なぜ、マイナス×マイナスはプラスなのか？ 負✕負＝正 虚数（複素数）を使って説明します

[@kantaro1966]

この1冊で高校数学の基本の90%が身につく「中学の知識でオイラーの公式がわかる」amzn.to/2t28U8C

[@十蘭コメント]

鈴木貫太郎先生、講義をありがとうございます。

[@aquilaxjp]

50歳です。複素平面をどう実感するか、高校の頃いろいろと考えた記憶があります。長年の課題が解消しました。ありがとうございます。

[@syuta2225]

最初の水槽の水の増減からの説明も参考になった。まずはそう説明すればいいのか。

[@橋本理-b5s]

いい説明が思いつきました。１次元ベクトルを考えます。ただし、座標を入れないとしましょう。そのベクトルを、正の数a倍することを、その方向にa倍してできたベクトルとして定義し、負の数a倍することを、逆向きにa倍してできたベクトルと定義しましょう。さて、座標を入れましょう。最初にそのベクトルと同じ向きを正の方向として座標を入れます。ベクトルは、実数と同一視でます。もし、そのベクトルが3を表すならば、そのベクトルを－2倍したベクトルは、－6です。つまり、3×(－2)=－6です。もし、座標をベクトルと逆向きを正にして入れましょう。ただし、先ほどの座標とは、1当たりの線分の長さを同じにしますね。では、この座標で先ほどの、ベクトルを－2倍することがどう表せるか考えます。今度は、ベクトルは－3と同一視できます。ベクトルを－２倍した結果、6と同一視できます。つまり、－3×(－2)=6です。つまり、正×負=負と負×負=正は同等だと思います。

[@xiaomu_dafox]

この話題の動画はたくさんありますが、どれも単なる「説明」であって数学的な証明ではないんですよね。この動画はちゃんと「証明できない」と言及していて、その点はまず感心しました。 抽象代数学の観点ではむしろマイナス×マイナスはプラスとは限らないのが一般的で、そもそも「なぜ」という問いは本質を捉えていません。数学的に意味のある問いにするなら「どのような構造を持つ代数系（どういうルールの世界）においてマイナス×マイナスはプラスとなるのか？」となります。 今のところここまで説明できている動画が無いのは寂しい限りです。 実は昔この問題を少しかじったことがあり、結論は「任意の元 m について、−m = (−1) × m が成立する」つまり「『加法逆元を得る操作』と『乗法単位元の加法逆元を乗じる操作』が等価である」代数系においてのみマイナス×マイナスはプラスになる、というものです。 一般的に学ぶ数学は分配法則が成立する世界ですので、上記命題を容易に導くことができます。まさに動画内で言われている通り、そうなるように決めた世界の範疇での計算だから「なぜ」と問うこと自体がナンセンスなのです。

[@ntgmw]

①a+x=0 なるxを-aと記す。 ②1は普通の積の単位元である。(1と積をとっても変化しない) ③0と普通の積をとると0になり、また 0は和の単位元(0と和をとっても変化しない) 以上を仮定すると -1の意味から 1+(-1)=0 -1を両辺にかけると 1×(-1)+(-1)×(-1)=0×(-1) 1は積の単位元、0と積をとると0であるから、 -1+(-1)×(-1)=0 両辺1足すと 1+(-1)+(-1)×(-1)=0+1 1+(-1)は-1の意味から0とわかる。 また 0は和の単位元より 0+(-1)×(-1)=1 ここでまた0は和の単位元より (-1)×(-1)=1

[@ddkk9583]

ガチ勢来た。数オリの本にそれのってる

[@爆発ばなな]

魔法みたい すごい

[@BTS-ic2so]

スゲーΣ(ﾟﾛﾟ;)วﾏｼﾞﾃﾞ!?

[@BTS-ic2so]

って事は、定義じゃなくて証明できる？？？？？？？

[@BTS-ic2so]

ようわからん

[@Mathskylive]

Đây là công thức cộng lượng giác. Kiểm tra bằng tích vô hướng.

