Найти площадь по двум сторонам и медиане

Геометрия 8 (В. Казаков), № 223*. Найти площадь треугольника по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне.

[@AlexeyEvpalov]

Спасибо за три подробных решения.

[@GeometriaValeriyKazakov]

ВЫше есть повтор.

[@user-vg5gl4nd5w]

Как вы мне помогаете вспомнить забытое! Спасибо!!!

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. Поодолжайфте смотреть нас. Наши цели - помочь друг другу.

[@user-vg5gl4nd5w]

Доступные об'яснения! Спасибо

[@user-qi7gn7go5b]

Присоединяюсь!

[@vladimirkhomutov1053]

Проведите из точки М, которая является серединой АБ, прямую параллельную АВ - среднюю линию МP =3. т. P делит ВС на два равных отрезка, следовательно ВР=4. Треугольник ВМР - Египетский. Smbc =Sabm = 12 Sabc =24. Этот метод напрашивается согласно условия задачи

[@user-dv8cn3mj8j]

Красиво

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. Да, это второй равносильный способ, который я и даю обычно на лекциях (продление и проведение параллельной - два основных приема решения).

[@sergey3266]

Первый способ продление медианы и соединение с любым углом основания, ничто иное как поворот половинки треугольника на 180 градусов. Получается треугольник со сторонами 6, 8, 10 Нам повезло что он оказался прямоугольным, если б он таковым не был можно применить формулу Герона

[@GeometriaValeriyKazakov]

А под двум сторонам и высоте (или биссектрисе) как определить площадь?

[@user-hr5vv3nm3x]

Скажите, Валерий Владимирович, допустимо ли такое утверждение: Если квадрат удвоенной медианы равен сумме квадратов смежных сторон, то данный тр-ник--прямоугольный? S=6*8/2=24

[@GeometriaValeriyKazakov]

Разумеется: после удвоения получаем обратную Пифагора. Для данного набора чисел это как раз работает. Извините за поздний ответ.

[@user-hk8bv2ip6c]

Можно сдвинуть левый треугольник вправо, выходит параллелограмм с диагоналями 8 и 6, маленький треугольник выходит со сторонами 5, 4 и 4, таким образом, прямоугольный, и параллелограмм таким образом ромб, полупроизведение диагоналей 24.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Конечно, можно. Просто продление медианы - типичный прием и применяется очень часто. Но идея симпатичная.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Если соединить конец продленной медианы с двумя нижними вершинами так же получим параллелограмм.

[@alexTeT]

Я решил через подобия треугольников. Отметим середину стороны BC как точку D. Соединим M и D, получим треугольник MDC подобен исходному ABC, причем все стороны MDC в 2 раза меньше, потому как 2 стороны его являются половинками и общий угол, значит MD=3, BD=DC=4. Получается треугольник BDM прямоугольный с гипотенузой 5 и катетами 3 и 4. Значит искомый треугольник тоже прямоугольный, потому как AB параллельна MD. Получается задачка устная.

[@user-qi7gn7go5b]

Супер!

[@user-np1oq2vz7n]

В ромбе диагонали пересекаются, вроде и так ясно, зачем доказывать. И сразу видно что угол БАД = 90, так как пропорция сторон кратна 3-4-5. Значит площадь треугольника равна половине площади прямоугольника 6*8/2=24.

[@samvelhayrapetyan2840]

Задачу можно решить с помощю формулы герона, имея ввиду что плошади треугольников ABM и CBM равны т.к. AM=MC а высата (проведенная с вершины B) этих треугольников совпадают. Обозначим AM=MC=x, вычисляем площади треугольников ABM и CBM формулой герона приравниваем, (11+x)(11-x)(x+1)(x-1)/16=(13+x)(13-x)(x+3)(x-3)/16, решая уравнение получаем X=5, площади треугольников ABM и CBM равны 12, площадь треугольника ABC=24.

[@katajator4114]

Достроить до параллелограмма и найти по свойству АС, получилась 10, значит, ∆ прямоугольный и находим площадь по основной формуле. Задача простая, ребята должны её решать

[@GeometriaValeriyKazakov]

Можно параллелограммом. Ребята еще как решают. Они проводят параллельную AB из точки M, получают египетский и умножают его площадь 6 на 4. Такие вот сорванцы.

