수는 없어도 만약 어떠한 초월적 존재가 존재한다면 적어도 인간에게 그 영역에 대해선 접근을 못하게 막아놓은 금기같은 구역이 아닐까요? 그런 의미에서 수학 뿐 아니라 모든것이 허구라는것 보다는 우리 의지로 태어나지도 않은,정체도 알 수 없는 이런 물리적 세계를 부분적으로나마 이해하는데 도움을 주는 창의적인 도구정도로 받아들이는게 좋지 않을까 하는 생각도 듭니다. 수학유튜브인데 저도모르게 철학적인 고민을 하게 되네요.

답글을 길게 남기셔서 제 답변이 쓰신 모든 부분을 커버할 수 있을지는 모르겠지만 한번 써보겠습니다. 1. 일단 저는 수학의 유용함을 부정하지는 않습니다. 특히 자연과학을 하는데 있어서 수학은 매우 유용한 도구로 사용되고 있습니다. 2. 저는 수학의 논리가 판타지라고 얘기하는 것은 아닙니다. 수학을 발전시켜 온 수학자들은 인류 역사 속에서 보기 드문 천재들입니다. 그들이 만들어놓은 수학체계도 엄청난 체계를 자랑합니다. 제가 수학이 판타지라고 말하는 것은 수학의 논리적 체계가 아니라 수학적 대상들입니다. 예를 들어, 소설의 경우 스토리가 아무리 탄탄하더라도 등장인물이 허구이기 때문에 소설은 여전히 소설일뿐입니다. 3. 제가 수학을 철학이나 형이상학으로 끌어들이는 것이 아니라, 수학 자체가 철학이나 심지어 종교와 뗄레야 뗄수 없는 분야입니다. 왜냐하면 만약 수학자들이 '수학은 그냥 게임 규칙일 뿐이다'(물론 그렇게 말하는 사람들도 있습니다)라고 한다면 아무 문제가 생기지 않을 것입니다. 그러나 대부분의 수학자들은 수학을 그 정도로 여기는 것이 아니라 진실 혹은 진리와 매우 관련이 깊다고 생각해왔습니다. 제가 1번에서 수학이 자연과학을 하는데 매우 유용한 도구로 사용되고 있다고 하였는데, 이는 자연이 수학적으로 이루어져있기 때문이 아니라, 수학자들이 자연을 의도적으로 수학화시켰기 때문입니다. 그 결과로 현재 세상은 수학화가 되었고, 수학이 현실을 다루는 매우 유용한 도구로 사용되고 있습니다. 그렇다면 그들이 자연을 수학화시킨 이유는 무엇인가.. 를 추적해들어가면, 그들이 수학에 대한 깊은 신앙심을 가지고 있었기 때문이라는 것입니다. 즉, 비록 말씀하신 그로텐디크나 폰노이만과 같은 현대수학자들을 거론하지 않더라도, 이미 플라톤, 피타고라스, 케플러, 뉴턴, 갈릴레오 모두 신을 거론하고 믿었던 사람들입니다. 그리고 그들이 믿는 신은 (저마다 조금씩 다를 수는 있어도) 세계를 수학적으로 설계한 수학의 신입니다. 그런 수학의 신, 혹은 그런 신에 의해 설계된 자연을 믿었기 때문에 그들은 세상을 수학화해 나간 것입니다. ('신'이라고 불린다고 같은 신이 아니라 저마다 특징이 다르고 다 다른 주장을 하고 있다는 것을 참고하시면 좋을 것 같습니다.) 4. 그렇다면 제가 하려는 것은 무엇이냐 하면, 저는 오히려 수학을 진리와 진실의 위치에서 그야말로 본연의 위치, 즉 인간의 개념적 도구의 위치로 가져다놓으려는 것입니다. 말씀하셨다시피 수학은 추상적 도구입니다. 그런데 추상적 도구라는 것은 수학만 있는 것은 아닙니다. 가장 쉽게는 우리가 사용하는 언어가 추상적 도구입니다. 언어는 현실에 있는 어떤 대상을 가리치는 것이죠. 그렇기 때문에 언어를 사용하여 현실에서 일어나는 어떤 현상을 정확하게 기술하는 도구로 사용할 수 있습니다. 그런데 언어는 얼마든지 잘못 사용될 수도 있고, 과장 및 왜곡도 가능합니다. 그리고 심지어 언어로 소설과 판타지를 쓸 수도 있습니다. 언어가 현실에서 추상화된 개념이라고 해서, 이런 것들까지 사실이라고 할 수는 없겠죠. 수학도 마찬가지입니다. 수학이 현실의 대상들로부터 추상화된 개념들을 다루고 있다면 그것들이 현실에 있는 무언가를 가리키는 개념이 될 때 수학적 대상들이 적어도 사실을 기술하는 도구가 될 수 있습니다. 그렇다면 수학이 얼마나 현실을 잘 반영하는지는 현실과 비교를 해 보아야 할 것입니다. 그것은 일괄적으로 이야기할 수가 없고, 각각의 수학의 문장들 (statements)마다 다를 것입니다. 심지어 1/2라는 숫자 역시도 완벽한 1/2을 말한다면 그것에 해당하는 현실의 대상은 없습니다. 예를 들어, '완벽한' 빨간색 사과라는 것이 없는 것과 같이요. 문제는 제가 제 영상에서 많이 이야기했듯이 수학의 아주 기본적인 요소들, 점, 선, 면과 같은 것들 그리고 무리수와 같은 것들이 현실의 대상에 대응되는 것 자체가 없습니다. 따라서 수학은 본질적으로 사실을 다룰 수 없는 한계를 가지고 있는 도구입니다. 5. 이런 상황을 고려할 때, 수학자들이 수학을 진실 혹은 진리라고 생각하는 것은 그들의 신념일 뿐이라는 것입니다. 사실 아시겠지만 수학을 사용하여 과학자들은 온갖 소설을 많이 쓰고 있습니다. 만유인력, 빅뱅이론 등 인간이 알 수 없는 영역이 분명히 있음에도 불구하고 그들은 그것을 진실인 것처럼 이야기하고 있습니다. 인간의 기원, 세상의 크기 등등과 같은 것들은 결코 인간이 알 수 없는 부분이고 결국은 인간은 믿음에 의존할 수 밖에 없습니다. 안타깝게도 현대인들은 '수학이 진실이다'라는 색안경을 이미 끼고 있어서 진실을 보기가 매우 힘들죠.