[@captainnob6596]

鈴木先生痩せてカッコイイ。解説益々斬新です。

[@kantaro1966]

ありがとうございます。

[@贅沢な悩み]

早くも1:25あたりからの説明から最後まで残念ながら殆ど何を意図として行っているのかの意味すらも理解出来ませんでした。

[@shmshm3697]

62歳の人生ほぼ済んだ爺さんです。高校時代にこういう話を聞いていれば数学好きになっていたかもな。今の人は幸せ。

[@ハーズインチンバーグ]

62でも、まだまだですよ（今では63ですかね）

[@Ryu_W]

俺の祖父は84です。 祖父曰く、60代なんぞ若造！ と言ってましたよ😁 まだまだこれからではないでしょうか！😊

[@seijishino5555]

@@ハーズインチンバーグ 　確か、某陶芸家(100越えて逝く)が、「50,60ははなたれ小僧…」後は忘れた＜(_　_)＞ では若者は!?「ばぶちゃん・あぶちゃん」なのか?　幼い子供が赤ちゃん見て、指さしてそう呼んでいるから(´ⲱ`)

[@seijishino5555]

+++++@@Ryu_W

[@クエイボマローン]

人生はこれからです

[@山川-w5s]

3:05からの説明何回聞いてもその通りだなって思うのに覚えられない。。

[@kjsaka]

整数だけなら掛け算の定義だけから導き出すこともできます。定義を x×(y+1) = x×y + x , x×0 = 0 に再定義すれば、 x×0 = x×(-1) + x を満たす物、x×(-1) = x×(-2) + x を満たす物、‥という感じで、×負数 の答えが一意に決まり、 x を負数にして適用すれば、負数×負数 の答えも一意に決まります。 例えば、(-3)×0=0,(-3)×0=(-3)×(-1)+(-3)⇒(-3)×(-1)=3,(-3)×(-1)=(-3)×(-2)+(-3)⇒(-3)×(-2)=6 という感じで... 因みに、y+1はsucc(y)と書いた方がいいのですが、ここにsuccを出すと話が無駄に広がるのでy+1と書きました。

[@テルルレン]

「マイナス」かける「マイナス」は「プラス」　　　　これは「演算の整合性」を保つためにあります。 ＡーＡ　　　　　　　　＝　０　　　　ですが　　両辺に　ーＢ　　を掛けると。　分配法則を使い、式を変形させます。 Ａ＊ーＢ　ーＡ＊ーＢ　＝　０　　　　になり　　両辺に　Ａ＊Ｂ　を足すと　　　第１項が相殺されますので、 ０　　　　ーＡ＊ーＢ　＝　Ａ＊Ｂ　　つまり　　ーＡ＊ーＢ＝Ａ＊Ｂ　　　　　　と変形され、「演算の整合性」が保たれます。　　　　 これは、 Ａ＊Ｂ＝ーＡ＊ーＢ　でも成立します。これは「演算の整合性」を保つための強力な手段です。 すいません、ちょっとわかりにくいかも知れませんが、Ｘ＝ーＡ＊ーＢ　とおいて式を変形させて　Ｘ　を求めても（Ｘを他の式に変形させる）出来ます。 追伸：いつも為になる動画ありがとうございます .

[@テルルレン]

「実数、足し算」は、実数を元とする「集合・演算」で、単位元として０が存在し、元Ａの逆元ーＡが存在する。　 つまり、これは、群（グループ）の定義が成り立ってますね。

[@eternalzentel]

中学生でもわかるように言うと、（－１）＝（－１）　　右辺の（－１）を左辺へ移行すると（－１）－（－１）＝００　は（－１）＋（＋１）でもあるので（－１）－（－１）＝（－１）＋（＋１）　ガ成り立ちます。この式の両辺から（－１）を引きますとー（－１）＝＋（＋１）これが成り立つので（－１）（－１）＝１　が理解できると思います。

[@naomichiwatanabe4836]

定義とはそう決めたから証明できないあるいは証明せずに堰堤としてよいものということでしょうが、数学ならまだしも、統計学において定義だからですまされてはなぜなぜばかりで後味悪いのもわからずに定義だからですませる先生が存在します。私はこれでひどい目にあい、試験には一回も合格できなかったくらいでした。

[@yukikuriyama3270]

すみません、10分20秒ぐらいでリタイアしました 面白い動画なのは間違いないです。

[@katsutoshisaito0808]

私が中学生の時（30年以上前）は、両手の人差し指を『マイナスの符号』と捉えて、『マイナスとマイナスで……ｼｭﾜｯﾁ！』とスペシウム光線のポーズを取って覚えなさい！と言われましたね。それ以来、理系の道に進みました。

