Patrick Dehornoy - Deux malentendus de la théorie des ensembles

[@herveclavier5857]

Quel plaisir de revoir mon vieux professeur de maîtrise et de DEA à l'université de Caen ! Il était un excellent orateur et je constate que plus de 20 ans plus tard, il l'est encore.

[@Snow-dg7um]

Mais c'est génial quelle efficacité

[@antoinebrgt]

Très bonne explication dans la dernière minute ! Y a-t-il des progrès récents sur la détermination de la validité ou non de l'hypothèse du continu ?

[@LebesgueFr-maths]

Oui et non... Il existe un important corpus de résultats, reposant sur des approches diverses, certaines impliquant l'hypothèse du continu, d'autres la réfutant, mais, pour le moment, il n'existe pas (encore) de consensus sur une approche privilégiée, et la question doit donc encore être considérée comme ouverte.

[@LebesgueFr-maths]

Voir par exemple le dernier chapitre du livre "La théorie des ensembles" paru en 2017 chez Calvage & Mounet

[@moularaoul643]

Magnifique!!!

[@eliassrg]

Admirable

[@fdesnoyer]

D'une grande limpidité et d'une grande clarté! Merci M. Dehornoy! Puis-je juste demander ce qui signifie précisément la phrase "HC est indécidable ne veut rien dire". Est-ce parce qu'il manque une référence à une axiomatique? merci encore!

[@CNW-me6nn]

fdesnoyer l’indécidabilité caractérise un problème ou une théorie et non un énoncé.

[@MasterUness]

Oui le théorème de Cohen dit que HC n'est pas démontrable à partir de ZFC et donc indecidable dans cette axiomatisation. Je ne vois pas où vous vouliez en venir. Certes d'après le théorème d'incomplerude de Godel, on peut toujours enrechir les axiomes par un postulat indecidable ou son contraire. Ce qui donne deux théories nouvelles incomplètes et dont la validité dépend de la théorie de départ.

[@simonld1767]

Existe-t-il une infinité de représentation possibles des ensembles ?

[@MasterUness]

Oui, tant qu'il y a une infinité d'imagination.

[@jacquesouzhy7814]

Il faut aller dire cela à Monsieur Alain Badiou et aux autres magiciens

[@aymericd.6126]

Pas du tout d'accord avec le monsieur. Bourbaki ne dit pas que "2" est l'ensemble {0;{0}}; il dit que c'est le tau de la propriété de cocardinalité avec l'ensemble {0;{0}}. Il décrit en fait "2" comme le concept reliant tous les ensembles à deux éléments. Comment pourrait-il en exister une définition plus valide ?

[@LebesgueFr-maths]

Vous avez formellement raison, mais cette définition, certes complète mais inutilement compliquée, est encore "pire", recourant de façon ni utile, ni nécessaire au principe de choix ("tau"), ici hors de propos. C'est l'idée même de définir le nombre 2 qui mérite d'être interrogée.

[@aymericd.6126]

Moi j'aime bien le principe de choix. Il permet de donner une vraie définition. Si on ne l'utilise pas, on se retrouve à définir 2 comme l'ensemble {0;{0}}, ce qui est (vous l'avez dit) plus une représentation qu'une définition, ou alors on refuse de définir 2. (mais ce serait la perte de quelque chose de beau ! La théorie Bourbakiste permet de définir tout à partir de presque rien ! Pourquoi s'en priver ?).

[@aymericd.6126]

La complexité pose un problème pour la démonstration automatique, mais il peut être contourné. (il suffit de poser une théorie prenant pour axiomes des théorêmes de notre théorie originale)

[@neloka4313]

J'avais feuilleté le premier tome d'Éléments de Mathématiques sans trouver ce que ce "tau" signifiait mais grâce à vous c'est chose faite ! Merci !