СЕКТОР "А"! Ждем ваше СУПЕР решение!

В прямоуголный сектор круга вписан тр-к ABC, /С=90, DA=1,AO=3. Найти S(ABC).

[@AlexeyEvpalov]

Из подобия, по 2 углам, треугольников KOA и KCB, Отношение площадей равно квадрату отношения гипотенуз S(KCB)/S(KOA)=(8/5)^2, подставив S(KOA)=3×4/2=6, получим S(KCB)=384/25. Искомая жёлтая площадь S(ABC)=384/25-2×6=3,36.

[@user-hr5vv3nm3x]

Тоже красивая задача! Супер- не- супер, но мне моё решение кажется неплохим. 4-хугольник АСВО--вписанный(в смысле, имеет право). АВ=5, ОС=4. Пусть ВС=х, АС=у.Отсюда: 3х+4у=4*5(св-во диаг. и сторон впис. 4-хуг-ка). x^2+y^2=25 х=4,8. у=1,4. Sacb=3,36

[@user-hn1eu7gh1j]

Маэстро, Ваш прогноз не оправдался. Я снова пошел Вашим путем!!! Единственное отличие, что я нашёл у=СА по свойству пересекающихся хорд. В остальном весь план такой же. И знаете, я рад этому! Спасибо, Валерий Владимирович!!!

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, правда я имел ввиду другю задачу. Но решил сегодня дать эту пару с одинаковым сюжетом и одинаковым ответом. А та будет уже в пнд. До встречи.

[@pojuellavid]

Может не самое красивое, но в уме и без карандаша-листка. Из египеты видим гипотенузу жёлтого= 5. Продолжение малого падает на вертик диаметр и тоже равно 5. По свойству пересёк хорд малый катет = ((4+3)*1)/5=7/5. По пифагору квадрат большого катета =(25/5)^2-(7/5)^2=576/25. Откуда искомая площадь =84/25=3,36 Ответ:84/25

[@user-wj5vx7og4h]

Продолжить OD AB до пересечения с полной окружностью и далее свойство пересечения хорд 7*1=5*х. Находим СА 7/5.

[@valerya1600]

Я решила ровно как наш учитель, даже теми же буквами отметила неизвестные стороны😅

[@michaelbuzuverov67]

Я решал так. Продлил радиус BO до диаметра BK и продлил отрезок CA до точки K (так как вписанный в окружность угол C прямой - то он опирается на диаметр) BO = DO = 4, BK = 8, по теореме Пифагора: AB^2 = A0^2 + BO^2, откуда AB = 5. Пока все как в видео. Из равенства треугольников ABO и AOK (по двум катетам) следует что AB = AK. И тогда можно записать систему уравнений: BC^2 + AC^2 = AB^2 = 25 BC^2 + (AC + AK)^2 = BK^2 = 64 Решая эту систему находим AC=1.4; BC = 4.8 Откуда площадь 3.36

[@vkr122]

На ДЗ, имею минимум два логичных предложения А=5 В=12 (сумма начиная с третего колеса равна сумме двух преведущих, верхний сумма двух последних)), А=-6 В=17 (верхний квадрат находим по формуле К1*К3+К2*К4 , числа в колесах идут по возрастанию)!

[@vkr122]

А если не за 30 секунд то еще А=4 В=9 (верхний квадрат = разность квадратов суммы средних колес и разности крайних)!

[@alexsokolov8009]

Радиус, очевидно, 4, АB = 5. Достроим две половинки окружности и применим свойство пересекающих хорд: AC*5 = 1*7 => AC = 7/5. Далее по теореме Пифагора BC = 24/5, значит, площадь равна 84/25 = 3.36 В тесте ответ 17, не буду пока раскрывать вашу изящную идею)

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@constantinfedorov2307]

Когда в ходе решения появилась еще одна Пифагорова тройка (7,24,25), я слегка озадачился - нет ли тут скрытого механизма генерации троек. Но оказалось, что все проще. Ответ S = (Ra)(R²-a²)/R²+a²); будет рациональным при любых целых R и a. (в условии R = 4, a = 3); Конечно, это означает, что при вычислении y под корнем будет полный квадрат. И это действительно - генератор троек, но совершенно тривиальный. (R²+a²)² - (2Ra)² = (R²-a²)²;

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, две пифагоровы!

[@GeometriaValeriyKazakov]

Грибное место!

