Was ist eine Cauchy-Folge? (Intuition) | Math Intuition

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#Cauchyfolge #Cauchy-Folge #Folge #Grenzwert

[@brightsideofmaths]

Mal etwas zur Aussprache: Fast alle Mathematiker und auch ich sprechen Cauchy aus, wie du es erklärt hast. Richtig ist aber tatsächlich die Betonung auf der letzten Silbe: In Lautschrift: [koˈʃi] Benannt sind diese Folgen nach dem französischen Mathematiker Augustin-Louis Cauchy und bei französischen Namen wird oft der allerletzte "i"-Laut betont. Vergleiche zum Beispiel auch Sarkozy.

[@mathintuition]

Danke für den Hinweis! Wieder was gelernt :-)

[@marinasteflyuk252]

Richtig gut erklärt. Deine ruhige Stimme macht das Zuhören echt angenehm. Du erzählst nicht zu viel und auch nicht zu wenig. Gut gemacht. Ich lerne immer gerne für Mathe und benutze deine Videos, um Verständnisfragen zu klären. Vielen Dank!!!

[@allesklar7267]

RESPEKT! wie gut du das erklärst

[@mathintuition]

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[@kristinakoch9400]

Danke! :) das muss mal gesagt werden!

[@martinfurstenberg2281]

Top, so rafft man es auch endlich mal 👍 danke dafür.

[@rangermimbari8462]

Ersteinmal vielen Dank für deine tollen Videos. Ohne rumgequatsche mit universitärem Anspruch. Meine Frage ist. Wieso kann in Q die Wurzel aus 2 nicht als Grenzwert genannt werden, weil der Wert ja dennoch niemals etreicht werden wird oder geht es dann einfach darum, dass ich mit Wurzel2 nicht rechnen darf aber der Grenzwert folgt ja eigentlich erst nach dem Gerechne? Hhhmm. Mit sowas habe ich auch Probleme wenn es um Stetigkeitsbeweise mit R und Q geht.

[@mathintuition]

Bibidi Babedi wenn man nur in Q unterwegs ist, dann gibt es darin keinen exakten wert für wurzel aus zwei, sondern nur die annäherungen einer cauchy-folge. Diese haben auch formal keinen grenzwert, sondern nähern sich nur einander immer mehr. Du kannst also auch nicht mit einem grenzwert außerhalb von Q arbeiten, wenn du nur in Q bist. Ich hoffe das war verständlich :D

[@AtzenGaffi]

Warum muss der Grenzwert aus der gleichen Menge sein, wie die Folgenglieder (4:44)? Habe im ersten Semester gelernt, dass es rationale Folgen gibt, die gegen reelle zahlen konvergieren.

[@mathintuition]

Das liegt dann daran, weil in deiner Vorlesung gemeint war: eine rationale Folge als Teilmenge der rellen Zahlen konvergiert gegen eine reelle Zahl. D.h. die eigentliche Menge sind bei dir nicht die rationalen Zahlen, sondern die reellen Zahlen. Hingegen darfst du nicht sagen, dass eine rationale Zahlenfolge (einfach nur als Menge der rationalen Zahlen) gegen eine reelle Zahl konvergiert. Das wäre dann nur eine Cauch-Folge und keine konvergente Folge. Das war also vermutlich etwas ungenau ausgedrückt in deiner Vorlesung. Klar geworden?

[@AtzenGaffi]

Math Intuition Wurde eher im Praktikum als in der Vorlesung geklärt. Dabei wollten wir mit den Folgen beweisen, dass es reelle Zahlen gibt.

[@timometzdorf]

HI kannst du mal ein Video zu Projektionsmatrizen oder der Gauß Green Probe machen ? :)

[@mitraTentus]

Ich verstehe noch nicht ganz, wie du darauf kommst, dass a_n+1 = 1,5 ist, kannst du das nochmal kurz erklären? Das war ungefähr bei 11:45

[@mathintuition]

Ich meinte im Video, dass a_2 = 1,5 ist ;) D.h. du musst nur für n=1 einsetzen in der zweiten Gleichung und darfst natürlich verwenden, dass a_1 = 1 ist. Damit kannst du die rechte Seite der Gleichung ausrechnen und erhälst 1,5. Jetzt klarer? ;)

[@mitraTentus]

Math Intuition aah, ja jetzt hab ich's! Top, danke :D

[@jeffl7825]

Wie kann es sein, dass konv. F C.F. für R gilt, aber nicht für Q? Q ist doch Teilmenge von R.

[@mathintuition]

Das liegt daran, weil man in Q nicht-konvergente Folgen findet, deren "Grenzwert" außerhalb von Q (aber in R) liegt. Nur, dass man für sowas eben nicht von einem Grenzwert spricht, sondern die Folge eine Cauchy-Folge nennt. Beispiel: Wurzel(2)=1,4142.... und wir betrachten die Dezimalentwicklung als Folge in Q: a_1=1, a_2=1,4, a_3=1,41, a_4=1,414 und so weiter. Die Folge nähert sich immer mehr Wurzel(2) an, aber erreicht ihn (also reine Folge in Q) niemals, weil Wurzel(2) eben keine Zahl in Q ist. Demnach ist die Folge eine Cauchy-Folge in Q. Das heißt intuitiv: Der "Grenzwert" der Folge liegt außerhalb des "Sichtbereichs" Q. In R hingegen kann das nicht passieren.

[@nayjer2576]

@@mathintuition Was ist der Sinn den Grenzwert nur auf die selbe Menge zu packen?

[@mathintuition]

@@nayjer2576 Du meinst, warum der Grenzwert in derselben Menge liegen muss aus der auch die Folgenelemente kommen? Weil das quasi dein "Sichtbarkeitsbereich" ist. Beispiel: Stell dir vor, du kennst nur rationale Zahlen, aber keine reelle Zahlen. Und du hast eine rationale Folge. Wenn nun eine Folge nicht(!) gegen eine rationale Zahl konvergiert, jedoch die Folgenglieder immer geringeren Abstand haben, dann ist das ja sowas ähnliches wie konvergenz, aber du "siehst" eben nicht das ziel der konvergenz. Das ist genau eine cauchy-Folge dann.

[@nayjer2576]

@@mathintuition Okay verstehe, aber wieso macht man das? :D Die reellen Zahlen sind dahingehend ja abgeschlossen... also wieso legt man das jetzt so fest?

[@mathintuition]

@@nayjer2576 Es klingt vielleicht merkwürdig, weil wir eben die reellen Zahlen einfach gewohnt sind und sie uns nicht "weg" denken können. Doch es gibt durchaus auch ganz andere Zahlbereiche, wo man eben nicht genau weiß, was "außerhalb des Sichtbarkeitsbereichs" passiert. Deshalb gibt es das Konzept der Cauchy-Folge. Ich hoffe das hilft :)

[@CheyziEdits]

ist es normal, dass ich das alles schon im Vorkurs gelernt haben muss?

[@Shadowhunter2304]

Ne, finde ich nicht typisch.

[@katharina3048]

Ne, bei uns nicht.

[@helantopia]

Bei uns schon