[@石井伸一郎-r3v]

加群において元aに対するa+b=b+a=0となる元bは一意的に定まりb=-aと書きます. このbに対しては一意性より-b=a, 即ち-(- a)=aです. 加群に積構造を加えた可換環では ab+(-a)b={a+(-a)}b=0b=0. ∴(-a)b=-ab. 同様にa(-b)=-ab. ∴(-a)(-b)=-a(-b)=-(-ab)=ab. となり(-)(-)=(+)が証明されるわけです. つまりこれは定義ではなく定理なんです. 定理:可換環において(-)(-)=(+)である. より直観的な説明を求めるならば水槽の場合と同じく「時速-1キロで-1時間歩けば+1キロの地点にいる」即ち「時速1キロで後ろ向きに歩けば1時間前には1キロ前方にいた」ということです.

[@たじましずか]

そんな説明受けてるなんてずるい！うらやましいw

[@ebinocowboy8867]

素晴らしい説明ですね。でも、途中の説明（式の変形など）で、負×負＝正を何度も使用しているので、何とも。証明ではないので、OKですが。

[@satoruikenobe4256]

数の拡張というのは、特別具体的なものに対応させると自然に出てくるという意味で一種の逆説である様な気がします。数というものは色々な量に使えるから有用であるとよく言われるが、数学上の具体的対象である平面上の合同変換群の部分群としての平行移動群というか幾何ベクトルの自己同型群に関係させれば自然と足りないものとして自然数は当然に複素数体に拡張されると理解されるのだろうと思います。アーベル群の自己同型は合成を掛け算、足し算をアーベル群の演算を使ってpointwiseに定義すれば馬鹿馬鹿しいくらい簡単に環を成すことが示される。小学校で比と分数というものを習うが、比は一直線上の平行移動群の部分群とはならないが部分半群ではある長さの自己同型群と考えられる。比を習う時に比例関係というものも同時に習うと思うが、関数というか変換であるということだろう。比と正の分数を一対一に対応させる時、分数のかけ算は二つの比の連比を取って中間の項を省く事に対応するが、即ち関数というか変換の合成に対応するだろう。連続関数の微分公式も連鎖律と呼ぶのでは無かったろうか？通分による足し算も、対応する比を関数と考えた時にpointwiseな定義であることが了解できるのではないだろうか？長さという半群の自己同型群である比は、平面上の幾何ベクトルの自己同型群に部分群として埋め込まれる。数直線にる直線上の点と実数との一対一の対応、或はガウス平面による平面上の点と複素数との一対一の対応も詳しく見れば点ではなく幾何ベクトルの変換との対応であることが分かるだろう。原点と1である点を、基準となる幾何ベクトルの始点と終点として選ぶ自由度があるから・・・。平面上の幾何ベクトルの一般の自己同型変換と違って、ただ１つの0でない幾何ベクトルの行先さえ決めて仕舞えば、自己同型群としての回転も絶対値比も直積の成分として一意に決定されてしまう訳です。鈴木さんのマイナス*マイナス=プラスがより美しく納得できるというお話も、平面上の平行移動群の自己同型環部分体として、絶対値の長さの比と回転の集合が、複素数体に対応している事を説明されたという事だと推測します。又行列が高校課程から除かれたというならば、複素数の極形式表示を持って加法定理を説明強調すべきである事も賛成です。勿論合同変換群やルービックキューブなどで喩えられる群論的な論法というものが最初から認識されていたわけではなく、半群の自己同型群である比、正の分数、負の分数などの数の拡張と相まって認識されてきたのが歴史であるということだろうと思います。そういう意味で言えば、マイナス*マイナス=プラスの意味は東にマイナス3歩のマイナス2倍は東に6歩であるという説明で充分であると思います。有理数の掛け算の可換性は、変換の合成は必ずしも可換では無いけれども自然数の掛け算の可換性が遺伝したものと解釈して良いものと思います。

[@kerorin00]

水槽の水が一番素直に腑に落ちました。

[@ack916]

ちょっと我慢ができなくなったので言います。 「i^2=-1」は定義です。 これに「マイナス×マイナスの答え」は関係ありません。 2回かけて-1になる数のうちのひとつをiとしたのです。 下のコメント欄でなにやら勘違いしているような人がいたので。

