【1問80点】合否を”分けすぎた”難問

2024年一橋大学後期試験の問題です。
1問80点シリーズとして下記もおすすめです。
• 【正答率1%】シンプルな難問【一橋大】

[@mathkaleidoscope]

少なくとも、a₈≡a₉≡8 までいった段階で、漸化式の線形性(重ね合わせの原理)から、aₙ₊₇≡8aₙ とわかる。フェルマーの小定理から、8¹²≡1 なので、2024=7*289+1=7*12*24+7+1 より、a₂₀₂₄≡(8¹²)²⁴*8*a₁≡8a₁≡8。 一般に、フィボナッチ数列では、aₙ=N であるとき、N で割った余りは、n 項進む度に、aₙ₋₁ 倍になる。漸化式から、aₙ₋₁≡aₙ₊₁≡aₙ₊₂ となるから。この問題では、n=7, N=13, a₇₋₁=a₆=8。 さらに突っ込んだことを言えば、フィボナッチ数列では、5 で割って 2 または 3 余る素数 p に対して、aₚ≡-1, aₚ₊₁≡0, aₚ₊₂≡-1, aₚ₊₃≡-1 となるので、2(p+1) 項周期では必ず循環する。この問題の場合は、2(13+1)=28。ちなみに、5 で割って 1 または 4 余る素数 p に対しては、aₚ≡1, aₚ₊₁≡1 となり、p-1 項周期では必ず循環する。証明はそんなに難しくないが、ここでは省略。ネットで検索すれば、落ちていると思う。 出題者は、この辺り(二次体の整数の議論)から、問題を作成したものと思われ、大学入試にふさわしい難易度まで難度を下げた感じでしょうか。

[@hidepon44]

同様に考えました、高校数学の範囲だと、 隣接2項を足し合わせる漸化式なので、a8 ≡ a9 ≡ 8 と分かった時点で a(n+7) ≡ 8 a(n) ですね。2024 = 7 x 289 +1 なので、a(2024) は8^289 x a(1) の余りに等しい。 フェルマーの小定理のところは、8^2 = 64 ≡ -1なので、8^4 ≡ 1 とできます。 受験生としては、割る数字がa(7) と同じことが着目点になるでしょうか。

[@無数学]

京大オープンにも周期性でてパスラボのおかげで解けて鳥肌たったありがとねスバルくん！

[@VanGogh-kh6yw]

鳩ノ巣原理を教えてくれた予備校の先生には感謝しかない。 どんなに多くても169個以内で周期が発生するからそれを知っていればあとは作業だね

[@Rei_natus]

4桁通りとかだと(時間配分的に)流石に厳しいと感じるが、最高でも100ちょいならゴリ押し脳筋は得意なのでこういう問題答えは出せている印象。ただ、いつも周期性の証明のとこで減点されてるなと実感。 また、分からなそうだったときはなんでもゴリ押しに頼っていたので不安を感じていましたが、そこに至るプロセスに『周期性』という観点に基づいていたのだと知り、なるほどなと思いました。 コメント欄見てると、なるほどそんなやり方/思考もあるのかととても良い学びになります！！

[@ヒトリ-p1h]

受験の時に、周期がいつ出てくるのか不安になりながらやるのはしんどそうですね。 今回のようにピサノ周期は少なくとも6倍までの周期を調べれば何とかなりますが・・・

[@善なんよ-n6u]

2010前期にも周期20であることを示すクソ問題が同じ一橋大で出ているので、周期30くらいまでは普通に疑った方がいいです。

[@ここ日本語もいけるんやで]

隣合う余りのペアは高々13^2通りなので、上限はそんなに高くない

[@しゅみわく]

あの問題は漸化式を解いて、n=2010を代入し、modで処理をすれば解けますよ！ 初見で周期20に気づくのは無理です笑

[@User-f9hi]

この問題で一番大変なのは周期性を示す証明に思えてきた

[@electromagnezone88]

漸化式があるため，それを最大限利用します。 周期性にしても数学的帰納法に似ています。

[@サルモネラ-f1s]

ゆーても参考感漸化式解けばよい

[@user-hp3by8nj6z]

周期性を示すのは簡単じゃね？数学的帰納法と同じだし。それよりも周期性があることに気づくのがいちばん難しいと思う。

[@筑駒日本一]

この問題は類題を解いたことがあったので解けました。 難問ですよね。 数学はやはりたくさんの問題を解くことが重要でしょうね。

[@ゆきぐぅ]

タイトルに対して一番大切なのは動画の最後の可能性！ケアレスミスが合否を分ける！

[@shihtzu-blackmask]

競プロer「行列累乗の簡単な典型問題ですね」

[@j-f1m-t5u]

