[UT#21] Formule de Taylor-Young - Introduction aux développements limités

Dans cette vidéo, j'introduis la notion de développement limité et présente la formule de Taylor-Young. L'idée est d'appréhender des fonctions potentiellement saugrenues à l'aide de fonctions polynomiales, cela afin, par exemple, de lever une forme indéterminée dans un calcul de limite.
Précision à 7:36 - L'explication selon laquelle o(1) est une fonction qui tend vers 0 me paraît insatisfaisante, raison pour laquelle j'ajoute ceci. Il s'agit ici, en disant que la fonction considérée tend vers 0 plus vite que 1, d'une comparaison au sens de la physique, qui compare deux grandeurs en réalisant leur quotient. Ainsi, o(1) est une fonction telle que son quotient par 1, c'est-à-dire elle-même, tend vers 0, d'où le résultat.
🎥 Émissions connexes:
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[@oljenmaths]

Cher spectateur, salutations ! Si tu veux rentrer directement dans le vif du sujet, je te suggère de lire mes livres, qui sont mes produits les plus aboutis: 📘 Les principes d'une année réussie: amzn.to/33RoTUH 📗 Le petit manuel de la khôlle: amzn.to/35AeFZ9 Cette émission fait partie de mon défi personnel 100 jours, 100 émissions, entamé le 28 août 2017 [80/100]. Depuis, de l'eau a coulé sous les ponts et la qualité du contenu produit s'est considérablement améliorée. Ainsi, si tu viens d'arriver sur la chaîne, je te recommande le visionnage d'une de mes dernières émissions, qui te donnera une meilleure idée de ce que je produis, ainsi que de la vidéo d'introduction de la chaîne. 🎥 La vidéo d'introduction de la chaîne (2'30''): kzbin.info/www/bejne/barafHiphqiqpqc Enfin, si tu souhaites me contacter, voici comment le faire. 📧 Contact: [e-mail] 🌞 Bonne écoute !

[@smartcircles1988]

Magnifique

[@nassurdineoussene8989]

Bonjour je souhaiterai savoir quel est le logiciel que vous utilisez pour écrire

[@oljenmaths]

@@nassurdineoussene8989 C'est un cocktail de plusieurs logiciels. ✍️ Tablette graphique: amzn.to/32Pe1VY 📝 Enregistrement vidéo: Camtasia + Photoshop. 🎧 Enregistrement son: Audacity. 🎬 Montage vidéo: Adobe Premiere.

[@Lakitu1446]

Bon sang quelle qualité, quelle pédagogie je suis tellement content d'avoir connu cette chaîne. Merci pour votre travail continuez comme ça ! ;)

[@oljenmaths]

Merci beaucoup 🙏 !

[@Lakitu1446]

@@oljenmaths de rien ;)

[@philipperoux8926]

Tu ne contentes pas seulement de balancer des formules a des élèves ... Tu expliques d où elles viennent et ce qu il y a derrière... Ce que ne font pas ou peu la plupart des profs . Donc , chapeau bas et merci !!

[@jadelemarchand7306]

J’aimerais particulièrement vous avoir en tant que prof de maths ! Merci pour toutes vos vidéos plus intéressantes et claires les unes que les autres ! Moi qui n’apprécie pas vraiment les maths en partie parce que je ne les comprends pas …j’y prends goût grâce à vos vidéos: quelle qualité ! Merci ;)

[@oljenmaths]

Merci pour ce message très sympathique, ça fait chaud au cœur🙏🏻!

[@rafik6042]

C’est superbement bien expliqué et imagé, en 10min on a déjà le bagage théorique. Merci et chapeau 🎩

[@chosta94]

Merci ! Les cours passent trop vite c'est dur de comprendre tout ça et l'on oublie le pourquoi du comment de ces formules... Je comprends mieux maintenant grâce à tes vidéos .

[@abdelmoulamsaddaq8240]

J ai regardé et je regarde toujours tes vidéos avec un grand plaisir et jamais déçu merci

[@anassidimohamed8315]

Excellent ! merci pour l'intuition que tu donnes sur ce que sont les série de Taylor !

[@clementinevarenne]

Très bon travail comme à chaque fois, tout est clair, précis, et intéressant voir motivant pour les étudiants comme moi, merci.