[@高駿-f3i]

普通に中学生の頃はマリオパーティでコインがマイナスのマスに止まったらマイナスでマイナスに止まる時間が逆流(マイナス)して止まったらプラスになるって事だからそんな違和感を持ったことはないな。 負の時間？を考えれば結構思いつく気もする

[@しもがも-p5n]

ガウス平面と加法定理のリンクが鮮やかでした！ 数学は演習が第一だと思っていたのですが、 座学は今までの知識をフル活用した感じで、滅茶苦茶面白いですね～

[@kantaro1966]

ありがとうございます😊

[@ちゅ-d4k]

めっちゃ雨降ってる

[@kantaro1966]

誤)復素数→正)複素数 すいません。

[@qqq-ex2qc]

i^i=0.20787957...　の計算方法とか、懐かしい。ww

[@ぴらフ-s9e]

最初の指数の定義の説明のところゆっくり聞いてみて！

[@ああ-p2u2r]

現役数学学習中ですが、途中使われてる平方完成で解を出す方法には眼から鱗でした😱

[@masamasado]

負✕負＝正　の説明でこんなにもシンプルなのは初めて見ました。楽しかったです♬ 複素数って本当によくできてますよね。

[@eco111man]

私が習った当時に考えた「マイナス×マイナス＝プラス」の説明。 プラス＝貯金、マイナス＝借金、と考えます。 すると、100円の貯金を三回すると、100×3＝300　財産が300円増えます。 100円の貯金が三回なくなると、100×(－3)＝－300　財産が300円減ります。 100円の借金を三回すると、(－100)×3＝－300　借金が300円増えます。これは自分の財産が300円減ったのと同じ。 100円の借金を三回返すと借金が300減る。これは自分の財産が300円増えたのと同じ。 だから、(－100)×(－3)＝＋300 その当時（中学生の時）は言葉を知らなかったけど、今なら、上の説明の「財産」を「正味資産」と表現できます。

[@couragewoo01]

スゴい！説明に納得できました！41歳で学生時代の謎が解けてスッキリです！

[@acevif]

美しいからと答える人と、便利だからと答える人いるよね。どちらが正確なんでしょう。

[@acevif]

どちらも正しい気がする。「美しい」という人間の感覚は、便利な概念を好む形質が進化の過程で身についたものだとすれば。

[@しゅんしゅん-j4u]

4:30で、もう、答え、でてるからいいんじゃないですか

[@cpo4080]

ガウス平面初めて知った…勉強になりました。

[@gorusgod3278]

x^3=1のやつすごいですね❗めっちゃ美しいです❗

[@ワイワイド-y7q]

ベクトルを使えば簡単に説明できます。例えば(-2)×(1)=(-2)というのは数直線上の(-2)というベクトルが一回足されるということです。(-2)×(3)=(-6)ならば三回たされます。又(-2)×(-1)=(2)というのは逆方向に一回足されるということですから、(-2)×(-3)=(6)ならば逆方向に三回足されることになります。数直線上に図を描いて説明すれば中一の生徒でも理解できます。

[@あかさたな-r4u]

マイナスをかけた時に逆に進むって事の説明が出来てなくはありませんか？

[@びび-e4p]

毎回わかりやすく、通勤時間の楽しみです。ありがとうございます

[@アキラ-d9b]

文系だから複素数平面やってなかったですがこんなに面白かったんですね、、、

[@kantaro1966]

つきあか さん ご覧になっていただきありがとうございます。私も文系です。他になるほどと思ってもらえる動画をたくさん投稿しているので覗いてみてください。

[@geromanist]

x=(-1)^2として、 まず絶対値を両辺にとって同値変形していくと、x=1,-1となる。 あとは逆を確かめれば、(-1)=1はないので、x=1と示せる。 このように、論理式だけで解く方法もあると思います。

[@kantaro1966]

松下悠人さん⁉️

[@geromanist]

