“皮亚诺曲线”是什么？用一根线填满正方形，它是一维还是二维？

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Күн бұрын

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Пікірлер: 216

@謝小蝦 3 ай бұрын

我趕緊點讚以免被人誤以為我聽不懂

@佩勳-z2i 2 ай бұрын

哈哈哈😂😂😂😂！哥～這梗很可以啊！😂😂😂😂

@ggj2275 4 ай бұрын

第二次折叠是如何折叠的？

@hellkity3037 3 ай бұрын

對每一個直線線段再做一次摺疊，可以理解為從直線到第一次摺疊是把直線換成凸線，第二次摺疊就是把凸線的三段各自再換成凸線，之後的摺疊也是以此類推

@turbomeavel 2 ай бұрын

以前在牛顿杂志看过分形几何的文章，原来是从皮亚诺曲线来的。

@4kHK Ай бұрын

其實二維只是理論存在吧？

@windhydra6511 3 ай бұрын

這曲線 (Hilbert curve) 可以把一维數字轉換成二维座標。任何二维座標都有對應的數字，所以概念上覆蓋了整個方形。

@Smtadify 3 ай бұрын

但它概念上就是二維，因為需要兩個變數表示Hilbert curve. 其實Hilbert curve只是變個魔術而已，讓正方形看起來可以用一維表示，但實際上並沒有改變什麼。

@破腦改管畜全家死光 3 ай бұрын

不只是這樣重要的是它還是個連續映射單只是bijection的話其實很容易就能做到

@kjin1013 3 ай бұрын

@@windhydra6511 这条曲线不会经过那些x,y坐标均为无理数的点。

@oriholy9817 2 ай бұрын

@@kjin1013 皮亚诺曲线一条从单位区间 [0,1] 映射到单位正方形的连续函数，是满映射的，是能够经过x，y均为无理数的点。

@沈明德-f5i 24 күн бұрын

維次跟點線面無關。不管幾維的線還是線，線跟面定義不同，面有面積，不管幾維次的線只有長度，不會有面積。點它會有xyz軸座標值，昰你把點放在直角座標系統裡，它在系統裡當然有座標值，3維座標值昰座標系統的，不昰點本身的。物件要有長度，面積，體積才能構成你是幾維物件，【點】沒長度，沒面積，沒體積，它哪來3個維度？座標系統有很多種，同樣的點，在不同系統裡表示方法都不同。

@Harrison147789 3 ай бұрын

當線突破x軸到y軸時，那已經不再是1維

@eric810416 3 ай бұрын

不是這樣看，雖然路徑突破xy兩軸，但線只要一個參數就能表示，所以是1維

@Ray-kw2qh 3 ай бұрын

一個參數不夠吧@@eric810416

@Harrison147789 3 ай бұрын

@@eric810416 那轉了個直角的線的公式是？🤔

@kevin-ro1cb 3 ай бұрын

線長乘線寬趨近面積即可

@Smtadify 3 ай бұрын

沒錯，表示 Hilbert curve 需要用到兩個變數，所以它本身已經內含二維性質。其實講穿了 Hilbert curve 並沒有改變維度的什麼，只能說它用另一個方式來描寫正方形，讓他看起來似乎是一維的假象。

@sharon-s-lavender 3 ай бұрын

但線段不具有寬度，所以沒有面積；這時候既使線段通過多少方形內部面積，也無法取代方形這影片內討論的是積分概念，將線段加總起來成為面積，可是在數學的意義上，線段本身在不具有寬度的情況下，沒辦法積分出面積我想請教以上這部分，麻煩您

@henrychin0 3 ай бұрын

你這麼認真請教他幹嘛線段本身不具有寬度，但通常為了表示線段的長度還是會在視覺上提供一個寬度這就是這種曲線的BUG所在若把二維等於0的線段定義為寬度無限接近0的長方形，是不是邏輯就通了一個寬度無限接近 0 的長方形始終可以藉由影片中介紹的曲線發散最終達成一個有明確面積的矩形，也就是你說的積分因為寬度雖然無限接近0，但始終不為0，只要不為0乘積就不會始終為0，也就可以藉由無限發散堆疊起來

@windhydra6511 3 ай бұрын

這曲線 (Hilbert curve) 可以把一维數字轉換成二维座標。任何二维座標都有對應的數字，所以概念上覆蓋了整個方形。不確定面積怎麼搞。

@uuuboy2003 3 ай бұрын

事實上我們所處的世界就是三維，三維能理解一維二維，但在三維世界我覺得沒有真正意義上的一維和二維，因為哪怕是原子也不可能厚度為0，再怎麼小的東西微觀上其實都還是三維的，三維的世界只能理解一維二維的概念，但沒辦法物理上真的創造出一維和二維的東西，而三維就沒辦法單純理解四維，得用抽像的概念想象

@pneujai 3 ай бұрын

沒辦法積出面積？？？measure theory沒讀好吧？space filling curves的其中一個重大意義就是將n維的Lebesgue integral變成1維

@sunxishan 2 ай бұрын

积分的情况下可以实现面积不要把这个曲线认为是线。这个理论的意义是在趋于无穷的条件下线和面是可以转化的。你可以这样认为：线宽是趋于0的但是线长是趋于正无穷的两个量相乘是可以得到定值的

@StarLight-ld8rr 3 ай бұрын

那我媽的毛線球🧶 也是一條線組成的它是一維還是三維？

@saybencheck 3 ай бұрын

毛線本來就是三維的

@stephensu4371 3 ай бұрын

毛線本身是一個圓柱體

@奇怪的知識減少了 3 ай бұрын

毛線可以再拆成更細的線，所以是一維的，當然毛衣也是一維的

@CatHuahua 3 ай бұрын

曲線宇宙觀嗎？

@saybencheck 3 ай бұрын

@@奇怪的知識減少了不你把毛線拆成分子它也是立體的是三維的除非你有二向箔降維打擊實際上我個人認為這個世界上還沒有絕對二維的實物存在但凡有Z軸那怕是一個電子的Z軸都是三維的硬要說的話只有概念性的東西比如鹹水和淡水的交界線也許是沒有Z軸的? 這是什麼八雲紫DOGE

@bp7825 3 ай бұрын

我很確定做這個影片的人自己都不知道自己在講什麼..笑死

@小汽車車 3 ай бұрын

好笑，線就是線，要堆疊，存在的空間就要堆疊（就不是單純的線），現在用有體積的線，去討論沒體積的線？？

@oriholy9817 2 ай бұрын

涉及到无穷的概念，就不能以这种经验的思维去思考了。比如一个一维的实数轴，上面就是由无穷个没有长度的实数填满的。

@小汽車車 2 ай бұрын

@@oriholy9817 一維就是一維，點就是點，其存在就是一個點，從任何角度看都只看見點，硬要說可以堆成線，只是以自己的三維觀念去定義，而不是以實際狀況去定義。

@oriholy9817 2 ай бұрын

@@小汽車車你要从有限的角度看确实，但涉及无穷就不是你那样去思考了。实数轴就是最显然的例子。当然这里说的都是数学世界而不是物理世界。物理世界目前来看没有真正无穷的概念。

@loli111422 2 ай бұрын

@@oriholy9817 這是因為對於早期的數學家微積分的概念並不普及，題目就是個偽命題，1維的線*N也不可能成為2維的面，0.1與0中間擁有無窮的數，你摺疊無窮次也不可能填滿無窮的數，1維、2維、3維取決於做座標系，如果你只有2點位移公式是不可能可以代表一個面的面積

@oriholy9817 2 ай бұрын

@@loli111422 无穷条直线不能组成平面，但是可以完全覆盖平面。0.1与0不能无穷次折叠填满的本质是因为通过折叠无穷次这种方式生成的是可数无穷集，但实数集是不可数无穷集。这跟皮亚诺曲线有本质上的区别。另外，皮亚诺曲线的长度是无穷。

@arquickqloom 2 ай бұрын

一维直线没有宽度，宽度为0。视频中的那种直线扭曲成的图形永远无法填充一个二维方形。之所以看起来填充了，是因为即便是计算机模拟，也必须假设直线的宽度，否则无法显示。然而如果直线有了宽度，它就变成了一个二维的面，你是用面来填充面。视频开头是个伪命题。

