도움이 되셨다니 저도 기쁠 따름입니다 ^^

꼭 i라는 기호로 표시해야 할 필요는 없습니다. 그리고 사실 모든 수는 사람들이 만들어낸 것이구요 ^^ (복수)수에 대한 내용은 제가 다른 영상(kzbin.info/www/bejne/qZ2adYelbLhlZ7c )에서 설명해놓았으니 한번 참고해보셔도 좋을 것 같습니다!

자연수에서의 지수법칙 (1) a^m * a^n = a^(m+n) (2) (a^m)^n = a^(mn) 이라고 할 때, (1)을 가지고 (2)를 증명할 수는 있지만, (2)로 (1)을 증명할 수는 없습니다. 자 이제, 유리수에서의 지수법칙 (1') a^(n/m) * a^(q/p) = a^(n/m + q/p) (2') (a^ (n/m))^(q/p) = a^(nq/mp) 가 있다고 할 때, 이번에는 (2')과 자연수에서의 지수법칙 (1), (2)로 (1')을 유도할 수 있습니다. 그 말은 곧 a^(n/m)을 무엇으로 정해주든지 상관없이 (2')가 성립하게끔만 정의해주면 (1')은 자동적으로 성립한다는 말입니다. (물론 우리는 (2)가 성립하게끔 a^(n/m)을 정의해주려면 a^(n/m) 을 a^n의 m제곱근이라고 정해줘야 한다는 것을 이미 알고 있긴 합니다.) 따라서 필연이라고 말하는 게 맞을 것 같습니다.

(2)가 유리수 범위에서 성립하게 끔만 해준다면 (1)과 (2)를 통해서 (1')을 유도할 수 있다고 하셨는데 (1')을 유도하는데 (2)를 사용할 부분이 있나요? 번거롭게 해서 죄송합니다.

@@강재훈-h4n (1') a^(n/m) * a^(q/p) = a^(n/m + q/p) 을 유도하기 위해서 양변에 mp 제곱을 할 때, (2)를 쓰게 됩니다 ^^

아시다시피 로그는 지수의 반대되는 개념으로 정의가 됩니다. 그런데 지수의 경우, 밑이 음수일 때는 유리수 지수를 정의하기가 어렵습니다. 예를 들어, 밑이 양수일 때는 3^(n/m)은 3^n의 m (양의) 거듭제곱근으로 정해줍니다. 이 때, n은 어떤 정수가 되어도 상관없지만 m의 경우는 2이상의 정수가 되도록 해 줍니다. 따라서 만약 지수가 - 3/4이라면 이것은 3^(-3)의 4 거듭제곱근으로 정해주는 것이죠. 그런데 만약 밑이 (-3)이라면 (-3)^( -3/4)의 경우 이것은 위와 같이 (-3)^(-3)의 4 거듭제곱근으로 정해주게 되면 해당하는 실수가 없으므로 값이 없습니다. 그런 반면, -3/4 = -6/8 이므로 (-3)^(-6/8)을 위와 같은 방식으로 값을 구하면 (-3)^(-6)의 8거듭제곱근이므로 해당하는 실수가 존재하게 되어서 값을 가지게 되는 모순적 상황이 생깁니다. 따라서 밑이 음수일 때는 이와 같은 방식으로 지수를 정의하는 것이 불가능합니다. 지수의 반대되는 로그의 경우도 마찬가지로 밑이 음수일 때는 배제시키는 것으로 보시면 될 것입니다. 물론 말씀하신대로 로그 -3 의 -27은 -3의 몇 제곱이 -27이 되는가로 따져서 답을 -3으로 정할 수는 있겠지만, 만약 로그 -4의 2는 무엇으로 정할 수 있을까요? 만약 위의 방식처럼 지수를 정하면 (-4)^2/4는 2가 될 것이므로 로그 -4의 2는 2/4라고 할 수는 있을 것입니다. 그러나 2/4 = 1/2이므로 로그 -4의 2 를 1/2라고 할 수는 있을까요? (-4)^(1/2)는 답이 없습니다. 따라서 지수의 경우와 마찬가지로 로그도 밑이 음수일때는 정해주지 않는 것으로 생각하시면 되겠습니다.

@@mathandenglish 감사합니다ㅜ 무언가를 정의 내리기 위해서는 어떠한 반례도 없어야 하기 때문에 로그를 정의 내릴 때 어떠한 반례도 없이 무조건 참일 수 있는 조건을 추가했다고 생각하면 될려나요?..