@@kantaro1966 そうでーす。こういう基礎概念を深める講義ﾌｫｰﾏｯﾄもいいですね😁 虚数単位ｉとの出会いもぼくには衝撃でしたが、回転機能という効果として理解するより、原義の「平方してマイナス１」に即して素直に理解する方が厳密な気がしてぼくは好きで、そのやり方は、これまたｉ^2=-1の両辺の絶対値をとる。すると、上述の(-1)^2=1の証明において「あ～、-1って1の双子みたいなものか」と分かるのと同様に、今度は「ｉってヤツは、その絶対値は１だけどそれ自体は(-1)ではなくて平方するとマイナス１になる、マイナス１の腹違いの子みたいなもんか〜」と理解できる。 このように、ぼくはあくまで(-1)もｉも、１との関係において理解すると数学が豊かになる気がします。

[@geromanist]

あと、この講義にあるようにマイナスをベクトルとして解釈しちゃうと、スカラーという概念の居場所がなくなっちゃうのが寂しいですね。

[@ぶぢた118]

最後、すごく納得してしまいました。

[@mvrk_25]

ゴールに向かって後ろを向いて後ろに歩けばゴールに近づく

[@xiubeg4785]

え、すげえ。感激しました

[@しみずハルオ]

整数の計算法則が複素数領域の回転（角度）世界に含まれることが良くわかりました。

[@kantaro1966]

清水晴男 さん コメントありがとうございます。観て頂いて嬉しいです。

[@Gemini-ps7le]

マイナスは反対方向に増えるというイメージでマイナスの反対はプラス的な解釈でいいのかしら？後ろの後ろは前的な？

[@eternalzentel]

（－１）－（－１）＝０　が成り立ち、　それとは別に絶対値が等しく、符号が逆の２つの数を足すと　０　になるので、（－１）＋（＋１）＝０　も成り立つということから、　（－１）－（－１）＝（－１）＋（＋１）　が成り立つ、というのが主旨です。

[@わたあかり]

なるほど現実に例えると凄く分かりやすい。 学校じゃただ計算された記憶しかない。問題ちゃんと読んでなかったか、なんとか正解しなくちゃで焦ってたかも、今思うと。

[@ななせまる-q7z]

04:14 都合がe(伝われ)

[@あぶ-z5f]

中学の頃は「後ろを向いて」「後ろ向きに歩く」と前に歩いてるからとかで解釈してたな

[@TV-pq6el]

学生の頃は数学が好きじゃなかったのですが何故か数学の動画がすごく面白いです。

[@kantaro1966]

サトさん さん ありがとうございます。

[@eggmanx100]

二等辺三角形の定義によれば正三角形も二等辺三角形なのだが、昭和の昔、正三角形は三等辺三角形なので二等辺三角形ではありませんと言った小学生の息子の担任教師にはどう説明したらよかったのだろう。

[@nanu_no]

好きな人にいいことがあったら嬉しいだろ 嫌いな人に嫌なことがあったら嬉しいだろ

[@akiratanabe4043]

以前一度視聴して、久々に見直してみました。 いやぁ、すげっ❗😆

[@吉野壽一]

ご無沙汰しています、藤井聡太2冠に関する投稿を徘徊している内に、鈴木先生が彼に関する投稿を3作ほどアップされているのを拝見して、久し振りに鈴木先生のページを幾つか散策させて頂きました。 　中学・高校と大の数学嫌いだった私にも複素数の仕組みが完全とは言えぬまでもかなり理解できたと思います。 　但し、数学上の整合性(数学者の都合上、より複雑な抽象性の数式を必要としたため)の為に、虚数ii の2乗＝－1という虚構の概念を作り出したことで、ゲーデルの不完全性定理やヒルベルトプログラムを生み出すことになったような気がします。 　鈴木先生にお聞きしたいのは、数学において矛盾性は絶対ないと言い切れるのでしょうか？解釈の仕方によれば数学というより論理学の範疇になるのかも知れませんが、数学的素養のない70を過ぎた酔っ払い親父にも分かるように解説して頂けませんか、宜しくお願い致します。

[@神速のインパルス-e4y]

面白いな～！

[@kantaro1966]

ありがとうございます。

[@ryokoa.5415]

負数は、引き算が自由にできるように数を拡張したものだから、もともと引き算ができる場合に成り立っていた基本法則が成り立つように拡張しなければならない。 (a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc) だから、a=c=0 を代入して (-b)(-d)=bd 。

[@初段]

一瞬納得したけど、説明に(-b)×(-d)=bd を使っていません??