@sunxishan 2 ай бұрын

不对的数学可以证明是填满的

@arquickqloom 2 ай бұрын

@@sunxishan 好的,没关系,不重要

@Blocker-Nagnto 2 ай бұрын

所以一維直線寬度為0 那理論上那種扭曲線只要扭曲1÷0次就能成為一個二維方形

@arquickqloom 2 ай бұрын

@@Blocker-Nagnto 在下对您理论的敬仰之情如滔滔江水，连绵不绝。

@TWT0824 2 ай бұрын

@@Blocker-Nagnto 數字除以0是無意義的（一維的線條寬度是零，當寬度大於零就會變成二維平面，所以你沒辦法用二維的角度算出一維的東西）（猜測）

@nar198637z 3 ай бұрын

一維二維是空間量辭，而不是物質量辭，搞不清這個只是在鬼打牆，白忙一場。

@kjin1013 3 ай бұрын

应该是无限靠近所有的点，而不是通过所有的点。实际上，这条曲线不会通过绝大部分的点，也就是x或y坐标为无理数的点，以及x或y坐标的分母不是2的幂数的点。

@不要再睡了-q1i 3 ай бұрын

請教一下，為何絕大多數的點座標為無理數？

@kjin1013 3 ай бұрын

@@不要再睡了-q1i 康托对角线法证明过，有理数集是“可数无穷集”，而实数集（有理及无理数的合集）是“不可数无穷集”。后者比前者有更大的势。所以，无理数要远远多于有理数。

@oriholy9817 2 ай бұрын

哪怕是在有限步骤中，也是能通过无理数点的，只是拐点不会出现在无理数点。当然，极限曲线不存在这种拐点。注意到皮亚诺曲线是连续的，曲线不会有任何间断，那么通过无理数点也就成了必然。

@kjin1013 2 ай бұрын

@@oriholy9817 指的是x,y同为无理数的点。因为曲线上的任何一点的坐标要么满足是x=k/2^n，要么有y=k/2^n，而不会是x和y均同时为无理数。如果这能构成满映射，那么从有理数（可数集）到实数集（不可数集）之间就可以有满映射，甚至自然数（也是可数集）到实数线段（不可数集）之间就也可以有满映射。而康托早已经证明过，这是不可能的。

@oriholy9817 2 ай бұрын

@@kjin1013 皮亚诺曲线是从单位区间 [0,1] 到单位正方形 [0,1]×[0,1] 的连续映射，两者都是不可数集。

@吉姆奶茶 2 ай бұрын

我看底下吵得很厲害，但其實兩方說的都是對的，只是說的東西八竿子打不著，A說a B說b。支持線永遠線不成面在定義面上是對的，線(距離)指的是長度，跟影片不一樣不會彎曲，所以也永遠不會成面，一維永遠不是二維。支持用線可以填滿面積的也是對的，但那條線是自定義二維上的"線"，必須定義寬度，可以是無限小但不可為0，否則等於不存在，為可彎曲或疊加。與取極限值同理，理論上1/3*3=0.333....*3=0.999...會無限趨近於1，看似不等於1，但數學上我們會理所當然地認為結果為1。純屬個人見解，如果有誤... 很正常XD

@kjin1013 2 ай бұрын

康托曾证明，一维实数线段与二维正方区域（甚至N维超正立方体）之间可以有1-1的满映射。但这个满映射不可能是连续的。所以，皮亚诺曲线也好，希尔伯特曲线也好，都不是1和2维（甚至N维）之间的满映射。

@oriholy9817 2 ай бұрын

满映射并不要求一一对应。皮亚诺曲线是连续的满射，但不是一一对应的。

@kjin1013 2 ай бұрын

@@oriholy9817 如果不一一对应，那么一个点就可以覆盖整个平面，只要让该点1->无穷多值映射到平面上所有的点就行。

@oriholy9817 2 ай бұрын

@@kjin1013 那又怎样？这跟皮亚诺是满映射有啥关系吗？这跟皮亚诺能覆盖二维又有啥关系吗？皮亚诺曲线是非严格一一对应的满映设，而不是一一对应的连续的非满映射。

@kjin1013 2 ай бұрын

@@oriholy9817 是没关系，因为皮亚诺映射就是1-1对应的。我是在回答你歪楼时说的“不必1-1对应”，强调1-1对应的必要性。而我最开始往上搭的楼说的是，皮亚诺曲线并不是满映射（因为它并不覆盖横竖坐标均为无理数的点）。

@oriholy9817 2 ай бұрын

@@kjin1013 事实上，皮亚诺曲线是一种无穷多次自交曲线,每一个点都会被曲线无限次经过，也就是一种多对一的满射。但不是你说的1->无穷多值映射到平面上所有的点。是正好相反的概念。

@waynelindaway Ай бұрын

曲線是一維的😂

@kroies 3 ай бұрын

甚麼鬼？只有＂直線＂是1維的吧？只要是＂曲線＂就是2維的阿

@eric810416 3 ай бұрын

線只要一個參數就能表示，所以是1維，無關直線或曲線

@kroies 3 ай бұрын

@@eric810416 ...你跟我說怎麼用＂一個參數＂來表示曲線

@ランス-d3m 3 ай бұрын

@@eric8104161維2維定義是以參數區分嗎？

@twilight_sniper 2 ай бұрын

線條不具有面積，照理來說不可能成為正方形，人眼所見的線條只是為了方便表示而已

@JOJO-vf7gr Ай бұрын

直線是一個軸向，當它出現兩個軸向就不再是一維了

@许衍-p7b Ай бұрын

看下豪斯多夫，维度不一定是整数，但是究竟是具体几維，得看下上帝的指纹，就是最后一个美国数学家研究的，其实问题最大的点是具体可以细分成几維，这个维度能否与圆相媲美，N維，现实中是没有所谓圆，只有椭圆，但数学中有。

@许衍-p7b Ай бұрын

我对伯努瓦，比较敢兴趣，有谁能介绍下吗？

@许衍-p7b 28 күн бұрын

anyway，谢谢

@TheLambChannel Күн бұрын

一維的在數學上兩點形成的直線是沒有面積與體積的折再多次依舊是一維要成為二維至少要三個點

@ho_wai 2 ай бұрын

這根本是偽名題,一維「綫」本來只有長度沒有濶度,無論曲成什麼形狀都不會佔空間不可能填满正方形,所以更沒有它是一维还是二维之說,出這種視頻簡直是浪費別人的腦汁!

@diyshow888 2 ай бұрын

我对分形很好奇，但是看多了就感觉很难受

@忍者貓ata 2 ай бұрын

一維是無法對折的所以是2維

@xrPurine00 3 ай бұрын

雖然座標上是能一一對應，不過如果說真有面積的話感覺就像是“把正方形趨近圓形得出圓周率=4”似的。😊

@kalumzita 17 сағат бұрын

只要有面积就没有真正的一维和二维。小到量子的世界一个粒子都有体积吧

@frangoassado2236 2 күн бұрын

非勾基利德空間，超球體空間，球體空間，超球體空間的平面是二維還係三維的？

@2411-j7n Ай бұрын

最喜歡看一堆不學數學的人在評論區靠著自己的直覺來發表腦殘評論

@zijie-he 2 ай бұрын

这和说有理数填满整个数轴一样是错误的

@Studenthello 2 ай бұрын

1. 線變成曲線的同時本身就是二維的你只是把二維的東西說成二維的 2.線是一個概念通過所有點從定義上可證但不代表他有面積（可以想成他通過所有的點但他不實心是完全的空心自然就沒有辦法計算）如果把線段無限制拉長成看不見邊界的長度他可以通過所有點但面積是0 結論線只是一個數學概念張淑蓉老師講過😂請不要拿現實生活的想法或經驗去帶入計算整個影片很像一個想像力很豐富的人想出來的但他沒有搞懂數學最基本的「定義」

@chilaplei5826 3 ай бұрын

直綫沒有厚度，無限條直線並排不會得到一個平面，只會出現無限條重疊的直線

@oriholy9817 2 ай бұрын

不能用用限的思维去理解无穷的概念。一个非常巨大的数不等于无穷。一个简单的例子就是，一系列不可数的0维实数点，并排在一起，就得到了一根一维的实数轴。

@割還全 2 ай бұрын

@@oriholy9817 他就是用可數無限大的想法去搞不可數無限大

@viscourtroy Ай бұрын

要有個概念，叫「點綫面體」

@plasarssy7197 3 ай бұрын

有沒有可能線段只是看起來像一維實際不是，我們的空間只是看起來像三維實際不是

@Wind_of_Night 3 ай бұрын

我記得有人說過，其實我們存在的空間不只是三維而已。其實是很多維度的疊加，只是由於我們自身的限制，無法察覺而已。一個抽象的比喻：遠處看水管，是一條線。但近一點才發現水管是三維的。【很多高維度，我們認為是低維度，實則不然，由於太過捲曲我們根本無法察覺】。