[@oljenmaths]

Merci pour ce message sympa ! C'est vraiment dans cet état d'esprit que j'ai créé cette chaîne, ça m'encourage à continuer 👨‍🏫 !

[@antoine4879]

meilleure vidéo du youtube game sur les dev limités, merci !

[@cryk7382]

Enfin quelqu’un qui explique clairement les choses avec des exemples concrets pour nous faire comprendre. Merci!

[@oljenmaths]

Ravi d'avoir pu aider 🙏🏻 !

[@wallwall3140]

Si tout les profs étaient comme toi on serait tous docteur 😅 incroyablement superbe Merci 🤩 😊

[@user-tg3qn4ig9y]

Enfin des bonnes explications merci en cours je savais pas a quoi ca servais je faisais des applications numériques sans comprendre

[@jesoxhg3364]

Incroyable cette chaîne, un grand merci

[@eskenderayadi4338]

Bon on est en 2021 et cette vidéo est encore plus nécessaire que jamais

[@oussamaaouam2258]

Explication claire , merci !

[@oljenmaths]

Avec plaisir :-) !

[@ARNAUDBOEGLIN]

Vidéo d'une clarté rare... merci beaucoup

[@anassattaoui8450]

c'est de la qualité ça bravo

[@cool.guy.]

woaw j'ai enfin compris grace à ta vidéo, merci

[@ld2037]

J aime bcp vos videos. je ne suis plus etudiant depuis longtemps mais ca me rappelle mes courts de prepa mpsi. tellement bien explique.

[@robinson7827]

Merci pour cette masterclasse

[@T0mLeFromage]

Super bien expliqué c'est concis et efficace !

[@danubenil3129]

Merci je desesperais de ne pas comprendre , maintenant je comprends mieux les petits o .

[@ex_molly715]

Merci beaucoup pour votre travail. Mon cours est tellement plus clair désormais

[@ossamamaazi3212]

a cause de la reforme des lycee j'ai arrete les maths en premiere et 2 ans plus tard t'arrive a me faire comprendre ce genre de truc, t'es incroyable mec bravo champion

[@oljenmaths]

Merci beaucoup 🙏!

[@gasoline9999]

My god you're a blessing man, thank you so much!

[@saidnajim]

C'est passionnant !

[@titouanleberre2371]

Merci j’ai enfin réussie à comprendre un peu !!!!!

[@MOUADCHERRADI]

Merci bcp ❤

[@AHMEDNAVatimetou]

magnifique

[@hissabis2068]

Excellente explication.

[@jcfos6294]

Je suis toujours aussi, c'est pourquoi je suis abonné. Quasi parfait! Juste la dernière minute avec les explications qui confondent :"le but étant de ne pas refaire Taylor young"... Versus... "grace a Taylor young"...??? ...euh là, vous m'avez perdu. Sinon, c'est extrêmement clair. 😎

[@oljenmaths]

Au plaisir 🥳! À la fin, j'essaie d'expliquer qu'on va obtenir les développements de Taylor d'une fonction sans revenir systématiquement à des calculs de dérivées successives, dans le sens où c'est souvent bien trop pénible en pratique. On se servira bien plus volontiers du formulaire de développements limités, que j'ai exposé dans une autre vidéo. [UT#60] 🧙🏻‍♂ Le formulaire de développements limités - kzbin.info/www/bejne/jWW4eJmZr7Fkjdk

[@pairaultym2469]

Wahou, bon j'ai pas encore tout bien compris mais merci beaucoup c'est très bien expliqué

[@ia6220]

très clair ! Merci infiniment !

[@erenksng5349]

Bonjour, merci pour cette clarté d'explication ! J'aimerais juste savoir ce qui vous permet de dire que x . o(x) = o(x²) A 7:50 j'ai l'impression que vous utilisez cette identité. Or, le o(x) vient du développement limité et nous dit que c'est une quantité négligeable devant x. Mais qu'est-ce qui nous donne le droit de la modifier après ? Ne doit-elle pas rester o(x) quoi qu'il arrive ?

[@oljenmaths]

L'égalité x . o(x) = o(x²) provient, moralement, d'un simple calcul de limite. Pour démontrer cela, je dois démontrer que x . o(x) / x² tend vers 0 lorsque x tend vers 0. Et bien, je peux le faire en l'écrivant comme suit: x . o(x) / x² = x/x . o(x)/x = 1 . o(1) -> 0. Bien sûr, x.o(x) = o(x), mais c'est imprécis. 📚 Une référence sur le site de l'excellent Christophe Bertault: cutt.ly/qQ7leoi

[@erenksng5349]

@@oljenmaths Merci bien. Mais vous du coup ça ne m'aide pas totalement car vous utilisez, pour m'expliquer, l'identité : o(x)/x = o(1) Donc ça revient sur ma question. Qu'est ce qui nous permet de modifier l'argument du petit o ?

[@oljenmaths]

@@erenksng5349 J'y ai pensé à l'écrivant, et je dois te l'avouer, j'ai été tenté de t'enfumer 🙃. Plutôt, o(x) est quelque chose qui, lorsqu'il est divisé par x, tend vers 0. Donc o(x)/x tend vers 0. D'autre part, o(1), c'est quelque chose qui, divisé par 1, tend vers 0. C'est donc quelque chose qui tend vers 0. Donc o(x)/x = o(1).

[@erenksng5349]

@@oljenmaths C'est beaucoup plus clair merci beaucoup !

[@ATELbtz]

c'est fou... j'ai 16 an set je suis en première et après quelques recherches en plus de cette vidéo j'ai finalement compris ... merci (bon je suis pas un as non plus he he, si j'ai ca en contrôle aujourd'hui bahhh ... je suerai )

[@oljenmaths]

« Il est monté sur scène, il a sué, il a sué, il a sué » - Maître Yoda. C'est chouette de regarder un peu ce qui se fait après, n'est-ce pas 😇?

[@kaderdz8291]

bonne explication 🎯

[@mandresyfalimanana3538]

merciiiiiiiii

[@skwadala-yt]

Merci énormément !

[@piranaztm1531]

Merci

[@aminalami4945]

درس في المستوى شكرا

[@oljenmaths]

شكر !

[@jad609]

J'ai beaucoup aimé la vidéo, même si je n'ai pas bien saisi ce que veut dire le "o" à la fin de chaque expression

[@oljenmaths]

Ce symbole « o » traduit une relation de négligeabilité. Je l'introduis calmement dans cette vidéo : kzbin.info/www/bejne/oJWviX6Ai7ljZsU 👨🏻‍🏫.

[@LinaLine-i8h]

merciii

[@0bamo0]

Mercii :)

[@astorina]

Merci , c est très bien amené, juste qq questions si par hasard vous passez sur mon commentaire Pourquoi o(x2) au dénominateur vers 8 minutes alors que on a x o(x) juste avant Pourquoi o au numérateur et o au dénominateur , c est potentiellement deux fct différente , non ? Mais qui vont vite vers 0 mais l une est en x et l autre en x2 ? Enfin au début , connaissez vous un cas concret , industriel par exemple, ou cet outil sert tel quel ? Merci et bravo

[@oljenmaths]

🔹 On peut démontrer que x o(x) = o(x²). Je ferai sans doutes quelques émissions à ce sujet lorsque je trouverai le temps, pour apprendre à manipuler les o. 🔹 Effectivement, les deux o sont des fonctions différentes. L'usage est de les noter de la même manière, mais cela demande d'être très précis sur les manipulations que l'on s'autorise à faire avec ce genre de notations « souples ». Par exemple, o(x)/o(x) n'est pas égal à 1, mais à o(1) ! Un garde-fou pourrait consister à numéroter le o. 🔹 Dans l'industrie, il me semble qu'une telle approximation est inutile. Si je veux dessiner une carrosserie de voiture, j'utiliserai des courbes de Bézier, qui sont beaucoup plus fidèles à l'image qu'on peut se faire d'une « belle interpolation », ou d'un « beau mouvement ».

[@classiquenduro7852]

Ceci est excellent ! J'ai une petite question .. Quand vous dites qu'on peut augmenter les degrés c'est dans un but de précision ? Est ce que ça veut dire que plus le degré est grand "plus c'est précis" ? Si cest le cas je ne vois pas pourquoi (je n'arrive pas à me l'imaginer visuellement) Merci pour votre aide 🙂

[@oljenmaths]

Oui, augmenter le degré permet d'obtenir une approximation de la courbe plus précise. Il est difficile de donner un sens mathématique précis en quelques lignes, mais on peut aisément se représenter les progrès sur quelques exemples. 🔹 En allant à l'ordre 0, c'est le pire qu'on puisse faire (droite horizontale quoiqu'il arrive). 🔹 En allant à l'ordre 1, on tient en compte de la dérivée de la fonction, c'est-à-dire de la pente. 🔹 En allant à l'ordre 2, on tient compte de l'incurvation de la courbe (localement concave, convexe). Après, il devient difficile de se rendre compte des changements "concrets", mais lorsqu'on produit une simulation informatique, on se rend vraiment compte du progrès lié à un degré supérieur. Seulement, et c'est une remarque de taille, l'approximation n'est valable que sur un petit voisinage autour du point en lequel on produit le développement limité.