@@natsudeshita 정확히 말하면 반례라기보다는 정의에 모순이 생기게 되기 때문에 제한을 건 것이라고 생각하시면 되겠습니다 ^^

@@mathandenglish 감사합니다!! 어디 물어볼 곳이 없어 찜찜했는데 해결되었어요

궁금한 사항이 있으시면 질문 남겨주셔도 됩니다 ^^ 참고로 허수에 대한 영상(kzbin.info/www/bejne/qZ2adYelbLhlZ7c )도 올린 것 있습니다

@@mathandenglish 감사합니다! :)

죄송한데 제가 질문이 좀 잘 이해가 되지 않습니다 ㅠㅠ 참고로 행렬의 경우 교환법칙은 성립하지 않고, '결합'법칙은 성립합니다. 이것은 행렬이 선형사상(Linear mapping)이고 행렬의 곱셈은 선형사상들의 합성들로 볼 수 있습니다. 선형사상의 합성은 함수의 합성이기 때문에 결합법칙이 성립할 수 밖에 없습니다. 이 내용을 제대로 이해하려면 대학수학의 선형대수학을 공부하셔야 합니다. 물론 꼭 이것을 공부하지 않더라도 행렬의 곱을 잘 풀어쓰면 이것이 성립한다는 것을 알 수도 있습니다.

사각형의 내부를 기준으로 삼든 외부를 기준으로 삼든 사각형이라는 도형의 형태를 규정하는 경계가 필요합니다. 바로 그 경계가 사라질 때 비로소 무리수가 등장하는 것인데, 문제는 그 경계가 사라지면 도형도 같이 사라진다는 것이죠.

깊이 있는 답글 감사합니다. 사실 굳이 현대수학을 들먹이지 않더라도 원래 수학(혹은 수학적 대상들)은 개념적 도구에 불과합니다. 문제는 '그들'은 수학이라는 것이 진리를 반영하고 있고, 진리를 추구할 수 있는 무언가로 생각한 것이지요. 그런면에서 '그들'이 발전시킨 수학은 종교에 가깝습니다. 사실 지금도 현대수학자들 중에 수학으로 세상의 기원을 파헤칠 수 있다고 믿는 사람들도 있구요. 사실 칸토어가 신에 의지한 것 역시 결코 우연이 아닙니다. 칸토어는 단지 신에 귀의했다기보다는 자신의 무한개념이 '신'으로부터 왔다고 했고, 자기는 그것을 전하는 메신저일 뿐이라고 얘기했습니다. 그런데 그 이전에도 수학자들은 수학의 '진실성'을 이야기하면서 신을 언급했습니다. 아이작 뉴턴이 그러했고, 갈릴레오, 데카르트, 케플러, 그리고 그 이전까지 거슬러올라가면 플라톤, 피타고라스까지 그러했습니다. 저는 칸토어가 이야기한 신이 플라톤이 이야기한 신과 다르지 않다고 봅니다. 실제로 칸토어 자신이 플라톤주의자라고 하기도 했구요. 이와 관련한 내용은 답글로 다 남기기는 어려워서 영상으로 제작하고 있습니다. 궁금하시면 저의 또 다른 채널을 참고해주셔도 될 것입니다 :) (kzbin.info/door/tr9n-zCkSc69FcX-LMLy5A)

@@mathandenglish 음속의 20배로 발사된 탐사선이 20년 후에 해왕성 궤도에 당일 당시 당초에 안착하는 건 수학적 설계 땜입니다. 차나칼레대교도 수학으로 건축한 겁니다. 수학은 현대 형식주의자들의 주장과는 달리 상당히 현실과 잘 맞습니다. 논리주의자는 아니지만 수학을 우리 우주와 격리하려는 불순한 세력들을 수학계 스스로 정화해야 플라톤의 아카데미 시절의 위상을 회복할 수 있다고 봅니다.

지평을 넓힐 목적으로 1=2라고 약속하고 전개하면 어떻게 되나요? 약속을 함부로 해도 되는 건지 의문입니다.

@@129-b1o-x8v 약속은 정하기 나름입니다. 그러나 수학자들이 수학 규칙을 만들 때는 나름대로 수학이 현실에 사용될 수 있도록 만드는 것인데, 1=2라고 약속해버리면 아마도 쓸 곳이 없지 않을까 합니다. (참고로 집합론에서는 1=2 가되지 않도록 정의했습니다.)

함수라는 것은 대응관계라고 보시면 됩니다. x, y, a, b 와 같은 문자는 중요한 것은 아니고, 그냥 input 과 output의 관계를 기술한 것인데, x, y 같은 문자를 쓰고 있을 뿐이죠. 실제로 정의역과 공역이 {1, 2, 3}일 때, 1에 3을 대응시키고, 2에 1을 대응시키고, 3을 2 대응시키는 것과 같이 하나씩 임의로 대응관계를 정해주는 함수의 경우 x, y라는 문자 자체로 그 함수를 묘사할 수가 없습니다. x, y는 그냥 보조도구일 뿐입니다. 또한 그래프 역시 굳이 x, y 축이라는 특별한 이름이 필요 없습니다. 그냥 input과 output을 좌표평면에 나타낸 것이라고 생각하시면 될 것 같습니다. ^^

역연산이라는 것은 제가 정한 말입니다. 제가 '곱하기'와 '나누기'가 역연산이다라고 한 것은, a ÷ b = c라고 할 때, 이것은 거꾸로 a = b × c라고 쓸 수 있다는 것을 의도한 것입니다.

