ОЧЕНЬ КРАСИВЫЙ ОТВЕТ! Найди его.

ABCD - квадрат, AK - отрезок, где K на СD. Радиус окружности вписанной в AKD равен 3, а помещенной в 4-к ABCK равен 4. Найти сторону квадрата.

[@SB-7423]

Тригонометрия в помощь ! Обозначим ∢KAD = α . Получим простенькое уравнение : 3/ tg(α/2) + 3 = 4/ tg(π/4 - α/2) + 4. tg(α/2) = t, тогда 3t^2 + 8t - 3=0 ⟹ t = 1/3 ⟹ AB = 3/(1/3) + 3 =12 !

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично!

[@user-jk2tz2ry3q]

Тригонометрия - мощный инструмент в "умных руках". Лёгкий (изящный) взмах пера - и ответ готов. Здорово! 👍 Рада за Вас. Спасибо. 👏

[@SB-7423]

@@user-jk2tz2ry3q И Вам спасибо!

[@constantinfedorov2307]

Конечно, тут достаточно сообразить, что наклонная отсекает от правой стороны квадрата 3/4. Я обычно рассуждаю так - раз отношение катетов 3/4, то это египетский треугольник, подобный (3,4,5), у которого r = 1 (радиус вписанной окружности). Нижний треугольник просто в 3 раза больше, и сторона квадрата равна 3*4=12. Конечно, это то же самое по сути, просто так в уме считать легче.

[@user-ei6rd7ei7x]

Если увеличить чертёж в k раз, то радиусы окружностей увеличатся в k раз, их произведение в k^2 раз, а длина стороны только в k раз. Поэтому то, что длина стороны равна произведению радиусов, - совпадение

[@adept7474]

Красивая чистая геометрия. Перекатим обе окр-ти влево по горизонтали до совмещения их центров с АВ. Точку их пересечения соединим с их центрами. Получим прямоугольный тр-к с катетами r₁ и r₂. Отлично видно, что сторона квадрата = r₁ + r₂ + √(r₁² + r₂²) = 12.

[@alexsokolov8009]

Скорее хорошая интерпретация) Иначе непонятно, почему тот треугольник прямоугольный

[@adept7474]

@@alexsokolov8009 Пусть будет так. Интерпретация, иллюстрация - неважно.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Согласен.

[@Dimoniada]

Почему окружности будут всегда перпендикулярными при таком "перекатывании"?

[@user-hr5vv3nm3x]

Обалденная задача!! Я пошёл своим путём, тернистым и героическим... Итак, найдем диагональ BD. Е-пересеч. с зелен. окр., Н-пересеч. с АК, Р-пересеч. с крас. окр., К-касан. зелен. с АК, М-касан. крас. с АК. ВЕ=4(\/2--1), РД=3(\/2--1) --касат.+секущ. КМ=1(разность касательных). КН:НМ=4:3(подоб. тр-ки КО1Н и КО2М). Отсюда: О1Н=20/7*\/2, О2Н=15/7*\/2( Пифагор). Итак: BD=4+3+7(\/2--1)+5\/2=12\/2. АВ=12

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо за оценку.

[@agayevmeded3233]

Спасибо Вам Валерий Казаков , за Вашей безплатной труд . Вы очень Великодушные .

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да. ладно. Я так развлекаюсь!

[@GeometriaValeriyKazakov]

Если серьезно, большое спасибо за оценку.

[@MrAzanov]

Присоединюсь к благодарности. Ваши ролики стали для меня ежедневной утренней зарядкой :))

[@GeometriaValeriyKazakov]

@@MrAzanov Очень рад.

[@Andrej_rybak]

Благодарю. Решил похоже.

[@alexsokolov8009]

В общем случае ответ R+r+sqrt(R² +r²) - периметр прямоугольного треугольника с катетами R, r и гипотенузой sqrt(R²+r²)

[@adept7474]

В моём комменте - геометрическая иллюстрация этого.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Супер!

[@GeometriaValeriyKazakov]

@@adept7474 Согласен.

