PASSLABO『素数は無限個証明』が間違ってたので数学ゼミスタイルで論破します

PASSLABO in 東大医学部発「朝10分」の受験勉強cafeさんの動画内で「おやおや？」となることが言われていたのでつっかかりました。
正直ぼくでも知らないことを紹介していて純粋に面白かったです。
批判する目的は全くないので変な気分にならないでくださいね
補足として数学科の卒業研究で行う数学セミナーってこんな感じの細々したつっこみを教授から言われます。つっこみをうけたときに、ちゃんと間違いを説明できないといけません。
難しいですね
※チャンネル登録者以外のコメントを管理画面上では非表示にしています。質問などはチャンネル登録後にしてもらえれば答えられます。
ーとんすけ'sプロフィールー
中学：ネトゲ廃人（2万時間プレイ）
高校：偏差値43の公立で英語欠点連発
大学：立命館大学数理科学科首席卒
大学院：ワシントン大学大学院（確率専門）
いま：データサイエンティスト・業務コンサル
ーーー機材等ーーー
・使用カメラ　amzn.to/3dMd20q
・使用レンズ　amzn.to/3oNuKH6
・ラインスタンプ　www.line-tatsuj...
---ーー参考・出典---ーー
下記を参考（引用）させて頂きました。
BGM：dova-s.jp/bgm/...
【天才数学者の新証明】素数が無限にあることを証明せよ。： • Video
※リンクはAmazonアソシエイトを含みます
※💛が無いコメントはシステム上読めてません
メール：[e-mail]

[@passlabo]

ありがとうございます！動画の論理に飛躍がありましたね。その旨を固定コメントに残していたのですが、やはり動画だけをみてしまうと誤解を招く要素が多いため、一度非公開にさせていただきました。 ご指摘の説明もわかりやすかったです。勉強になりました！ (また訂正の動画もどこかで出そうと思います)

[@tamashii_olympic]

ブランドに甘んじず、絶えず勉強して改善すればええんやで( ◜ᴗ◝)

[@tonnsuke]

本物や😳😳😳😳 固定コメント拝見してなかったです申し訳ない！！ いつも面白い題材を扱っていらっしゃるので本当に参考になります😚

[@山あり谷あり-f6p]

@@ageofz1520 は？

[@めんどーなつ]

@@ageofz1520 どの部分で勝てないと思ってらっしゃるかわからないですけど大学院までの専門性を持つと学問的にどちらが上かということを競うのは非常に難しいですよ。例えるなら、野球選手とサッカー選手を比較してスポーツどっちがうまい？って言ってるようなものですしね。

[@jpntwguy]

@@ageofz1520 論点ズレてるしそもそも離散じゃない

[@織田信長-x1y]

要約。 パスラボ「2×3×5×7×11×13＋1＝59×509！合成数！」 とんすけ「2～13しか素数が存在しない仮定のもとなのに、59と509という『数』はどこから出てきたんですか？ 反例になってませんよねぇ？」

[@tonnsuke]

正解◎

[@goldenbomber2929]

素数が無限個集まったと仮定すると？ は仮定です

[@goldenbomber2929]

素因数分解の一位性を持ち出すまでもないです。 misleadingを故意に専門家が起こすのはやめましょう🫸

[@sikosiko_tinpo_gansha.gansha]

まだ片腕分の余力を残してなおこの強さか…

[@Michaelis773]

ちょっと面白い

[@スペシャルゼウス]

両手でジェスチャーしたらどうなっちまうんだ...

[@宇宙際タイヒミュラー]

ボケてで殿堂入りするタイプの人

[@user-gv8kj4xd2j]

数学極めたシャンクス

[@d1Prczr6b29eM82Y]

能ある鷹は草

[@nokemoyajuu]

考えてみりゃ、確かにそうだな。って感じにストンと腑に落ちる説明で助かります。

[@rairaikun1]

N=p1•••pn+1が素数とは限らない例というのは、素数がp1, ... ,pnしかないという仮定を無視したから言えるのであって、この仮定の下ではNは必ず素数で、証明に誤りはない、と。

[@りりいる]

数学における「仮定」が、矛盾を示すまでは絶対の法であることが面白いですよねぇ。

[@youngbirdknight675]

工学系の本とか論文はそれあなたの感想ですよねってとこがホント多い 実際正しい場合も多いけど証明が全く厳密じゃなかったり、統計的に多分そうって話だったり 数学以外の論文で厳密って言えるのは理論物理系くらいだわ

[@Mega11041104]

数学系youtuberって間違っててコメントで指摘されてもそのまんまとかいくらでもあるから、こういう互いに査読し合う文化が生まれるといいね。

[@xg2164]

サムネとタイトルから「絶対ねちっこい指摘だろ」って思ってたけど、確かに議論すべきところだし何よりめっちゃわかりやすかった

[@tonnsuke]

やったぜ

[@mr.adults2888]

童貞ではなさそうだけど大成しなさそう

[@4n4s4x4]

長方形を書きます 縦に線をひいて2分の1にして左側を塗りつぶします 上から3分の1のところに横線をひいて塗りつぶされていない部分の面積を さっき塗りつぶした部分の横に置いて塗りつぶします 次に5分の1、7分の1、11分の1、13分の1‥と繰り返していっても 素数が無限であることが証明されているのでこの長方形を塗りつぶすことは出来ません というかそもそも塗りつぶせません もし2×3×5×7×...+1が素数だとすると大きい素数は全部この式で表されることになってしまいます と考えました　ユークリッドが+1ではなく-1にしていたら別の世界線があったような気がします

[@Minty_HAL]

マジで数学科のセミナーはこのレベルの厳密さで突っ込まれるのか……

[@Constitutional_Carry]

いい加減なこと言ったら「え？ほんと？じゃ証明して」と言われる

[@ポンポン俳句]

@@Constitutional_Carry こっわ笑

[@Constitutional_Carry]

@@ポンポン俳句 でも指導教員の先生は数学者なので、正しいこと(実は突っ込まれたくない)を言ってそのとき先生がたまたますぐ分からなかっただけのときは、少し理由を説明(苦し紛れ)し始めたくらいで「あー分かった分かった」と勝手に自己解決してくれて、「ふー助かった😅」ってなるまでがセットです

[@ギシギシ-l4n]

これ裏では結構バカにしてそうという勝手な妄想をしてる笑

[@雪幟ガウタウ]

数学を専門的に学んでない人に対しても理解できるように説明してくれるのありがたい

[@chachacha00099]

5:05 からの説明クソわかりやすい 感動した

[@ヴェるる]

初見です。素晴らしい動画だったので、高評価させて頂きました。何より「否定的な批判」ではなく「本来の意味の批判」をしっかり根拠に基づいて、落ち着いてお話されてるのが素晴らしいと思いました。 言葉だけで在り来りですが、応援してます！

[@ゐゐゐ-h8o]

もしかして今日、全統記述模試受けました？現代文に全く同じテーマが出ていたのです

[@ヴェるる]

@@ゐゐゐ-h8o 受けました！テーマは確かに酷似してますねw ただ、あの文章も今回も私としては前から感じてた事だったので、とても共感持てました。（とても問題の方も解きやすかったです）

[@shinnnoheiwakazumax7150]

同じことを思ってる人がいた！受験勉強頑張りましょ！

[@hatomatsu]

論理的にわかりやすく説明できるのがすごい

[@eeeokscjtptnt]

僕もその動画みました！ 数学科的には、ちょくちょくnとNの表記ミスがあったのも気になりました笑 コレやると教授にめちゃくちゃ怒られるんですよね笑

[@tonnsuke]

それめちゃくちゃ気になりました😂

[@scramble7264]

この流れ自体が研究活動そのもの

[@どらごん-d2i]

数学科ってやっぱヤベェわ尊敬

[@うんこうたろう]

これは数学科じゃなくても分かるレベルやと思うで。数学科のほんまの頭おかしさをしってほしいｗ

[@Komezoo]

PASSLABOの話の元ネタは、有限個の素数から新たな素数を作る形での証明ですね。 元ネタの古代の証明はこんな感じだったと思います。「素数をN個見つけた」→「ぜんぶかけて+1した数はそのN個は素因数ではない」→「自身が素数か、もとのN個以外の素因数を持つ（ここで自身が素数でない可能性の言及が必要）」→「N+1個目の素数が見付かったので素数は無限」 ここで前提が「有限個と仮定して全て持ってくる」にすり替わっているのでおかしくなっていたんだと思います。

[@tonnsuke]

ほほお そういう流れがあったんですね😚

[@sakuranotane0327]

こういう議論を面倒くさいと思わず、突き詰めて考えられる人が数学に向いてるのかな

[@Vtuber-ow6tq]

素数が有限個と仮定して、全ての素数の積をNとすると、どの素数を法としても N≡0 、N+1≡1なのでN+1を割り切れる素数は存在しない、つまりN+1は素数であるっていう示し方も見たことある

[@美味しい狐-h5o]

ユークリッドさんのやつやね

[@user_ultimate343]

modで言い換えたかどうかで本質は99%ぐらい同じな気がする

[@Vtuber-ow6tq]

@@user_ultimate343 それは大体そう

[@山田太郎-r5w4d]

同じことmodで表してるだけだからね

[@もっちゃん-n8m]

その動画僕も見ました！おかしいと思っていたんですけど、とんすけさんのおかげで自信が持てました〜

[@due1967]

なんのことだろうと思いましたが、その通りですね。この素数の無限個証明は数学がすきだとヌルっと納得してしまいがちだと思いました。Nが素数だろうが素数で無かろうが、仮定としたP1からPn以外の素数が見つかってしまうから矛盾が発生するってことですね。

[@tonnsuke]

めちゃくちゃ本質を理解されてます！！

[@yukiigarashi9578]

同じやり方で昔ユークリッドの素数は無限にあることの証明は間違ってる！と俺にドヤってきたやつおったなぁ。いや素数がこれだけしかないって言ってるのにそれらで割り切れない数が出てきてる時点で別の素数が存在することになって矛盾するから無限個ないとおかしいやろって話なんやけど。背理法って現実には成り立つことを否定して矛盾を導くものだからそこでその仮定ブレさせたらあかんわな。

[@kk-lv7ec]

なんの反例か言ってくれるの助かる

[@ガネーシャ-d8e]

仮定が、違っていることを証明したいのに証明が終わる前に仮定が違うことを前提とした議論をしようとしているのがおかしいと感じたんですかね。

[@acchan3.14]

2×3→素数2個 6×7→素数3個 42×43→素数4個 1806×1807→素数少なくとも5個 …… 連続する整数は互いに素だからこれを繰り返したとき新しい素数がどんどん追加されていく。つまり素数は無限個

[@tonnsuke]

うわかしこい

[@沖田研司]

てか、サイダックだよね。引用ちゃんと書かないと。

[@ラマヌジャン-i4s]

感動した

[@サトウカンセイ]

すごく、わかりやすい！！

[@ryu6376]

1:33 「𝑁は素数とは言えない」とは限らないから語弊があるとは思いますが、𝑁は素数でないと主張することもできると思います。有限の素数を小さい順に𝑝₁,𝑝₂,…,𝑝ₙと仮定すれば𝑁=𝑝₁𝑝₂…𝑝ₙ+1は明らかに最大の素数𝑝ₙより大きいから合成数である、即ち𝑁は𝑝₁,𝑝₂,…,𝑝ₙのいずれかで割り切れるという事になるが、いずれで割っても1余るため矛盾。とすれば逆の主張でも証明できますね。

[@le1monslime]

凄い分かりやすかったです‼️ 以前この動画を見ましたが、普通に納得していました。 5:57で説明されている通り、別の命題での反例だということを認識することが出来ました。 仮定を置く時は、証明の過程で矛盾しないようにしないといけないなと思いました！

[@user-aasdfghjkk]

そもそも素数順番にかけて+1したものを全部素数か調べて合成数見つけ出したパスラボ頑張ってるなぁ

[@エターナルチキン-l6w]

普通にユークリッドの証明におかしい点は無かったんだね

[@xuxu-d7p]

全部の素数がP1〜Pnに入っているはずなのに、それより大きな素因数が出てくるってことは、全部の素数をかけるってところに矛盾するってこと？(なのか？)

[@user-sadioshimane]

数学苦手な俺達 パスラボの動画→へぇなるほど 数学科の動画→へぇなるほど

[@はると-y5w]

素数が有限個しかないって仮定して、それをP1からPnとしてるってことは、Pnより大きな素因数なんてあるはずがないような気がします。私もとんすけさんに賛成です。

[@tonnsuke]

それはそうなんですよね😂😂

[@norn5415]

いやほんとにこれなんだよなww

[@dghbyhdsughds]

これやね

[@user-un7ct7ko6r]

要はどこまでいってもPnより大きい素数がありますよ〜って証明なのに、Pnより大きい素数があることを前提にしちゃってるってことか

[@おりおん-f1z]

分かりやすすぎ！

[@ろっぴー-e6z]

だから背理法は嫌いなんだよね 結論ありきだからそれまでの仮定は意味がなくなる こうやると無限に素数見付けられるぜって証明のほうがスマートじゃないかもしれないけど好き

[@ねこねぎ-j2l]

数学科の人がうちの会社の企画会議のプレゼン聞いたら発狂しそう・・・次第で数億円が翌月から動き出すんですけど、論理性が全くない。

[@いんこ博士の手塚治虫封印]

面白かったです！Passlabさんとのとんすけええさんとコラボ実現してほしい。。

[@tonnsuke]

もっとチャンネルを大きくしなければ😲

[@malo2793]

素数が有限個である ⇒p_nより大きい自然数は全て合成数である ⇒p_nより大きい自然数はp_1〜p_nのいずれかで割り切れる まで持って行けばNが素数かどうかは気にしなくて良いのかなと思ったのですがどうでしょうか

[@tonnsuke]

仰るとおりでわざわざ言及しなくても大丈夫ですね

[@malo2793]

背理法での証明ならこっちの流れの方が良さそうな気がしますね。 Nの約数を考えるのは背理法の流れじゃなくて「任意の素数pに対して、pよりも大きな素数が存在する」みたいな方向での証明になりそう。

[@malo2793]

よく考えたら背理法でNの約数を考えても良さそうだと思いました。 背理法は示したい命題とは逆の仮定を基にして二つの相反する命題(一方は仮定そのものでも可)が導かれることを示すものですが、その推論は必ずしも同値である必要はなく、必要条件であればいいはずです。 なので、Nについて考える際には「p_nより大きな素数は存在しない」という条件は外しても構いません。 つまり、「p_1〜p_nのn個の素数が存在し、p_n以下の素数はこのn個だけである」という条件から始めます。 そうすればNについて「それ自身が素数であるか、p_nより大きな素因数を持つ」とするのは正しいはずです。

[@tonnsuke]

Nが素数であることはNがpnより大きな素因数をもつ場合にも含まれているので後者だけでいいですね😊

[@malo2793]

確かに冗長でした。

[@alacran3832]

おそらくパスラボさんは2通りの証明がごっちゃになっているのだと思います。 1. 背理法 素数を有限個だと仮定すると、それらの積に1を加えた数Nが素数ということになる。しかし、これは最初の仮定に矛盾。 2.ユークリッドの証明(背理法ではない) 任意の有限個の素数からなるリストを考える。このとき、Nは素数orそのリストにない素数を因数にもつ合成数のいずれかになるため、リストにない素数の存在を示すことができる。 2つ目の証明において、Nが素数とは限らず、リストにない素数を因数にもつ合成数の可能性がある、ということを具体的に示したものが、動画中に例として挙げられていた30031です。1つ目の証明ではこの議論を必要としません。

[@tonnsuke]

あ、いまストンと理解できました そういうことだったのかああ！ 天才か？

[@当たり前だろ]

@@tonnsuke ありがとよ

[@山田太郎-r5w4d]

k個の素数を用いて K＝P1P2...Pk+1が素数になるとは限らないよってことをその前に仮定したnを使ってそのまま説明したから、本人にはそのつもりが無かったけど話全体で考えたらおかしくなっちゃっただけでしょ

[@upiupi6172]

「NはPnより大きい素数であるか、Pnより大きい素数Pn’が存在する。よって仮定に反する。」とすれば正しい。 現実に具体的な例で考えてしまう（素数を有限個と仮定した世界で最後まで考えることができない）と、こうなるというだけではないでしょうか。 ところで、上記のように証明したとすると数学的には間違いなのでしょうか？それともスマートではない（Pn’が存在するというくだりが蛇足）だけなのでしょうか。

[@alacran3832]

@@upiupi6172 背理法による証明でNをどう見るかには他のコメント欄でも述べられているようにさまざまな見解があるように思います。 「存在する素数で割れないのだからNは素数」なのか「存在する素数より大きな素数で割れるかも」なのか、どちらにせよ矛盾は導けます。(自分も最初のコメントでは前者を主張していました) ただ背理法の論理としては NはPnより大きいのだから仮定より素数ではない→しかし存在する素数のどれでも割り切れない→矛盾 として、Pnより大きい素数が存在すると断言しない方がスッキリしますね。 ちなみに「素数積+1が素数とは限らない」話は、そもそもはユークリッドの証明においてリストにない素数を具体的に1つ見つけてくるときに必要な話であり、証明の本質に関わる話ではないと思います。

[@aaa-o1o6y]

僕も素数を順番にかけて＋1したものは絶対素数になると思ってたのでならないこともあるって知った時は驚きました笑

[@tonnsuke]

本当に！ ぼくもそこびっくりでした

[@蓬生よもぎ]

「全ての」素数を掛けておかないと成り立たないというのは僕も初知りでした

[@_safari4476]

この操作で得られる素数にはユークリッド素数という名前がついていますね 一覧を見ればすぐ分かりますが、かなり早い段階で素数ではない数が現れます

[@焼肉定食-c8v]

それで絶対に素数になるのだったら大きい素数を見つけるプロジェクトはこんなに難航してないでしょうね...

[@焼肉定食-c8v]

いやそんなことはないか　素数ってだけでその間に素数がないとは言ってないから

[@午後のアバ茶]

そのうち「とんすけさんの動画が間違ってたので論破します」って動画をどっかの数学科の教授が挙げて、さらにその人の動画の間違いをフィールズ賞受賞者が指摘して最終的には人工知能が人類オワコンって言い出すんやろうな

[@tonnsuke]

数を持ってる人に論破されたら嬉しいです 登録者が増える🥺

[@チーズ中毒]

Pnを最大の素数と仮定してP=P1*…*Pnとする時、PはPnの次の素数ではないということを注意すれば理解しやすいかもしれないですね 高校生の時めちゃでか素数を作ろうと張り切って素数をかけまくり+1しても無意味だったのは言うまでもない

[@空かえる]

すごいわかりやすい説明でした。 先にとんすけさんのを動画を観てからパスラボさんの動画を観たのですが、高校生は勢いで流されてしまう感じでしたねw 数学の動画がKZbinで見られて、こうやって見比べたりできるのが本当に楽しくて良い時代になったなーと思っております。 わんこらチャンネルのかずにゃんさんも難関大の数学を解いたり（解かなかったりしてるので）していてお気に入りのチャンネルです。今日も楽しくて勉強になる動画をありがとうございます😊

[@tonnsuke]

かずにゃんさんのふにゅ考え方はとても好きです🥴 数学も日常的にやっていて面白いチャンネルですね

[@SS-kv2cw]

久しぶりに数学って面白いなあと思いました。子供の頃、友達が見つけて来た問題を皆で解きあったことを思い出しました。こういうのがあるから才能ゼロなのに数学関係の本買っちゃうんですよ。でも引き続き動画たのしみにしてます。

[@tonnsuke]

面白い・楽しいと思えるのは立派な才能ですよ😙

[@Robby_SoH]

これめっちゃ引っかかってたから助かる

[@K.K-z3u]

5:30 それまでの説明なんとなくしか分かってなかったけど、ここから聞いてやっと納得できた文系です

[@みなと-u2z]

最初の仮定に自ら矛盾した例を挙げちゃってるんですね… 自分もパスラボさんと同じ思考してしまっていたので、とても参考になりました！！

[@かぶとのむし]

なるほど、分かりやすい

[@kleuzjatob]

昔、(n素数階乗-1, n素数階乗+1)で双子素数が無限に作れるのでは？などとツイートして大恥をかいた思い出があります 初めから分かる方にはそんなまさかと思うかもですが、それほど「無限」が誤解しやすい概念なのだと思います 某大の「素数の周期性を発見」が先日話題となった所で本動画を思い出し、書き込みさせていただきました

[@TaiseiHashino]

素数が無限個ある証明は、高校生の時初見ですぐにできたから名前つけたい

[@貴広鈴木-c5v]

細かいところまで、しっかりと動画を見ているなと感じました。 細かくとも自明とは言えない主張に然るべきタイミングでツッコミを入れられるのは実に数学科らしい。 ぼくも初めてこの証明見た時(10年以上前)は、Nが素数or p1,・・・,pn 以外の素数の倍数となる　で、納得してしまいましたが、確かに背理法の仮定からNは素数と言えますね！ ぼくも一度、PASSLABOさんの九州大学数学科からの挑戦状の動画(Σ1/n!=e の動画　いまはない？)で解答の不備を指摘したことあります(それは九大の数学科がわるい)がPASSLABOさんのような有名なyoutuberに顔出しでツッコめるのは、なかなか勇気がありますよ💡 東大医学部相手にここまでツッコめるなんて、立命館大学入学からだいぶ立派になれたと思いますよ！

[@tonnsuke]

やっぱり卒研とか研究で数学者先生から鬼のように突っ込まれたのでそこで鍛えられましたかね😚 PASSLABOさんめちゃくちゃ大手なので突っ込み過ぎたらぼろかすに言われそうで怖かったですがそんなことなかったですね さすが王者の風格って感じですね😂

[@rainrain2782]

パスラボさんディスるわけではないけど勉強法とかでも個人的には結構エアプ言ってるので参考なりません（ここだけの話） ほんとにディスってるわけではないです。

[@tonnsuke]

あの人は天才ですからねえ🥺

[@novelright]

Nは合成数のはずだが、p1からpnのいずれもNの素因数にならないが正しいね

[@tonnsuke]

Nは仮定から合成数ですが、同じく仮定から素数になって、そこでも矛盾が生じるのが面白いですね😚

[@murt2286]

例の動画の人、素数が有限個であると言う仮定を自ら破ってて草。

[@soysch]

前提（仮想）と実際を混同してしまっていますね。

[@sendai-shimin]

これはユークリッドの証明方法を背理法と勘違いしたがゆえの誤りでしょうか。 ユークリッドの方法には「素数が有限個であると仮定すると矛盾が生じる」というくだりは書いていません。 それまで得られている中で任意の個数をピックアップして考える（全部使う必要はない）ですよね。 動画の例だと、 ・30031が素数であるなら、30031が新しい素数として得られる。 ・30031が素数でないなら、30031を割り切る素数が新しく得られる。 いずれの場合もこれまで得られていたのとは別な素数が得られ、 次はそれも含めた中から任意の個数を使ってこれを繰り返すことで素数は無限に得られるというだけの話ですね。

[@sendai-shimin]

@Brr 例えば、途中で出てきた31とか211も新しい素数なんですね。 ぶっちゃけポケモンと一緒で、2と3と5しかゲットしてないところに31をゲットして、 「31が新しく素数図鑑に登録されます！」ってなる感じです。 30031だと「59と509が登録されます！」です。 ところが問題の動画だと59も509も既知の素数として語られているので、 ポケモンに置き換えると「ゲットしてないのに説明が表示される図鑑」という矛盾が発生し、 これが「59も509もいつゲットしたの？」という形で論理の飛躍に繋がっていると思われます。

[@げろっぴー-b1x]

パスラボは英語の誤訳も多すぎる... 参考書を参考にしてるのに、解説がその劣化になるの酷すぎる。

[@tonnsuke]

言語は難しいので許してあげて😨

[@げろっぴー-b1x]

@@tonnsuke 生徒でもパスラボ見てる子たまにいるので英語講師としては気になってしまいます笑

[@rhyme69]

予備校講師にもこんな感じでバッサリ行ってほしい。受験数学に一石を投じて！

[@カカロット-q8v]

受験数学とは違くね。数学の魅力は教えてくれるけど

[@むつみ-g5w]

判例がおかしい例すごくわかりやすくて面白かったです！

[@森石-q2v]

反例

[@ポテ伊藤-q3p]

裁判すな

[@BlackPhoneGeneral]

最初に「P1〜Pnしか素数が存在しない」という仮定をした以上は、 「QはP1〜Pnより大きな素因数をもつ合成数である可能性がある」 と言うのは論理的におかしく、 「QはP1〜Pnのいずれの素数でも割り切れず、素因数分解の一意性に反する」 または 「Qは1か自分自身でしか割り切れない数つまり素数となりPnを最大の素数としたことと矛盾」 と議論しなければならない ……という認識であってますでしょうか？？💦

[@tonnsuke]

認識としてはあってます！ 結果としてはNが素数になるのでp1からpnより大きい素因数を持つことは示されますが、まずは大きい素因数の存在を示さないといけません。その時点で矛盾がおきますが😚

[@poypoyh4413]

私がはじめて背理法を知ったのはこの証明でした。 私も数学科首席でしたが、こういうキッチリ考える感覚は久々で、懐かしくて楽しかったです。

[@笹倉の主]

バケモンおった

[@user-su8ir3mn1e]

数学科首席はやばいな

[@SadisticRyoBand]

数学科主席ってかっこいいわ

[@NA-dd4qv]

失礼かもしれないけど、例えばFランの数学科主席だとしてもすごいの？

[@h_ch_ch_ch_ch_ch_ch_ch_ch_ch_c]

@@NA-dd4qv すごい

[@eggmanx100]

Pnが最大の素数という前提だからPnより明らかに大きいNは合成数でなければならない。しかし、Pn以下のいずれの素数もNの約数ではない。するとNはPnより大きい素数を約数に持つこととなりPnが最大の素数という前提と矛盾。でよいのでは？

[@owidndhaiaiodjd]

passlaboがこのレベルのミスするとは思ってなかったのでがっかり

[@threepointonefouronefive]

喋り方がなんか日本語めっちゃペラペラになった外国人みたい(ってか実際そうなの？)

[@tonnsuke]

英語やりすぎました😇

[@komakiyui]

最後のは理解した❤

[@ハンドル-o2k]

ドヤ顔でわけわからんこと言ってるロバほんとに草

[@ああ-g7f2s]

元動画流石に例と仮定との違いに気付いてなかったらやばい

[@ひろゆきの嘘ひろゆきを論破する動]

これは表現の問題なんですよ N = 1 + ∏pi としたとき、 「Nは最大の素数pnより大きいので合成数だが、どの素数でも割り切れないので矛盾」 といえば、Nが合成数であることを前提にして証明もできるわけです

[@tonnsuke]

それが一番目に示したやつですね😚 その書き方なら完璧ですねええ！ どの素数でも割り切れない→Nが素数→矛盾 とすると意見両取りですね😙

[@MultiYUUHI]

あーこれが一番いいな

[@RYO-wd2cp]

@@tonnsuke Nはどの素数でも割り切れない⇒Nは素数 にも少し論理飛躍があるような気がするのですが、どのように素数の定義を満たすことを示すのでしょうか。 ご教示いただけますと幸いです。

[@世界-t5x]

それは元のパスラボさんの動画のように実際に反例を出して どの素数でも割り切れない→Nが素数 を示すんじゃないの？ 動画の趣旨は、仮定の厳密さが足りてないって指摘だと思うからロジック自体は正しいんだと思いますよ

[@RYO-wd2cp]

@@世界-t5x パスラボさんの主張はむしろ どの素数で割り切れなくても素数とは限らない ということであって、 どの素数でも割り切れない⇒素数 という主張とは真逆のことです。 この動画の趣旨は、この点においてパスラボさんのロジックが誤りであるという指摘だと思います。

[@_a8902]

二周してやっと理解できたｗｗ 数学が論理的思考の礎になるってのはこういう証明の話になるとなお著しいと感じた。

[@lo_xl]

短髪でフィジカル強そうだとそれだけで説得力爆上がりするなぁ。

[@tonnsuke]

フィジカルの説得力はわらう

[@user-bd3qt8qb6p]

間違いない

[@123いつみ]

仮定をした世界の中にしっかり入り込んで証明するのが数学科らしくていいですね どうも自分の中の常識の世界の中で物事を見てしまうと、世界が狭まってしまう感じがします これは数学だけではなく、どんな学問でも共通ですけどね

[@コペルニクス-q9t]

数学を生業にしているものです。 基礎論などが専門ではないので恐縮ですが、感想をコメントに残そうと思います。 そもそも背理法とは仮定から排中律に矛盾することを示す論法です。ですから、この場合ですと、Nは素数であり、合成数でもあるから排中律に矛盾するのです。 なのでこの動画での指摘はいささか見当違いではないでしょうか。 実際、背理法の仮定のもと、Nはどの素数よりも真に大きく、よって合成数であると帰結できます。 背理法の仮定のもとでは、Nが素数か合成数かという議論自体が意味を為さないのではないでしょうか。

[@コペルニクス-q9t]

※元動画を見ていないので、その点はご了承ください。

[@tonnsuke]

それはそのとおりだと思います

[@deirtseboT]

そもそもNにPnを超える素因数があって、それをPmと表すとすれば、Pmは素数だよね、だって素因数なんだから

[@山田孝-y9p]

パスラボうるさい、うさんくさいので論破してもらい嬉しいでづ。

[@wfanimus167]

間違いを見つけてきちんと指摘できるの素晴らしい。ただ、 6:33 辺りの発言で えっ？って思ってしまって、 素数の積＋1が素数になるとしたら、今も素数を見つけることに躍起になってるスパコン要らないじゃんって思ってしまいましたね。

[@tonnsuke]

素数は有限個ではないので結局素数にならないんですね😂

[@ふふ-l5j]

