[DET#15] Convexité & Tangentes à la courbe (Démonstration)

Dans cette émission, je démontre que si la dérivée seconde d'une fonction est positive, alors sa courbe représentative se situe au-dessus de toutes ses tangentes, propriétés qui caractérisent la convexité de fonctions suffisamment régulières. Après avoir traduit le problème de la géométrie vers l'analyse, on procède, simplement, par une étude de fonction.
📝 La démonstration réalisée ici fait partie des 18 démonstrations proposées dans les nouveaux programme de terminale en mathématiques, enseignement de spécialité, voie générale.
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✒️ Notions abordées: fonction convexe, tangente à une courbe en un point, étude de signe, étude de fonction.
🌞 Bonne écoute !
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[@HAN_2902]

Pourquoi est-ce que la première dérivée de d, ne suffit pas ? (on a alors plus besoin f''>0, juste que la convexité oblige f' croissante et on sait que f est dérivable... après, peut-être que ça change rien, mais est-ce que ça prend pas en charge des cas où f ne serait pas deux fois dérivable?) Mon raisonnement est peut-être faux mais : d'une part, d' s'annule en a, de l'autre, la convexité nous dit que f' est croissante, donc si x < a, alors f'(x) < f'(a) et si x > a, alors f'(x) > f'(a), donc respectivement, d'(x) < 0, puis d'(x) > 0. Donc d, est décroissante pour x < a, puis croissante pour x > a. En outre, d(a) = 0, du coup, nécessairement, d >= 0 ? (je n'avais pas regardé la suite de la vidéo car j'essaie de continuer tout seul en même temps mais ma question reste, est-ce que c'est utile d'invoquer la dérivée seconde ?)

[@oljenmaths]

C'est très bien vu : en effet, il n'y avait pas besoin d'aller si loin. Plutôt que de « plonger un cran en-dessous », on pouvait se contenter de « remonter l'hypothèse un cran au-dessus » en faisant intervenir la croissance de f' 👍🏻. Au top, j'épingle, merci pour le partage 🙏🏻!

[@HAN_2902]

@@oljenmaths Oh eh bien merci à vous je n'étais pas du tout sûr que ça suffisait !

[@DamassiTV]

J'ai trouvé cette chaîne par hazard.. Et j'ai aimé les vidéos, c'est la meilleure chaîne. Je suis du Maroc et j'ai bien compris beaucoup de choses grâce a vous ❤️🇲🇦

[@oljenmaths]

Merci 🙏 ! N'hésite pas à en parler autour de toi !

[@DamassiTV]

@@oljenmaths D'accord. Merci infiniment 🙂

[@Timalamoudni6048]

C'est la meilleure chaîne de maths en mon humble opinion.

[@oljenmaths]

Merci beaucoup 🙏 !

[@mocoulixx005]

Ohhhh merci vous me sauver la vie😂

[@salahidrissi1204]

Merci pour votre vidéo et merci pour votre explication et très brève, ♥️♥️♥️♥️♥️♥️♥️♥️♥️♥️♥️♥️♥️♥️♥️♥️♥️♥️♥️♥️♥️♥️♥️♥️♥️♥️

[@alainrogez8485]

Tres bien expliqué. Bravo.

[@leminou453]

Je suis en première (vers terminale) et j'ai TOUT compris !!! Merci !!!

[@fcbarcelonamesqueunclub365]

Salut j'apprécie vraiment tes vidéos, je suis en L2 de mathématiques et j'aime beaucoup cette matière . Tu peux faire des vidéos sur la notion de dualité et aussi sur la notion d'espace prehibertien ? Ça m'aidera beaucoup . Encore une fois super taff👌

[@oljenmaths]

Merci ! Pour l'instant, je suis en surchauffe, je n'ai pas le temps de traiter ces thèmes, mais j'en prends note pour des émissions à venir. J'aimerais tant qu'il y ait, aujourd'hui sur ma chaîne, le contenu qu'elle contiendra dans 10 ans... 🙃.

[@fcbarcelonamesqueunclub365]

@@oljenmaths d'accord merci 😀

[@ibrahimkhaliltoure785]

Merci infiniment pour tes vidéos ! J’ai pris la résolution de regarder chaque jour une video (de #DET) , je cris que ça m’attiseras bcp! Mais, je ne saisis pas pourquoi d’(x) = f’(x) -f’(a) 🤷🏼‍♂️

[@oljenmaths]

Il s'agit seulement de la dérivée de la fonction qui a x associe f(x) - [ f(a) + (x-a)*f'(a) ], en repérant que f(a) et f'(a) sont des constantes.

[@karimMalim-k6e]

Magnifique

[@indeedhid380]

Salut Olj! Un grand merci pour tes vidéos bien rédigées :) Par contre, je trouve qu'il y a quelque chose qui manque des fois. Pour celle-ci, par exemple, je trouve que c'est assez arbitraire de ta part de nous dire qu'on va prouver que si f">0 alors ... Je pourrais être le seul à le penser, mais ça engendre une idée que les mathématiciens conjurent les idées. J'aurais apprécié mieux que tu aurais fait d'abord une analyse intuitive d'une fonction à propos de ses taux de variations dont tu finis par conclure que si f'

[@oljenmaths]

Salut ! À mon sens, le déroulement du cours aura dû motiver a priori cette propriété par des exemples, dont celui auquel du fais référence, par exemple. Dans cette série, [DET], je me place dans le cadre d'un cours déjà fait. Cela dit, si je devais réaliser une émission de la série [UT] au sujet de la convexité, je n'hésiterais pas à répondre un peu mieux à la question du "pourquoi", assurément. Merci pour ce retour 👍🏻 !