[@alexnikola7520]

да тут в комментах просто кладезь решений)) у Валерия забойно, как всегда... у меня тоже сформировался один подход) обозначим сторону квадрата буковкой а, а точку касания круга с АВ точкой К, а центры окружностей О1 и О2... и лупанем теорему косинусов для треугольника КО1О2, учитывая что О1О2=(а-7)корень из двух, а угол КО1О2 135 градусов... получаем (а-3)^2+(a-7)^2=16+2(a-7)^2 +8(a-7)... ну тут уже недолго тягаться... а=12

[@GeometriaValeriyKazakov]

[@user-yq4jh7sw1y]

Из центра зеленого O1опускаем перпендикуляр на АD в точку E, из центра О2 красного проводим перпендикуляр к АВ в точку Nс пересечением с АК в точке F, из О1 проводим радиус в точку касания с АК в точкуL. ∆AFE = ∆FO1L. AB= 3+4+FO1, FO1 = sqrt(9+16)=5, АВ = 12. Пусть радиусы равны a и b, a+b+sqrt(a^2+b^2)=ab равенство в общем виде не верно, если разновидность египетского 3k+4k+5k =12k^2, то равенство возможно только при k=1. Если радиусы равны R, сторона квадрата а, то R=a(2-sqrt2)/2 и a=R^2, то при R=2+sqrt2 равенство верное.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Замечательно.

[@user-yq4jh7sw1y]

Случаев, когда сторона квадрата a = R*r, бесконечное множество. Пусть R=kr, → R+r+ √(R^2 + r^2) = Rr → r = (k+1+√(k^2 + 1))/k→ R=k+1+√(k^2 + 1). В нашем случае k = 4/3, чтобы ответ был красивым, необходимо k^2 + 1=n^2, т.е. квадрат.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично, ч.т.д.

[@pojuellavid]

Не, блин, сам от себя не ожидал! Расту на глазах благодаря вам!!! Продолжаем АК и ВС . Треугольники подобны. У верхнего стороны (3/3)*х , (4/3)*x и (5/3)*х. С одной стороны его площадь равна (3*x/3)*(4*x/3)/2, с другой = ((3*x/3)+(4*x/3)+(5*x/3))*4/2 Откуда x=12 Ответ:12

[@GeometriaValeriyKazakov]

Супер! Очень рад.

[@Snuryus]

ДЗ - если взять любой из радиусов меньше единицы, то сторона выйдет меньше одного из радиусов, что невозможно. Так что просто совпадение.

[@user-zo8zo3cg9b]

по равенству касательных x-4 и x-3 нашёл отрезок между точками касания = 1. по теореме пифагора нашёл расстояние между центрами окр. оно 5корней из 2.по уравнению 4корня из2 + 5 корней из 2 + 3 корня из 2 = х * корень (2). корни сократились и 12

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично.

[@Alexander--]

Решил абсолютно так же, только за x обозначил сторону квадрата, как она у Вас обозначена на превьюшке) Ну а что ответ численно равен произведению радиусов (подчёркнуто численно), это случайное совпадение, ибо линейная величина измеряется в единицах, а квадратная - в квадратных единицах. Возьмём к примеру, другую Пифагорову тройку. Пусть меньший радиус равен r = 5, больший - R = 12. Тогда стороны треугольника, куда вписана меньшая окружность, равны, соответственно, 5x/12, x = 12x/12 и 13x/12, r = (5x + 12x - 13x)/(2•12) = x/6 = 5, x = 30. Но 30 ≠ 5•12.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично!

[@user-kh9dk8th2d]

Х=11

[@alexsokolov8009]

Соединяем центры окружностей и проводим через них линии, параллельные стороне квадрата. Внутри получится квадрат со стороной x-7, где x - сторона искомого квадрата, тогда расстояние между центрами будет (x-7)sqrt(2). С другой стороны, расстояние между точками касания на АК равно (x-3) - (x-4) = 1, в силу равенства отрезков касательных. Из подобных треугольников находим, что отрезки, на которые это расстояние делится, будет 4/7 и 3/7. Тогда то же расстояние между центрами равно (4+3)sqrt(50)/7 = 5sqrt(2). Значит, (x-7)sqrt(2) = 5sqrt(2), откуда x =12

[@PavelYakovleff]

Мне кажется, внутри не будет квадрата, будет прямоугольник, потому что расстояния между центрами по вертикали и горизонтали разные.

