Oral X-ESPCI #1 : EZ ? (Partie 1)

[@baptistegalnon8361]

Le goat toujours dans notre cœur

[@davidhezard2783]

Avec ce genre de commentaire, je flex !

[@loupiotable]

Salut ! Sympa ta vidéo, je voulais juste te proposer une autre méthode, plus combinatoire. On veut montrer que la somme des (k parmi n)^2 vaut (n parmi 2n). Le second c'est le nombre de manière de choisir n objets parmi 2n objets. Si tu te donnes 2n objets, et que tu coups ton ensemble en 2, en deux parties A et B de cardinal n, choisir n objets revient exactement à choisir k objets de A et n-k objets de B, pour un certain k entre 0 et n. Or, il y a (k parmi n) * (n-k parmi n) = (k parmi n)^2 manière de choisir de tels objets. En sommant sur k, on trouve l'égalité !

[@maxaucarre37]

excellent, c'est la preuve la plus immédiate de la formule de Vandermonde en effet. D'ailleurs sache que derrière toutes les méthodes calculatoires se cache la méthode combinatoire, dont tu pars à la base pour prouver tout ce qui est binôme de Newton, formule de Leibniz...

[@miyo.7792]

Le GOAT que je ne verrai jamais car je ne l'ai pas en colle

[@miyo.7792]

Sinon, pour la formule de Vandermonde, il y a plus simple en considérant les polynômes (X+1)^(a+b) et (X+1)^a*(X+1)^b et en utilisant le binôme de Newton et la formule du produit de polynômes pour le calcul des coefficients ;)

[@maxaucarre37]

@@miyo.7792 excellent, j'ai déjà eu des commentaires sur cette méthode, avec a=b=n ici !

[@qazar7906]

Jolie démo, merci

[@christopheedlinger5488]

pour la premiere partie, on part de (2n, n) = (2n-1, n) + (2n-1, n-1). On remonte la formule sur les n lignes precedentes pour arriver sur la ligne n du triange de Pascal, on voit facilement que les termes du developpement du binome apparaissent : ainsi (2n, n)=1.(2n-2) + 2(2n-2, n-1) + 1(2n-2; n) = 1.(2n-3, n-3) + 3(2n-3, n-2) + 3 (2n-3, n-1) + 1 (2n-3, n) = (3,3).(2n-3, n-3) + (3,2)(2n-3, n-2) + (3,1) (2n-3, n-1) + (3,0) (2n-3, n-0) on remonte ainsi n lignes pour arriver a (n,n) (2n-n, 0) +. (n,n-1)(2n-n, 1) + .... (n,1)(2n-n, n-1) +(n,0)(2n-n, n) et en utilisant que (n,p)=(n,n-p) et 2n-n=n on arrive a (n,0)^2 + (n,1)^2 + ... + (n,n)^2

[@maxaucarre37]

@@christopheedlinger5488 excellent, j'imagine donc que ça peut se faire par récurrence ? J'avais essayé mais j'arrivais pas

[@jpl569]

On part de l’égalité (évidente) : (1 + X)^2n = (1 + X)^n. (1 + X)^n, on cherche le terme en X^n à gauche et à droite et on identifie : (2n, n) X^n = ∑ (n, k) (n, n-k) X^n (somme pour k allant de 0 à n). On en déduit (2n, n) = ∑ (n, k)^2. N’est-ce pas plus simple ? Merci pour vos videos ! 🙂

[@maxaucarre37]

@@jpl569 excellent, c'est une autre méthode super intéressante !

[@jpl569]

@@maxaucarre37 J'adore la façon tu fais tourner ton stylo entre tes doigts... 😅

[@azeafn6714]

dommage que tu n’aies pas corrigé la derniere question c’est la question difficile qui fait que cette exo soit à l’X le reste est classique ! continue ,es vidéos sont sympa

[@maxaucarre37]

tkt la partie 2 arrive 😉

[@mouadh_7009]

Salut perso jsuis en L1 et mon prof de math m'avait envoyé la premiere demo à faire juste en me disant: on pourra soit faire une preuve combinatoire, soit s’int ́eresser au polynˆome (X+1)**2n et s’int ́eresser `a son terme de puissance n. Si sa peut aider

[@maxaucarre37]

@@mouadh_7009 Je connaissais la preuve combinatoire, mais excellent pour la preuve avec (x+1)^2n !

[@Hiroooq]

oui ca marche aussi, mais si tu l as pas vu avant c est mort

[@maxaucarre37]

@Hiroooq oui c'est le genre de truc hors programme à connaître, donc à savoir démontrer, contrairement à un truc au programme où tu donnes juste le résultat

[@Hiroooq]

@@maxaucarre37 e3a math psi 2024 qui propose de faire ça en 3 questions justement preuve que c’est classique haha

[@Hiroooq]

@@maxaucarre37 oui totalement

[@maellebivic2525]

salut, petite question pour la question 1 pk n utilises tu pas l égalité de vandermonde? cela est beacoup plus simple il me semble.

[@maxaucarre37]

@@maellebivic2525 Elle n'est pas au programme en PC donc je la redémontre

[@Ymixx8613]

@@maxaucarre37 je suis en filière PCSI et on l'a dans le cours

[@Jay-hg6jt]

sinon on peut également considérer (x+1)^2n et (x+1)^n * (x+1)^n et on regarde le coefficient de degré n et on obtient le résultat

[@maxaucarre37]

excellent j'ai eu cette réponse aussi en commentaire ! C'est vraiment intéressant de voir qu'il y a tant de méthodes possibles !

[@phileasmahuzier6713]

C'est un classique des cassinis

[@maxaucarre37]

je n'avais pas la référence, merci !

[@evanyl8925]

possible d'avoir le poly ?

[@maxaucarre37]

viens insta

[@qazar7906]

Je suis en terminale et je devrais rentrer en prépa l'année prochaine. Du coup question : comment ça te vient à l'esprit cette histoire de dérivée ? Comment tu en viens à penser à ça ?

[@incla6440]

À vrai dire penser à ça n’a aucun sens, il faut de l’expérience (beaucoup) où avoir déjà vu un truc dans le genre comme il l’a dit (ce qui revient au même qu’avoir de l’expérience)

[@giipha3739]

Est ce que les raisonnements de type denombrement fonctionne. Se donner une partie a p element d un ensemble a n+m element c est d abord se donner une partie de k element d un ensemble a m element puis p-k d un ensemble a n element. Il y a exactement k parmi m fois p-k parmi n maniere de faire. Comme k peut varier de 0 a p on somme de 0 a p

[@maxaucarre37]

@@giipha3739 oui c'est excellent

[@herveclavier5857]

Pour la question 1, c'est tout simplement une application immédiate de l'identité de de vandermonde, qui est au programme en sup....

[@valentinbartolomei1011]

Bonsoir, ce n'est pas au programme

[@maxaucarre37]

@@herveclavier5857 En PCSI ça ne l'était pas pour moi, les MPSI je ne sais pas

[@Hiroooq]

@@valentinbartolomei1011 hahahaha oui effectivement

[@herveclavier5857]

@maxaucarre37 je ne sais pas, en tout cas oui, en mpsi et en mp2i c'est au programme

[@herveclavier5857]

@valentinbartolomei1011 en mpsi et mp2i, si...