[@constantinfedorov2307]

@@GeometriaValeriyKazakov однако да, если в окружности выбирается точка, у которой отношение расстояния от центра к радиусу выражается рациональным числом, то "желтый" треугольник из конструкции в задаче обязательно будет Пифагоровым Точнее, подобным Пифагоровому, то есть будет существовать число, при умножении на которое все стороны станут целочисленными (это равносильно выбору единицы измерения длины). Интересно, этот генератор исчерпывает все тройки? Формула очень похожа на стандартное двухпараметрическое представление троек. Например, треугольник, подобный египетскому (3,4,5), получается, если a/R = 1/3 или a/R = 1/2; при a/R = 2/3 или a/R = 1/5 => (5,12,13), а треугольник (7,24,25) из условия получится не только при a/r = 3/4, но и при a/R = 1/7. Нарисовалась новая закономерность - сумма числителя и знаменателя в одном случае равна знаменателю в другом (2+1=3 2+3=5 3+4=7) Интересно, это случайно или нет? Ну и еще одна интересная мысль. Желтый треугольник всегда Пифагоров (если a/R рационально), но должны быть случаи, когда оба треугольника (и желтый, и большой производящий) имеют целые длины. Интересно, когда?

[@Andrej_rybak]

Благодарю. Решил похоже. Площади треугольников АВО и АКО равны по 6. Площадь треугольника ВКС находим из подобия: (64/25)*6. Значит площадь треугольника АВС равна: (64/25)*6-6-6=6*14/25=84/25=3+9/25=3,36.

[@GeometriaValeriyKazakov]

[@valeraag5634]

Египетские треуг. и подобие прямоугольный треуг. - уже как пол геометрии. А что, равна одна пара углов - и уже подобны! Тут обошёлся без подобия. Пусть СА = х. По т. Пифагора СВ² + СК² = АК², (5² - х²) + (5+х)² = 8², х = 1.4. СВ = \/5² - 1.4² = 4.8. Sавс = 1/2•СА•СВ = 1/2•1.4•4.8 = 3.36. Задача №4: На первом рис. начинается последовательность чисел Фибоначи, но на 2-ом она нарушается. Но всё равно по тому же принципу А=5, В= 12.

[@mikez5179]

А=5, B=12. Сумма 17

[@GeometriaValeriyKazakov]

Верно!

[@pratik_matematik]

👍

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@P.S.Q.88]

Сумма чисел равна 5+12=17. Исходя из 1+1=2,1+2=3, 3+2=5, получаем 5+7=12, 7+12=19, 12+19=31. Ответ А=5, В=12, А+В=17.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично!

[@P.S.Q.88]

@@GeometriaValeriyKazakov Спасибо 🙏)

[@user-gf6uj3vm8o]

Моё решение: АО=3, ОВ=4 известный треугольник, из четверти строим полуокружность и строим в ней подобный треугольник ВС'В', сторона ВВ' равна диаметру полуокружности 8. 8/5=1,6. Что бы найти длины сторон умножаем на этот коэфициент. ВС'=4×1,6=6,4. АС'=АС=6,4-5=1,4. СВ=С'В'=3×1,6=4,8. Площадь треугольника АВС=1,4×4,8=3,36.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Супер!

[@Olga-fv6jy]

Я решила обоими способами. Мне больше понравилось свойство пересекающихся хорд. Вычисления проще.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Мне тоже.

[@user-yw6nd4rq3i]

После подобия захотелось пойти иным путем. Мы же знаем, что площади подобных фигур относятся как квадраты коэффициента подобия, значит площадь большого треугольника равна 6 (площадь мелкого) * (8/5)^2 = 6*2.56 (считать пока не будем). Желтый треугольник это большой за вычетом двух мелких, отсюда площадь его это 6*2.56 - 6*2 = 6*0.56 = 3.36.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично!

[@sashafedorov5768]

а=5,в=12

[@sergeybezhenov7174]

Спасибо за очередную красивую задачу. Поясню, в чем я увидел красоту. Согласен, что построение точки К - ключевой момент в решении (отсюда получается «Египет»), а вот дальше… Можно же продлить СК до пересечения с горизонталью, проведенной через точку В (получаем, например, точку М) и видим новый «Египет» с коэффициентом подобия 2, у которого ВС - высота, а ВА - медиана. Раскручивая дальше, получаем новый «Египет» в старом! Пора уже автору формулировать правило)

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо!

[@sergeybezhenov7174]

@@GeometriaValeriyKazakov Спасибо за реакцию и ответ! Но мой вопрос, как обычного любителя геометрии, вот в чем: всегда ли в «египетском» треугольнике между его высотой и медианой образуется еще один «египетский» треугольник? Если так, то как изменяется «египетское» соотношение между исходным и образуемым треугольниками? Это я по поводу «правила», которое «пора уже озвучить») Анализировать эту проблему, реально, нет времени… но есть же тренер)))

[@GeometriaValeriyKazakov]

@@sergeybezhenov7174 Это вам предстоит исследовать!