[@ryokoa.5415]

@@初段 使っていません。 以下、結合律については注釈を省略。 (a-b)(c-d)+(ad+bc) = (a-b)(c-d)+{(a-b)+b}d+bc ←引き算の定義 = (a-b)(c-d)+(a-b)d+bd+bc ←分配律 = (a-b){(c-d)+d}+bd+bc ←分配律 = (a-b)c+bd+bc ←引き算の定義 = (a-b)c+bc+bd ←可換律 = {(a-b)+b}c+bd ←分配律 = ac+bd ←引き算の定義 よって、引き算の定義により (a-b)(c-d) = (ac+bd)-(ad+bc) 子供には、長方形の面積の図を使って説明しますが。

[@初段]

やや!めっちゃ丁寧に説明ありがとうございます!

[@黒鳥-g4e]

いままでよく分からなかった複素平面の意味がわかりました。ありがとうございました

[@オスティアラ-e8c]

中1の問題を高校の知識で説明するのなんかおもろい

[@ああああ-k1x3w]

まぁ1+1の証明も小学校の知識じゃ説明出来ないからな、

[@haruo2357]

解の公式や加法定理を用いたり、絶対値を求めるときなどで、マイナス×マイナス＝プラスを使っていることになります。したがってこれでは説明にはなっていません。初めに、これは定義で証明できないとおっしゃっているのですから、その流れで説明すべきだと思います。 数の拡張をするときに分配法則が成り立つように定義したといえば済むことです。

[@time8104]

中学生の頃これが理解できんで机で泣いとった笑笑 水槽の話聞きたかったー笑笑

[@あ空-b7u]

そこに疑問を持てることに尊敬します あなたの人生楽しそうですね

[@hidekatsu8028]

講義が終わって画面から消えていくところが、漫才が終わってステージから出て行くみたいで面白い

[@68ootani]

実数も複素数の一部であり、それは偶々範囲がゼロの複素数なので。角度はみな足す。複素数の計算は大きさは掛けて角度は足す、－×－は＋である。複素平面の説明が好いですね。

[@及川裕介-z8f]

感動しました

[@ハーズインチンバーグ]

2:44　カッコよすぎか… いやぁ、この動画くっそオモロイ。 最後「えっ・・！あーっ！！」てなったｗｗｗ 自信ないけど、中学に聞いてたらきっとそっちの道に行ってたな。。

[@ryokoa.5415]

（マイナス）✕（マイナス）の俗っぽい説明。 掛け算って長方形の面積なんだから、縦と横の両方を減らしたなら、その重なる部分は足さなきゃ駄目だよ。

[@十蘭コメント]

数学にも、証明が出来無い、事柄が、あるんですね。出発点である、定義が、それに、当たるんですね。　　しかし、複素数の定義を用いて、　　　　(ー）× (ー）＝ (＋）が証明されました。これでも、証明が、不十分ですか ？

[@jj_3530]

文系だけど最後の説明で なるほど！となってしまった。

[@田織園斎]

虚数を座標で表現するってわかりやすい。75年前の教科書には座標を使っての説明はなかったように思います。わかりやすい。絶対値を距離で定義するのもわかりやすい。

[@kantaro1966]

田織園斎 さん ご覧になってくださりありがとうございます。

[@あかさたな-r4u]

現在の高校数学では複素数平面(虚数を平面で表現したもの)を学習します。(3年前なので今現在は分かりませんが…)

[@foo_fighters24]

@@あかさたな-r4u いまもだよーん(数Ⅲ)

[@御坂美琴-e8y]

これは環論ですね

[@olygie]

高校の数学の先生が授業でこのようなことを講義してもらい、負✕負＝正になることを　当たり前と思うようになりました

[@れんちょん-t4p]

めっちゃためになりました

[@kantaro1966]

ありがとうございます。

[@caic3235]

エヴァの第何の使徒かわすれたけど丸い宙に浮いた奴がでてくる。 実体を複素数空間（なんちゃらの海）に隠して物理攻撃を無効化してくる強敵だったんだけど 当時は「？」しか思えなかったなぁ。SF設定を十二分に楽しむのに数学は重要なんだよね。

[@mocho.]