[@mikolajmichalkiewicz9692]

Двукратный египетский треугольник. Решение очевидно уже при беглом взгляде на условия задачи

[@user-xr6ro3sw6d]

Спасибо!!!

[@GeometriaValeriyKazakov]

И вам спасибо, мой постоянный зритель.

[@user-ix4ku3ze3d]

Если половину нижней стороны обозначить за х, написать формулу Герона для правого и левого треугольников (равных по площади) и приравнять обе формулы, то получается уравнение, которое легко решается. Получаем, что нижняя сторона равна 10, а дальше по форе Герона для нашего треугольника в целом получаем 24.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@Andrej_rybak]

Интересное решение. По формуле Герона можно было бы решить, даже если б треугольник АBD был не прямоугольный.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, конечно, вы абсолютно правы: в общем случае находим площадь по трем сторонам. Скорее по Герону. Но Герон в 9 кл в конце, а это 8 класс. Поэтому и дал прямоугольный.

[@user-yr2jg7cm5r]

Самая универсальная ф - ла Стюарта . АМ = 5 , АС = 10 и площадь - из ф - лы Герона

[@GeometriaValeriyKazakov]

Стюарта - сила! Но ее мало кто помнит.

[@user-jg8wh7si4u]

Супер

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо Галина, что смотрите нас. Извините за поздний ответ.

[@SergeyList]

Треугольник авс прямоугольный, исходя из Пифагора /пифагорова тройка/ , 6*8/2=24, решение за 1минуту

[@user-gr9pp6bm1t]

Египетский треугольник : 6х8/2=24, медиана делит треугольник на две равные по площади части -24/2=12 Решение за 10 секунд !

[@katajator4114]

Зачем рассматривать треугольники, когда лучше получить параллелограм, находим вторую диагональ и выходим на прямоугольный треугольник, а там и площадь. Любите накручивать. Спасибо, что любите математику

[@user-qi7gn7go5b]

Параллелограмм там, где без него обойтись нельзя.

[@aferapontov]

Проще найти по Герону, 6,8,10 - половина площади параллелограмма

[@GeometriaValeriyKazakov]

Согласен. Правда Герон это 4-я четвенрть 9 класса. А задача стоит в 8 классе во 2-й четверти. И потом если я дам числа: \/2, \/8 и \/10/2 по Герону будет уже трудно. Но в конкретном случае вы правы.

[@user-xj4ql7ft7v]

Вау!!!

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо за оценку и что смотрите нас.

[@user-do9mh4mh6z]

Теорема Герона и я решила. Пусть и дольше.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. Герон - сила, но это 9 класс, а задача из 8-го. Запимните Пфиагоровы тройки: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8,15,17) и им кратные. Удачи.

[@user-su6mw2gl6t]

Я считаю что проще всего использовать формулу медианы, и с помощью нее найти 3 сторону, а затем и площадь.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Согласен. Это это техничесоке решение. Формула медианы появляется только в 9 классе после теоремы косинусов. И ее знают очень мало учащихся. К сожалению.

[@user-lg5qn9vi7s]

Задача223---4 способ решенияРасмотрим АВСД---паралелограм так,как его диагонали в точке М делятся пополам Находим диагональ АС=10=ВД Следует что АВСД--прямоугольник,а АВС прямоугольный треугольник площадь которого (6×8):2=24 (диагональ АС вычисляем зная что:сума квадратов диагоналей равно суме квадратов сторон паралелограма

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично. спасибо, что смотрите наш канал.

[@pojuellavid]

Ну с ТАКИМИ числами ответ ВИДЕН сразу. Нам осталось притянуть решение за уши... Достраиваем ∆ до параллелограмма и получаем два ∆-ка со сторонами 10 6 и 8. Откуда углы пар- ма прямые и диагонали равны. Исходный ∆ прямой и его площадь равна полупроизведению катетов. Ответ: 24

[@GeometriaValeriyKazakov]

Во-первых, параллелограмм не обязателен. Во-вторых, прокачивали прием продления медианы. В-третьих можно было и формулой медианы найти третью стооону. Мы рады, что вы смотрите нас. У вас все круто.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Теперь попробуйте эту kzbin.info/www/bejne/ZnevhIqqeMijgK8

[@tatjanamaslova3713]

😊

[@GeometriaValeriyKazakov]

Правильно, что смотрите давние ролики.

[@viktorviktor5820]

Решил по теореме косинусов, оказалось что треугольник прямоугольный, площадь 6*8/2=24. Второе решение -достроил до параллелограмма, диагонали делятся попола, значит одна диагональ 5*2=10. Получили египетский треугольник. Площадь та же. Много вариантов решения.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо, что смотрите нас.

[@vladimirsoukhatchev2590]

Уважаемый Валерий, у меня возник вопрос - а почему Именно так Нужно решать эту Простейшую задачку, что я и сделал в уме за 6 секунд еще до того как посмотрел ваше очень долгое решение! Мое решение: 1. если это прямоугольный треугольник, то к нему нужно добавить такой же и получить прямоугольник со сторонами 6 х 9 см; 2. площадь такого прямоугольника будет 6х8=48 см кв; 3. прощадь треугольника будет равна половине площади прямоугольника, или 48:2=24 см кв. Можете объяснить мне чем мой способ решения хуже предложенного вами, если не апеллировать к идее - "процесс важнее результата", как это принято у бюрократов любой страны включая нашу???

[@GeometriaValeriyKazakov]

Мое решение не долгое, а такое, какое нужно 100% для учеников 8 класса. И даже слишком быстрое для них. Но вы ведь не в 8 классе? А решать имеено так нужно потому что прием "проделение медианы на ее длину" универс альный олимипадный и в дальнейшем мы будем им пользоваться часто. Алгербраический метод мы отклаыдваем на потоми на 9-10 класс, этумо обучить быстро можно. А вот основные допппостроения (продление и проведение параллельной идут туго). Хорошо, что вы спрашиваете об этом. Извините за поздний ответ.

[@alazartvforever]

А как Вы изначально докажете, что этот треугольник - прямоугольный? Этого не дано.

[@Vinografiy]

у меня третий способ!

[@user-lg5qn9vi7s]

Понравились все 3 решения

[@user-lg5qn9vi7s]

Спасибо

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. Оченьрад. что вы смотрите наш канал.

[@AlexanderSokolov]

Первое, что приходит в голову при виде чисел 6 и 8 - а не египетский ли треугольничек-то наш? Проверяем - так и есть!

[@GeometriaValeriyKazakov]

Интуиция - великое дело. А как вы проверили. Кроме того, идия продления работает при любых числах, а, b и m(c)

[@AlexanderSokolov]

@@GeometriaValeriyKazakovПредположим, что угол прямой. Тогда длины катетов равны 6 и 8. Тогда длина гипотенузы будет равна 10. Тогда длина медианы будет равна 5. По условию медиана равна 5, значит угол прямой.

[@GeometriaValeriyKazakov]

А вдруг две стороны и медина задают треугольник неоднозначно. Вот две стороны и высота к третьей -неоднозначно (два разных треугольника). @@AlexanderSokolov Очень классно, что вы размышляете и не сдаетесь!

[@AlexanderSokolov]

@@GeometriaValeriyKazakov Все возможные значения угла лежат между 0 и 180 градусов. При 0 градусов длина медианы равна 7, при 180 градусах длина медианы равна 1. Если функция, выражающая зависимость длины медианы от величины угла является монотонной то существует единственное значение аргумента, при котором значение функции равно 5. По-хорошему, надо бы ещё доказать монотонность, но что-то не хочется. У меня мышление инженерное, не математическое. Была задача найти площадь - я нашёл. Если существует треугольник с другой площадью, удовлетворяющий условию - значит, существует. С моей стороны возражений нет. Хотя очень сомневаюсь, что такой треугольник есть.

[@vladimirismailov6467]

глупость какая то, если известно что треугольник прямоуголный, зачем городить первый способ, второй я уже не смотрю

[@user-qi7gn7go5b]

Если не понимаете, то нечего грубить. Это же профи работает.

[@whyuevenexist9539]

не дано, что треуг прямоугольный - это вы глупость городите

[@giorgiocopchini7318]

Изначально не сказано что он прямоугольный.