네 그것도 맞습니다. 배수판정법이야 영상에서 말한 원리에 따라 만들기 나름인것이죠 ^^

@@mathandenglish 찾아보니 저게 제일 옛날의 방법이였군요... 간단하게 많이 쓰는 건 스펜스의 방법이 제일 빠를 거 같네요

(ab)^2 = a^2 * b^2 가 되려면 곱셉의 교환, 결합법칙이 성립해야 가능합니다. 따라서 무리수의 교환, 결합법칙이 성립하는지를 확인하는 작업이 필요하고, 그렇게 하려면 무리수 사이의 곱셈이 어떻게 정의되어있는지를 알아야 하죠 ^^

지수법칙이 성립하려면 먼저 결합법칙과 교환법칙이 성립한다는 조건이 필요합니다. 무리수에 왜 그런 법칙이 성립하는지를 설명하는 내용의 영상이지요 ^^

영상에서 설명했다시피 "+"라는 연산 기호나 "a/b"라는 숫자 기호나 모두 인간이 어떤 의미를 부여해주느냐에 따라 다르게 사용할 수가 있는 것입니다. 우리가 교과서에서 배우는 수학은 특정한 의미가 부여된 채로 배우는 것인데, 그것을 마치 '진실', 혹은 '사실'인양 획일적으로 주입받았을 뿐입니다. 심지어 1 + 1 조차도 다른 방식으로 의미를 부여할 수 있는데, 이 부분은 kzbin.info/www/bejne/qHvKk55va5mfpsU 이영상을 참고하시면 됩니다. ^^

결합법칙과 교환법칙이 성립한다는 조건이 필요합니다. 무리수에 왜 그런 법칙이 성립하는지를 설명하는 내용의 영상이니, 시간되실 때 한번 봐보세요 ^^

음.. 그렇진 않은 것 같은데요. 데데킨트의 논문인 continuity and irrational numbers 를 보면, 실수와 실수의 연산을 같이 정의하고 있습니다.

공리라고 하는 것 역시 사람들이 정해주는 것이기 때문에 그렇게 생각하실 수도 있는데, 현대 수학에서는 공리라고 하는 것(ZFC 공리계 )이 따로 정해져 있기 때문에 그렇게 할 수는 없습니다. 따라서 나머지 것들은 증명을 해야 하는 것이죠 ^^ (참고해보세요: ko.wikipedia.org/wiki/%EC%B2%B4%EB%A5%B4%EB%A9%9C%EB%A1%9C-%ED%94%84%EB%A0%9D%EC%BC%88_%EC%A7%91%ED%95%A9%EB%A1%A0)

​@@mathandenglish 그렇군요. 체(field)의 원소로 결합법칙과 교환법칙을 만족하는 것은 공리처럼 생각했습니다. 무리수를 체의 원소로 보기 이전에 무한소수로 보아서 직접 증명을 보이는 방법이 있을 수도 있었네요. 생각해본 적 없는 주제인데 흥미로운 영상이었습니다!

@@lunarrabbit4199 사실 말씀하신 것은 체(field)라는 대수적 구조의 정의의 일부라고 보시는 게 더 정확한 표현일 것 같습니다. 현대 수학에서 수학의 공리는 집합론으로 표현이되고, 자연수, 정수, 유리수, 실수, 그리고 그들의 사칙연산 모두 집합과 그 기호를 이용해서 정의를 하는 것이구요. 실수 집합 같은 경우 그것들이 체(field)의 정의를 만족하다보니 실수체라고 부르게 됩니다.

영상에서 언급했지만 현대 수학에서 루트2의 정의 자체가 무한소수입니다. 다른 동등한 표현으로 해도 루트2는 무한이 개입되는 수이구요. (참고해보세요. en.wikipedia.org/wiki/Real_number)

'다항식의 나눗셈'은 이후에 중요하게 많이 사용됩니다 ^^ 가장 쉽게 볼 수 있는 직접적인 예가 고등학교 교과의 인수정리입니다. 물론 그것외에는 고등학교 수학에서 그것이 활용되는 예를 잘 볼 수는 없지만, 대학교 수학(abstract algebra)에서는 필수적인 개념입니다.