[@alexsokolov8009]

@@PavelYakovleff в уголочках квадраты, к тому же АВСD тоже квадрат, поэтому будет квадрат

[@AlexanderRomadin]

Решил подобным методом. Построил пр. тр-к, гипотенуза которого - отрезок, соединяющий центры окружностей, один катет равен 7, другой единицы, из чего гипотенуза sqrt(50). Сложил её с корнями диагоналей малых квадратов (3х3; 4х4) и нашел искомую площадь по теореме Пифагора.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Очень интересно!

[@user-yz8ex1rr1i]

Нельзя ли использовать тот факт что в каждый прямоугольный треугольник вписывается один окружность, а стороны этого треугольника можно определить через радиус вписанной окружности. Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности является как раз коэффициентом подобия. Например: при r=1 стороны треугольника 3,4,5 а при r=3 стороны треугольника 9,12,15 и вычислять то ничего не надо. Здесь даже одного радиуса достаточно было бы с одним условием что это квадрат. Спасибо

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. Одного радиус, конечно, мало, ведь точка K может ползать по стороне.

[@user-yz8ex1rr1i]

При условии что фигура квадрат никакой разницы нет где находится точка К. Как раз значение радиуса и задаёт местоположение точки К.

[@valeraag5634]

ДЗ. Сторона квадрата равна произведению радиусов - это частный случай для данных величин радиусов. Пусть r и R - радиусы, рациональные числа. А гипотенуза треуг АКД с = \/ r² + R² - число ироациональное., тогда х = 2г/( r + R - \/r² + R²) - число иррациональное. И сторона квадрата, равная R•x - тоже число иррациональное и его нельзя выразить через рациональное произведение r•R. Но пусть r = 5, R = 12, тогда с - рациональное число. r = (a+b - c)/2 = (5x+12x-13x)/2 = 5. Отсюда х = 5/2. Сторона квадрата АВ = 12 • 5/2 = 30, хотя и рациональное число, но не выражается через произведение радиусов r • R = 5 • 12 = 60. Так что туфта: сторона квадрата равна произведению радиусов - это случайное совпадение. А если ещё такие совпадения среди пифагоровских троек - вопрос непринципиальный.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, отлично!

[@user-yf1zt2dg8m]

По подобию треугольников (верхний дорисуем) видим Египет. 12

[@AlexeyEvpalov]

По сторонам квадрата, от A до касания с красной окружностью x-3, до касания с зелёной x-4, эти же расстояния по наклонной AK, то есть расстояние на AK от зелёной до красной окружности (x-3)-(x-4)=1. Расстояние между центрами окружностей, (радиусы 4 и 3 к AK смешаем в один катет, единицу в другой ), по т. Пифагора √((3+4)^2+1^2)=√50=5√2. Тогда вся диагональ BC 4√2+5√2+3√2=12√2. По т. Пифагора aa+aa=(12√2)^2, откуда сторона квадрата a=12.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Супер!

[@SB-7423]

... диагональ ВД

[@pojuellavid]

Д.з. Ответ равен. R+r+√(R^2+r^2)

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отл.

[@adept7474]

ДЗ: Сторона = Rr - это совпадение. Мои выводы: 1. Сторона = периметру тр-ка с катетами R и r (кто-то это уже отметил). 2. При вписании окр-тей в противоположные углы квадрата их общая касательная делит сторону квадрата в отношении r/(R - r).

[@alexsokolov8009]

Ещё в копилку интересных выводов: сторона квадрата равна произведению радиусов тогда и только тогда, когда радиус окружности, вписанной в треугольник с катетами R и r, равен 1. Более того, треугольник 3, 4, 5 - единственный с целыми сторонами, удовлетворяющий этому условию

[@adept7474]

@@alexsokolov8009Или так: сторона квадрата равна произведению радиусов тогда и только тогда, когда произведение радиусов численно равно периметру. Более того, треугольник 3, 4, 5 - единственный с целыми сторонами, удовлетворяющий этому условию

[@Jafar779]

Классно! Слава Рамзесу II ! 😀👍

[@GeometriaValeriyKazakov]

Слава!

