Овчинников А. В. - Линейная алгебра - Изоморфизм. Преобразование координат

[@MinisterDorado]

Теорема. Даны p векторов - x1, ..., xp (ЛНЗ или ЛЗ), которые образуют линейную оболочку L(x1, ... xp). Даны другие вектора y1, ... ys, которые принадлежат линейной оболочке L(x1, ..., xp), то 1) если s< p, то y1, ... ys - ЛЗ. 2) Если y1, ... ys - ЛНЗ, то s >= p. 16:23 Теорема. Все базисы векторного пространства V состоят из одного и того же числа векторов, причем это число равно размерности нашего пространства dim V. 17:10 Доказательство. Изоморфизм векторных пространств. Изоморфизм - отображение одного векторного пространства в другое, которое сохраняет операции: сумма переходит в сумму, умножение на число в умножение на число. Пусть V, W векторные пространства над одним числовым полем K. Отображение F: V -> W называется изоморфизмом, если выполнены требования: 1) если отображение F взаимно однозначно (отсюда следует, что пространство обратимо). 2) a) F(x+y) = F(x) + F(y), б) F(a*x) = a*F(x). Для любых x, y из V, для любых a из K. (Свойства линейности F(a*x + b*y) = a*F(x) + b*F(x)). 24:14 Линейные отображения - это отображения, которые коммутируют с линейными операциями. 25:05 Теорема. Пусть V - векторное пространство над числовым полем K. Тогда это пространство изоморфно векторному пространству K^n (пространству столбцов чисел из поля K). 26:13 Доказательство. 32:20 Теорема. Два векторных пространства V и W над одним и тем же числовым полем K изоморфны тога и только тогда, когда равны их размерности (dim V = dim W). 33:10 Доказательство. 33:45 Начало тензорного исчисления. Преобразование координат при замене базиса. 35:10 Дано векторное пространство V над полем K. Два базиса E (старый) и E'(новый). Выразим векторы нового базиса через старый. Правило суммирования Эйнштейна при парных индексах знак суммы можно опускать. Матрица преобразования от старого к новому С. E' = EC (Матричная форма перехода от старого к новому). Для получения обратной матрицы перехода нужно возвести матрицу С в -1 степень т.е. С^(-1). 43:00 Преобразование столбцов и запись матрицы преобразования. Координаты векторов записываются в столбец в матрицу преобразования. 49:20 Пример преобразования. 54:35 Векторы одного базиса можно выражать через векторы другого. Возьмем произвольный векторов и разложим по старому базису. Также можно разложить по новому базису. 56:50 Зная одни координаты найти другие. Выражения для преобразования координат векторов от одного базиса к другому. 58:55 Векторы базиса преобразуются с помощью одной матрицы, то векторы координаты преобразуются с помощью обратной матрицы. 1:00:45 Этот факт что векторы и базисы преобразуются по разному. Преобразования, в которых участвует прямая матрица перехода называется ковариантные, а преобразования, в которых участвует обратная матрица перехода называются контравариантными. Т.е. преобразования координат векторов - от старых к новым - называются контравариантными. Ковариантные - от старого к нового с помощью прямой матрицы. Контравариантные - если переход от старого к новому осуществляется с помощью обратной матрицы. 1:08:13 Пример преобразования координат векторов. 1:10:45 Преобразование координат происходит через матрицу перехода. Получение обратной матрицы это не транспонирование, а операция обращение. 1:14:20 Примеры векторных пространство. Указание стандартных базисов и их размерности. 1:15:10 Пример аналитических векторов. Ортонормированные базисы для аналитических векторов. 1:17:13 Как установить размерность базиса в любом векторном пространстве. Если базис неизвестен и искать его не хочется. В этом случае нужно понять как устроен произвольный элемент, через какие произвольные параметры он выражается, сколько произвольных параметров, столько и координат. 1:18:35 Пространство C^n (R) Размерность пространства C^n над полем вещественных чисел равна 2n. А векторы базиса будут e1 = (1, … 0 ), e2 = (i, …, 0), e3 = (0, 1, …, 0), e4 = (0, I, …., 0) и т.д. 1:22:40. Данный подход используется в аналитической геометрии. Мнимый эллипс x^2 + y^2 = 1. 1:23:30 Пространство алгебраических полиномов K[x]n - многочлены степени

[@loralgris]

В начале вашего комментария, в формулировке теоремы ошибка: если s > p ЛЗ, а если s

[@my_learning_spaceship]

Тот самый с первой парты Ютуба, спасибо) правда, самой конспект рукой прописывать прикольней что ли

[@pesk0w]

СУПЕР!

[@mctab1]

"Координаты вектора - контравариантные объекты!"

[@ВикторНефедов-щ3д]

Очень глубоко и чётко изложено преобразование координат. Между тем, неподготовленным зрителям не очень комфортно воспринимать многомерные пространства. Для преобразования на плоскости всё очень легко: kzbin.info/www/bejne/bqqomJShaambnZI

[@Zeding_Stuff]

13:44 Че не получается да?