@vingupapa Ай бұрын

喔（沒意義的答案）你的線會無線變長

@趙柏鈞-b3n Ай бұрын

可憐的古代數學家被說得這麼愚蠢

@葉禮滔 2 ай бұрын

你在輒的時候線不就縮小了嗎

@avilableName 14 күн бұрын

可以认为它是一维，因为在一维空间可以实现它，估计一维空间的生物无法区分直线和曲线，因为都是线。我们会觉得困惑是因为从高纬度观察，才能观察到它展现出了不同于一维直线的二维状态。同样的，很多个一维直线有规律排列在我们看来能产生各种二维或三维图形，但它是一维

@kaide1217 Ай бұрын

拿別人的東西東拼西湊硬要搞在一起誤人子弟線是零面積沒寬度永遠無法成面之所是面不是他外框邊線圈起來範圍叫面而是內部的面積才叫面

@VastUniverseX 16 күн бұрын

是的，理论上只有3维世界，1维2维因为宽度高度都是0，所以我们根本看不到1维2维

@沐雪時雨 3 ай бұрын

看起來填滿只是因為線太粗，按照向量的計算方法，你不管畫幾條線或幾個彎曲，都是一維，所以我個人感覺，假數學

@Magnet0714 19 күн бұрын

曲線是一維的喔?

@gthrsrthsrht 2 ай бұрын

一本正經地胡說八道 .....

@jayden-y5c7s 16 күн бұрын

这个会变超级小

@kingworld7747 2 ай бұрын

這種講法有個嚴重錯誤,就是線的概念模糊化,線在定意上是沒有寬和厚度只有長度,而正方形是有長有寬的,你現在拿沒寬度的線要填滿有寬度的正方形怎麼填?!

@max-yw8cm Ай бұрын

其實答案很簡單，你們在看那個曲線折疊的時候就知道，你怎麼折疊，邊的長度還是一樣，證明線段一定是變長了才剛好裝進去正方形裡面，否則根本裝不滿

@wingsumng2420 3 ай бұрын

仍然是一維

@zx6212 Ай бұрын

...但是一維的線從設定上不是說沒有寬和高嗎?只有長度沒有面積那根本就不可能填滿正方形(或者說有二維面積的圖形) 同理說把那個曲線縮小一半是用二維的方式(也就是長寬都縮小成1/2)才會得出要四個才能拼成原本的

@吳凭澦 Ай бұрын

1.5維

@yzjt796 2 ай бұрын

你的線如果是一維的那就不會有寬和高更不會有「曲線」了

@割還全 2 ай бұрын

不可數無限大和可數無限大不一樣

@沈明德-f5i 17 күн бұрын

@@yzjt796 線可以是3維曲線，但3維曲線跟【面】沒半毛錢關系。ㄧ棵電子繞著原子核轉了1億圈，哪軌跡昰很複雜很像立體球面，但那軌跡（線）也只有長度，跟複雜的軌跡方程式，不會有面積。【面】的單位昰2次方，【線】的單位昰1次方。物件它是【線】還是【面】跟它特徵（構成條件）有關，跟它維次無關。

@沛翔黃 3 ай бұрын

二維的線沒有粗細之分

@f59101 2 ай бұрын

維度定義被改成這樣是數學界普遍的共識，還是一小群特定領域的人在自嗨？

@楚星星 2 ай бұрын

看定義吧,當餡出現彎曲把它當作同一條線的話那就是現本身先出現了2維屬性才造出正方形,但如果分開看就是兩條毫不相干的線,所以根本就不是正方形而是一種錯覺讓你誤認為正方形,應為他並沒有中間的部分,僅僅是視覺上的正方形,比如一個只有支架的房子跟一個水泥窗戶門之類的填補過後的房子相比,支架的房子仍可以當作支架本身而不是房子,但腦袋看到後會自動把它誤認為一個房子,而他並沒有遮風擋雨防蟲防光等功能,所以定義不同會出現不同的結果,但也能說是第三種結果因為季出現了2維屬性(x的線出現y的數值不在0的情況)但又沒填滿(只是視覺欺騙自己),所以也能當作1.?維,就比如出現要幾個自己才能填滿,"維"本身定義是人類定的,所以完善也得是人類去完善,而這個圖的定義出來後自然就有廣義跟狹義,也就是說結果不重要,因為再出現共識前他的答案可以有無限個,重要的是最後人類共同認為的是1維還是2維