「ディラックの海」のレリエルかな。あれは衝撃だった。

[@らい-s6z]

美しい...こういう話大好きなのでありがたいです！

[@Masa-jg7fd]

この説明では「虚数が何に必要とされる数なのか」を理解していないと解からんね。 電気工学の計算で交流を数学的に算出するのに、虚数や複素平面の定義が便利で、 その理屈からいけばマイナス×マイナスはプラスになるんだが、 交流電流の位相やそれをベクトルで表す概念を知らないと、 何のこっちゃわからんやろ。

[@和田洋志-v7s]

いい動画ですね、中学生や数学が苦手な高校生に見せたいです(^^)

[@kantaro1966]

ありがとうございます。

[@kiroro333]

昔習った複素数 全く本質的なところを理解できていなかったんだなと反省

[@DHKong-rw4ym]

정말 재밌는 설명이었습니다! 30분이 훌쩍 지나가버리네요! 本当に面白い説明でした!30分が短いと感じるほどの!

[@kantaro1966]

ありがとうございます。是非他の動画もご覧ください。

[@proj3891]

結局これは循環論法に近いような気がします。 勿論「三角関数」の公式を初等的に独立に証明すれば ロジックとしてはマイナス×マイナス＝プラスを非自明な形で説明出来た 事に（一応？）なるんでしょうけれど、【定義の妥当性の納得】の仕方として、 これではじゃあなぜ「複素数の積が回転に関係しているか」が 結局しっくり来ない、初等的に定義された「三角関数」なるものの公式を 用いて機械的に計算するとなぜだか「複素数の積が回転に関係している」 ようだとしか納得することが出来ない、つまり、妥当性という事に関して、 よく分からないものが更によく分からないものに話が すり替わっただけではないでしょうか。 よく覚えていませんが"数学"的にはまず「回転」の方から 先に定義しそれを用いて「角度」や「三角関数」を数学的に構成すれば、 加法定理やオイラーの公式やピタゴラスの定理その他が自明な系として自然に理解できる流れだったかと思います。要するに高校数学や受験数学の人工的な狭い庭で無理に足踏みする事に意味や意義が感じられません。

[@proj3891]

あと些細なツッコミで恐縮ですが投稿者さんは説明として自己矛盾されておられる気がします。前半では「定義は証明できない」と仰られていますが後半ではマイナス×マイナス＝プラスをあたかも「証明」しちゃっているような印象を視聴者に与えかねない気がします。他の視聴者さんのコメの返信で投稿者さんは「証明した訳ではない」とは仰っていますが、絶対値の概念の拡張など、マイナス×マイナスをプラスにたらしめている話に影響ない話には慎重に断りを入れている一方で、結局何を出発して何が副次的な事なのかが強調されていない気がします。虚数iの記号を含む積を計算する際に分配法則を用いてもいるので、マイナス×マイナス＝プラスの妥当性の説明で最もポピュラーな分配法則を破らないように定義する方法自体が、結局虚数を経由する説明においても既に内部に組み込まれてしまっているとも言える事を、12:15を見る限り投稿者さんご自身も見失っておられる可能性があります。

[@アドルクリスティン-j3c]

このコメントを先に見て，この動画を見て欲しいな。自分もこの動画はおかしいと思う。

[@ピーチョコ-e3r]

行列で回転を定義すれば比較的簡単に説明できそう

[@noobk1732]

@瞬殺のコルバルト 所詮手際よく解けるように作られた入試問題という箱庭の中でしか、生きっ生きていけない解答にすぎないんだ えぇ～⤴️おぉ～ん⤵️

[@sojilo4860]

私もこの動画を見たでは複素数平面よりも加法定理の存在の方が大きいように感じられましたので、賛同します。ただ一方でコメ主さんのおっしゃる「人工的な狭い庭」で見つけた今回の理解もまた私には面白いと感じました。 回転の要素を強調して動画を構成していれば負×負=正を効率的に(あるいはイメージとしても)理解できるだろうと思う一方で、数直線から延長した考えで作った平面を土台とすることが「美しい」と感じられるかどうかが、コメントで良い/悪いの評価に繋がっているのだと思います。

[@ishiyama333]

まったく理解できないが、それでも面白い。

[@you19611113]

(-1) × (-1) ＝＋１は定義である事は理解した。　なぜ、その様に定義したか？　それは、その様に定義するとうまくつじつまが合うから？　だとすると、その定義を最初に発見した、気づいた人は凄い！と感じた。　数学は世の中をうまく説明する何と神秘的なツールである事か！！　神からの贈られたツールだ！！