[@MrAzanov]

Длина никак не может быть (всегда) произведением двух длин - просто по размерности. Если это не очевидно, просто увеличим оба радиуса в 10 раз - тогда и сторона квадрата, очевидно, увеличится в 10 раз, но никак не в 100.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Разумеется речь идет о численно равны. Так при r=2 получим S=P для тр-ка (условно и численно).

[@MrAzanov]

Я разумеется понимаю, что речь идёт о численном равенстве. Но если размерность не совпадает, то численное равенство просто не может быть универсальным. Мне, как физику, это очевидно, но если кому-то нет, то просто увеличьте все исходные числа задачи в 10 раз.

[@GeometriaValeriyKazakov]

@@MrAzanov Спасибо. В математике численные ра-ва рассматривают. Я же привел вам пример ф-лы S=pr, где при r=2, численные заначения (числа) площади и периметра равны. Хоть в 1 млн раз увеличивайте P при r=2 получим S=P (численно).

[@GeometriaValeriyKazakov]

@@MrAzanov s=pr. При r=2 всегда S=P численно. А при падении тела, каков путь по истечении 1 с? Численно? Учителю матемтаички важно составить много вариантов, и получить мгоновенную проверку, зная как быстро получить ответ.

[@MrAzanov]

Ок, с примером согласен. Но в исходной задаче ясно, что можно ВСЕ размеры увеличить в 10 раз - и радиусы и (очевидно) сторону квадрата. А произведение радиусов увеличится при этом в 100 раз.

[@dmitryturovnikov3595]

диагональ квадрата его биссектриса радиусы и точка соприкосновения окружностей на одной прямой . тогда величина диагонали будет равна сумме радиусов и двух маленьких диагоналей со стороной 4 и 3.Диагональ будет равна 7√2 +7. Сторона квадрата 7+7/√2 =11,949. где ошибка?

[@Dmitriy-A]

Радиусы окружностей к касательной AK не параллельны между собой и не лежат ни на диагонали квадрата, ни на одной прямой.

[@user-hn1eu7gh1j]

Очень странно, но решил точно так же!

[@GeometriaValeriyKazakov]

Так это от меня все уже научились!

[@user-hn1eu7gh1j]

@@GeometriaValeriyKazakov Дай Бог!!!

[@user-ew3fh6ic1s]

Добрый день. Помогите понять и решить задачу 323 геометрия 8 класс. Автор Казаков. Спасибо.

[@Olga-fv6jy]

Я думаю, что в вопросе задачи опечатка. Требуется угол ABC, а не угол ACB. Так как 48:36=4:3, то CD - биссектриса угла C. угол ACD=углуBCD, уголBCD+уголBDC=104, значит, уголABC=180-104=76.

[@user-ew3fh6ic1s]

@@Olga-fv6jy Спасибо, Ольга. У меня такой же ответ. Хотелось бы услышать мнение автора.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Ну. я покажу этому автору!

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо, вы абсолютно правы. Задаче не имеет решения (можно увеличивать угол C и при угле B, равном 76 и AC=48, BC=36 и биссектрисе CD, условие выполнится). Сейчас гляну свой оригинал.

[@GeometriaValeriyKazakov]

@@Olga-fv6jy Да, вы правы. А я сегдня подписал оригинал 8 кл (2-й выпуск) в печать, но у меня есть две недели. Спасибо.

[@user-vm4sz1qn2s]

Пусть О1 и О2 центры вписанных окружностей. Угол О1АО2 равен 45°. Описываем окружность вокруг треугольника АО1О2. Ее радиус найдем по теореме Пифагора √(r^2+R^2) и он же будет равен проекции О1О2 на АВ.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спвасибо.

[@alexl6671]

R/r = x/y => y = x*r/R x + y - sqrt(x^2 + y^2) = 2r x(1 + r/R - sqrt(1 + r^2/R^2)) = 2r x = 2rR/(R + r - sqrt(r^2 + R^2))

[@user-vm4sz1qn2s]

Дальше можно упростить, умножив числитель и знаменатель на R+r+√(R^2+r^2). В знаменателе разность квадратов будет равна 2Rr....

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично!