Offene und abgeschlossene Menge (Teil 2: Definition) | Math Intuition

Definitionen zu: offene und abgeschlossene Menge, innere Punkt, Randpunkt und Epsilon Umgebung.
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#offen #abgeschlossen #Randpunkt #innerer Punkt

[@SaufusDrinkus]

Ich wollte mich mal bedanken, weil mir deine Videos immer gut weiterhelfen wenn die Mathevorlesung in meinem Physikstudium mich mal wieder quält =)

[@mathintuition]

+SaufusDrinkus VIelen Dank für die Blumen! Genau dafür mache ich das auch :) Hast du noch Videowünsche? Gerne auch direkt per Mail über die Website.

[@keanu5085]

Einfach gut erklärt,, 6 Jahre später und immer noch Gold wert!

[@mathintuition]

Danke! Und wenn du MINT-Student bist, schau dir unbedingt meine Videokurse für mehr Punkte in Übungsblättern und der Klausur an: math-intuition.de

[@PhilthyLoops]

Aufgrund Corona sind wir nun so schon sehr auf E-Learning angewiesen und mit solchen Videos sind die Übungsserien auf jedenfall machbar. :D Danke :)

[@44erso]

Meister, mach weiter so! Die Bilder sind super wichtig für das Verständnis und auch die Vergleiche unter den Definitionen ist auch gut erklärt. Ich würde mir nur einpaar kleine Bsp. wünschen, also eine Anwendungsaufgabe, damit man sieht, wie man die Definitionen anwenden kann. Ansonsten top!

[@mathintuition]

+8Dimension Danke für das Feedback ;) Auf mehr Beispiele werde ich auch mal versuchen zu achten :)

[@karlszulik7756]

Das mit Abstand beste Video zu diesem Thema! Super! Vielen herzlichen Dank.

[@lunamaier8825]

Ohne dich wäre ich in Mathe echt verloren, warum können nicht alle Lehrer/Professoren die Themen so simpel und gut erklären

[@mathintuition]

Hey Luna, danke für das feine Feedback! Ja, das wäre viel besser. Aber das gute ist, dass ich so was zu tun habe ;) Schau auch mal auf meiner Website vorbei, wenn du die noch nicht kennst: math-intuition.de Da bereite ich dich auf die Klausur zu einer ganzen Vorlesung vor :)

[@playitback-os7mh]

Danke! Hammererklärung!

[@mathintuition]

Danke, sehr gerne :) Das Video hier ist übrigens eines von sehr vielen Videos aus meinem Analysis 1 Videokurs, der dich auf deine Ana 1 Klausur vorbereitet. Schau gerne mal vorbei: www.math-intuition.de/courses

[@maras.4668]

Super Erklärung, vielen Dank! Jetzt macht das Skript vom Professor auch Sinn :D

[@Ciao22ciao]

Super erklärt - vielen Dank!

[@felixhildebrand9079]

Danke. Die Erklärungen sind wirklich sehr hilfreich. 👌

[@poisoniveej]

Immer wieder super Videos! Würde mich über Stetigkeit und Differerenzierbarkeit freuen.

[@sipanj]

Danke sehr.

[@3PicPe0ple]

Top!

[@fatihsenguel]

Super

[@amateurphysiker2310]

doppel und dreifach like!! :)

[@Tobias1H]

Kurze Frage: wenn ich mir das Intervall [0,1) ansehe, bedeutet dies, dass es nicht abgeschlossen ist, da es unendlich viele Punkte in Richtung 1 gibt welche einen Ball (bzw. eine Umgebung) mit Radius (bzw. Abstand) größer 0 enthalten oder? Somit ist die Menge oder das Intervall offen.

[@harrypadarri6349]

Nein, das Intervall ist nicht offen. Es kommt natürlich immer auf die Metrik an, die den Raum definiert. Ich gehe mal von d(x, y)=|x-y| aus. Das kann man gut daran erkennen, dass es zum Punkt x=0 keine Umgebung gibt, die nur im Intervall liegt. Gibt es für alle x, hier also auch für x=0, aus [0,1) ein r>0, sodass für alle y aus R gilt: Aus d(x,y)

[@mathintuition]

Hey Tobias, alles von deiner Frage ist korrekt, nur die Folgerung zum Schluss nicht. Die Menge ist weder offen noch abgeschlossen.

[@gitarrenghost]

In meinem Lehrbuch steht folgende Aussage. Für "Q (Teilmenge ) von R" ist jeder Punkt "q (Element) von Q" ein Randpunkt, genauso wie jede irrationale Zahl auch. Q hat dagegen keinen einzigen inneren Punkt. Kannst Du mir das alles bitte verständlich erklären?