@@mathandenglish 정독했고 확실히 전달하고자 하는 요지를 이해한것 같습니다. 상세하고 친절한 답변 감사합니다. 이해도가 계속 올라가는 느낌이 많이 듭니다.

@@정제이슨-i1f 구체적인 예들은 Truth & Foundation을 통해 얘기해나갈 예정입니다. 작업이 쉽지 않다보니 오래 걸리네요 ^^

굉장히 정확하게 잘 파악하신 것 같습니다. 결국 수학이라는 것 역시 인간들이 어떻게 정의하기 나름인 체계라고 할 수 있습니다. 다른 말로 하면 만약 어떤 특정한 수학자가 존재하지 않았다면 수학은 얼마든지 다른 방향으로 전개될 수도 있다는 것입니다.

@mathandenglish 그렇다기보다는 본질님이 올리신 영상 내용자체가 제가 평소에,예전부터 궁금해해왔었지만 누가 속시원히 말해주지 않았던 부분들만 골라서 정확히 말해주니까 그 이유를 알게되어서 가려운부분 긁어주는 느낌이어서 그런것같습니다. 전 수포자였었고 나이도 들고 스타강사들이 킬러문제 빨리푸는거 보면서 감탄할 나이도 지났는데 문제를 푸는것보다 수학의 개념이 왜이렇게 정해진건지 언제 누가 어떤 필요성에 의해 왜? 라는 궁금증을 무의식중에 가지고 있었던것같네요. 그런부분들 정확히 짚어주시는 영상을 보고 개념을 설명할 수 있게 되는데에 스스로 만족감이 생기는것 같습니다.

@@mathandenglish 그리고 본질님덕분에 확실하게 깨닫게 된 사실은 수학이라는게 절대 자연현상 그 자체의 언어가 아니라 그것을 설명하기 위한 완벽하지 못한 인간들이 노력한 최선의 논리체계란 사실을 알게됐습니다. 그리고 개념이 처음부터 완성된 상태로 태어나는게 아니라 마치 웹툰처럼 초창기 그림체랑 후반부그림체가 다르듯 계속해서 확장이된다는 사실도요. 이 사실을 알고있었으면 직관적으로 이해 못한다고 머리나쁘다고 좌절하지 않았어도 되지 않았을까 싶어 그게 아쉬울 따름입니다.

@@정제이슨-i1f 사실 저도 수학을 공부하면서 수학자들이 말하는 것과 같이 수학이 진실에 근거한다고 믿었습니다. 왜냐하면 그런 해석밖에는 들은 게 없었기 때문에 그렇습니다. 그러나 성경이 그것에 대한 의심을 계속 일으켰고, 대학을 졸업하기 직전에 읽었던 책인 Morris Kline의 '수학의 확실성'이라는 책이 그 의심이 맞다는 것을 확인시켜주었습니다. 사실 수학이 자연현상을 설명하기 위한 '최선의 논리체계'만 되어도 다행입니다. 그러나 제가 볼 때 수학은 거의 공상소설 수준입니다. (물론 그것의 유용성은 논외로 하구요.) 그것이 왜 공상소설인지는 제 다른 유튜브 채널을 통해 차차 소개할 예정입니다.

Truth & Foundation 채널 역시 흥미롭습니다. 수학의 확실성을 읽고 서울대 수학과 재학중이던 일묵스님이 출가를 한 결정적 계기가 됐다고 알고있습니다. 그로텐디크나 폰노이만이나 지적능력이 비상한걸로 유명했던 분들도 결국 말년에 진리를 탐구하다가 신을 믿었다는 사례도 꽤 되는걸로 알고있습니다. 사실 저같은 현실주의형 범인의 경우 단지 b와 d사이의 c와 같이 태어났으니 마지못해 그냥 사는것이고 존재론적 의문이나 신의 존재에 궁금증을 품어본 경험은 크게 없었던것같습니다. 그래도 수학이나 과학이 자연현상을 설명하고 이해하는 도구로써 작동하는 인류의 위대한 학문이다라는 생각은 가지고 있었는데 그런것들이 사실상 다 판타지수준의 논리라는 이야기는 그런 저조차도 꽤나 급진적이면서 놀라운 이야기라서 조금은 거부감이 들기도 하더라고요 그래도 본질님의 논리에 반박을 하긴 힘들정도로 내용이 좋았었고 어찌되었든 저는 수학 과학이 판타지치고는 꽤나 유용하고 흥미롭다라는것에 만족하고 있습니다. Truth & Foundation 이 소개하는 내용들이 칸토어의 수학처럼 언젠간 주류로 인정받을 날이 오지 않을까 싶습니다. 좋은영상 감사드립니다.

더 찾아보니까 칸토어는 코시수열의 극한으로 실수를 정의해서 0.9999...의 극한값이 1이니까 1인거고 데데킨트의 경우 데데킨트 절단개념읃노 수를 큰 그룹과 작은 그룹으로 나눠서 뱀머리와 용꼬리의 경계선에 있는 수를 실수라고 정의해서 0.9999...=1 이라고 정의를 했다고 하네요. 칸토어와 데데킨트의 방법은 달라도 실수체계가 빈틈이 없어야하는 완비성을 위해서 이렇게 정의를 했다고 하는데 제가 이해한게 맞나요?

열정이 대단하시네요. 밑에 쓰신 내용도 맞습니다. 데데킨트와 칸토어의 논의 자체는 현대 수학의 용어로 정리한 것보다는 조금 더 crude 하기 때문에, 굳이 그들의 논의를 볼 필요는 없을 같습니다. 현대 수학의 용어로 잘 정리한 부분을 보시고 싶으시면 서울대학교 계승혁 교수님의 강의록(www.math.snu.ac.kr/~kye/lecture/07_1_set/set_2_0530.pdf )만 참고하시면 될 것 같습니다. 그래도 혹시 그들의 원래 논의를 보고 싶으시면 데데킨트의 경우 "Continuity and irrational numbers" 라는 논문을 찾아보시면 되고, 칸토어의 경우는 "Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite"라는 책을 보시면 되는데, 내용이 쉽지는 않습니다.

@@chan-n6b 영수의 본질 학습탭을 눌러보시면 대략 한 10개 정도는 확인하실 수 있을 것입니다 물론 지금은 시작단계라 미미하고 후원의 성격이 강하긴 한데, 영상에서 말씀드렸다시피 중1 내용부터 꾸준히 영상을 올려서 어디서도 찾아볼 수 없는 차별화된 학습프로그램을 만들어갈 것입니다 ^^

@@mathandenglish 알려주셔서 감사합니다 기대하고 있습니다!

초등과 중등의 연속선 상에서 중등 수학의 포문을 여는 내용입니다. 이 내용이 왜 중등 첫 번째 순서에 있는지는 차차 아시게 될 겁니다. ^^

맞습니다. 대수학의 기본정리는 대학교 과정에서 보통 배우게 됩니다 ^^

대소비교가 되고 안 되고 보다는, 실제 그 수가 현실에 대응되는 무엇인가가 있느냐가 더 중요할 것 같습니다.

모순이 없으면 좋은 이론이라기보단 모순이 있으면 이론으로써 가치가 없는 것이겠죠. 참고로 칸토어가 만든 무한집합은 모순이 있습니다.

정수론에 대한 내용이라서 왠만하면 무리수를 배제했습니다 ^^

파이의 길이를 가지는 것은 직선이든 곡선이든 눈으로 볼 수는 없습니다. 이 부분은 제가 추후 다른 영상을 통해 조금 더 상세히 설명할 예정입니다 ^^

그냥 사실만 언급하면 "수학은 사람들이 만들어놓은 규칙의 나열이다"입니다. 그것에 대한 해석은 저마다 다를 뿐입니다. 수학자들은 저런 규칙을 보면서 진리라고 생각하겠지만, 그것은 그들의 (종교적) 믿음일 뿐이구요.

이것들도 다시보니까 결국 수학의 목적은 논리적 일관성인거네요. 2^0같이 아무의미없는 소리도 일관성을 위해 그렇게 정의해줬듯이 수천년전에 브라마굽타가 주장했지만 19세기까지 논란이 됐고 결국 하나의 예외없이 실수체계의 교환,결합,분배의 성립이란 일관성을 갖추기위해 음수의 곱은 양수라고 약속해주자 라는 의미가 강하네요. 진짜 직관으로 이해 어려운 수학개념의 추상성을 진지하게 받아들이지 말고 일관성을 위해 약속했다로 받아들이는게 답이네요.

@@정제이슨-i1f '수학의 목적'이라고 하시니 저도 다시 생각해보게 되는데, '수학의 목적'은 그냥 수학인 것 같습니다. 수학 자체가 목적인 것이죠. 그렇게 보면 논리적 일관성이라는 것이 굉장히 중요할 수 밖에 없는 것이구요. 사실 현대수학에서 중요하게 생각했던 것이 consistency와 completeness입니다. 수학의 공리체계를 가지고 두 가지 토끼를 다 잡을 수 있는지 확인하기 위해 무던히 애를 썼지만, 괴델의 incompleteness theorem 에 의해 두 마리 토끼를 다 잡을 수 없다는 것이 증명되었습니다. 사실 consistency를 증명하는 것도 결코 쉬운 일이 아니구요.

(답변을 하기 앞서... 질문하신 내용은 매우 심오한 것입니다.) 수학은 정의의 연속은 맞습니다. 그리고 그 정의는 수학자들의 영감 혹은 직관에 의해 주어집니다. 그래서 드 모르간이라는 수학자는 수학적 발견의 원동력은 상상력이라고 했죠. 저는 윤달, 윤년과 같은 문제는 공전, 자전의 문제와 관련이 없다고 봅니다. 왜냐면 차차 말씀드리겠지만 저는 지구가 공전, 자전하는 것은 뉴튼과 같은 과학자가 주장하는 말일 뿐이고, 아인슈타인의 상대성이론은 또 다르게 이야기합니다. 과학 역시도 상상력이 기반하고 있기 때문에 어느 것 하나 진실이라고 얘기할 수 있는 것이 없습니다. 과학은 끊임없이 그리고 거시적으로면 매우 불규칙하게 바뀌거든요. 무리수 자체가 세상에 존재하지 않는 것을 가리키는 허구적 개념이기 때문에, 무리수로 무엇인가를 나타내는 것 자체가 허구적 행위라고 보시면 될 것 같습니다.

감사합니다. 참고로 코로나 때 발생한 어떤 상황으로 인해 박사과정을 다 마치진 못했습니다. (박사과정 수료하고 논문 하나 쓰다가 중단할 수 밖에 없었습니다.) 언젠가는 그 상황이 무엇이었는지 말할 수 있는 기회가 올 수 있을 거라 기대해봅니다. ^^

기하학적 연속체 geometric continuum 이라고도 합니다. 이것을 산술적 연속체 arithmetic continuum로 바꾼 것이 실수이구요. (참고해보세요 kzbin.info/www/bejne/l4u5kKqAh6t3fLs )

기하학적인 점 역시도 숫자의 쌍으로 정의되죠 (2, 3)과 같이요. 직선 역시도 ax + by = c로, 원도 x^2 + y^2 = r^2 과 같이 정의됩니다.

@mathandenglish 헉 그럼 기하학적으로 정의되는데 산술적으로는 정의 안 되는것도 있나요?? 아니면 산술적 정의가 기하학적 정의를 무조건 포함하는관계인건가요

@@랍 기하학의 가장 기본적 요소인 점, 선, 면을 산술적으로 정의했으니 안 되는 것이 있을까 합니다 ^^

이번 영상의 내용과 관련이 깊은 질문이시네요. 영상에서 말씀드렸다시피 7÷3=2⋯1으로 정의하는 것이나 7÷3=7/3 으로 정의하는 것 모두 맞습니다. 그러나 맞다고 할 때는 그 등호의 의미가 다른 것이죠. 사실 수학은 사람들이 만들어놓은 규칙이기 때문에, 등호의 사용조차도 규칙이 있습니다. 우리는 무심코 그냥 "같다" 정도로만 쓸 뿐이지만 분명한 규칙이 있죠. 1) Reflexive axiom, 2) Symmetry axiom, 3) Transitive axiom, 4) Substitution axiom 인데, 기회가 되면 한번 영상을 제작해보려고 합니다. 어쨌든 결론적으로 7÷3=2⋯1이 되도록 등호를 정의하면, 말씀하신대로 9÷4=2⋯1이기도 하고, 결국 이런 경우 이러한 등호에 대해서는 3) Transitive axiom에 의해 7÷3=9÷4 되는 것이겠죠.

제가 8/9와 3/4가 같다라고 한 적이 없는 것 같은데요.

@@mathandenglish 잘못썻네요 ㅎㅎ 어떤 수 x 8/9 = 3/4 이에요 4:51 여기에요 ㅠㅠ

@@red_panda7030 법칙이라고 한적이 없는 것 같습니다. 나누기는 곱하기의 반대 연산이 되도록 사람들이 정해준 것입니다. 수학이라는 것은 사람들이 정해준 규칙이지 자연에 숨겨진 법칙 같은 것은 아니 거든요. (물론 법칙이라고 사람들이 이름을 붙일 뿐이죠.) 제가 최근에 올린 영상 ( kzbin.info/www/bejne/qHLTc2p7Zqp5o7s )도 참고해보세요 ^^

@ 감사합니다!

그럴리는 없을 것 같긴 한데요. 기하학적인 정의에 끼워맞춘 격이라..

답변 감사합니다 이렇게 말씀해주시는 분도 계셔야 저도 좀 힘을 받죠 ^^

실수 길이는 있는 것인가요? 루트 2 cm는 뭔가요?

넵 맞습니다. 1 := { { } } = { 0 } 이라고 하는 편이 더 맞겠습니다 ^^ (결국 같은 말이지만요)

{{}}=0이라면, 0={}인가요? 0:={}인가요? 답변 감사합니다!

@@Siaaissisi 0 := { } (공집합) 이고, 1 := { 0 } = { { } } 입니다. := 기호는 정의를 나타내는 표현이지만 또 한편으로 등호이기도 합니다. 사실 등호의 사용 규칙이라는 것도 있습니다. 1) Reflexive axiom, 2) Symmetry axiom, 3) Transitive axiom, 4) Substitution axiom 인데, 기회가 되면 한번 영상을 제작해보려고 합니다.

자연수, 유리수의 경우는 가상적 혹은 허구적 개념이라고 보지는 않습니다. 그러나 어떤 부분에서 이 수들은 그렇게 생각하고, 또 무리수는 가상적 혹은 허구적 개념이라고 하는지는 오해가 많은 것 같아 또 다른 영상을 통해 더 구체적으로 설명할 예정입니다 ^^

@@mathandenglish 감사합니다