[@classiquenduro7852]

@@oljenmaths Merci beaucoup !! 😊

[@ul-tme1053]

L'idée est super bien expliquée, je comprends juste pas comment on obtient le développement limité de sin(x) et cos(x)

[@oljenmaths]

On peut utiliser la formule de Taylor Young. Par exemple: cos(x) = cos(0) + x*cos'(0) + x²/2 * cos''(0) + o(x²) = 1 + 0 - x²/2 + o(x²) = 1 - x²/2 + o(x²). Et le tour est joué 🚴.

[@Nouriamomooo]

Merci !

[@lapitreri]

prendre dev a l'ordre 2 pour le sin aussi? o(1)?

[@flyjodel]

limpide, sauf dans l'exemple 2: x(x+o(x)) devient x²+o(x²) Mais pourquoi donc quoi qu'est-ce que ?

[@oljenmaths]

On peut l'expliquer comme ceci : o(x^n), c'est un produit du type [ x^n * E(x) ], où E(x) tend vers 0 lorsque x tend vers 0. En particulier, x*o(x) s'écrit x * [x * E(x)] = x² * E(x) = o(x²). Ces notations sont très pratiques pour encapsuler « la vitesse à laquelle une quantité donnée tend vers 0 ».

[@flyjodel]

@oljenmaths merci ! Tout ceci est un peu ancien, ça fait plaisir de raviver ces notions de manière claire et en les construisant, avec la partie "recherche", qui soulage la frustration d'un résultat posé au tableau en 25 millisecondes avant de passer au suivant. Votre façon de rendre ceci accessible et logique est extrêmement profitable

[@raskolnikov5]

bonjour j'ai pas bien compris la différencence entre la fomule de Taylor Young et le développement limité

[@oljenmaths]

Salutations ! La formule de Taylor-Young permet de fournir le développement limité de la plupart des fonctions connues, et de retrouver tous les DL du formulaire en cas d'oubli 😇. 🎥 [UT#60] Le formulaire de développements limités - kzbin.info/www/bejne/jWW4eJmZr7Fkjdk

[@Silver-bq6td]

Ça c'est ce qu'on appelle faire des mathématiques

[@MOUADCHERRADI]

Pouvez-vous me die l'application auquel vous travaillez dans vous videos

[@oljenmaths]

Adobe Photoshop + tablette graphique 😉.

[@bourhilnaddou5442]

interressant

[@minnaharoun9448]

Exilent

[@younesbarmaki9613]

svp comment vous pouvez écrire comme ça et mrc pour votre explication

[@oljenmaths]

Si tu me parles du matériel, j'utilise un stylet, une tablette graphique, Photoshop et Camtasia. Si tu me parles de mon écriture, il m'a suffi de bien écouter ma mère quand elle me disait que bien écrire, c'est important :-) !

[@younesbarmaki9613]

Hhhhhh mrc

[@abisarwan20]

@@oljenmaths quelle tablet graphique?

[@oljenmaths]

@@abisarwan20 ✍️ Graphic Tablet: amzn.to/32Pe1VY

[@cyrleb5]

Pourquoi les enseignants nous tutoient systématiquement ?

[@oljenmaths]

Ce n'est pas le cas: je vouvoie tous mes élèves dans ma classe. Par contre, sur internet, je tutoie tout le monde: vieux, jeunes, élèves, pas élèves.

[@gillesd91]

Si j'avais eu ce type d'explication au lycée, bon j'aurais peut être pas fait Ulm, mais une bonne école d'ingés

[@astorina]

merci pour la generalisation (a quoi ca sert) a partir de kzbin.info/www/bejne/r3nJnal3qsZgi5I

[@moularaoul643]

Merci!