フィボナッチ数列の余りも フィボナッチ数列みたいに扱えます。 余りは始め1,1,2,3,5,8,0となる 次は8✖️(1,1,2,3,5,8,0)と続く その次は8✖️8✖️(1,1,2,3,5,8,0)と続く a7n+1 は8のn乗余る 2024=7✖️289+1 a7✖️289+1 は8の289乗余る 8は-5と合同　 余りは-5の288乗✖️-5 と合同 つまり25の144乗✖️-5と合同 25は-1と合同のため 余りは-1の144乗✖️-5と合同 つまり1の72乗✖️-5と合同 (-5と合同) -5と8は合同　答え8

[@咲火-w5q]

自分だったら、a(7)=13でn≧7ならa(n)をa(7)とa(6)で表せることに注目しますね。 実際やってみると、 a(n)のa(6)の係数もまたフィボナッチ数列のようになっていて、そっからちょいと計算すると a(2024)≡a(6)^289 となり、あまりが8であると分かります。

[@向井佐助-c4m]

余りを求めよ＝合同式は必須ですね。 時には愚直さと力業も重要ですが。

[@みふゆもあ]

フィボナッチなんだから a(n+7)=13a(n+1)+8a(n), つまりa(n+7)≡8a(n)(mod13). これを利用して a(1)≡1,a(8)≡8,a(15)≡12,a(22)≡5,a(29)≡1. こういうことなので、周期は28とわかりました〜😊

[@ベルヌーイ数]

かしこ

[@ねるねるねるね-c2i]

a(28)≡0も書かないと不十分じゃないんですか？例えばa(12)≡1だけど周期11ではないですし

[@REDHOMREDHOM]

@@ねるねるねるね-c2i a(n-1)(mod13)やa(n+1)(mod13)の値に関係なく a(n)(mod13)だけでa(k)(mod13)の値が決まるkを探しています そのkのうちa(n)≡a(k)が見つかれば前後の値に関係なく周期になるのです。

[@ねるねるねるね-c2i]

⁠@@REDHOMREDHOM今回の場合a(1)によってa(29)が定まり、かつa(1)≡a(29)だってことですよね。 そこからどうして周期が28だと確定するのか教えて頂きたいです、、

[@REDHOMREDHOM]

@ a(2)≡a(30) からa(28)≡a(56)まで全部並べたら a(29)≡a(57)を追加してみましょう。 追加できたらa(30)≡a(58)以降もどんどん追加してみましょう。

[@水野学-f1p]

合同はmod13で考える。 　 n≧29のとき、（この行は後で書き加えて回答する） 　 a{n+2}=a{n+1}+a{n} =2a{n}+a{n-1} =3a{n-1}+2a{n-2} =5a{n-2}+3a{n-3} =8a{n-3}+5a{n-4} =13a{n-4}+8a{n-5} 　 であるから、 　 a{n+2}≡8*a{n-5} 　 である。より小さいnの項との合同を考えると、 　 a{n} ≡8*a{n-7} ≡64*a{n-14} ≡64*64*a{n-28} ≡(-1)*(-1)*a{n-28} ≡a{n-28} 　 となる。 　 a{2024}=a{28*72+8}≡a{8}=8 　 よって、a{2024}を13で割った余りは8である。

[@okim8807]

この解答、前半部分の等式部分はわかりやすい。素晴らしい。

[@世は不条理]

わかりやすい解法

[@mwom9]

いやすご

[@黒ニャーにゃー]

一流でした

[@たんぽぽ-u1e]

偏見だけど一橋の数学はなんか綺麗に解けながち

[@KarupatchoNoDaikouzui]

暗算でできたの気持ち良すぎる

[@torautsubo-hu6fc]

7の倍数番目は必ず０になる（帰納法：f(7)≡0, f(7k)≡0と仮定し、f(7k-1)≡jとするとf(7(k+1))=13j≡0)。 A(n)≡f(7n+1)=f(7n-1) mod13とするとA(1)≡f(6)よりA(1)=8, f()としては　f(7n-1)≡A(n), f(7n)≡0, f(7n+1)≡A(n), f(7n+2)≡A(n),f(7n+3)≡A(n)+A(n) ... f(7n+6)≡8A(n), f(7n+7)≡0, f(7n+8)≡A(n+1)≡8A(n)...となり A(n+1)≡8A(n), A1=8より　A(n)≡8^n mod13 2024=289*7 +1なのでA(289)を求めれば良い。A(289)≡8^289。　8^2≡-1, 8^4≡1なので　8^289=(8^4)^72 * 8 ≡8　←こたえ う、美しくない....