[@mathintuition]

+mad max Stell dir die Gerade der Reellen Zahlen vor. Die Teilmenge der rationalen Zahlen in Q sind nun (für die Vorstellung) einzelne Punkte darauf, die für sich gesehen keine Gerade bilden. Warum? Weil zwischen 2 rationale Zahlen immer sehr viele irrationale Zahlen passen. Daher ist quasi jede rationale Zahl "isoliert" bzw. von irrationalen Zahlen umgeben. Daher findest du keine noch so kleine Epsilon-Umgebung um einen rationalen Punkt, sodass DIE GANZE Epsilon-Umgebung wieder NUR in Q ist (denn jede dieser Umgebung enthält auch irrationale Zahlen). Daher ist per Definition jede rationale Zahl kein innerer Punkt. Jedoch enthält jede dieser Epsilon-Umgebungen (um eine beliebige rationale Zahl) sowohl irrationale als auch wieder rationale Punkte. Daher ist jede rationale Zahl per Definition ein Randpunkt.

[@gitarrenghost]

+Math Intuition Vielen Dank! Ich denke es jetzt verstanden zu haben.

[@janalbrecht5099]

Hi, macht aber kein sinn mit dem Rand wenn man sich vorstellen soll was es bedeutet wenn eine Menge gleichzeitig abgeschlossen und offen sein soll....genauso wie mit weder offen noch abgeschlossen, wie kann man sich das vorstellen?

[@mathintuition]

Mengen, die gleichzeitig offen und abgeschlossen sind, sind sicht schwer vorzustellen. Mir fällt es am einfachsten, wenn ich mir die Extremfälle vorstelle wie die leere Menge oder die Menge der ganzen reellen Zahlen. In anderen Kontexten (bspw. außerhalb der reellen Zahlen) gibt es jedoch auch andere Topologien / andere metrische Räume, wodurch eine völlig andere Geometrie und dadurch ganz andere Interpretationen von "offen" und "abgeschlossen" entstehen. Kannst ja mal nach der Klumpentopologie und der diskreten Topologie recherchieren.

[@janalbrecht5099]

@@mathintuition echt das fällt dir einfach? Also ich kann das gar nicht 😂 wie stellst du dir das denn vor, wie kann denn etwas keinen Rand und gleichzeitig doch einen Rand haben?

[@mathintuition]

​@@janalbrecht5099 Es ist eher so, dass ich mir denke: Im Extremfall gelten andere Regeln und da greift nicht mehr ganz "die übliche" Intuition.

[@feelingguitars]

Gibt ein Beispiel für eine Menge die gleichzeitig offen und abgeschlossen ist?

[@mathintuition]

Die "trivialen" Beispiele sind die leere Menge und der ganze Raum, in dem man unterwegs ist, z.B. die reellen Zahlen. Beide sind offen und abgeschlossen. Das sind aber sozusagen Extrembeispiele. Im Bereich des R^n mit der euklidischen (also "Standard"-)Norm bzw. Metrik (diese bilden häufig - aber nicht immer - die Grundlage für die Begriffe offen und abgeschlossen) ist es ansonsten schwierig (vll sogar unmöglich?) ein weiteres Beispiel anzugeben. Hier ist also unsere Vorstellung, dass etwas ENTWEDER offen ODER abgeschlossen ist, recht zutreffend. Sobald man aber andere Normen / Metriken betrachtet (ganz allgemein spricht man von Topologien), dann entstehen daraus auch andere Vorstellungen, was abgeschlossen und offen bedeutet. In der Topologie-Vorlesung kannst du sehr schnell "nicht-triviale" Mengen angeben, die sowohl offen als auch abgeschlossen sind. Doch das ist dann etwas abstrakter als im Video hier ;)

[@feelingguitars]

@@mathintuition Vielen Dank! Alright, leere Menge + ganzer Raum, ansonsten offen XOR abgeschlossen. Dann wart ich mal noch ein, zwei Semester ab, bis Topologie dran ist ;)

[@mathintuition]

@@feelingguitars Gut zusammengefasst ;) Aber wie gesagt mit nem kleinen Fragezeichen bei mir, ob das XOR im R^n mit Standard-Topologie wirklich immer gilt.

[@geiletoni764]

Wie kann nun eine Menge sowohl abg wie auch offen sein? Wäre das nicht widersprüchlich zur Definition?

[@mathintuition]

Hey Mauro, wo siehst du den Widerspruch? Wenn die Menge selbst offen ist und ihr Komplement auch, dann ist die Menge sowohl abgeschlossen als auch offen.

[@geiletoni764]

@@mathintuition Das ist genau was ich nicht verstehe. Gilt nicht per def, dass das Komplement einer offenen Menge abg. ist?

[@mathintuition]

@@geiletoni764 Genau, das Komplement einer offenen Menge ist per Definition abgeschlossen. Das heißt ja aber nicht, dass die (offene) Menge auch noch zusätzlich selbst abgeschlossen (also das Komplement zusätzlich auch offen) ist.

[@enoughtime2waste602]

geillo elearning und so xD

[@xlluve5663]

Steige aus dem Bett Dreh den Herd auf Schau in die Pfanne sag what cooking -Yeah- I'm getting hungry oh oh