こんにちは。 浅学ゆえ初歩的な質問かもしれませんが、矛盾を起こす過程で素因数分解の一意性を用いた説明をされていますが、素因数分解の一意性(や可能性)は素数の無限性に依らない命題ということなのでしょうか？

[@tonnsuke]

そうです！ 本当はそこを確認しないといけないのですが、裏で確認してます

[@ふふ-l5j]

ご返信ありがとうございます。 助かりました。

[@kiyokiyo7574]

こんにちわ、貴重なお話ありがとうございます。 私は工学部卒なので数学基礎論は履修していませんのでよろしくお願いします。 ★　お話の中で「素数は無限個存在する」とおっしゃってますが、他の数学者の方もよく「無限個」という言葉をお使いになるのですが、そこが少し気になるのです。 というのも無限というのは、１０個、２０個のように数えるいわゆる「数」とは別個の概念のような気がしていまして？ 「数に類する概念だが、数とは若干異なる」のような？！ ただ「素数は無限個存在する」のように、もう既に数学の中にこの「数とは異なる概念」を「数」のように導入している以上は『無限大の素数』のような概念も併せて導入するのが自然ではないのかな？のように思うんですね？！ 他にも「無限大の偶数、無限大の奇数、無限大の自然数」等もそうなのですが・・・・ lim (n⇒∞) 2n = ∞ lim (n⇒∞) 2n+1 = ∞ lim (n⇒∞) n = ∞ 　 lim (n⇒∞) Pn = ∞ のような極限は全て無限大なのですが、これらをそれぞれ異なる性質を持つ ∞という風に解釈して、 「偶数であるという数学的性質を保持したまま、大きさのみを無限大に飛ばす」 「奇数であるという数学的性質を保持したまま、大きさのみを無限大に飛ばす」 「自然数であるという数学的性質を保持したまま、大きさのみを無限大に飛ばす」 「素数であるという数学的性質を保持したまま、大きさのみを無限大に飛ばす」 のような操作になりますか？！ ★　「こうする事で何か面白い事が始まるの？」というのは例えば ①　lim (n⇒∞) Pn = ∞ のように無限大の素数が定義されましたので、 ②　lim (n⇒∞) 2・3・4・・・・・n = ∞ つまり「無限大の素数砂漠の最初の数」が定義できるようになり、従って「無限大の素数砂漠が存在する」となります。 上の①と②の中にある「n」は同じ自然数なので、つまりは自然数の無限大の領域には「無限個の素数」と「無限大の素数砂漠」が同居している事になります＾＾ 一見して矛盾しているかのように思われますが・・・ ③　自然数の集合の濃度はℵ0 ④　素数の集合の濃度はℵ0 ⑤　無限大の素数砂漠の中に含まれる自然数の集合の濃度はℵ0 ℵ0 + ℵ0 = ℵ0 という規則があり、濃度がℵ0の任意の集合でこの演算規則は成り立ちますから・・・ ④と⑤は矛盾なく③の中に共存できます（無限集合なので、有限集合とは異なり直感的には不可思議な現象が起こる） ★★　確かに「無限大の素数」のような概念を認めずに「任意の素数は有限の値を持つ」のように「無限番目の素数」を考えない立場だと 必然的に「素数砂漠も常に有限である」という結論になるのですが、無限を考えないというのはあまり面白味がないので、 この際ですから、「無限番目の無限大の素数 lim (n⇒∞) Pn = ∞ 」を定義し、「 lim (n⇒∞) 2・3・4・・・・・n = ∞ 」から始まる「無限大の素数砂漠」 こういうものも定義したらどうでしょうか？ ★　この他にも、もっと面白い数学的な操作が可能になると思います。 ★　Δy/Δx = 1/3 という比（数学的な性質）を保持したまま、両変数を無限小なる概念に圧縮する操作もありますしね？！　 微分係数など：δy/δx = 1/3

[@chocolatecornetnothermitcr6159]

「無限個存在する」というのは、例えば次で定義できます。 定義1 命題φ(x)を満たす要素xが無限個存在するとは、{x:φ(x)}の任意の有限部分集合Aに対してx∉Aかつφ(x)を満たすxが存在することをいう。 あるいは: 定義1' 命題φ(x)を満たす要素xが無限個存在するとは、{x:φ(x)}が有限集合でないことをいう。

[@chocolatecornetnothermitcr6159]

無限は数のように捉えることもできます。例えば、測度論という分野では∞に対して形式的に次のように約束することがあります: ・任意の実数aに対して∞±a=a±∞=∞ ・任意の実数aに対して ∞×a=a×∞=∞ (a>0) ∞×a=a×∞=-∞ (a

[@光蜂こうはち]

この証明は結局、「素数が無限にあること」しか言ってないのであって、「既存の素数から新しい素数を生成する方法」ではないという事ですね。

[@tonnsuke]

そうですね！

[@oxmlo]

違います。

[@oxmlo]

@@tonnsuke 違います。

[@とーき-l9e]

@@oxmlo あってます

[@かわぐろ]

@oxmlo 光蜂さんのコメントは面白いなって思ってたんですが、どこがどう違うのか教えてくれませんか？

[@ホスホジエステル結合]