[@theeo1977]

Merci :)

[@HamidouGuindo-c2s]

❤❤❤

[@kellian808]

Bonjour ! Si je veux démontrer "si f’’ positive alors f est au-dessous de toutes ses cordes" . Est-ce que pour prouver ça j'ai le droit de montrer que f est toujours au dessus de ses tangentes, donc convexe, alors forcément elle est au dessous de toutes ses cordes (car c'est aussi la définition de la convexité), ou ça ne marche pas ? merci

[@oljenmaths]

Bonjour ! Tout dépend du contexte dans lequel une telle démonstration est proposé. Si c'est un exercice, alors je dis, plus simplement, [f'' positive] implique [f convexe], ce qui, par définition, implique cette affaire de la courbe en-dessous des cordes. Par contre, si c'est la démonstration [[f'' positive] implique [f convexe]] qui est recherchée, alors il va falloir faire cette démonstration plutôt que de virevolter autour 😅.

[@kellian808]

@@oljenmaths merci beaucoup de votre réponse, finalement j'ai réussi en utilisant le théorème des accroissements finis :)

[@arcane-2947]

Superbe démonstration, je me demande si f est une fonction croissante et est convexe alors sa réciproque f^-1 est concave J’ai remarqué sur plusieurs fonctions que c’était le cas (fonction exponentielle-logarithme; fonction x->xexp(x) - fonction Lambert)

[@oljenmaths]

Dès lors que la bijection réciproque est définie (disons g), oui, c'est vrai ! Il suffit de partir d'une inégalité de convexité donnée par la fonction f: f( λg(x) + (1−λ)g(y) ) ≤ λx+(1−λ)y , puis de composer avec la fonction g, qui est croissante puisque f l'est. Et le tour est joué 😁! On peut aussi se convaincre de la chose graphiquement en interprétant le graphe de g comme le symétrique de celui de f par rapport à la droite y = x, mais ce n'est pas une démonstration 😉.

[@arcane-2947]

@@oljenmaths C’est génial comme résultat, ça m’aurait permis d’étudier la fonction Lambert principal plus rapidement, étant donné que sa dérivée seconde dépendait de W’(x) de mémoire et que mise à part le fait que : W(xexp(x)) = x je n’avais pas d’info pour étudier son signe. J’ai du donc faire une disjonction de cas + un raisonnement par l’absurde pour montrer que x -> W(x) était croissante sur [-1/e ; + inf[ = I En supposant que W(x) est décroissante sur I On a : si X ∈ [-1/e ; 0[ X < 0 Et : exp(X) > 0 (car l’exponentielle est strictement positive sur R et donc sur I ) Donc : X exp(X) W(0) = 0 ( W(x) décroissant par hypothèse) ⇛ X > 0 ce qui est absurde car X 0 Ce qui ma permis d’étudier le signe de W’’(x) et d’en déduire sa convexité. Mais avec cette propriété on peu gagner beaucoup de temps c’est magnifique !

[@oljenmaths]

C'est en effet l'un des beaux aspects des mathématiques,@@arcane-2947. En voyant un problème sous un angle nouveau, on peut parfois parvenir à des solutions élégantes là où à première vue, il paraissait ne pas en exister 🪄!

[@moussadiallo4246]

Quels outils utilisez-vous pour la vidéo ??

[@oljenmaths]

C'est un grand cocktail de logiciels, le logiciel principal étant Photoshop. ✍️ Tablette graphique: amzn.to/32Pe1VY 📝 Enregistrement vidéo: Camtasia + Photoshop. 🎧 Enregistrement son: Audacity. 🎬 Montage vidéo: Adobe Premiere.

[@astronomer5589]

This abject is very important but do u can to add the subtitles

[@oljenmaths]

At the moment, I don't have time to add subtitles but if the channel grows as I hope, these subtitles will eventually exist 👍🏻.

[@mauriciolirreverencieuxaud7091]

Ce n'est pas exactement la définition que j'ai dans mon cours de la Concavité... ∀λ∈[0,1] ∀(x,y)∈I², f(λx +(1-λ)y)≥λf(x)+(1-λ)f(y)) Je sais pas ce que ça change. PS: Dans le TD, il y a un exercice portant sur des inégalités entre les moyennes harmonique, arithmétique, et géométrique. Mais il n'en a pas faot la correction, j'ignore le lien avec la notion de convexe concave... Après je sais pas

[@oljenmaths]

La définition de la convexité que tu as dans ton cours, c'est l'interprétation analytique de "les cordes se situent au-dessus de la courbe", qui est une assertion plus géométrique. Aucune différence donc, ce sont des énoncés équivalents. PS: pour ton exercice de TD, la fonction logarithme paraît sympathique à considérer.