[@electromagnezone88]

周期性があるとは言え，記述するとなるとかなり面倒な問題…。 合同式ならマイナスも使って計算する桁を1桁のみにした方が良いかも。 数列{b_n}について，b_n ≡ a_n (mod 13)かつすべての自然数nに対し|b_n| ≦ 6とする。 b_1＝1，b_2＝1，…(面倒なので省略。実際の記述では面倒がらずにb_16まですべて表す)，b_15＝-1，b_16＝-1から，自然数k，整数t(0 ≦ t ≦ 13)に対し，b_(14(k+1)+t)＝-b_(14k+t)と予測できる。 (以下略) 周期性があるのなら，余剰についてマイナスも駆使すれば，負担は半分になるはずです。 途中で-1，-1が出てくるなら周期的です。 それでも面倒ですが。

[@amuro9378]

フィボナッチはエグいな

[@epsom2024]

一橋大学の大好物 a[n] を 13 で割った余りを b[n] とすると 13 を法として a[n]≡b[n] より b[n+2]≡b[n+1]+b[n] b[1]≡1 , b[2]≡1 , b[3]≡2 , b[4]≡3 , b[5]≡5 , b[6]≡8≡-5 , b[7]≡0 , b[8]≡-5 , b[9]≡-5 , b[10]≡3 , b[11]≡-2 , b[12]≡1 , b[13]≡-1, b[14]≡0 b[15]≡-1 , b[16]≡-1 (b[15],b[16])=-(b[1],b[2]) より b[n+14]=-b[n] と分かる 2024=14*2*72+8 より b[2024]=(-1)^2*b[8]=8 2010年度の問題は a[1]=1,a[2]=2 , a[n+2]=a[n+1]+6[n] のとき a[2010] を 10 で割った余り

[@なたな-u5d]

解法に自信あってもどんどん計算に自信がなくなってきてつらかったなーこれ笑

[@JohnnieFK]

自分が受験生だったら、a30まで調べる前に挫折しているだろうな。 「こんな肉体労働をするはずがない！」ってな感じになって。

[@ippantuka_arashi194]

フィボナッチは去年の東工大オープンでも題材になってたりするので意外と頻出

[@_634-vv4mg]

a(8)＝8、a(9)＝8の時点で、a(7n＋p)＝a(p)×(8のn乗)であることが周期性より予想可能。 数学的帰納法により証明すればあとは流れ作業。

[@fclfc1039]

a_15≡-1、a_16≡-1から後半はマイナスループすることが想像つきました 合同式なのだから-1、-2くらいは意識した方が計算もしやすいかもです

[@fclfc1039]

この問題は周期性以外で解く発想が湧かなすぎるので周期性を調べられますけどそれ以外に行けそうな道があったら(？)辿り着くのは大変かもです

[@aaaa2466]

a14=0(mod13) a15=12(mod13) a16=12(mod13)なので、a1+a15=0(mod13)、a2+a16=0(mod13)・・・に気づくとa15+a29=0(mod13)となり、a1=a29(mod13)の周期性が早く見つかると思います。 麻布中の入試の数列で昔こんな問題が出てました。

[@aaaa2466]

麻布中2018年の算数です。

[@いまひろ09]

こんな感じで規則性を見つけました。 a(1)=a a(2)=bとすると a(3)=a+b a(4)=a+2b a(5)=2a+3b a(6)=3a+5b a(7)=5a+8b a(8)=8a+13b≡8a a(9)≡13a+8b≡8b (mod13) ∴ a(8)≡8a(1) a(9)≡8a(2) より a(1+7(k-1))≡8^(k-1)a(1)=8^(k-1) a(2+7(k-1))≡8^(k-1)a(2)=8^(k-1) が成り立つ。 あとは 2024=1+7×289より a(2024)≡8^289 =8×((8^2)^144) =8×(64^144) ≡8×((-1)^144) ≡8 なお、 7回転で8より 14回転で8^2=64≡-1 21回転で(-1)×8≡-8 28回転で(-1)^2≡1 となり、 周期が28ということですね

[@アロエ-i3e]

?「イッツマイラーイフ(ﾔｰｯ!)」

[@PN-ex8wb]

13,21,34≡0,8,8の並びから f2024≡8×f2017≡64×f2010≡-f2010≡f1996 を繰り返すと≡f8=21≡8

[@shinsukekishimoto8877]

結局は周期28なのですが、a14≡0、a15≡-1、a16≡-1なので、14個の周期で偶数回目は正負が逆になるとして周期性の計算を少なくしたいです

[@あきやま-d2n]

a15=-a1,a16=-a2なので、その時点でa_(n+14)=-a_(n)とした方が早いと思います

[@magurofly]