P1〜Pnより大きい素因数を持つかもしれないっていうならその時点で有限個のPnより大きい素数出とるやんと思った

[@tonnsuke]

すごくただしい

[@ハム山ハム太郎]

数学界の加藤純一

[@kenichitatewaki2485]

数学の証明は「三段論法と背理法」だけです。 「演繹法。帰納法」は証明では使わない。 数学の証明では。数学的なる帰納法も在るが。 その場合はただ「数学的なる帰納法」と言う「文字を書かない」と「間違い」に成る。 数学は「三段論法と背理法だけが証明法でしかない。」 それ無理が在る。

[@あうん-c6h]

設定した条件からはみ出すなってことかな。ややこしい

[@wazwsx1]

やっぱり数学のことは数学科の人に聞かなきゃだね

[@Mio-ys7yg]

もうパスラボ信じるのやめるわ

[@tonnsuke]

ミスは誰にでもあるサ😙

[@ハム山ハム太郎]

素数が無限にある証明の一部だから2、3、5、7、11で割り切れないことで素数証明は十分。これが要約。

[@ますます-c8y]

パスラボって、数学専門家じゃないからね…。 しゃーねーよ。

[@tenma4015]

「P1～Pn より大きな素因数を持つ」って言ってる時点で、Pnが最大の素数という過程と矛盾してるしねｗ

[@koba7-z8j]

自分で設定した仮定に自分で引っ掛かるという😂 まあでもこれ完全に理解している人少なそう。

[@benenota162]

はじめまして いつも楽しみに観させていただいております。数学が好きな者の一人です。浅はかなご質問で申し訳ありません。テーマ「素数は無限に存在する」のPassLaboさんへのコメントについてです。この内容について、松坂和夫「代数系入門」P20 6,7行目に同様の内容がありました。「a(ここではN)は2,3,5,7のいずれでも割り切れないから，aの任意の素因数はpよりも大きい」として(矛盾を示し)証明を終えられています。ここに論理の飛躍は私としては感じられないのですが、コメントをいただけると幸いです。初学者向けの本なので深いところはスキップしてあるものと思います。ご回答いただけると嬉しく思います。よろしくお願いいたします。

[@tonnsuke]

感じられないとすれば記述がしっかりされていたんではないですかね😙 例えば、”aは合成数である”という一言が一番最初に書いてたら私も飛躍は感じないかなと思います

[@benenota162]

素朴な証明と思っていましたが、ある方は「nは素数P1,P2・・・,Pnのどれとも等しくないので、素数ではない。しかし、どのPiでも割りきれない。これは素因数分解の存在に矛盾する」とされていました。nは素数である、素数でない、どちらの展開でも証明は可能であるということでしょうか。

[@tonnsuke]

可能ですがどちらにせよ矛盾がでるという形ですね😙

[@shom.8128]

2年前にはわからんってコメントしてたけど今だったらわかるわ。これは結構落とし穴だな。その59×509になることを知ってる人なんてほぼいないけどそう言う人ほど間違えるな

[@辻本ロサンゼルス-t6b]

これ受験数学の回答の書き方の話だから 「素数とは言えない」って言ったんやない？ 素数を有限と仮定した世界ではそれは素数とは言えるけど、仮定してない一般的な世界では素数にならないことがあるから、 それを知らずに試験用紙に回答を作ったらつっ込まれる可能性があるので、 「素数を有限個と仮定した世界ではその数は素数として扱われる」って書かないとその回答に語弊が生まれるよって言ってるんでしょ

[@プリンちゃん-x9d]

素数が2と7の２個だけと仮定するとN=２×7+1=15 このときこの仮定のもとでは15は素数なので素数が2と7の２個だけという仮定に矛盾する 15は2よりも大きく7よりも大きいのでNは2,7よりも大きい素因数をもつ ってことなのかなあ…けど素因数を持つ部分については証明しないといけないってこと？ 難しいです！

[@Bw_.k]

失礼かもしれないが、数学科首席とは思えないビジュアルw

[@tonnsuke]

ぴええええええええん

[@Bw_.k]

@@tonnsuke おそらく多くの人が思う数学科の人のイメージとは違いめっちゃいい見た目をしてるってことです！！要はかっこいいってことです。 勘違いさせてすみません笑

[@稜太郎坂瀬]

誰か教えて欲しいですー N＝(素数×素数×、素数、、、)+1 の時、素数は奇数に限定されるので、 (素数×素数×、素数、、、)の部分は奇数にるはずで、それに1を出したらNは偶数になりませんか、、？ Nが偶数であれば、 Nは素数ではなかなってしまうので混乱してます

[@tonnsuke]

素数の中に2がおります

[@稜太郎坂瀬]

@@tonnsuke はっ！！！！！！ やっと寝れます、、、、

[@ゆちゃ-k5q]

この流れ好き

[@ワッシュー]

コメント欄のみなさん凄く優秀ですね。みなさん非常にわかりやすいとの評価ですが、私には全く理解不能した。 PS.こんな私でも数学検定準１級を持っています。 全く数学ができない奴だと思われるのも嫌なので追記しておきます。まあ数検準１級も大したことないですがね。

[@varnon5788]

国語は苦手そうですね。