[@Sergey12121979]

для любителей решать задачи в общем виде! Если DА=а, АО=b, то S=(a*b*(a+b)*(a+2b))/((a+b)^2+b^2). При подстановке будет ответ 84/25=3,36 ед^2. Но возни!!! )))))))

[@padla6304]

СА продлеваем до края диаметра и из подобия тр-ков находим: Sтр = 84/25

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично!

[@MrDill100]

Предлагается задача. Дан пятиугольник AEDCB, углы EDC=EAB и больше 90 град., углы ABC и DCB равны 90 град. Проведена прямая, параллельная ED из точки A до пересечения с прямой DC в точке M. Прямая, проходящая через точки E и B пересекает прямую AM в точке N. Найдите условие, при котором отн. площадей четырехугольников EDMN и NMCB равны отношению площадей треугольников ENA и ANB.

[@Olga-fv6jy]

Оказалось, достаточно теоремы Пифагора. AC=x, BC=y. x^2+y^2=5^2; (x+5)^2+y^2=8^2. Из системы находим x=7/5, y=24/5.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Не Супер! Где ответ?

[@padla6304]

@@GeometriaValeriyKazakov а что супер? ответа нет!

[@GeometriaValeriyKazakov]

@@padla6304 Согласен!

[@alexnikola7520]

ура, сошлось)

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично!

[@alexnikola7520]

@@GeometriaValeriyKazakov спасибо)

[@user-nd1pm9sn5h]

Складываем 1,3,4 колесо, вычитаем 2 колесо, получаем число в квадратике сверху. Слева на право. Ответ 19 5:58

[@GeometriaValeriyKazakov]

Очень интересно!

[@adept7474]

А как Вам такой вариант? Срединный ⟂ ОН к ВС. Т. М - середина АВ (Фалес), НМ - средняя линия в ▲АВС. МК ⟂ ОВ. МК - средняя линия в ▲АОВ. ▲МОК ~ ▲ВОН. 4/2,5 = НВ/1,5. НВ = 2,4. Отсечённый средней линией тр-к - 0.7, 2.4, 2,5, его S = 0.84. S(АВС) = 4 × 0.84 = 3.36.

[@adept7474]

А может, лучше так: центр окр-ти вокруг ▲АВС и центр окр-ти вокруг ▲АОВ - в середине АВ(на АВ опираются прямые углы). Средние линии МН и МК в тр-ках решают всё.

[@alexnikola7520]

че-то я попытался дорисовывать, как Казаков... и опять заморочился)) ну АВ=5 понятно... а если нарисовать окружность с центром в середине АВ, обозн тчк О1.... далее АС обозн в, СВ как с... тогда в^2+c^2=25.... ну и углы САВ и СОВ равны, как опирающиеся на дугу СВ... тогда теор косин для треуг ОВС с^2=32-2*4*4*в/5... отсюда с^2=32-6.4в... отсюда в^2-6.4в+7=0 ... в=1.4... с=4.8... ну и S=3.36... хм... подозрительно не гладкий ответ

[@GeometriaValeriyKazakov]

Смотрите предыдущий ролик: там 336. Таков план. Если здесь взять 10 и 30, то тоже 336.

[@user-rj8ml5xu5z]

5 и 12

[@GeometriaValeriyKazakov]

Здорово!

[@adept7474]

ДЗ: если принять , что слева внизу ряд Фибоначчи, то 5 и 12. А для тех, кто не знаком с ним, так: 5 = 2 + 3, 31 = В + 19. В = 12. 5 - 3 = 1 + 1, 31 - 19 = А + 7. А = 5.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично!

[@Olga-fv6jy]

Нашла еще одно решение. Не "супер", конечно, с применением тригонометрии. Обозначим ∠CAB=⍺. S(ABC)=1/2*a*b=1/2*c^2*sin⍺*cos⍺. ∠CAB=2∠CKB. sin∠CKB=3/5, cos∠CKB=4/5. Значит, sin⍺=2*3/5*4/5=24/25; cos⍺=2*16/25-1=7/25. S(ABC)=1/2*25*24/25*7/25=84/25.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Тоже неплохо!

[@natashok4346]

Надоели тупые тесты, как и домашки. Из вредности не отвечу

[@GeometriaValeriyKazakov]

Правильно!