私ならいきなり出されたら行列表現を求めて2024乗するかも……（超ゴリ押し） mod13ならどうにかなるやろ！！って (a_(n+1), a_(n+2)) = A (a_n, a_(n+1)) より A = (0 1, 1 1) A² = (1 1, 1 2) A⁴ = (2 3, 3 5) A⁸ = (0 8, 8 8) A¹⁶ = (12 12, 12 11) A³² = A⁴ = (2 3, 3 5)　（ループした！） A⁶⁴ = A⁸ A¹²⁸ = A¹⁶ A²⁵⁶ = A⁴ A⁵¹² = A⁸ A¹⁰²⁴ = A¹⁶ A²⁰⁴⁸ = A⁴ A²⁴ = A¹⁶ A⁸ = (5 10, 10 2) A⁻²⁴ = (2 3, 3 5) A²⁰²⁴ = A²⁰⁴⁸ A⁻²⁴ = (0 8, 8 8) よって答えは 8

[@ST-gs6ul]

高校数学から行列が消えたので、漸化式の行列解法に触れない高校生が多数になってしまったんですよね……。 行列はいろんな分野で重宝する概念だけど、こういう具体的な側面から知って使っていくことも、大学数学への学びを開くから重要だと思うんだ。 私は実際大学数学には線形代数から惹かれたし。

[@modulet1732]

行列すごいですね🎉ループの発見はまだしも2048-24はきちんと考えないと見逃してしまいそうです🔍勉強になりました‼️

[@azsa_lab]

言いたいことは分かる。一旦、周期28はエグい

[@sans9197]

a_n=13a_(n-6)+8a_(n-7)より a_n≡8a_(n-7)(mod13) よって、 a_2024≡8^289a_1=(65-1)^144×8≡8(mod13)

[@kumagaishigeru4888]

フィボナッチ数列を2,5以外の素数pで割る場合、周期はp-1か2(p+1)になる、って高校でやらないのでしたっけ？（めちゃくちゃうろおぼえ）

[@ドフォー]

確かに大学が"研究機関"という役割も持つ以上、周期がクソ長い問題も出ないわけが無いよなと 研究なんて根性がなきゃできない訳だし、たった5,6個試して見つからなかっただけで「分からん！ぽーい」と匙を投げる人は、辛抱強く研究を行う教授にとって迷惑になってしまう

[@adjustment1414]

一橋後期の問題にしては易しい。

[@アパホテル-p8n]

3大性質まじで大事だな

[@kon1856]

nを任意に固定し、 b_k := a_(7k+n) とおくと、 b_k ≡ (8^k)･(a_n) 特にn=1のとき、b_k ≡ 8^k 2024 = 7×289 + 1より、 a_2024 = b_289 ≡ 8^289 64 ≡ (-1)であることから 8^4 ≡ 1 8^289 = {(8^4)^72}×8 ≡ 8

[@福山浩範-y1i]

実際の入試では一通り見直しをした後、解答用紙に書きはじめるので、まあ大丈夫でしょ❗

[@TomoK-fv6kl]

うーん、a_8≡8, a_9≡8からa_(n+7)≡8a_n (以上mod13)に気付かないようだとねぇ…

[@mathseeker2718]

ひたすら実験すれば、答えは出せますね。周期28をらどうやって証明するんだろう？

[@nishitoku]

フィナボッチ数列。ダンブラウンの小説「ダ・ヴィンチ・コード」で初めて知った。

[@squandered3589]

a15≡-1、a16≡-1まで出してああ28周期ねとやるかなあ どう書けばいいかはわからん

[@よつば゚]

ご飯食べながら見てて、どうせ余りの周期性やなぁって思いながら食べてたら最後に2024を18で割ってて、頭が？になりながら動画止めて5分くらい考え込んじゃった(笑)

[@あっちゃん-e2y]

6:51 28周期って…完全数🙄

[@kinshun]

やっぱりこういった単純な余りを調べる作業でも素早く正確にできないとですね。

[@tokkychannel3083]

最後18で割ってますが28ですね 余り8なので答えは同じですが

[@SMM1ringopanchannel]

ちゃんと修正してましたよー

[@tokkychannel3083]

@@SMM1ringopanchannel おっと、最後まで見てないのがバレた 失礼しました

[@己斐正彦]

【解】 (mod 13)を略す。 a[n+2]≡a[n+1]+a[n] a[n+3]≡a[n+2]+a[n+1]≡2a[n+1]+a[n] a[n+4]≡a[n+3]+a[n+2]≡3a[n+1]+2a[n] a[n+5]≡a[n+4]+a[n+3]≡5a[n+1]+3a[n] a[n+6]≡a[n+5]+a[n+4]≡8a[n+1]+5a[n] a[n+7]≡a[n+6]+a[n+5]≡13a[n+1]+8a[n] よって、a[n+7]≡8a[n] 2024=7×289+1だから、 a[2024]≡(8^289)a[1]≡8^289 8^2=64≡12≡-1，8^4≡1だから 8^289≡(8^4)^72×8≡8