너무 많은 걸 찾으시기보다는 불가능한 것을 찾는 것이 더 맞는 표현일 것 같습니다 ^^ 수학이라는 것이 고도로 추상된 언어로서 수학자들의 지적유희일 때가 많습니다. 이 영상이 보여주고 있는 것이 그 중 하나입니다

1 & 2. 집합론에서 보통 쓰는 정의입니다. 조금 더 정확히 이야기해드리면 ZFC 공리계를 공리로 가지는 집합론인데, 제가 영상에서 말한 숫자들을 집합으로 정의한 것은 폰 노이만이 한 것으로 알고 있습니다. 칸토어가 처음에 숫자를 집합으로 정의할 때는 다른 형태였습니다. 3. 함수를 모두 좌표평면 상에 나타낼 필요는 없고, 그렇게 하기 힘든 것들도 많습니다. 예를 들면, 나중에 수학이 점점 추상화되면 functional 같은 것이 등장하는데 이런 건 그냥 추상적으로 이해할 수 밖에 없구요. 그냥 함수는 대응관계라고 보시는 게 제일 좋을 거 같습니다. 4. 집합론의 정의에 따르면 p:={1} 이라는 자연수는 존재하지 않습니다 ^^ 참고로 제가 말씀드린 집합론은 어느 집합론 책을 보셔도 나와있는 보편적인 내용입니다. 서울대학교 수리과학부, 계승혁 교수님 강의록을 참고하셔도 됩니다. (www.math.snu.ac.kr/~kye/lecture/08_1_set/) 또한 자연수의 공리적 정의는 먼저는 1888년에 데데킨트가 정의하였고, 그 이후 1889년에 페아노가 조금 더 심플하게 정의를 하였습니다. 집합론으로 정의한 것은 그 이후라고 보시면 됩니다. 지금 제가 말씀드린 내용은 위키를 참고하셔도 됩니다. en.wikipedia.org/wiki/Natural_number

두 번째로는 ax^2+(b-m)x+(c-n)=0 ,,, 이걸 판별식을 통해서 이차함수와 직선의 교점의 개수를 알 수 있다는데 조금 난해하게 다가옵니다... 여기서 제가 이미 추측하고 있는 사실이 하나 있는데 이차식을 완전제곱식으로 바꿨을 때 꼭짓점의 y좌표가 -( b^2-4ac/4a ) 라는 사실을 알 수 있고 a가 양수고 판별식 b^2-4ac가 음수라면 y의 꼭짓점이 양수가 되니까 x축으로부터 붕 뜨게 되고 x축과 만나는 교점의 개수가 없다는 사실을 압니다. 그런데 ax^2+(b-m)x+(c-n)=0 이 경우에서는 직선 mx+b 가 기울어져 있고 저에게 복잡하고 이해가 안되게 다가옵니다. ax^2+(b-m)x+(c-n)=0. 이 식을 완전제곱식으로 바꿔도 봤는데 꼭짓점 x의 좌표가 -{(b-m)/2a},,, 꼭짓점 y의 좌표가 -{ (b-m)^2-4a(c-n)/4a } 이 나오더라고요. 음. 아직 저한텐 이해가 안되지만, 이 꼭짓점의 식이 의미하는 걸 알면 왜 ax^2+(b-m)x+(c-n)=0 에서 판별식이 교점를 의미하는지 알 수 있지 않을까 생각하고 있습니다. 모쪼록 저한테 있어 ax^2+bx+c=mx+n 이 되었든 ax^2+bx+c<mx+n 이 되었든 ax^2+bx+c>mx+n 이 되었든 y를 이해해야 납득이 될 것 같은데 참 어렵게 다가오네요

쉽지 않은 개념입니다. 이 부분은 방정식과, 함수, 그래프의 정확한 개념을 이해할 뿐 아니라 그것들이 서로 어떻게 연관이 되는지를 제대로 이해하고 있어야 확실히 이해할 수 있는 개념입니다. 댓글로 말씀드리기는 좀 힘들고, 제가 예전에 찍었다가 비공개 처리해놓은 영상이 있는데 참고하시라고 잠시 공개 처리해드릴테니 한번 참고해보시면 도움이 조금 되실 것입니다. kzbin.info/www/bejne/bmnNiWugd8epabc 참고로, 말씀하신 부분을 정확하게 설명한 것은 아니고 그것의 준비과정 정도라고 생각하시면 될 것 같고, 해당 질문 부분은 제가 시간이 되는 대로 영상을 제작할 예정입니다. ^^

​@@mathandenglish 영상 잘 봤습니다 감사합니다! 근, 최솟값, 꼭짓점 이런 개념들이 서로 유기적으로 연결되어 있는 것이 정말 재밌네요. 정말 흥미롭습니다.

0도 무한소수로 표현됩니다. (-1).9999999.... 이런 식이라고 보시면 됩니다. 제가 링크 첨부한 www.dpmms.cam.ac.uk/~wtg10/decimals.html 를 참고하시면 됩니다. ^^