[@金子光輝-r7v]

本当に感動しました！ 神様です！！！

[@石原歩-c8t]

迷い込んだんだが、挨拶が某白マスクユーチューバー似てて笑った

[@ソラ-c6p5j]

あれすね、つまりは「証明して」じゃなくて「説明して」っていえばいいのか。 また、もう少し偉くなったら見に来ます。

[@ofoneDyag]

＋－はＸＹ軸だと方向を意味するのか・・・目から鱗だった。

[@matu7h]

ベクトル（方向）、三角関数、虚数を関連付ければ良いのかな。

[@ぴーまん吾郎]

友達になんでマイナス一✖️マイナス一は１になるんだろって聞かれたので戻ってきました！ 明日教えます！

[@えぬあい]

(正)×(正)＝(正)→わかる (正)×(負)＝(負)→わかる (負)×(正)＝(負)→わかる (負)×(負)＝…負と行きたいところだけどしっくり来ないから正か…

[@ウエノヒロシ-q3l]

虚数というのもが理解できずモヤモヤしていましたが、スッキリしました。 ありがとうございます。

[@nexus4ryo]

おおおすげえw 水槽で始めて理解出来たww

[@hoshinm8]

これは私が高校の時、あそんでいた内容です

[@KO-lt2wb]

Hoshin Maeda 変態で草

[@たかちんチャンネル-e1l]

数学って面白いよね学生時代はまったくわかりませんでした。

[@26Dachi]

なるほど・・・・だいぶわかってきたぞ・・

[@kentak8237]

1*(-1)=-1 ...(定義) ⇔1+1*(-1)=0 (移項) ⇔(-1){1+1*(-1)}=(-1)*0 (積) ⇔(-1)*1+(-1)*1*(-1)=0 (分配法則) ⇔(-1)+(-1)*(-1)=0 (∵定義) ⇔(-1)*(-1)=1 (移項) なぜっていうより、(-1)*(-1)=1を用いずに、(-1)の定義から導き出される。

[@凜然]

わかりやしーー

[@ピッカリ1号]

そもそも複素数の性質を導く過程で　負×負＝正　を用いるのでなんとも、、

[@ryoyaakagami6432]

確かに虚数の定義もー✖️ーが＋であることを基に定義されてますよね

[@ufo-xb9rr]

電気関係の人にはおなじみの方法だよね。たしか理系なら、工業高校の電気科２年で教えるてたなぁ。近所の子が工業高校に通っていて、勉強分からないというから教えてやった記憶がある。これ分かんないと電気科では２年で留年らしい。必須理解。

[@六四十]

ufo1999 電気系ではiではなくてjで虚数を表しますよね

[@あかさたな-r4u]

@@六四十 それほんとですか？笑

[@長谷川光孝-u7k]

確かに美しい。というか、美しすぎる。 数学っていうのは、すべて大きさと角度で表現できるのではと思ってしまうほど、洗練された美しさを感じました。 私は、複素数の概念が、今までなかなか理解、納得できず、 学生時代は特に苦しんだ思い出があります。 正負の概念を、複素数平面上の2点間を結んだ長さと、その線分と実軸とのなす角から考える。 自分の中に、今までにない発想でした。 同時に、「数直線」や「座標軸」という、もやもやとしていて、単なる計算過程の道具程度にしか必要性を感じていなかった概念が、 角度が登場したことで一気に重要性が増し、あらゆる数学的概念が色濃く調和するために必要不可欠な概念なのだという認識に至りました。 学生時代に、その発想に出会えていたら、もっと数学に親しみを感じ、理解しやすかったかもしれないのが悔やみです。

[@kantaro1966]

岡田健二 さん 嬉しいコメントありがとうございます。是非チャンネル登録して他の動画もご覧になってください。 自然数の平方の逆数の和にπが登場して美しく調和したりします。 kzbin.info/www/bejne/b4fceIxsedmIbdE

[@長谷川光孝-u7k]

鈴木貫太郎 さん わざわざご返信頂き、大変嬉しく思います。 ぜひ拝見させて頂きます！

[@takahirokobayashi1385]

私も疑問に思っていました。この動画を見て、腑におちました。

[@hestrackk]

大学の数学の専門科目で、マイナス×マイナス＝プラス　の証明をした記憶があります。確か集合論だったかな？